2020高中数学 第四章 导数应用单元测试2 北师大版选修1-1
2020北师大版高中数学选修1-1 教师课件：第四章 导数与函数的单调性
关于不等式的恒成立问题，可以转化为求函数的最值问题来研究，如a≥f(x)(x∈D)得 a≥f(x)max(x∈D)；a≤f(x)(x∈D)得a≤f(x)min(x∈D)．这种转化思想很重要，要注意掌 握．
3．已知函数f(x)＝x3＋ax(x≠0，常数a∈R)． (1)当a＝48时，求f(x)的单调递减区间； (2)若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围． 解析：(1)当a＝48时，f(x)＝x3＋4x8， f′(x)＝3x2－4x82＝3x4x－2 48＝3x2＋4xx＋2 2x－2， 令f′(x)<0，得－2<x<0或0<x<2， ∴f(x)的单调递减区间为(－2,0)，(0,2)．
A.16，＋∞ C.－16，＋∞
B.－∞，16 D.－∞，－16
解析：f′(x)＝6x－1，令f′(x)>0，得x>16.
答案：A
3．函数f(x)＝xln x( ) A．在(0,5)上是增函数 B．在(0,5)上是减函数 C．在0，1e上是减函数，在1e，5上是增函数 D．在0，1e上是增函数，在1e，5上是减函数
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)， ①当a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－x12x＋x－1122≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的． ②当a<－12时，Δ<0，g(x)<0， f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的．
③当－12<a<0时，Δ>0.
设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点，
x >0，f(x)在(0,1)上单调递增；
当x>1时，f′(x)＝1x－1e－x ln
x <0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
4.2导数在实际问题中的应用 课件(北师大版选修1-1)
从而物体在 ToC 时的比热为
c lim
例1
o
已知 1 千克的铁由 0oC 加热到 ToC 所吸收的热
量 Q 由下式确定：Q=0.1053T+0.00007T2( 0T 200 )， 求 T C 时铁的比热。 解 T C 时铁的比热为
o
cQ(T )0.1053 0.000142 T
例 4.5.4
设生产 q 件某产品的总成本函数为：
C(q) 1500 34q 0.3q 2
如果该产品销售单价为： p 280元／件，求 （1）该产品的总利润函数 L(q ) ； （2）该产品的边际利润函数以及销量为 q 420 个 单位时的边际利润，并对此结论作出经济意义的解释． （3）销售量为何值时利润最大？
（3）边际利润 设总利润函数为 L L(q) ， L 表示总利润， q 表示 销售量，则 L (q ) 称为销售量为 q 个单位时的边际利 润．边际利润的经济意义是：销售量达到 q 个单位的时 候，再增加一个单位的销量，相应的总利润增加 L (q) 个 单位．
例 4.5.3
某种产品的总成本 C (万元)与产量 q (万件)之
L(420) 246 0.6 420 6 ，
这说明，销售量达到 420 件时，多销售一件该产品，总利润 会减少 6 元． （3）令 L(q) 0 ，得唯一驻点 q 410（件） ，又最大利 润一定存在，且驻点唯一，所以当销售量 q 410 件时，获利 最大．
二、功率
单位时间内所作的功称为功率．若作功函数为
W W (t ) ，则 t t 0 时的功率为 N (t 0 ) W (t 0 ) ．
例 4.5.2
设质量为 1100kg 的汽车，能在 2 s 时间内
2020版高中数学 第四章 导数应用 1.2 函数的极值(第2课时)课件 北师大版选修1 -1
(1)若把该图视为某函数的图像，图中共有多少个相对于 附近的“最高”点和“最低”点？
(2)这些“最高”和“最低”点的左右两侧函数的单调性 如何？
【提示】 (1)5 个和 4 个． (2)“最高”点左侧增，右侧减，“最低”点左侧减，右侧 增．
1 .极值与极值点 (1)在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 y＝f(x)在任何一 点的函数值都小于或等于 x0 点的函数值，称点 x0为函数 y＝f(x) 的 极大值点 ，其函数值 f(x0)为函数的极大值 ．
试求 a，b 的值．
解
：
fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(x)
＝
3x2
＋
2ax
＋
b
，
依
题
意
得
f（1）＝10， f′（1）＝0，
即
a2＋a＋b＝9， 2a＋b＝－3，
解得ab＝ ＝4－，11或ab＝ ＝3－. 3，
但由于当 a＝－3，b＝3 时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，故 f(x)在 R 上单调递增，不可能在 x＝1 处取得极值，所以ab＝ ＝3－3 不符合题意，舍去；当ab＝ ＝4－11时，经检验知符合题意．故 a， b 的值分别为 4，－11.
第四章 导数应用
§1 函数的单调性与极值
1.2 函数的极值
学习目标
1. 了解函数极值的概念. 2. 理解可导函数在其定义域上的单调性与函数极值的关系． 3. 掌握利用导数判断或求函数极值的方法．
知识点、极值的有关定义 【问题导思】 “横看成岭侧成峰，远近高低各 不同”，说的是庐山的高低起伏， 错落有致，在群山中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山 的最高处，但它却是其附近的最高点．如图为某同学绘制的 庐山主峰剖面图．
2020版高考数学习题： 导数及其应用(选修1-1) 第11节 导数利用导数求在研究函数中的应用 解不等式问题
第三课时利用导数求解不等式问题【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.设f(x)是R上的可导函数,且满足f′(x)>f(x),对任意的正实数a,下列不等式恒成立的是( B )(A)f(a)<e a f(0) (B)f(a)>e a f(0)(C)f(a)< (D)f(a)>解析:构造函数g(x)=,则g′(x)==>0,即g(x)=是增函数,而a>0,所以g(a)>g(0),即f(a)>e a f(0).故选B.2.若对任意a,b满足0<a<b<t,都有bln a<aln b,则t的最大值为.解析:因为0<a<b<t,bln a<aln b,所以<,令y=,x∈(0,t),则函数在(0,t)上递增,故y′=>0,解得0<x<e.故t的最大值为e.答案:e3.(2018·广东深圳中学第一次阶段性测试)函数f(x)=x-2sin x,对任意的x1,x2∈[0,π],恒有|f(x1)-f(x2)|≤M,则M的最小值为.解析:因为f(x)=x-2sin x,所以f′(x)=1-2cos x,所以当0<x<时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当<x<π时,f′(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=时,f(x)有极小值,即最小值,且f(x)min=f()=-2sin =-.又f(0)=0,f(π)=π,所以f(x)max=π.由题意得|f(x1)-f(x2)|≤M等价于M≥|f(x)max-f(x)min|=π-(-)=+.所以M的最小值为+.答案:+4.(2018·济南模拟)已知f(x)=(1-x)e x-1.(1)求函数f(x)的最大值;(2)设g(x)=,x>-1且x≠0,证明:g(x)<1.(1)解:f′(x)=-xe x.当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的最大值为f(0)=0.(2)证明:由(1)知,当x>0时,f(x)<0,g(x)<0<1.当-1<x<0时,g(x)<1等价于f(x)>x.设h(x)=f(x)-x,则h′(x)=-xe x-1.当x∈(-1,0)时,0<-x<1,0<e x<1,则0<-xe x<1,从而当x∈(-1,0)时,h′(x)<0,h(x)在(-1,0)上单调递减.当-1<x<0时,h(x)>h(0)=0,即g(x)<1.综上,当x>-1且x≠0时总有g(x)<1.能力提升(时间:15分钟)5.(2018·安徽江南十校联考)已知函数f(x)=xln x(x>0).(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若对任意x∈(0,+∞),f(x)≥恒成立,求实数m的最大值.解:(1)由f(x)=xln x(x>0),得f′(x)=1+ln x,令f′(x)>0,得x>;令f′(x)<0,得0<x<.所以f(x)的单调增区间是(,+∞),单调减区间是(0,).故f(x)在x=处有极小值f()=-,无极大值.(2)由f(x)≥及f(x)=xln x,得m≤恒成立,问题转化为m≤()min.令g(x)=(x>0),则g′(x)=,由g′(x)>0⇒x>1,由g′(x)<0⇒0<x<1.所以g(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,所以g(x)min=g(1)=4,因此m≤4,所以m的最大值是4.6.已知函数f(x)=在x=0处的切线方程为y=x.(1)求a的值;(2)若对任意的x∈(0,2),都有f(x)<成立,求k的取值范围.解:(1)由题意得f′(x)=,因为函数在x=0处的切线方程为y=x,所以f′(0)==1,得a=1.(2)由(1)知f(x)=<对任意x∈(0,2)都成立,所以由>0知k+2x-x2>0,即k>x2-2x对任意x∈(0,2)都成立,从而k≥0.由不等式整理可得k<+x2-2x,令g(x)=+x2-2x,所以g′(x)=+2(x-1)=(x-1)(+2),令g′(x)=0得x=1,当x∈(1,2)时,g′(x)>0,函数g(x)在(1,2)上单调递增,同理,函数g(x)在(0,1)上单调递减,所以k<g(x)min=g(1)=e-1.综上所述,实数k的取值范围是[0,e-1).7.已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+aln x(a∈R).(1)若f(x)在区间[1,2]上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)函数g(x)=(1-a)x,若∃x0∈[1,e]使得f(x0)≥g(x0)成立,求实数a 的取值范围.解:(1)f′(x)=,当导函数f′(x)的零点x=a落在区间(1,2)内时,函数f(x)在区间[1, 2]上就不是单调函数,所以实数a的取值范围是a≤1或a≥2.即实数a的取值范围为(-∞,1]∪[2,+∞).(2)由题意知,不等式f(x)≥g(x)在区间[1,e]上有解,即x2-2x+a(ln x-x)≥0在区间[1,e]上有解.因为当x∈[1,e]时,ln x≤1≤x(不同时取等号),x-ln x>0,所以a≤在区间[1,e]上有解.令h(x)=,则h′(x)=.因为x∈[1,e],所以h′(x)≥0,h(x)单调递增,所以x∈[1,e]时,h(x)max=h(e)=,所以a≤,所以实数a的取值范围是(-∞,].。
北师大版数学选修1-1：第四章§2 导数在实际问题中的应用2.2
