复数的几种表示形式的转换及计算
高中数学中的复数运算公式总结
高中数学中的复数运算公式总结在高中数学中，复数是一个重要的概念，而掌握复数的运算公式对于解决相关问题至关重要。
复数的运算包括加、减、乘、除等，下面我们就来详细总结一下这些运算公式。
一、复数的定义形如\（a ＋ bi\）（其中\（a\）、＼（b\）均为实数，＼（i\）为虚数单位，且\（i^2 ＝－1\））的数称为复数。
其中，＼（a\）被称为实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）被称为虚部，记作\（Im(z)＼）。
二、复数的四则运算1、加法运算两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的和为：＼z_1 ＋ z_2 ＝（a_1 ＋ a_2) ＋（b_1 ＋ b_2)i＼例如，＼（z_1 ＝ 2 ＋ 3i\），＼（z_2 ＝ 1 2i\），则\（z_1 ＋ z_2＝（2 ＋ 1) ＋（3 2)i ＝ 3 ＋ i\）2、减法运算两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的差为：＼z_1 z_2 ＝（a_1 a_2) ＋（b_1 b_2)i＼例如，＼（z_1 ＝ 5 ＋ 4i\），＼（z_2 ＝ 3 ＋ 2i\），则\（z_1 z_2＝（5 3) ＋（4 2)i ＝ 2 ＋ 2i\）3、乘法运算两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的积为：＼＼begin{align}z_1 ＼cdot z_2&＝（a_1 ＋ b_1i)（a_2 ＋ b_2i)＼＼＆＝a_1a_2 ＋ a_1b_2i ＋ a_2b_1i ＋ b_1b_2i^2\＼＆＝（a_1a_2 b_1b_2) ＋（a_1b_2 ＋ a_2b_1)i＼end{align}＼例如，＼（z_1 ＝ 2 ＋ 3i\），＼（z_2 ＝ 1 ＋ 2i\），则：＼＼begin{align}z_1 ＼cdot z_2&＝（2 ＋ 3i)（1 ＋ 2i)＼＼＆＝2 ＋ 4i ＋ 3i ＋ 6i^2\＼＆＝2 ＋ 7i 6\＼＆＝－4 ＋ 7i＼end{align}＼4、除法运算将复数\（＼frac{z_1}｛z_2}＼）（＼（z_2 ＼neq 0\））的运算转化为乘法运算，即分子分母同时乘以\（z_2\）的共轭复数\（＼overline{z_2} ＝ a_2 b_2i\），得到：＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{z_1 ＼cdot ＼overline{z_2}｝｛z_2 ＼cdot ＼overline{z_2}｝＼＼＆＝＼frac{（a_1 ＋ b_1i)（a_2 b_2i)｝｛（a_2 ＋ b_2i)（a_2 b_2i)｝＼＼＆＝＼frac{（a_1a_2 ＋ b_1b_2) ＋（b_1a_2 a_1b_2)i}｛a_2^2 ＋b_2^2}＼end{align}＼例如，＼（z_1 ＝ 4 ＋ 3i\），＼（z_2 ＝ 1 ＋ 2i\），则：＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{（4 ＋ 3i)（1 2i)｝｛（1 ＋ 2i)（1 2i)｝＼＼＆＝＼frac{4 8i ＋ 3i 6i^2}｛1 4i^2}＼＼＆＝＼frac{4 5i ＋ 6}｛1 ＋ 4}＼＼＆＝＼frac{10 5i}｛5}＼＼＆＝2 i＼end{align}＼三、复数的乘方运算1、＼（i\）的幂次规律＼（i^1 ＝ i\），＼（i^2 ＝－1\），＼（i^3 ＝ i\），＼（i^4 ＝1\）。
经典的复数知识
各种表示形式之间的相互转换
一、复数的形式
1、代数形式
A = a + jb
j
1
为虚单位 Re[A ] = a
b
+j A
复数A 的实部
复数A 的虚部 Im[A ] = b
O 复数 A = a + jb 在复平面上可以用一条 从原点O 指向A 对应坐标点的有向线段 一一对应[点A(a,b)]。
虚轴等于把实轴+1乘以j而得到的。
例：设A1=3-j4，A2=10 /135°
求 : A1+ A2 和 A1/ A2 。
解：求复数的代数和用代数形式：
A2 = 10 /135°
=10（cos135°+jsin135°)
= -7.07 + j7.07
A1 + A2 = ( 3 - j 4 ) + ( -7.07 + j 7.07 )
几何意义 +j
A1 A2
A1
A2
O
+1
2、减法 用代数形式进行， 设 A1 a1
jb1 A2 a2 jb2
A1 A2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j (b1 b2 )
