苏教版数学高二-选修2-2导学案 3.2《复数的四则运算》(1)

3.2 复数的四则运算 导学案（1）

教学目标

1、理解复数代数形式的四则运算法则。

2、能运用运算律进行复数的四则运算。

教学习重难点

重点 复数的加、减、乘法运算 难点 复数的加、减、乘法运算

教学过程 一、复习回顾

1.虚数单位i 的引入；

2.复数有关概念：

复数的代数形式： (,)z a bi a R b R =+∈∈ 复数的实部a ，虚部b 。 实数：()0;b a R =∈ 虚数：()0;b a R ≠∈

纯虚数：0

0a b =⎧⎨≠⎩

复数相等a bi c di +=+⇔a c

b d

=⎧⎨=⎩

特别地，a+bi=0⇔a=b=0。

问题1：a=0是z=a+bi(a 、b ∈R)为纯虚数的必要不充分条件

问题2:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大。思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?

当且仅当两个复数都是实数时，才能比较大小。虚数不可以比较大小。

二、问题引入

我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：

a b b a +=+ ab ba =

()()a b c a b c ++=++ ()()ab c a bc = ()a b c ab ac +=+

那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？

注意到i =-2

1，虚数单位i 可以和实数进行运算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的操作整理成法则即可了！

三、知识新授

1、复数加减法的运算法则

(1) 运算法则：

设复数z 1=a+bi,z 2=c+di ，那么：z 1+z 2=(a+c)+(b+d)i; z 1-z 2=(a-c)+(b-d)i 。 即：两个复数相加(减)就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)。 (2)复数的加法满足交换律、结合律

即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有：z 1+z 2=z 2+z 1，(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)。

2、复数的乘法

(1)复数乘法的法则

复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i 2换成-1，并且把实部合并。即：(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi 2=(ac-bd)+(bc+ad)i 。

(2)复数乘法的运算定理

复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律. 即对任何z 1，z 2，z 3有： z 1z 2=z 2z 1；(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3)；z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3。

3. 共轭复数的概念、性质

(1)定义：实部相等,虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数。复数z=a+bi 的共轭复数记作,=-z z a bi 即。

(2)共轭复数的性质：

思考：设z=a+bi (a,b ∈R ),那么?+=z z ?-=z z 2-2.z z a z z bi +==； 另外不难证明: 12121212,z z z z z z z z +=+-=-

四、例题应用

例1、计算 (56)(2)(34)i i i -+---+

解:(56)(2)(34)(523)(614)11i i i i i -+---+=--+---=-

例2、计算（1）()()a bi a bi +- （2）2

()a bi +（3）(12)(34)(2)i i i -+-+ 解:（1）()()a bi a bi +-222a abi abi b i =-+-22

a b =+

（2）2

2

22

()2a bi a abi b i +=++22

2a b abi =-+

（3）(12)(34)(2)i i i -+-+(12)(34)(2)(112)(2)2015i i i i i i -+-+=--+=-+ 例3、求值：2

3

2009i i i i +++

+

解:原式2

3

4

5

6

7

8

2005

2006200720082009...i i i i i i i i i i i i i =+++++++++++++（）（）（）

10i i =+=

例4、设122

ω=-

+，求证：⑴210ωω++=；⑵31ω=。 五、课堂小结

1.复数加减法的运算法则：

(1)运算法则：设复数z 1=a+bi,z 2=c+di ，那么：z 1+z 2=(a+c)+(b+d)i ；z 1-z 2=(a-c)+(b-d)i 。 (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有： z 1+z 2=z 2+z 1，(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)。 2.复数的乘法：

(1)复数乘法的法则：(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi 2=(ac-bd)+(bc+ad)i 。 (2)复数乘法的运算律：

复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。即对任何z 1，z 2，z 3有： z 1z 2=z 2z 1；(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3)；z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3。 3. 共轭复数的概念、性质：

定义：实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数。 复数z=a+bi 的共轭复数记作,=-z z a bi 即

设z=a+bi (a,b ∈R ),那么2-2z z a z z bi +==；。12121212,z z z z z z z z +=+-=- 4. i 的指数变化规律：

4n i =1，41n i +=i ，42n i +=1-，43n i +=i -