1.函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)，则f (x )( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，也无最小值 D ．无最大值，但有最小值解析：选C.f ′(x )＝3x 2－3，∵x 2＜1，∴x 2－1＜0，即f ′(x )＜0恒成立．∴f (x )在(－1，1)内为减函数．∴无最大值，也无最小值．2.(2012·南阳质检)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C.因为y ′＝－x 2＋81，所以当x ＞9时，y ′＜0；当x ∈(0，9)时，y ′＞0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．3.某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝⎛⎭⎫60－x 2(0＜x ＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为________．解析：V (x )＝30x 2－12x 3，∴V ′(x )＝60x －32x 2＝－32x (x －40)．∵x ∈(0，40)时，V ′(x )＞0，x ∈(40，60)时，V ′(x )＜0， ∴x ＝40时，V (x )有极大值也是最大值． 答案：404.(2012·淮北检测)函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a (a 为常数)在[－2，2]上的最大值为5，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________． 解析：f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)．由f ′(x )＝0得x ＝0或2.∵f (0)＝a ，f (2)＝a －8，f (－2)＝a －40.∴a ＝5. 此函数[－2，2]上的最小值是5－40＝－35. 答案：－35[A 级 基础达标]1.函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1，3])的值域为( )A ．(－∞，1)∪(1＋∞)B ．[32，＋∞)C.⎝⎛32，134D.⎣⎡⎦⎤32，134解析：选D.f ′(x )＝－1（x ＋1）2＋1＝x 2＋2x （x ＋1）2，又x ∈[1，3]，所以f ′(x )＞0在[1，3]上恒成立，即函数在[1，3]上单调递增，所以函数的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝32，故选D.2.(2012·汉中检测)已知函数f (x )的图像过点(0，－5)，它的导数f ′(x )＝4x 3－4x ，则当f (x )取得极大值－5时，x 的值应为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：选B.∵f ′(x )＝4x 3－4x ，∴f (x )＝x 4－2x 2＋c . ∵f (x )过点(0，－5)，∴f (x )＝x 4－2x 2－5. 又f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝±1，且－1＜x ＜0或x ＞1时， f ′(x )＞0；0＜x ＜1时，f ′(x )＜0. ∴x ＝0时取得极大值－5.3.当函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上取得最大值时，x ＝( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π2解析：选B.f ′(x )＝1＋2(－sin x )，令f ′(x )＝0，解得sin x ＝12.∵0≤x ≤π2，∴x ＝π6.当0≤x＜π6时，f ′(x )＞0，函数是增加的；当π6＜x ≤π2时，f ′(x )＜0，函数是减少的， ∴当x ＝π6时，函数取得极大值，也是最大值． 4.函数y ＝ln xx的最大值为________．解析：函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝（ln x ）′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx2，令y ′＝0，得x ＝e ，当x ＞e 时，y ′＜0；当0＜x ＜e 时，y ′＞0，所以x ＝e 是函数的极大值点，也是最大值点，故y max ＝ln e e ＝1e. 答案：1e5.(2012·商洛测试)用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m ，则当高为______米时，容器的容积最大．解析：由题意直接列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x 米， 则V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )， V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0， 解15x 2－11x －4＝0， 得x ＝1，x ＝－415(舍去)． 答案：16.在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为C (x )；出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R (x )；R (x )－C (x )称为利润函数，记为P (x )．(1)设C (x )＝10－6x 3－0.003x 2＋5x ＋1000，生产多少单位产品时，边际成本C ′(x )最低？(2)设C (x )＝50x ＋10000，产品的单价p ＝100－0.01x ，怎样定价可使利润最大？解：(1)C ′(x )＝3×10－6x 2－0.006x ＋5，记g (x )＝C ′(x )．由g ′(x )＝6×10－6x －0.006＝0，解得x ＝1000.结合C ′(x )的图像可知，当x ＝1000时，边际成本最低． ∴生产1000单位产品时，边际成本最低．(2)由p ＝100－0.01x ，得收益函数R (x )＝x (100－0.01x )，则利润函数P (x )＝R (x )－C (x )＝100x －0.01x 2－(50x ＋10000)＝－0.01x 2＋50x －10000.由P ′(x )＝－0.02x ＋50＝0，解得x ＝2500.结合P (x )的图像可知，当x ＝2500时，利润最大，此时p ＝100－0.01×2500＝75. ∴当产品的单价为75时，利润最大．[B 级 能力提升] 7.(2012·西安质检)设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( )A.3VB.32VC.34VD ．23V解析：选C.设直棱柱的底面边长为a ，高为h . 则34a 2·h ＝V ，∴h ＝4V 3a2.则表面积S (a )＝3ah ＋32a 2＝43V a ＋32a 2. S ′(a )＝－43Va2＋3a .令S ′(a )＝0，得a ＝34V .当0＜a ＜34V 时S ′(a )＜0，当a ＞34V 时，S ′(a )＞0.当a ＝34V 时，S (a )最小．8.(2011·高考湖南卷)设直线x ＝t 与函数f (t )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22解析：选D.|MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x 的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，显然x ＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22. 9.(2012·淮北检测)已知函数f (x )＝x ln x ．若对于任意x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 不等式2f (x )≤－x 2＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，2x ln x ≤－x 2＋ax －3，则a ≥2ln x ＋x ＋3x .设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x x ＞0)，则h ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝（x ＋3）（x －1）x 2.当x ∈⎣⎡⎭⎫1e 1时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减；当x ∈(1，e]时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增．由h ⎝⎛⎭⎫1e ＝－2＋1e ＋3e ，h (e)＝2＋e ＋3e ，h ⎝⎛⎭⎫1e －h (e)＝2e －2e －4＞0，可得h ⎝⎛⎭⎫1e ＞h (e)．所以当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，h (x )的最大值为h ⎝⎛⎭⎫1e ＝－2＋1e ＋3e.故a ≥－2＋1e＋3e. 答案：a ≥－2＋1e＋3e10.(2011·高考北京卷)已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0，1]上的最小值． 解：(1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x. 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)． (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0，1]上单调递减，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.11.(创新题)某工厂统计资料显示：产品的次品率b 与日产量x 件(x ∈N ，1≤x ≤89)的关系符合下列规律：又知道每一件正品盈利a 元，每生产一件次品损失a2a ＞0)元．(1)将该厂日盈利额表示成日产量x 件的函数；(2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？(3≈1.7)解：(1)由b 与x 的对应规律得次品率为b ＝2100－x (x ∈N ，1≤x ≤89)．故日产量x 件中，次品数为bx 件，正品数为(x －bx )件，则日盈利额为T ＝a (x －bx )－a2bx ＝a ⎝⎛⎭⎫x －3x 100－x (x ∈N ，且1≤x ≤89)． (2)T ′＝a ⎣⎡⎦⎤1－3（100－x ）＋3x （100－x ）2＝a ⎣⎡1－300（100－x ）2. 令T ′＝0，则100－x ＝103，x ＝100－103， 当1≤x ≤100－103时，T ′＞0，函数递增，当100－103＜x ≤89时，T ′＜0.函数递减． 所以当x ＝100－103≈83时，T 取最大值．因此，要获得最大盈利，该厂的日产量应定为83件．。
2020学年高中数学第四章导数应用1函数的单调性与极值1.1导数与函数的单调性课时跟踪训练北师大版选修1_1
1.1 导数与函数的单调性[A组基础巩固]1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间是( )A．(－∞，0) B．(0,2)C．(－∞，2) D．(2，＋∞)解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2，当x<0时，f′(x)>0，当0<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，所以函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间是(0,2)．答案：B2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A．y＝sin2x B．y＝x e xC．y＝x3－x D．y＝－x＋ln(1＋x)解析：令y＝x e x，当x∈(0，＋∞)时，y′＝e x＋x e x＝e x(1＋x)>0.答案：B3．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b<0时，f(x)在R上( ) A．是增函数B．是减函数C．是常函数D．既不是增函数也不是减函数解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，方程3x2＋2ax＋b＝0的判别式Δ＝(2a)2－4×3b＝4(a2－3b)．因为a2－3b<0，所以Δ＝4(a2－3b)<0，所以f′(x)在R上恒大于0，故f(x)在R上是增函数．答案：A4．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是( )解析：由y ＝f ′(x )的图像可知，当x <0或x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0， ∴函数y ＝f (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)上为增加的，在(0,2)上为减少的． 答案：C5．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3]∪[3，＋∞) B ．[－3，3]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3，3)解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1，由题意，可知f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在R 上恒成立，∴方程－3x 2＋2ax －1＝0的判别式Δ＝(2a )2－4×(－3)×(－1)≤0，解得－3≤a ≤ 3.答案：B6．在下列命题中，正确的是________．①若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对任意x ∈(a ，b )，都应有f ′(x )>0； ②若在(a ，b )内f ′(x )存在，则f (x )必为单调函数；③若对任意x ∈(a ，b )都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )内是增函数； ④若可导函数在(a ，b )内有f ′(x )<0，则在(a ，b )内有f (x )<0； ⑤可导的单调函数的导函数仍为单调函数．