复数的运算PPT课件
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《复数四则运算》课件
复数的表示方法
总结词
复数可以用平面坐标系上的点来表示。
详细描述
每个复数$a + bi$都可以表示为平面坐标系上的一个点$(a, b)$。实部是x坐标 ，虚部是y坐标。
复数的几何意义
总结词
复数在几何上表示平面上的向量。
详细描述
实部表示向量的水平分量，虚部表示向量的垂直分量。复数的模表示向量的长度 。
减法
复数的减法通过加上相反数的 形式转化为加法。
乘法
复数的乘法通过分配律和结合 律进行计算，结果实部和虚部
分别进行计算。
除法
复数的除法通过乘以倒数的方 式进行，结果实部和虚部分别
进行计算。
运算的几何意义
加法
表示两个复数对应的向量进行向量加法。
乘法
表示一个复数对应的向量绕原点旋转或伸缩 。
减法
表示两个复数对应的向量进行向量减法。
除法运算
总结词
复数除法运算规则是将除数的共轭复数与被除数 相乘，再取结果的倒数。
举例
$frac{2+3i}{1-4i} = frac{(2+3i)(1+4i)}{(14i)(1+4i)} = frac{5i}{5} = i$。
详细描述
复数除法运算的规则是将除数的共轭复数与被除 数相乘，再取结果的倒数，即 $frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}$。
注意事项
在进行复数除法运算时，需要注意除数为零的情 况，即分母不能为零。
03
7.2复数的四则运算PPT课件(人教版)
解：(1)A，B，C 三点分别对应复数 1，2＋i，－1＋2i. 所以O→A，O→B，O→C对应的复数分别为 1，2＋i，－1＋2i(O 为坐 标原点)， 所以O→A＝(1，0)，O→B＝(2，1)，O→C＝(－1，2)． 所以A→B＝O→B－O→A＝(1，1)， A→C＝O→C－O→A＝(－2，2)， B→C＝O→C－O→B ＝(－3，1)． 即A→B对应的复数为 1＋i，A→C对应的复数为－2＋2i，B→C对应的 复数为－3＋i.
A．－1－1＋i z(1 ＋ i) ＝ 2i ， 得
z
＝
2i 1＋i
＝
2i（1－i） （1＋i）（1－i）
＝
2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
复数 z＝14＋ －ii的虚部为________． 解析：z＝41－ ＋ii＝（ （41－ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝3－2 5i＝32－52i. 答案：－52
z1z2＝__z_2_z1__
结合律
(z1z2)z3＝__z_1_(z_2_z_3_) ____
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝__z_1_z2_＋__z_1_z3___
■名师点拨 对复数乘法的两点说明
(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行 运算，但结果要将实部、虚部分开(i2 换成－1)． (2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
复数的四则运算
第七章 复 数
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
第七章 复 数
考点 复数加法、 减法的运算
复数加法 的几何意义
学习目标 掌握复数代数形式的加法、 减法运算法则 理解复数代数形式的加法、 减法运算的几何意义
复数的加、减运算及其几何意义课件共17张PPT
= (5-2-3)+(-6-1-4)i = -11i.
例2 设 及 分别与复数z1=5+3i及复数z2=4+i对应，试计算
z1+z2，并在复平面内作出
.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例3 求复平面内两点 Z1(x1, y1), Z2(x2, y2)之间的距离.
分析: z2 - z1 = Z1Z2, |z2 - z1|=|Z1Z2|. 解: |Z1Z2|=|Z1Z2|=|z2 - z1| =|(x2 + y2i)-(x1 + y1i)| =|(x2 - x1)+(y2 - y1)i| = (x2 - x1)2 +(y2 - y1)2 .
同理可证： (z1 + z2)+ z3 = z1 +(z2 + z3).
实数加法的交换律、结合律在复数集C中依然成立.
一、复数的加、减运算
问题 类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
类
规定复数的减法是加法的逆运算.
比
复数的减法法则：
(a + bi)-(c + di) =(a - c)+(b - d)i.