几何意义
+j
A1 A2
A1
A1 A2
e
j
1/
是一个模等于1，辐角为θ的复数。
任意复数A乘以e jθ
等于把复数A逆时针旋转一个角度θ， 而A的模值不变。
e
j
2
j
e
j
2
-j
eБайду номын сангаас
复数的基本运算及其几何解释
复数的基本运算及其几何解释复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位。
本文将介绍复数的基本运算，包括加法、减法、乘法和除法，并给出其几何解释。
一、复数的加法和减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似。
假设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，它们的和z3 = z1 + z2可通过将实部相加、虚部相加得到：z3 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i。
同样，它们的差z4 = z1 - z2可通过将实部相减、虚部相减得到：z4 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i。
复数的加法和减法也可以通过几何图形解释。
在复平面上，可以将复数看作是平面上的向量。
实部相当于向量在x轴上的投影，虚部相当于向量在y轴上的投影。
因此，复数z1和z2的和z3就是相应向量的和，差z4就是相应向量的差。
二、复数的乘法复数的乘法可以通过分配律进行计算。
假设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，它们的乘积z5 = z1 * z2可表示为：z5 = (a1a2 -b1b2) + (a1b2 + a2b1)i。
复数的乘法也可以通过几何图形解释。
在复平面上，两个复数相乘相当于它们对应的向量的模长相乘，且角度相加。
具体来说，复数z1 = |z1| * e^(iθ1)和z2 = |z2| * e^(iθ2)的乘积z5 = |z1| * |z2| * e^(i(θ1+θ2))。
三、复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭数的倒数来实现。
假设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，它们的商z6 = z1 / z2可表示为：z6 = (a1a2 + b1b2) / (a2^2 + b2^2) + ((a2b1 - a1b2) / (a2^2 + b2^2)) * i。
复数的除法也可以通过几何图形解释。
复数的运算和表示方法
复数的运算和表示方法复数是由实部和虚部组成的数，可以用来表示在数轴上的点。
本文将介绍复数的运算规则以及常见的复数表示方法。
一、复数的基本概念复数可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 表示实部，b 表示虚部，i 表示虚数单位。
实部和虚部都是实数。
例如，3 + 2i 就是一个复数，其中实部为 3，虚部为 2。
二、复数的加法和减法复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）。
例如，(3 + 2i) + (2 + 4i) = 5 + 6i，(3 + 2i) - (2 + 4i)= 1 - 2i。
三、复数的乘法复数的乘法遵循分配律和虚数单位平方为 -1 的规则。
具体操作如下：(3 + 2i) × (2 + 4i) = 6 + 12i + 4i + 8i² = 6 + 16i - 8 = -2 + 16i四、复数的除法复数的除法可以通过乘以倒数的方式进行。
具体操作如下：(6 + 2i) ÷ (3 + 1i) = (6 + 2i) × (3 - 1i) ÷ ((3 + 1i) × (3 - 1i)) = (18 - 6i +6i - 2i²) ÷ (9 + 3i - 3i - i²)= (18 - 2) ÷ (9 + 1) = 16 ÷ 10 = 1.6五、复数的共轭复数的共轭是将复数的虚部取负数得到的新复数。
例如，对于复数3 + 2i，它的共轭为 3 - 2i。
六、复数的绝对值复数的绝对值表示复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
对于复数 a + bi，它的绝对值为√(a² + b²)。
七、复数的表示方法常见的复数表示方法有三种：代数形式、三角形式和指数形式。
1. 代数形式：a + bi，将实部和虚部直接表示出来。
如 3 + 2i。
2. 三角形式：r(cosθ + isinθ)，使用极坐标表示，其中 r 表示模长，θ 表示辐角。