解析：举反例．若f (x )＝x 3，x ∈(－1,1)，则f (x )是单调增函数，但f ′(x )＝3x 2，f ′(0)＝0，所以①⑤错误；若f (x )＝x 2，②错误；若f (x )＝－x ，x ∈(－2，－1)，则④错误．答案：③7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调递减区间为________． 解析：∵f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)， 令f ′(x )<0，得－1<x <11，∴函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调递减区间为(－1,11)． 答案：(－1,11)8．若函数f (x )＝mx ＋x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，则m 的取值范围为________．解析：由题意f ′(x )＝m ＋12x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立，即m ≥－12x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立，令g (x )＝－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤1，g ′(x )＝14x －32，在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上g ′(x )>0，所以g (x )max＝g (1)＝－12，故m ≥－12.答案：[－12，＋∞)9．求下列函数的单调区间： (1)y ＝12x 2－ln x ；(2)y ＝12x ＋sin x ，x ∈(0，π)．解析：(1)∵函数的定义域为(0，＋∞)， 又∵y ＝12x 2－ln x ，∴y ′＝x －1x ＝x 2－1x.①令y ′>0，即x 2－1x>0，又∵x >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1>0x >0，∴x >1.②令y ′<0，即x 2－1x<0，又∵x >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0x >0，∴0<x <1.∴函数y ＝f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)． (2)∵y ＝12x ＋sin x ，∴y ′＝12＋cos x ，①令y ′>0，得cos x >－12，又∵x ∈(0，π)，∴0<x <2π3.②令y ′<0，得cos x <－12，又∵x ∈(0，π)，∴2π3<x <π. ∴函数y ＝12x ＋sin x 的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π.10．已知函数f (x )＝ln x －ax 2－2x (a ∈R 且a ≠0)存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解析：∵f (x )＝ln x －ax 2－2x ，∴f ′(x )＝1x－2ax －2(x >0)．∵函数f (x )存在单调递减区间，∴f ′(x )≤0在(0，＋∞)上有无穷多个解．∴关于x 的不等式2ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)上有无穷多个解． ①当a >0时，函数y ＝2ax 2＋2x －1的图像为开口向上的抛物线， ∴关于x 的不等式2ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)上总有无穷多个解．②当a <0时，函数y ＝2ax 2＋2x －1的图像为开口向下的抛物线，其对称轴为直线x ＝－12a>0. 要使关于x 的不等式2ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)上有无穷多个解． 则Δ＝4＋8a >0，解得a >－12，此时－12<a <0.综上所述，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)．[B 组 能力提升]1．函数y ＝ax －ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪[2，＋∞) B ．(－∞，0] C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2]解析：∵y ′＝a －1x ，函数y ＝ax －ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内单调递增， ∴函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内y ′≥0，即a －1x ≥0，∴a ≥1x .由x >12，得1x <2，要使a ≥1x 恒成立，只需a ≥2.答案：C2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )<f (x )对任意的x ∈R 恒成立，则( ) A ．f (ln 2)<2f (0)，f (2)<e 2f (0) B ．f (ln 2)>2f (0)，f (2)>e 2f (0) C ．f (ln 2)<2f (0)，f (2)>e 2f (0) D ．f (ln 2)>2f (0)，f (2)<e 2f (0) 解析：令g (x )＝f (x )ex，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0，故g (x )在R 上单调递减，而ln 2>0,2>0，故g (ln 2)<g (0)，g (2)<g (0)，即f (ln 2)2<f (0)1，f (2)e2<f (0)1，所以f (ln 2)<2f (0)，f (2)<e 2f (0)，故选A.答案：A3．函数f (x )＝(3－x 2)e x的单调递增区间是________． 解析：∵f (x )＝(3－x 2)e x，∴f ′(x )＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x. 令f ′(x )>0，则－x 2－2x ＋3>0，解得－3<x <1. ∴函数f (x )的单调递增区间是(－3,1)． 答案：(－3,1)4．若函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调减区间为(－5,5)，则a 的值为________． 解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，∵f ′(x )<0的解为－5<x <5， ∴3×52＋a ＝0，∴a ＝－75. 答案：－755．判断函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1的单调性． 解析：由题意知，f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝ －a ＋12a， 则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－1<a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．6．设函数f (x )＝x (e x－1)－ax 2. (1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝12时，f (x )＝x (e x－1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．(2)f (x )＝x (e x－1－ax )．令g (x )＝e x－1－ax ，则g ′(x )＝e x－a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时g (x )≥0，即f (x )≥0.若a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时g (x )<0，即f (x )<0，综上，a 的取值范围为(－∞，1].。
【一线教师精品】高中数学北师大版选修1-1同步精练：4.2导数在实际问题中的应用(含答案)
1．已知 f ( x ) ＝ 2x 3－ 6x 2 ＋m ( m 为常数 ) 在[ － 2,2] 上有最大值3，那么此函数在[ － 2,2]上的最小值为 ()A ．－ 37B ．－ 29C ．－ 5D ．－ 112．函数 f ( x ) ＝x (1 － x 2) 在 [0,1] 上的最大值为 ()232 2 323 A.9B.9C.9D.83．将一段长为 100 的铁丝截成两段，一段折成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆的面积之和最小时，圆的周长为 ()100π100πA ． 50B.4＋ πC.2＋ πD ． 254．把函数 f ( x ) ＝x 3－ 3x 的图像 c 1向右平移 u 个单位长度，再向下平移 v 个单位长度后获得图像 c . 若对随意 u ＞ 0，曲线 c 与 c 至多有一个交点，则 v 的最小值为 ()212A ． 2B ． 4C ． 6D ． 85．定义在 (0 ，＋∞ ) 上的函数 f ( x ) ＝ ( ax 2＋ bx )( ax －2＋ bx －1)( ab ＞ 0) ，则 f ( x )() A ．有最大值 ( a ＋ b ) 2，没有最小值B ．有最小值 ( a ＋ b ) 2，没有最大值C ．有最大值 ( a ＋ b ) 2，有最小值 ( a －b ) 2D ．没有最值6．某企业生产某种产品，每年固定成本为20 000 元，每生产一单位产品，成本增添100元 ， 已 知 总 收 益 R 与 年 产 量 x的 关 系 是R ＝12400x －2x ，0≤ x ≤400， ，x >400，则总收益最大时，每年生产产品的产量是()A ． 100B ． 150C ． 200D ． 3007．函数f ( x ) ＝ax 4－4ax3＋ ( ＞0)， ∈[1,4] ，f ( x ) 的最大值为 3，最小值为－ 6，则b axa ＋b ＝ ______.8．内接于半径为 R 的球且体积最大的圆柱体的高为______ ．9．用总长 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，假如所制作容器的底面一边比另一边长 0.5 m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．10．已知函数 f ( x ) ＝ ax 3－ 12x ， f ( x ) 的导函数为 f ′(x ) ．(1) 求函数 f ( x ) 的单一区间；(2) 若 f ′(1) ＝－ 6，求函数 f ( x ) 在 [ － 1,3] 上的最大值和最小值．11．设函数 f ( x ) ＝ x 4＋ ax 3＋2x 2＋ b ( x ∈R) ，此中 a ， b ∈ R.10(1) 当 a ＝－ 3 时，议论函数 f ( x ) 的单一性； (2) 若关于随意的a ∈[ － 2,2] ，不等式 f ( x ) ≤1 在 [ － 1,1] 上恒建立，求b 的取值范围．参照答案1. 分析： f ′(x ) ＝ 6x 2－ 12x ， x ∈[ － 2,2] ，令 f ′(x ) ＝ 0，得 x ＝ 0 或 x ＝2. 可得 f ( x )在 [ － 2,0] 上递加，在 [0,2]上递减，故 f ( x ) max ＝ f (0) ＝ m ＝3，所以 f ( － 2) ＝－ 37， f (2) ＝－ 5. 故 f ( x ) 的最小值为－ 37.答案： A2. 分析： f ( x ) ＝ x － x 3， f ′(x ) ＝ 1－3x 2，3令 f ′(x ) ＝ 0，得 x ＝± 3 .f23 －3 2 3(0) ＝ 0， f (1) ＝ 0，3 ＝， f ＝－ ， f393 9所以 f ( x ) 在 [0,1] 上的最大值为 f2 33＝.39答案： A3. 分析： 设圆的周长为 x ，则正方形的周长为 100－ x ，且 0＜x ＜ 100，所以圆的半径 rxx1 2x 2 4＋ π225＝ 2π ，正方形的边长为 25－ 4. 所以面积和 S ( x ) ＝ 4π x ＋ 25－4 ＝ 16π · x － 2 x ＋625(0 ＜ x ＜100) ．令 S ′(x ) ＝ 0，得 x ＝ 100π.4＋ π答案： B4. 分析： f ′(x ) ＝ 3x 2－ 3.令 f ′(x ) ＞ 0，得 x ＞ 1 或 x ＜－ 1.x( －∞，－ 1)－ 1 ( － 1,1)1 (1 ，＋∞)′( )＋－＋fxf ( x )2 － 2由此依据图像c 1 可得 v min ＝ 4.答案： B12 21x 2－ 15. 分析： f ( x ) ＝ ab x ＋ x ＋ ( a ＋ b ) ，f ′(x ) ＝ ab 1－ x 2 ＝ ab · x 2 . ∵ ∈(0 ，＋∞ ) ，∴当 x ∈(0,1) 时， ′( ) ＜0，当 x ∈(1 ，＋∞ ) 时， f ′( ) ＞0.xfxx∴ f ( x)在(0,1)上是减少的，在(1 ，＋∞ ) 上是增添的， f ( x)有最小值 f (1)＝( a＋b)2，无最大值．