3．若z1＝2－i，z2＝－1＋2i，z1，z2在复平面上所对应的点分别为 Z1，Z2，这两点之间的距离为__________．
的几何意义吗？ 复数减法的几何意义：
y Z2(c, d)
z = z1 - z2 OZ = OZ1 -OZ2
Z1(a, b)
O
x
复数的减法可以按照向量的减法来进行. 复数的减法符合向量减法的三角形法则.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i). 解： (5-6i)&加、减运算
例2 设 及 分别与复数z1=5+3i及复数z2=4+i对应，试计算
z1+z2，并在复平面内作出
.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例3 求复平面内两点 Z1(x1, y1), Z2(x2, y2)之间的距离.
分析: z2 - z1 = Z1Z2, |z2 - z1|=|Z1Z2|. 解: |Z1Z2|=|Z1Z2|=|z2 - z1| =|(x2 + y2i)-(x1 + y1i)| =|(x2 - x1)+(y2 - y1)i| = (x2 - x1)2 +(y2 - y1)2 .
同理可证： (z1 + z2)+ z3 = z1 +(z2 + z3).
实数加法的交换律、结合律在复数集C中依然成立.
一、复数的加、减运算
问题 类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
类
规定复数的减法是加法的逆运算.
比
复数的减法法则：
(a + bi)-(c + di) =(a - c)+(b - d)i.
3．若z1＝2－i，z2＝－1＋2i，z1，z2在复平面上所对应的点分别为 Z1，Z2，这两点之间的距离为__________．
的几何意义吗？ 复数减法的几何意义：
y Z2(c, d)
z = z1 - z2 OZ = OZ1 -OZ2
Z1(a, b)
O
x
复数的减法可以按照向量的减法来进行. 复数的减法符合向量减法的三角形法则.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i). 解： (5-6i)&加、减运算
高中数学一轮复习《复数》课件ppt（29张PPT）
解析 1－1 i＝1＋2 i＝12＋12i，其共轭复数为12－12i，
∴复数1－1 i的共轭复数对应的点的坐标为12，－12，位于第四象限，故选 D.
答案 D
5.(2019·全国Ⅲ卷)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A.－1－i
B.－1＋i
C.1－i
D.1＋i
解析 由 z(1＋i)＝2i，得 z＝12＋i i＝(21i＋（i1)－ (1－i）i)＝2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
D.－
3 2i
解析 (1)∵z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，
∴mm2－＋2m≠－0，6＝0，解得 m＝－3，故选 D.
(2)∵z＝1－
3i，∴－zz＝z·－z－z2
＝（1＋|z|23i）2＝1＋2 43i－3＝－12＋
－
23i，∴zz的虚部
为 23.故选 C.
答案 (1)D (2)C
规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该 满足的条件，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式) 组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
建立平面直角坐标系来表示复数的 数；除了原点外，虚轴
复平面 平面叫做复平面，__x_轴___叫实轴，y 上的点都表示纯虚数，
轴叫虚轴
各象限内的点都表示
虚数
复数的 设O→Z对应的复数为 z＝a＋bi，则向量 模 O→Z的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模
|z|＝|a＋bi|＝__a_2_＋__b_2
2.复数的几何意义
2.(新教材必修第二册 P69 例 1 改编)若复数 z＝11＋＋aii为纯虚数，则实数 a 的值为
复数的四则运算市公开课(一等奖)ppt课件
的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
记作
a bi
（a+bi）÷ （c+di) 或
c di
a c
bi di
(a (c
bi)(c di)(c
di)
di)本质：分母实数化,OK
ac
bd (bc c2 d2
ad
)i
ac c2
bd d2
【例3】求值：i i2 i3 i2009
解：原式 （i i2 i3 i4） （i5 i6 i7 i8） ... （i2005 i2006 i2007 i2008） i2009
0 i1 i
13
3. 共轭复数的概念、性质：
(1)定义: 实部相等,虚部互为相反数的两个复数
则(a bi)2 3 4i，
a2 2ab
b
2 4
3，
解得：ba
12，或ba
-2 .
-121
例3．设关于 x 的方程
x2 (tan i)x (2 i) 0 ( R)
若方程有实数根，求锐角 的值, 并求出
方程的所有根．
1 i
④1
⑤ i 2002+( 2 + 2 i)8 ( 2 )50
1i
⑤ －1＋256 i
20
例2.
⑴、已知复数z的平方根为 3 + 4i ,求复数 z ;
⑵、求复数 z =3 + 4i 的平方根.
(1)由题意，知：z (3 4i)2，
7 24i.