复数的五种表示形式
复数的五种表示形式复数的概念常常被用于数学、物理和电学中，它是由实数和虚数合并而成的一个数。
无论我们是从哪个角度来看待复数这个概念，都需要了解它的五个主要表示形式，其中包括：代数式、拆分式、指数式、极坐标式和三角式。
在本文中，我们将逐一介绍它们的定义、应用和实际用途。
一、代数式代数式指的是将复数按照实部和虚部的形式进行书写，即：z = a + bi。
其中，a是复数的实部，它表示复数在实轴上的位置；b是复数的虚部，它表示复数在虚轴上的位置。
举个例子，假设我们需要表示复数3 + 2i，那么它的实部为3，虚部为2，最终的代数式就是：z = 3 + 2i代数式在数学中的应用非常广泛，它可以用于解决方程、计算复数之间的运算和推导出一些重要的公式。
同时，在工程和物理学中，代数式也可用于描述电流、电压和磁场等物理量。
二、拆分式拆分式指的是将复数按照极坐标系表示为一个模长和一个辐角的形式，即：z = r(cosθ + isinθ)。
其中，r代表复数到原点的距离，它也被称为复数的模长；θ是复数与实轴之间的夹角，它也被称为复数的辐角。
与代数式不同的是，拆分式更强调复数的几何意义，它能够帮助我们更好地理解复数在平面直角坐标系中的位置。
举个例子，如果我们需要将复数2 + 3i写成拆分式的形式，我们可以先求出其模长和辐角，然后代入公式得出结果：r = √(2² + 3²) ≈ 3.6056θ = arctan(3/2) ≈1.2490因此，该复数的拆分式是：z = 3.6056(cos1.2490 + isin1.2490)拆分式在数学、物理和电学中都有着广泛的应用，它可以被用于计算向量、求解复数之间的乘除运算以及推导出一些重要的公式，例如欧拉公式e^(ix) = cosx + isinx。
三、指数式指数式是指将复数按照自然对数的形式进行表示，即：z = re^(iθ)。
其中，r和θ的定义和拆分式中相同，它们分别代表复数的模长和辐角；e代表自然对数的底数，它的值约为2.718。
数学中的复数计算方法
数学中的复数计算方法复数，指具有实部和虚部的数字，常见于数学、物理和工程领域。
在计算机科学的各个分支中，复数也被广泛应用，比如在信号处理、图像处理等方面都有着广泛的应用。
因此，对于复数的计算方法是非常重要的。
本文将会介绍复数的计算方法，并提供各个方法的实例来说明其用途。
一、复数的表示方法复数通常表示为a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
例如，3+2i就是一个复数，其中a=3，b=2。
另一种表示方法是极坐标形式，即r(cosθ+isinθ)，其中r是复数的模，θ是其幅角。
通常情况下，r和θ可以通过实部和虚部来计算，如下所示：r=sqrt(a²+b²)，θ=tan⁻¹(b/a)例如，对于复数3+2i，其模为r=sqrt(3²+2²)=sqrt(13)，而幅角为θ=tan⁻¹(2/3)。
二、复数的加法和减法对于2个复数a+bi和c+di，它们的加法和减法分别如下：加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i例如，对于复数3+2i和2+5i，它们的加法和减法分别如下：加法：(3+2i)+(2+5i)=(3+2)+(2+5)i=5+7i减法：(3+2i)-(2+5i)=(3-2)+(2-5)i=1-3i三、复数的乘法和除法对于2个复数a+bi和c+di，它们的乘法和除法分别如下：乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i除法：(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)/(c²+d²))+((bc-ad)/(c²+d²))i例如，对于复数3+2i和2+5i，它们的乘法和除法分别如下：乘法：(3+2i)(2+5i)=(3×2-2×5)+(3×5+2×2)i=-8+19i除法：(3+2i)/(2+5i)=((3×2+2×5)/(2²+5²))+((-2×2+3×5)/(2²+5²))i=(16/29)-(4/29)i四、共轭复数对于一个复数a+bi，它的共轭复数表示为a-bi。
高中数学复数的运算
高中数学复数的运算复数是数学中一个重要的概念，它由实部和虚部构成，可以用来描述平面上的向量、电路中的电压和电流等等。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法等，下面将详细讨论这些运算的规则。
一、复数的表示形式复数可以用代数形式和三角形式表示。
代数形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i表示虚数单位。