答案： B6. 分析：由题意知总成本为C＝20 000＋100x，所以总收益为＝－＝300x－x2－ 20 000 ，0≤x≤400，－ 100x，x>400.P R C2P{300－ x，0≤ x≤400，－100，x>400.′＝令 P′＝0，当0≤x≤400时，得 x＝300；当 x＞400时， P′＜0恒建立，易知当x＝300时，总收益最大．答案： D7.分析： f ′(x)＝4ax3－12ax2.令 f ′(x)＝0，得 x＝0(舍去)或 x＝3.由 f ( x)的单一性可知 f ( x)的最小值为 f (3)＝ b－27a.又 f (1)＝ b－3a， f (4)＝b，所以 f (4)为最大值，即{b＝3， b－27a＝－6，1所以＋＝10解得 a＝， b＝3.3 a b 3.10答案：38.分析：设圆柱体的高为2h，则底面半径为R2－ h2，所以圆柱体的体积V＝π( R2－22322323 h )·2h＝2πRh－2π h ，则V′＝2π R－6πh .令 V′＝0，得h＝3 R，即当2h＝3R 时，圆柱体的体积最大．2 3答案：3R9.解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为 ( x＋ 0.5)m，高为14.8 － 4x－4( x＋ 0.5)＝ (3.2 － 2x) m.4由 3.2 － 2x＞ 0 和x＞ 0，得 0＜x＜1.6.设容器的容积为y m3，则有y＝ x(0.5＋ x)·(3.2－ 2x) ＝－ 2x3＋ 2.2 x2＋ 1.6 x(0 ＜x＜1.6) ．所以 y′＝－6x2＋4.4 x＋1.6.令 y′＝0，有－2＝1，x＝－46x ＋ 4.4 x＋ 1.6 ＝0，解得 x15( 不合题意，舍去 ) ．12由函数的单一性可知，当x＝1时， y 取最大值， y 最大＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高为 3.2 －2×1＝ 1.2(m) ．所以当高为 1.2 m 时容器的容积最大，最大容积为 1.8 m 3.10.解：(1)f′(x)＝3ax2－12＝3(ax2－4)．当 a≤0时， f ′(x)＜0，f ( x)在(－∞，＋∞)上递减．当 a＞0时， x 变化时， f ′(x)， f ( x)的变化状况以下表：x222222－∞，－－－，a a，＋∞a a a a′( )＋0－0＋fxf ( x)极大值极小值此时， f ( x)在－∞，－2222，，＋∞上递加，在－，上递减．a a a a(2) 由f ′(1) ＝ 3 － 12＝－ 6，得a＝ 2.a由 (1) 知，f ( x) 在 ( － 1，2) 上递减，在 (2， 3) 上递加．由于 f (－1)＝10， f (2)＝－82，f (3)＝ 18，所以 f ( x)在[－1,3]上的最大值为18，最小值为－ 8 2. 11.解：(1)f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝x(4x2＋3ax＋4)．当 a＝－10时，3f′(x)＝ x(4 x2－10x＋4)＝2x(2 x－1)( x－2)．令 f ′(x)＝0，解得 x1＝0， x2＝1， x3＝2. 2当 x 变化时， f ′(x)， f ( x)的变化状况以下表：x ( －∞，111(2 ，＋0)00，222，22∞)f ′(x)－0＋0－0＋f ( x)极小值极大值极小值11所以 f ( x)在0，2， (2 ，＋∞ ) 内是增添的，在(－∞，0)，2， 2内是减少的．(2) 由条件a∈[ － 2,2] 可知＝ 9a2－ 64＜ 0，进而 4x2＋3ax＋ 4＞0恒建立．当 x＜0时， f ′(x)＜0；当 x＞0时， f ′(x)＞0.所以函数 f ( x)在[－1,1]上的最大值是 f (1)与 f (－1)二者中的较大者．为使对任意的a∈[－2,2]，不等式 f ( x)≤1在[－1,1]上恒成立，当且仅当f (1)≤1，b≤－2－ a，在 a∈[－2,2]上恒建立．即b≤－2＋ af (－1)≤1，所以 b≤－4，所以知足条件的 b 的取值范围是(－∞，－4]．。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测(答案解析)(1)
一、选择题1．定义在[0,)+∞的函数()f x ，对任意0x ≥，恒有()()f x f x '>，(1)f a e=，2(2)f b e=，则a 与b 的大小关系为（ ） A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．无法确定2．已知函数23()2ln (0)xf x x x a a=-+>，若函数()f x 在[]1,2上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(0,1]D ．[1,)+∞3．已知函数()()ln 1xxf x x e e -=-++，则使不等式()()12f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ） A ．()(),11,-∞-+∞B ．()2,1--C ．()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．()(),21,-∞-⋃+∞4．函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x '，则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()ln f x x ax =-，其中[)1+x ∈∞,，若不等式()0f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)1,+∞B ．1,1e⎛⎤-∞- ⎥⎦⎝C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)0,+∞6．已知函数()()()110ln x f x x x++=>，若()1kf x x >+恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．57．已知函数()13log xf x e x =-,给出下列两个命题:命题:p 若01x ≥,则()03f x ≥;命题[)0:1,q x ∃∈+∞,()03f x =.则下列叙述错误的是( )A ．p 是假命题B ．p 的否命题是:若01x <,则()03f x <C ．[):1,q x ⌝∀∈+∞,()3f x ≠D ．q ⌝是真命题8．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 9．若函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211[,)22e--+∞ B ．21[,)2e-+∞ C ．[2-，)+∞ D ．211(2,]22e--- 10．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a R ∈）.对于不相等的实数12,x x ，设1212()()f x f x m x x -=-，1212()()g x g x n x x -=-.现有如下命题：（1）对于任意不相等的实数12,x x ，都有0m >；（2）对于任意的a 及任意不相等的实数12,x x ，都有0n >；（3）对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =；（4）对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =-.其中真命题的个数有（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个11．若函数()(1)x f x x e a =--在(1,)-+∞上只有一个零点，则a 的取值范围为（ ） A ．21,e ⎛⎫--⎪⎝⎭B ．2{1},e ⎡⎫-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．2,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．2{1},0e ⎡⎫-⋃-⎪⎢⎣⎭12．已知函数()xx f x e e ax -=-+（a 为常数）有两个不同极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞二、填空题13．已知函数()2ln(1)f x x ax =+-，对任意的(0,1),(0,1)m n ∈∈，当m n ≠时，(1)(1)1f m f n m n+-+<-，则实数a 的取值范围是____________.14．已知函数()f x 对定义域内R 内的任意x 都有()()4f x f x =-，且当2x ≠，其导数()f x '满足()()2xf x f x ''<，若()30f =，则不等式()0xf x >的解集为__________.15．若函数()()32f x x ax a R =--∈在(),0-∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,2-上的最小值为______.16．若a 是区间[]0,3e 上任意选取的一个实数，则x ea x>对()0,x ∈+∞恒成立的概率为______.17．若函数3y x ax =-+在[)1,+∞上是单调函数，则a 的最大值是______.18．已知函数()321f x x x =++，若对于x R ∀∈不等式()21xf ax e a -+≤恒成立，则实数a 的取值范围为：____________．19．已知函数18ln ,y a x x e e⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上存在点P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于x 轴对称，则a 的取值范围为________.20．已知函数f (x )＝2,(,0],(0,)x x x e x +∈-∞⎧⎨∈+∞⎩，若存在x 1，x 2（x 2＞x 1）满足f （x 1）＝f（x 2），则x 2﹣2x 1的取值范围为_____. 三、解答题21．已知函数()xf x e ax a =--.（1）当1a =时，求过点()0,1-且与曲线()y f x =相切的直线方程; （2）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()()3f x alnx ax a R =--∈． （1）函数()f x 的单调区间；（2）当1a =-时，证明：当()1x ∈+∞，时，()20f x +>． 23．已知函数()e xaf x x =+，其中a R ∈，e 是自然对数的底数. （1）当1a =-时，求函数()f x 在区间[)0,+∞上的零点个数； （2）若()2f x >对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围.24．已知函数()(1)ln ()af x x a x a x=+-+∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，若()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 25．已知函数()ln f x kx x =-（k ∈R ）.（1）若函数()f x 在()()1,1f 处的切线与x 轴平行，求函数()f x 的单调区间； （2）讨论函数()f x 的零点个数.26．设函数33,().()2,x x x af x a R x x a⎧-=∈⎨->⎩ （1）若0a =，则()f x 的最大值为；（2）若()f x 无最大值，则求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】构造函数()()x f x g x e =，对其求导得''()()()xf x f xg x e -=，由()()f x f x '>，可得'()0g x <，从而可得()g x 在[0,)+∞上单调递减，进而可比较出a 与b 的大小【详解】解：令()()x f x g x e =，则''()()()xf x f xg x e -=，因为()()f x f x '>，所以'()0g x <， 所以()g x 在[0,)+∞上单调递减， 因为12<，所以(1)(2)g g >，即2(1)(2)f f e e>，所以a b >， 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查数学转化思想，解题的关键是构造函数()()x f x g x e=，然后求导后可判断出()g x 在[0,)+∞上单调递减，从而可比较出a 与b 的大小，属于中档题解析：D 【分析】求出()'f x 由()0f x '≤得314x a x ≤-，令1()4g x x x=-，判断出()g x 的单调性并利用单调性可得()g x 的最小值可得答案. 