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02
复数的应用
Chapter
电路分析中的应用
电路分析中，复数是一种常用的数学工具，用于描述交 流电路中的电压、电流和阻抗等参数。
通过使用复数表示，可以简化计算过程，方便分析和设 计电路。
复数在交流电路分析中的应用包括计算交流阻抗、交流 功率和交流电流等。
信号处理中的应用
在信号处理中，复数常用于表示和处 理信号，如频谱分析和滤波器设计等 。
复数在信号处理中的应用还包括数字 滤波器设计和数字信号处理算法的实 现等。
通过将信号表示为复数形式，可以方 便地进行信号的频域分析和处理，如 傅里叶变换和离散余弦变换等。
控制系统中的应用
在控制系统中，复数常用于描 述系统的传递函数和稳定性等 特性。
通过使用复数表示，可以方便 地分析系统的频率响应和稳定 性，以及设计控制系统的参数 。
实例
$2(cos frac{pi}{3} + i sin frac{pi}{3}) + 1(cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) = sqrt{3}(cos frac{7pi}{12} + i sin frac{7pi}{12})$。
指数形式的计算
定义
复数指数形式是 $re^{itheta}$，其中 $r$ 是模长，$theta$ 是辐角 。
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目录
• 复数的基本概念 • 复数的应用 • 复数的计算方法 • 复数的历史发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
Chapter
复数的定义
总结词
复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i 是虚数单位。
《复数的四则运算》优质课PPT课件
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
【变式探究】
2．(1)若 a 为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则 a＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
(2)复数 z＝3－14－i1i＋4 i2(其中 i 是虚数单位)，则 z·－z 的值为
___________.
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
解：(1)由已知得 4a＋(a2－4)i＝－4i，
(3)复数相等的充要条件：
a＋bi＝c＋di⇔__a_＝__c_且___b_＝__d___(a，b，c，d∈R)．
特别地，a＋bi＝0⇔__a_＝__b_＝___0_ (a，b∈R)．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
2．复数的几何意义
(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x 轴叫
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
点评：(1)本题全面考查了复数的概念，主要考查了复 数的实部、虚部，复数的模、共轭复数等概念，考查了复 数乘、除等基本运算．
(2)处理复数的基本概念问题，常常要结合复数的运算 把复数化为 a＋bi 的形式，然后从定义出发，把复数问题 转化为实数问题来处理．
复习目标
课前预习
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
解：(1)表示－z 的点与表示 z 的点关于实轴对称， 所以表示－z 的点为 B. (2)根据题意，画出示意图：
①因为 AD ＝ BC ＝ AC － AB ，所以 AD 对应的复数为 (－2＋6i)－[(3＋2i)－(1－2i)]＝－4＋2i. ②因为 OD － OA ＝ AD ，所以 OD ＝ OA ＋ AD ， 所以 D 对应的复数为(1－2i)＋(－4＋2i)＝－3.
《复数的四则运算》专题精讲课件
+ = ,
+ = .
解得 = −, = ± .所以 = − ± ,
即方程 + + = 的根为 = − ± .
=
.③
= −.
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
典例6 在复数范围内解方程: + + = .
思路 本题考查复数四则运算的应用,在复数范围内解方程,复数范围内,利用实系数一
元二次方程 + + = ≠ 求解方法.
(1)求根公式法
①当 ⩾ 时, =
于的周期性要记熟,即 + + + + + + = ∈ ∗ .另外记住以下结果,
可提高运算速度:① +
由于
=
−
+
= , −
= −.②
−
+
=
+
−,
−
= −,所以 = − + − + − = −.
虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数,如 +
+ = − + , +
= +
= + + + =
− + − .
解析
−
=
−
−
2.复数加、减法的几何意义
如图所示,设复数 = + , = + ∈ 对应的向量分别为
, ,四边形 为平行四边形,则与 + 对应的向量是,与
+ = .
解得 = −, = ± .所以 = − ± ,
即方程 + + = 的根为 = − ± .
=
.③
= −.
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
典例6 在复数范围内解方程: + + = .
思路 本题考查复数四则运算的应用,在复数范围内解方程,复数范围内,利用实系数一
元二次方程 + + = ≠ 求解方法.