【详解】31()4(0)f x x x a x'=-+>，因为函数()f x 在[]1,2上单调递减， 所以3140x a x -+≤，即314x a x≤-， 令1()4g x x x =-，由于114,y x y x==-在[]1,2都是增函数， 所以1()4g x x x=-在[]1,2单调递增，所以()(1)3g x g ≤=， 所以33a ≤，又0a >，解得1a ≥. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性求参数的范围问题，关键点是令1()4g x x x=-并求出最小值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.3．D解析：D 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，从而可得关于x 的不等式，求出其解后可得正确的选项. 【详解】()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞，且()()()ln 1x x f x x e e f x --=--++=，又当1x >时，()()ln 1xxf x x e e -=-++，()11001x x f x e e e x e-'=+->+->-，故()f x 在()1,+∞为增函数， 故()()12f x f x +<即为11211112121x xx x x x ⎧<+<⎪+-+⎨⎪-⎩或或，解得2x <-或1x >，故选：D. 【点睛】方法点睛：解函数不等式，往往需要考虑函数的奇偶性和单调性，前者依据定义，后者可利用导数，注意定义域的要求.解析：A 【分析】分析函数()f x 、()f x '的奇偶性，以及2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭、()f π'的符号，利用排除法可得出合适的选项. 【详解】函数()cos f x x x =的定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-， 即函数()cos f x x x =为奇函数，()cos sin f x x x x '=-，函数()f x '的定义域为R ，()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x ''-=-+-=-=，函数()f x '为偶函数，排除B 、C 选项；22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1f π'=-，则()02f f ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭''.对于D 选项，图中的偶函数为()f x '，由02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()0f π'<与题图不符，D 选项错误， 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.5．C解析：C 【分析】不等式()0f x ≤恒成立等价于ln xa x ≥在[)1,+∞上恒成立，则maxln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，运用导数求出函数ln xx在[)1,+∞上的最大值. 【详解】解：当[)1+x ∈∞,时，不等式()0f x ≤恒成立等价于ln xa x≥在[)1,+∞上恒成立， 令ln ()xg x x=，则21ln ()x g x x -'=当0x e <<时，()0g x '>；当x e >时，()0g x '<； 所以max 1()()g x g e e==，所以1a e ≥故选：C. 【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.6．B解析：B 【分析】 将不等式化为()()111ln x x k x +++>，令()()()111ln x g x xx ++=+，求出导函数，利用导数判断函数的单调性，从而可得()02,3x ∃∈使()00g x '=，进而可得()()001()g x x x g ≥=+，即求.【详解】()()()1ln 10x f x x x ++=>， ()1k f x x ∴>+可化为()111ln x k x x ++>+ 即()()111ln x x k x+++>， 令()()()111ln x g x xx ++=+， 则()()()()21ln 11111x x x x ln x g x x +++---++⎡⎤⎣⎦'= ()211x ln x x --+=令()()11h x x ln x =--+， 则()111h x x '=-+，()0,x ∈+∞时， ()0h x '>，()g x '∴在()0,∞+单调递增.又()()1ln 32ln 420,30,49g g --''=<=>()02,3x ∃∈使()00g x '=，即()0011ln x x +=-.当()00,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>单调递增，()()000001ln 1))1(()(1x x g x x x x g +∴≥==+++， ()02,3x ∈，()013,4x +∴∈，∴正整数k 的最大值为3.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数研究不等式恒成立问题，解题的关键根据函数的单调性确定存在()02,3x ∈，使得()00g x '=，考查了分离参数法求范围.7．D解析：D 【分析】分析函数()13log xf x e x =-为增函数，若01x ≥，求出[)1,x ∈+∞时函数的值域，结合命题间的基本关系即可得答案. 【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为： ()0,∞+, 且导函数()10ln 3xf x e x '+=>， 则函数单调递增，结合()1131log 1e f e =-=， 可得当1≥x 时，函数的值域为[),e +∞.据此可知p 是假命题， q 是真命题， q ⌝是假命题. 结合全称命题与特称命题的关系可得：p 的否命题是：若01x <,则()03f x <.[):1,q x ⌝∀∈+∞，()3f x ≠故选：D 【点睛】本题通过考查函数的单调性和极值来考查命题间的基本关系，属于中档型综合题.8．C解析：C【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 123a--=，x 2=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴12，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 34-＜． 故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：1、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；2、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；9．A解析：A 【分析】由x a >时，()21f x x =--递减，且无最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，求出x a 时，()f x 的导数和单调区间、极大值，讨论2a <-，判断单调性，可得最大值，解不等式判断无解，则2a -，求出最大值，解不等式即可得到所求a 的范围. 【详解】解：由x a >时，()21f x x =--递减，可得()21f x a <--，无最大值，函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，由()(1)x f x x e =-+的导数为()(2)xf x x e '=-+，可得2x >-时，()0f x '<，()f x 递减；2x <-时，()0f x '>，()f x 递增. 即有()f x 在2x =-处取得极大值，且为最大值2e -.若2a <-，则()f x 在(-∞，]a 递增，可得()()f x f a (1)a a e =-+， 由题意可得(1)21aa e a -+≥--，即得(1)210aa e a +--≤， 令(1))1(2aa e g a a +--=，则()(2)20ag a a e '=+-<，(2)a <-， 则()g a 在(),2-∞-递减，可得2(2)0()3g a g e ->-=-+>，则不等式(1)210aa e a +--≤无实数解.故2a -，此时在2x =-处()f x 取得最大值，为2e --，故221e a ----， 解得21122a e--， 综上可得，a 的范围是211[22e--，)+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的最值问题，考查转化思想，以及分类讨论思想方法，注意运用导数，求出单调区间和极值､最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题.10．B解析：B 【分析】运用指数函数的单调性，即可判断（1）；由二次函数的单调性，即可判断（2）； 通过函数2()2x h x x ax =+-，求出导数判断单调性，即可判断（3）； 通过函数2()2x h x x ax =++，求出导数判断单调性，即可判断（4）． 【详解】解：对于（1），由于21>，由指数函数的单调性可得()f x 在R 上递增，即有0m >，则（1）正确；对于（2），由二次函数的单调性可得()g x 在(,)2a -∞-递减，在(2a-，)+∞递增，则0n >不恒成立，则（2）错误；对于（3），由m n =，可得1212()()()()f x f x g x g x -=-，即为1122()()()()g x f x g x f x -=-，考查函数2()2x h x x ax =+-，()222x h x x a ln '=+-，当a →-∞，()h x '小于0，()h x 单调递减，则（3）错误；对于（4），由m n =-，可得1212()()[()()]f x f x g x g x -=--，考查函数2()2x h x x ax =++，()222x h x x a ln '=++，对于任意的a ，()h x '不恒大于0或小于0，则（4）正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键，属于中档题．11．B解析：B 【分析】先对函数求导，可得当10x -<<时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>，从而得min ()(0)1f x f a ==--，而x →+∞时，()f x →+∞，所以要函数()(1)x f x x e a =--在(1,)-+∞上只有一个零点，只要满足10a --=或20a e--，从而可求出a 的取值范围 【详解】()x f x xe '=，当10x -<<时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．从而min ()(0)1f x f a ==--，又2(1)f a e-=--，且x →+∞时，()f x →+∞， ∴10a --=或20a e --， 即1a =-或2a e-． 故选：B 【点睛】此题考查由导数解决函数零点问题，考查转化思想和计算能力，属于中档题12．C解析：C 【分析】由导数与极值的关系知可转化为方程()0f x '=在R 上有两个不等根，结合函数的性质可求. 【详解】函数有两个不同极值点，()0x x f x e e a -'∴=--+=有2个不等的实数根,即x x a e e -=+有2个不等的实数根， 令()xxg x e e-=+，则()xxg x e e '-=-在R 上单调递增且(0)0g '=，当0?x <时 ()0,()g x g x '<单调递减，当0 x >时，()0,()'>g x g x 单调递增， 所以函数有极小值也是最小值(0)2g =，又当x →-∞时，()g x →+∞，x →+∞，()g x →+∞， 所以2a >即可， 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，转化思想，属于中档题.二、填空题13．【分析】把不等式恒成立转化为函数的导数小于1在内恒成立进而转化为在内恒成立结合函数的性质即可求解【详解】由题意分式的几何意义为：表示点与连线的斜率因为实数在区间内故和在区间内不等式恒成立所以函数图象解析：1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】 把不等式(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，转化为函数()f x 的导数小于1在(1,2)内恒成立，进而转化为()121a x ->+在(1,2)内恒成立，结合函数的性质，即可求解.【详解】由题意，分式(1)(1)f m f n m n+-+-的几何意义为：表示点(1,(1))m f m ++与(1,(1))n f n ++连线的斜率，因为实数,m n 在区间(0,1)内，故1m + 和1n +在区间(1,2)内， 不等式(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，所以函数图象上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率小于1，故函数()2ln(1)f x x ax =+-的导数小于1在(1,2)内恒成立， 由函数()2ln(1)f x x ax =+-满足10x +>，即定义域为(1,)-+∞，即()2111f x ax x '=-<+在(1,2)内恒成立，即()121a x ->+在(1,2)内恒成立， 设函数()()121g x x -=+，根据函数的单调性可知函数()()121g x x -=+在(1,2)上是单调增函数，可得()()126g x g <=-，所以16a ≥-，故答案为：1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.14．【分析】由可得对称轴是由可得从而得出判断的单调区间再结合即可得不等式的解集【详解】因为函数对定义域内内的任意都有所以对称轴是因为满足即所以当时单调递增当时单调递减又因为所以时时时当与同号时所以的解集 解析：()(),01,3-∞⋃【分析】由()()4f x f x =-，可得()f x 对称轴是2x =，由()()2xf x f x ''<可得()()20x f x '-<，从而得出判断()f x 的单调区间，再结合()30f =，即可得不等式()0xf x >的解集.【详解】因为函数()f x 对定义域内R 内的任意x 都有()()4f x f x =-， 所以()f x 对称轴是2x =，因为()f x '满足()()2xf x f x ''<，即()()20x f x '-<， 所以当2x <时()0f x '>，()f x 单调递增， 当2x >时()0f x '<，()f x 单调递减， 又因为()()130f f ==，所以1x <时，()0f x <，13,x <<时，()0f x >，3x >时，()0f x <， 当x 与()f x 同号时，()0xf x >， 所以()0xf x >的解集为：()(),01,3-∞⋃， 故答案为：()(),01,3-∞⋃ 【点睛】本题主要考查了函数的对称性和单调性，导数的符号决定原函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.15．【分析】利用导数分析函数在区间上的单调性根据该函数在区间上有且只有一个零点求得参数的值进而利用导数可求得函数在区间上的最小值【详解】则①当时对任意的恒成立此时函数在区间上单调递增且不合乎题意；②当时 解析：4-【分析】利用导数分析函数()y f x =在区间(),0-∞上的单调性，根据该函数在区间(),0-∞上有且只有一个零点求得参数a 的值，进而利用导数可求得函数()y f x =在区间[]1,2-上的最小值. 【详解】()32f x x ax =--，则()23f x x a '=-.①当0a ≤时，对任意的(),0x ∈-∞，()0f x '>恒成立，此时，函数()y f x =在区间(),0-∞上单调递增，且()()020f x f <=-<，不合乎题意；②当0a >时，令()230f x x a '=-=，可得x =x =当x <()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增；当0x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减.所以，()max 20f x f ⎛=== ⎝，解得3a =，()332f x x x ∴=--. ()()()233311f x x x x '=-=-+，当11x -<<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减； 当12x <<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.因此，函数()y f x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，故()()min 14f x f ==-. 故答案为：4-. 【点睛】本题考查利用导数求解函数在区间上的最值，同时也考查了利用导数研究函数的零点，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】由对恒成立可知只要小于的最小值所以构造函数利用导数求出从而得然后利用区间长度比求出概率即可【详解】设则当时；当时在递减在递增∴∴当时对恒成立故所求概率为故答案为：【点睛】此题考查的是几何概型解析：13【分析】由x e a x >对()0,x ∈+∞恒成立，可知只要a 小于xe x的最小值，所以构造函数()xe f x x=，利用导数求出()()min 1f x f e ==，从而得()0,a e ∈，然后利用区间长度比求出概率即可. 【详解】设()x e f x x =，则()()'21x e x f x x-=，0x >.当01x <<时，()'0f x <；当1x >时，()'0f x >，()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增∴()()min 1f x f e ==，∴当a e <时，xe a x>对()0,x ∈+∞恒成立.故所求概率为1303e e =-. 故答案为：13【点睛】此题考查的是几何概型，不等式恒成立问题，属于基础题.17．3【分析】首先求解导函数然后利用导函数研究函数的性质确定实数a 的最大值即可【详解】由题意可得：由题意导函数在区间上的函数值要么恒非负要么恒非正很明显函数值不可能恒非负故即在区间上恒成立据此可得：即的解析：3 【分析】首先求解导函数，然后利用导函数研究函数的性质确定实数a 的最大值即可. 【详解】由题意可得：2'3y x a =-+，由题意导函数在区间[)1,+∞上的函数值要么恒非负，要么恒非正，很明显函数值不可能恒非负，故230x a -+≤， 即23a x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，据此可得：3a ≤， 即a 的最大值是3. 故答案为3． 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【分析】根据在R 上递增结合将不等式恒成立转化为恒成立然后分和两种情况利用导数法求解【详解】因为所以成立所以在R 上递增又成立所以恒成立即恒成立当时转化为恒成立令当时单调递减当时单调递增所以当时求得最小解析：10a e≤≤【分析】根据()f x 在R 上递增，结合()01f =，将x R ∀∈不等式()21xf ax e a -+≤恒成立，转化为()2xa x e +≤ ，x R ∀∈恒成立，然后分20x +≤和20x +>两种情况，利用导数法求解. 【详解】因为()321f x x x =++，所以()2320f x x '=+>成立，所以()f x 在R 上递增，又()()01,21xf f ax e a =-+≤x R ∀∈成立，所以20x ax e a -+≤，x R ∀∈ 恒成立，即()2xa x e +≤，x R ∀∈恒成立， 当20x +>时，转化为2xe a x ≤+恒成立，令()2xg x e x =+，()()()212x x e g x x +'=+，当21x -<<-时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以当1x =-时，()g x 求得最小值min 1()(1)g x g e=-=， 所以1a e≤， 当20x +≤时，转化为2xe a x ≥+恒成立，(),(,2)a g x x ≥∈-∞-上恒成立，(,2)x ∈-∞-时，()0,()g x g x '<单调递减，又(,2),()0x g x ∈-∞-<，所以0a ≥不等式恒成立， 综上：实数a 的取值范围为10a e≤≤ 故答案为：10a e≤≤ 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立，还考查了转化化归的思想，分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】设代入解析式得到两个方程联立可得让取值域即可【详解】设则所以联立可得即对于有解令由可得：；由可得：所以在单调递减在上单调递增所以所以值域为即可得的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查了利解析：2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】设()00,Q x y 、()00,P x y -代入解析式，得到两个方程联立可得2008ln 2a x x =-+，2000()8ln 2h x x x =-+，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，让a 取0()h x 值域即可.【详解】设()00,Q x y 、则()00,P x y -所以2002y x =--，008ln y a x -=+，联立可得2008ln 2a x x =-+ 即2008ln 2a x x =-+对于1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，令2000()8ln 2h x x x =-+，200000288()2x h x x x x -'=-=，由0()0h x '>可得：2x e <<；由0()0h x '<可得：12x e<<， 所以0()h x 在1,2e⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在[]2,e 上单调递增，20min ()(2)28ln 2268ln 2h x h ==-+=-，2211118ln 210h e e e e ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()228ln 26h e e e e =-+=-，所以0max 21()10h x e=+， 所以0()h x 值域为2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， 即可得a 的取值范围为2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， 故答案为：2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了利用导数解决存在性问题，涉及求函数的值域，属于中档题.20．ln22）【分析】用表示出得出关于的函数根据的范围判断函数单调性得出值域即可【详解】显然由题意可知故由可得故设则在上单调递减又故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值意在考查学生解析：[ln 2，2） 【分析】用2x 表示出1x ，得出212x x -关于2x 的函数2()g x ，根据2x 的范围，判断函数单调性得出值域即可． 【详解】显然10x ，20x >，由题意可知212x x e +=，故212x x e =-，2212224x x x x e ∴-=-+，由2121x x e +=>可得110x -<，故2120x e -<-，202x ln ∴<， 设()24(02)x g x x e x ln =-+<，则()120x g x e '=-<，()g x ∴在(0，2]ln 上单调递减， 又(0)2g =，(2)2g ln ln =， 2()2ln g x ∴<．故答案为：[2ln ，2)． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题21．（1）()110e x y ---=；（2）01a ≤≤. 【分析】（1）设切点坐标，求出导数及切线方程，把()0,1-代入切线方程可得0x ，然后再求出切线方程；（2）求出导函数，对a 进行讨论并判断函数的单调性，利用函数的最小值可得答案. 【详解】（1）当1a =时，点()0,1-不在函数图象上，()1xf x e '=-，设切点为()000, xx e ax a --，则切线方程为()()()0000xy e ax a f x x x '---=-，因为过点()0,1-，所以0000()111x xe x e x --++=--，解得01x =，因此所求的直线方程为()110e x y ---=. （2）()xf x e a '=-，当0a ≤时，()'0f x >， 所以在R 上单调递增，其中0a =，()0xf x e =>，符合题意，当0a <时，取110ax a-=<，()1110x f x e =-<，不符合题意； 当0a >时，()()n 0,,l x a f x '∈-∞<， 所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，()()ln ,,0x a f x '∈+∞>，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递增， 所以()()ln f x f a ≥，要使()0f x ≥，只需()ln 0f a ≥，()ln ln ln 0af a e a a a =--≥，解得01a <≤； 综上所述，01a ≤≤. 