(1)求根公式法
①当 ⩾ 时, =
于的周期性要记熟,即 + + + + + + = ∈ ∗ .另外记住以下结果,
可提高运算速度:① +
由于
=
−
+
= , −
= −.②
−
+
=
+
−,
−
= −,所以 = − + − + − = −.
虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数,如 +
+ = − + , +
= +
= + + + =
− + − .
解析
−
=
−
−
2.复数加、减法的几何意义
如图所示,设复数 = + , = + ∈ 对应的向量分别为
, ,四边形 为平行四边形,则与 + 对应的向量是,与
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那么它们的积
a bi c di (ac bd ) (ad bc )i
C 任何 z1 , z 2 , z 3 ， 交换律 z1 z2 z2 z1 结合律 ( z1 z 2 ) z 3 z1 ( z 2 z 3 )
分配律 z1 ( z 2 z 3 ) z1 z 2 z1 z 3
4、复数的除法法则 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
4、复数的除法法则
设 z1 a bi ， z 2 c di是任意两个复数， 那么它们的商
ac bd bc ad a bi c di 2 2 2 2 i c d c d
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母 都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式 (分母实数化).
例5.计算
1 2 i 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (1 2i )(3 4i ) (3 4i )(3 4i ) 3 8 6 i 4 i 5 10 i 2 2 3 4 25 1 2 i 5 5
特别的当 a=0 时 纯虚数
a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 必要但不充分 条件.
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.
5. 两个复数相等
a c 设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则 z1=z2 b d ,
即实部等于实部,虚部等于虚部. 特别地，a+bi=0 a=b=0 .
3、复数的乘方：
m , n N z , z , z C 对任何 1 2 及 ，有
z z z
m n
m n
mn
(z ) z n n n ( z1 z2 ) z1 z2
mn
特殊的有： i 1
3 2
i i 1
2
Z 一般地，如果 n n N ，有
i i i i
例4
已知复数 x x 2 ( x 3x 2)i
2 2
是 4 20i 的共轭复数，求x的值． 解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i， 根据复数相等的定义，可得
x x 2 4, 2 x 3 x 2 20. x 3或x 2 解得 x 3或x 6
1、复数的加法与减法
a bi c di a c b d i
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与 虚部分别相加(减).
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 例1.计算 解:
1.对虚数单位i 的规定
① i 2= -1; ②i 可以与实数一起进行四则运算,并且加、 乘法运算律不变.
2. 我们把形如a+b i(其中 a、b R )的数 称为 复数,
z=a+bi ， 其中a叫做复数 z 的 实部 记作： b叫做复数 z 的 虚部 . 全体复数集记 为 C .
有时把实部记成为Re(z);虚部记成为Im(z).
、
2 3. 由于i2= (-i) = -1，知 i为-1的一个 平方根 、-1的另一个 平方根为-i
;
一般地，a(a>0)的平方根为 a 、 - a (a>0)的平方根为 a i
小数 实数 (b=0) 有理数 分数 正分数 零
负分数
无理数 不循环小数
4. 复数z=a+bi
(a、bR) 虚数 (b0)
注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小? 答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.
即:若z1>z2 z1,z2∈R且z1>z2.
复数的四则运算
复数的加法、减法、乘法运算与实
数的运算基本上没有区别，最主要的 是在运算中将i21结合到实际运算过 程中去。
4 n1
i i i i i 1
4 3
i 1, i
4n
i , i
4 n 2
1, i
4 n 3
i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须 在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并. 两个复数的积仍然是一个复数.
例2.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i)
共轭虚数：虚部不为0的共轭复数。
特别地，实数的共轭复数是实数本身。
在复平面内,如果点Z表示复数 z ,点 Z 表 示复数 Z ,那么点Z和 Z 关于实轴对称. 复平面内与一对共轭复数对应的点Z 和 Z 关于实轴对称. Z :a+bi y
y
Z :a+bi
b o -b x
b -b
Z :a-bi
o
x
Z :a-bi
(5 6i) (2 i) (3 4i)
(5 6 i ) (2 i ) (3 4 i ) (5 2 3) (6 1 4) i 11i
2、复数的乘法法则： 设 z1 a bi ， z 2 c di是任意两个复数，
解:
(1 2i )(3 4i )( 2 i ) (11 2i )( 2 i ) 20 15i
例3.证明: (a bi)(a bi) a 要条件是, 这两个复数互为共轭复数.