【点睛】本题考查求函数过一点的切线方程和求参数问题，对于求切线的问题时需要讨论此点是否是切点；对于求参数问题，有时可采用对原函数进行求导讨论其单调性和最值方法求解，也可以采用对参数实行分离的方法，构造新函数并求新函数的值域可得解. 22．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求导()()1'(0)a x f x x x-=>，0a >，0a <，0a =讨论，令()'0f x >求解.（2）结合（1）将问题转化为()min 2f x >-求解. 【详解】（1）根据题意知，()()1'(0)a x f x x x-=>，当0a >时，当()01x ∈，时，()'0f x >，当()1x ∈+∞，时，()'0f x <， 所以()f x 的单调递增区间为()01，，单调递减区间为()1+∞，； 同理，当0a <时，()f x 的单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；当0a =时，()3f x =-，不是单调函数，无单调区间． （2）证明：当1a =-时，()ln 3f x x x =-+-， 所以12f ，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在()1+∞，上单调递增， 所以当()1x ∈+∞，时，()()1f x f >． 即()2f x >-，所以()20f x +>． 【点睛】方法点睛：利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口． 23．（1）有1个零点；（2）(,)e +∞. 【分析】（1）求导得到函数的单调性，再利用零点存在性定理得解； （2）分离参变量，不等式恒成立转化为求函数的最值得解. 【详解】（1）当1a =-时，()1ex f x x =-， 则()110ex f x =+>'， ∴()f x 在[)0,+∞上单调递增， 又(0)10f =-<，1(1)10ef =->， 故0(0,1)x ∃∈，使得()00f x =， ∴函数()f x 在区间[0,)+∞上有1个零点； （2）若()2f x >对任意的实数x 恒成立， 即e (2)xa x >-恒成立，令()e (2)xg x x =-，则()e (1)xg x x '=-， 令()0g x '>，得1x <； 令()0g x '<，得1x >.∴()g x 在(,1)-∞上递增，在(1,)+∞上递减， ∴max [()](1)e g x g ==， ∴a 的取值范围为(e,)+∞. 【点睛】 方法点睛：不等式恒成立问题解决思路：一般参变量分离、转化为最值问题. 24．（1）答案见解析；（2）1a e ≤≤． 【分析】（1）求出导函数()'f x ，分类讨论确定()0f x '>的解得增区间，同时可由()0f x '<得减区间；（2）由（1）得()f x 的最小值为()f a ，解不等式()2f a ≥可得．【详解】（1）函数定义域为(0,)+∞， 由题意221(1)()()1a a x x a f x x x x -+-'=+-=， 当0a ≤时，在0x >时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a >时，()0f x '>的解为x a >，()0f x '<的解为0x a <<，()f x 在(,)a +∞上递增，在(0,)a 上递减．（2）由（1）知0a >时，()f x 在(,)a +∞上递增，在(0,)a 上递减．所以min ()()(1)ln 1f x f a a a a ==+-+，()2f x ≥恒成立，则(1)ln 12a a a +-+≥， 即(1)(ln 1)0a a --≤，由于01a <≤时，ln 0≤a ，不等式(1)(ln 1)0a a --≤不成立，所以1ln 1a a ≥⎧⎨≤⎩，解得1a e ≤≤． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题．一般地()f x m ≥恒成立等价于min ()f x m ≥，()f x m ≤恒成立，等价于max ()f x m ≤，然后解不等式可得参数范围．或者用分离参数法转化为()k g x ≤（其中k 不参数），则min ()k g x ≤，若()k g x ≥，则max ()x g x ≥．25．（1）函数()f x 的单调递增区间是()1,+∞，单调递减区间是()0,1；（2）当1k e >时，函数()f x 没有零点；当1k e =或0k ≤时，函数()f x 有1个零点；当1k e <<0时，函数()f x 有2个零点.【分析】（1）由题得()10f '=，进而得1k =，再根据导数求解单调区间即可；（2）根据题意将问题转化为函数()ln g x x =与y kx =的交点个数问题，再讨论过原点的函数()ln g x x =的切线方程的斜率，进而求解.【详解】解：（1）因为函数()f x 在()()1,1f 处的切线与x 轴平行，()1'f x k x =-， 所以()10f '=，即10k -=，求得1k =，所以()ln f x x x =-，()111x f x x x-'=-=（0x >），令()'0f x >，则1x >；令()'0f x <，则01x <<，∴函数()f x 的单调递增区间是()1,+∞，单调递减区间是()0,1.（2）函数()f x 的零点个数可等价于函数()ln g x x =与y kx =的交点个数.设()00,P x y 是函数()ln g x x =上的一点，由()ln g x x =得，()1g x x '=， ∴()g x 在点()00,P x y 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 令0x y ==则0x e =，∴过原点所作的函数()ln g x x =的切线方程为1y x e =， 故由图可知，故当1k e >时，函数()f x 没有零点； 当1k e=或0k ≤时，函数()f x 有1个零点； 当1k e <<0时，函数()f x 有2个零点. 【点睛】本题第二问解题的关键在于根据题意将问题转化为函数()ln g x x =与y kx =的交点个数问题，再讨论过原点的函数()ln g x x =的切线方程的斜率，数形结合即可求解.考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.26．（1）2；（2）(,1)-∞-.【分析】（1）将0a =代入，求出函数的导数，分析函数的单调性可得当1x =-时，()f x 有最大值2；（2）若()f x 无最大值，则3123a a a a ≤-⎧⎨->-⎩或312322a a a a a >-⎧⎪->-⎨⎪->⎩，解得可得答案. 【详解】（1）若0a =，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-=⎨->⎩，所以233,0()2,0x x f x x ⎧-=⎨->⎩'， 当1x <-时，()0f x '>，此时函数为单调递增函数，当1x >-时，()0f x '<，此时函数为单调递减函数，故当1x =-时()f x 有最大值为2 .（2）233,()2,x x a f x x a⎧-=⎨->'⎩，令()0f x '=，则1x =±，若()f x 无最大值，则 3123a a a a ≤-⎧⎨->-⎩ ① 或312322a a a a a >-⎧⎪->-⎨⎪->⎩②， 由①得(,1)a ∈-∞-，由②得无解，所以(,1)a ∈-∞-.故答案为：2；(,1)-∞-.【点睛】分段函数在高考中的常见题型有：已知分段函数求值、已知分段函数求值域、已知分段函数求不等式解集、已知分段函数求参数取值范围等，分段函数问题要注意分类讨论，涉及分段函数的单调性、奇偶性、周期性等问题，要善于利用数形结合的思想解决问题.。
第四单元_导数应用_单元质量评估_（北师大选修1-1）
直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，则OA==，故 OB=， 又OP=10-10tanθ.
所以y=OA+OB+OP=++10-10tanθ， 所求函数关系式为y=+10(0<θ<).
②若OP=xkm，则OQ=10-x，所以OA=OB==， 所求函数关系式为y=x+2(0 (2)选择函数模型①， y′= =， 令y′=0得sinθ=，因为0<θ<，所以θ=， 当θ∈(0，)时，y′<0，y是减少的； 当θ∈(，)时，y′>0，y是增加的，所以当θ=时，y min=10+10. 这时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边km处. 20.【解析】f(x)的定义域为(-1，1)，易知函数f(x)是奇函数，故只需讨论函数在(0，1)内的单调性. 因为f′(x)=b·=-， 当00，(x2-1)2>0，所以-<0. 所以若b>0，则f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，1)上是减少的；若b<0，则 f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，1)上是增加的. 又函数f(x)是奇函数，而奇函数图像关于原点对称， 所以当b>0时，f(x)在(-1，1)上是减少的；当b<0时，f(x)在(-1，1)上是增加的. 21.【解题指南】(1)先求出切点处的导数,再代入点斜式方程求切线 方程. (2)转化为x-1>,再转化为求f(x)=x(x-1)-lnx,x>0的最小值问题. 【解析】(1)y'=,于是y'|x=1=1,因此l的方程为y=x-1. (2)只需要证明?x>0且x≠1,x-1>. 设f(x)=x(x-1)-lnx,x>0, 则f'(x)=2x-1-=, 当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+≦)时,f'(x)>0. 所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+≦)上单调递增. 所以f(x)在x=1处取得极小值,也是最小值. 所以f(x)>f(1)=0(x≠1). 因此,除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方. 22.【解题指南】若m=2，则函数g(x)是一个具体的函数，可根据求最值的步骤来求函数g(x)在区间[1，]上的最大值；若函数 lo[f(x)+2]在区间[1，+≦)上是减少的，则f(x)+2在区间[1，+≦)上是增加的. 【解析】(1)当m=2时，g(x)=x+-lnx(x>0)， 则g′(x)=1--=，由 g′(x)=<0，得x2-x-2<0. 又x>0，可解得0 (2)令h(x)=f(x)+2，则由条件得h(x)在区间[1，+≦)上是增加的，且h(x)>0在区间[1，+≦)恒成立，而h′(x)=f′(x)=1-≥0，则m ≤x2在区间[1，+≦)上恒成立，得m≤1.又f(x)+2>0在区间[1，+≦)恒成立，得f(1)+2>0， 即m>-3，所以实数m的取值范围是(-3，1]. 关闭Word文档返回原板块
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精品 第四章 导数应用
(时间：100分钟，满分：120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．使函数f(x)＝x＋2cos x在[0，π2]上取最大值的x为( )
A．0 B.π4 C.π3 D.π2 解析：选B.f′(x)＝1－2sin x，所以f(x)在[0，π4]上是递增的，在[π4，π2]上是递减的，所以选B. 2．定义在R上的函数y＝f(x)的图像如图所示，则关于x的不等式xf′(x)<0的解集为( )
A．(－2，－1)∪(1，2) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(0，1) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：选C.当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时， f′(x)>0，又xf′(x)<0，
所以x∈(－∞，－1)． 当x∈(－1，1)时，f′(x)<0， 又xf′(x)<0， 所以x∈(0，1)．综上可知解集为(－∞，－1)∪(0，1)．故选C. 3．函数f(x)＝x－ax在x∈[1，4]上是递减的，则实数a的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选D.依题意得，当x∈[1，4]时，f′(x)＝1－a2x≤0，即a≥2x恒成立．注意到x∈[1，4]时，y
＝2x的最大值是24＝4，因此，实数a的最小值为4，选D. 4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值集合为( ) A．{a|－1C．{a|a<－1，或a>2} D．{a|a<－3，或a>6} 解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)， 因为函数f(x)有极大值和极小值， 所以f′(x)＝0有两个不同实根， 即Δ>0，(2a)2－4×3(a＋6)>0， 解得a<－3或a>6.