概念：共轭复数：实部相等，虚部互为相反数 的两个复数。
2
所以 x 3 ．
a bi 记做 (a bi ) (c di )或 . c di a bi (a bi)(c di) (a bi) (c di) c di (c di)(c di) ac bd (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
a bi c di (ac bd ) (ad bc )i
C 任何 z1 , z 2 , z 3 ， 交换律 z1 z2 z2 z1 结合律 ( z1 z 2 ) z 3 z1 ( z 2 z 3 )
分配律 z1 ( z 2 z 3 ) z1 z 2 z1 z 3
4、复数的除法法则 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
4、复数的除法法则
设 z1 a bi ， z 2 c di是任意两个复数， 那么它们的商
ac bd bc ad a bi c di 2 2 2 2 i c d c d
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母 都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式 (分母实数化).
例5.计算
1 2 i 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (1 2i )(3 4i ) (3 4i )(3 4i ) 3 8 6 i 4 i 5 10 i 2 2 3 4 25 1 2 i 5 5
特别的当 a=0 时 纯虚数
a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 必要但不充分 条件.
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.
5. 两个复数相等
a c 设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则 z1=z2 b d ,
即实部等于实部,虚部等于虚部. 特别地，a+bi=0 a=b=0 .
3、复数的乘方：
m , n N z , z , z C 对任何 1 2 及 ，有
z z z
m n
m n
mn
(z ) z n n n ( z1 z2 ) z1 z2
mn
特殊的有： i 1
3 2
i i 1
2
Z 一般地，如果 n n N ，有
i i i i
例4
已知复数 x x 2 ( x 3x 2)i
2 2
是 4 20i 的共轭复数，求x的值． 解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i， 根据复数相等的定义，可得
x x 2 4, 2 x 3 x 2 20. x 3或x 2 解得 x 3或x 6
1、复数的加法与减法
a bi c di a c b d i
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与 虚部分别相加(减).
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 例1.计算 解:
1.对虚数单位i 的规定
① i 2= -1; ②i 可以与实数一起进行四则运算,并且加、 乘法运算律不变.
2. 我们把形如a+b i(其中 a、b R )的数 称为 复数,
z=a+bi ， 其中a叫做复数 z 的 实部 记作： b叫做复数 z 的 虚部 . 全体复数集记 为 C .
有时把实部记成为Re(z);虚部记成为Im(z).
、
2 3. 由于i2= (-i) = -1，知 i为-1的一个 平方根 、-1的另一个 平方根为-i
;
一般地，a(a>0)的平方根为 a 、 - a (a>0)的平方根为 a i
小数 实数 (b=0) 有理数 分数 正分数 零
负分数
无理数 不循环小数
4. 复数z=a+bi
(a、bR) 虚数 (b0)
注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小? 答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.
即:若z1>z2 z1,z2∈R且z1>z2.
复数的四则运算
复数的加法、减法、乘法运算与实
数的运算基本上没有区别，最主要的 是在运算中将i21结合到实际运算过 程中去。
4 n1
i i i i i 1
4 3
i 1, i
4n
i , i
4 n 2
1, i
4 n 3
i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须 在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并. 两个复数的积仍然是一个复数.
例2.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i)
共轭虚数：虚部不为0的共轭复数。
特别地，实数的共轭复数是实数本身。
在复平面内,如果点Z表示复数 z ,点 Z 表 示复数 Z ,那么点Z和 Z 关于实轴对称. 复平面内与一对共轭复数对应的点Z 和 Z 关于实轴对称. Z :a+bi y
y
Z :a+bi
b o -b x
b -b
Z :a-bi
o
x
Z :a-bi
(5 6i) (2 i) (3 4i)
(5 6 i ) (2 i ) (3 4 i ) (5 2 3) (6 1 4) i 11i
2、复数的乘法法则： 设 z1 a bi ， z 2 c di是任意两个复数，
解:
(1 2i )(3 4i )( 2 i ) (11 2i )( 2 i ) 20 15i
例3.证明: (a bi)(a bi) a 要条件是, 这两个复数互为共轭复数.
概念：共轭复数：实部相等，虚部互为相反数 的两个复数。
2
所以 x 3 ．
a bi 记做 (a bi ) (c di )或 . c di a bi (a bi)(c di) (a bi) (c di) c di (c di)(c di) ac bd (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d