5．若函数f(x)＝12x2－mln x在(12，＋∞)内是递增的，则实数m的取值范围是( )
A．m＝14 B．0C．m≥14 D．m≤14 解析：选D.f′(x)＝x－mx≥0在(12，＋∞)上恒成立，即m≤x2，设h(x)＝x2，x∈(12，＋∞)的值域为(14，＋精品 ∞)，所以m≤14.
6．函数f(x)＝12ex(sin x＋cos x)在区间[0，π2]上的值域为( )
A．[12，12eπ2] B．(12，12eπ2) C．[1，eπ2] D．(1，eπ2) 解析：选A.因为f(x)＝12ex(sin x＋cos x)
＝22exsin(x＋π4)， 所以f′(x)＝22exsin(x＋π4)＋22excos(x＋π4) ＝exsin(x＋π2)＝excos x. 在区间[0，π2]上f′(x)＝excos x≥0，
所以f(x)在区间[0，π2]上的值域为[f(0)，f(π2)]＝[12，12eπ2]，故选A. 7．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足f(x)＋xf′(x)>0且f(－1)＝0，则f(x)>0解集是( ) A．(－∞，－1) B．(0，＋∞) C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－1，0) 解析：选C.令F(x)＝xf(x)，由f(x)＋xf′(x)>0知F′(x)>0，F(x)在R上是递增的，又f(－1)＝0，所以F(－1)＝0，当x∈(－∞，－1)时，F(x)＝xf(x)<0，f(x)>0；
当x∈(－1，＋∞)时，F(x)＝xf(x)>0，若x∈(－1，0]时，f(x)≤0，若x∈(0，＋∞)时f(x)>0. 故f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0，＋∞)． 8．已知函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx(a∈R且a≠0)，g(－1)＝0，且g(x)的导函数f(x)满足f(0)f(1)≤0.若方
程f(x)＝0有两个实根，则ba的取值范围为( )
A．[－23，2] B．[23，1] C．[－23，1] D．[－23，3] 解析：选C.因为g(x)＝ax3＋bx2＋cx， 所以g(－1)＝－a＋b－c＝0，即c＝b－a. 又f(x)＝g′(x)＝3ax2＋2bx＋c， 由f(0)f(1)≤0，得c(3a＋2b＋c)≤0， 所以(b－a)(3b＋2a)≤0.
因为a≠0，所以(ba－1)(3·ba＋2)≤0，
解得－23≤ba≤1. 又3ax2＋2bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝(2b)2－4·3a·c＝4b2－12a(b－a)＝4(b－32a)2＋3a2>0，满足题意，所以ba的取值范围是[－23，1]． 9．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1，2)，则( ) A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值 精品 解析：选C.当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，则f′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝exx－1，所以f′(1)＝e－1≠0，所以f(1)不是极值． 当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2， 则f′(x)＝ex(x－1)2＋2(ex－1)(x－1)＝ex(x2－1)－2(x－1)＝(x－1)[ex(x＋1)－2]， 所以f′(1)＝0，且当x>1时，f′(x)>0；在x＝1附近的左侧，f′(x)<0，所以f(1)是极小值． 10．已知函数f(x)＝|xex|，关于x的方程f2(x)＋tf(x)＋1＝0(t∈R)有四个不等实数根，则t的取值范围为( )
A．(e2＋1e，＋∞) B．(2，e2＋1e)
C．(－e2＋1e，－2) D．(－∞，－e2＋1e) 解析：选D.设g(x)＝xex，g′(x)＝ex(1＋x)，当x>－1时，g′(x)>0，g(x)是递增的， 当x<－1时，g′(x)<0，g(x)是递减的，且x趋于－∞，g(x)趋于0.
g(x)最小＝g(－1)＝－1e，g(0)＝0，所以f(x)＝y＝|xex|的图像如图，
则a∈(0，1e)，b>1e. 由题意知，f(x)有两个不等正值使方程成立．设为a，b(a
由根与系数的关系Δ＝t2－4>0－t＝a＋b>01＝ab， 所以－t＝a＋b＝a＋1a在(0，1e)是递减的，a＋1a>e＋1e，故t<－(e＋1e)，即t的取值范围为(－∞，－e2＋1e)．所以选D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．一个边长为12 cm的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，要使方盒的容积最大，x的值应为________． 解析：V＝4x(6－x)2＝4(x3－12x2＋36x)(0x＝2或x＝6(舍去)．
答案：2 cm 12．已知函数f(x)＝x2ln x，则函数f(x)的递减区间是________．
解析：f′(x)＝2xln x＋x2·1x＝x(2ln x＋1)(x>0)，令f′(x)<0得，0
所以f(x)的递减区间是(0，e－12)． 答案：(0，e－12)(写成(0，e－12]也正确) 13．已知函数f(x)是定义在区间(－1，1)上的奇函数，且对于x∈(－1，1)恒有f′(x)<0成立，若f(－2a2＋2)＋f(a2＋2a＋1)<0，则实数a的取值范围是________． 解析：因为当x∈(－1，1)时，f′(x)<0， 所以f(x)在(－1，1)上是减少的． 由题意，得f(－2a2＋2)<－f(a2＋2a＋1)． 又f(x)为奇函数， 所以f(－2a2＋2)
即－1<－2a2＋2<1，－1<－a2－2a－1<1，－2a2＋2>－a2－2a－1.所以－1
答案：(－1，－22) 14．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间[－1，1]上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________． 解析：f′(x)＝3x2＋2x－a，由题意知f′(x)在[－1，1]内有一个变号零点，有三种情况： (1)若f′(－1)f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0，所以1精品 (2)若f′（－1）＝0f′（1）>0，即1－a＝0，5－a>0所以a＝1.
(3)若f′（－1）>0，f′（1）＝0即1－a>0，5－a＝0无解， 故a的取值范围是[1，5)． 答案：[1，5)
15．已知函数f(x)＝13x3－x2－3x＋43，直线l：9x＋2y＋c＝0，若当x∈[－2，2]时，函数y＝f(x)的图像恒在直线l的下方，则c的取值范围是________． 解析：由题意知h(x)＝f(x)＋9x＋c2<0在[－2，2]上恒成立，
h′(x)＝x2－2x＋32＝(x－1)2＋12>0，h(x)在[－2，2]上是递增的，h(x)最大＝h(2)＝3＋c2<0，
所以c<－6. 答案：(－∞，－6) 三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝(x2＋a)·ex(x∈R)在点A(0，f(0))处的切线l的斜率为－3. (1)求a的值以及切线l的方程； (2)求f(x)在R上的极大值和极小值． 解：(1)f(x)＝(x2＋a)·ex⇒f′(x)＝(x2＋2x＋a)·ex， 所以f′(0)＝－3⇒a＝－3， 所以f(0)＝－3，切线方程为3x＋y＋3＝0. (2)f(x)＝(x2＋a)·ex⇒f′(x)＝(x2＋2x－3)·ex＝(x＋3)(x－1)ex，由f′(x)＝0⇒x＝－3或x＝1. 当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，f(x)是递增的， 当x∈(－3，1)时，f′(x)<0，f(x)是递减的， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)是递增的， 所以极大值为f(－3)＝6e－3，极小值为f(1)＝－2e. 17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x3＋2x2－4x＋5. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在[－3，1]上的最大值和最小值． 解：(1)f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， 所以f′(x)＝3x2＋4x－4，
令f′(x)>0，则x<－2或x>23，令f′(x)<0，则－2
所以递增区间为(－∞，－2)，(23，＋∞)，递减区间为(－2，23)． (2)令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝23， x [－3，－2) －2 (－2，23) 23 (23，1]
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 13 ↘ 9527 ↗
所以x＝－2为极大值点，x＝23为极小值点， 又f(－3)＝8，f(－2)＝13，f(23)＝9527，f(1)＝4， 所以y＝f(x)在[－3，1]上的最大值为13，最小值为9527. 18．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x－1－ln x对任意x∈(0，＋∞)，f(x)＋2≥bx恒成立，求实数b的取值范围． 解：依题意对任意x∈(0，＋∞)，f(x)＋2≥bx恒成立 等价于x－1－ln x＋2≥bx在(0，＋∞)上恒成立．