三角形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
二、复数的加法两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
三、复数的减法两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
例如：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
四、复数的乘法两个复数相乘，按照分配律，实部和虚部相互乘。
例如：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
五、复数的除法两个复数相除，可以通过乘以共轭复数来进行。
即，对于复数a+bi 来说，它的共轭复数为a-bi。
将两个复数相乘再除以共轭复数的模的平方。
例如：(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[c^2+d^2]=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i。
六、复数的运算性质复数的运算满足交换律、结合律和分配律。
七、复数的乘方和开方运算复数的乘方运算可以通过将其转化为三角形式来进行。
例如：(a+bi)^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ))，其中r为模长，θ为辐角。
复数的开方运算可以通过将其转化为代数形式，并利用公式进行计算。
综上所述，高中数学中涉及到复数的运算，包括加法、减法、乘法和除法等。
我们可以使用代数形式或者三角形式来表示复数，并利用相应的运算规则进行计算。
熟练掌握复数的运算规则，将有助于解决实际问题和应用到其他数学领域中。
电工技术：复数的表示形式及复数的四则运算
一、复数的四种表示形式
虚数单位 j =
1.代数形式： 在复平面上表示 •
1
j2 = -1
A a jb
+j b
复数的模 复数的辐角
A r
a r cos ψ
b r sin ψ
r a2 b2 b ψ arctan a
O
a +1
2. 三角函数形式
A r cos ψ jr sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
A 32 42 5
求它们的和、差、积、商。
B 82 62 10
4 A arctan 53o 3
6 B arctan 37 o 8B 10370A Nhomakorabea 5530
A B 51053 37 5090
A 5 53 37 0.516 B 10
A1 A1 1
A2 A2 2
A1 A1 1 2 A2 A2
二、复数的四则运算
例题：已知两个复数
解：
A B 3 8 j 4 6 11 j10
A 3 j4
B 8 j6
A B 3 8 j 4 6 5 j 2
二、复数的四则运算
2.复数的乘法运算 • 都转换为极坐标表达式或指数式，两复数的模相乘作为积的模，幅角相加作为积的模角。
A1 A1 1
A2 A2 2
3.复数的除法运算
A1 A2 A1 A2 1 2
• 都转换成极坐标式或指数式，将两复数的模相除作为商的模，幅角相减作为商的模角。
这两种表示形式适用于复数的加减运算。 简化画法
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u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
T
单位：rad/s（弧度/秒）
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
⑤|12|=π
－－u1和i2反相。
§8-3 相量法的基础
一、相量法的引入
正弦稳态电路频率特点： 在线性电路中，如果电路的激励都是同一频率
的正弦量，则电路全部的稳态响应都将是同频率的 正弦量。
由于正弦稳态电路频率的特点，将同频率的正 弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形 式来表示正弦量的方法称为相量法。
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
主值12 〔 ，〕， 若12 〔 ，〕，则用 12 2 来规范它。
负数几种形式的转换
例1：将 F1 9.573 化为直角坐标形式。
解： F1 9.5cos73 j9.5sin73 2.78 j9.08
例2：将 F2 20 j40 化为极坐标形式。
解： | F2 | （ 20）2 （ 40）2 44.7
F2在第三象限，
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
二、复数的四则运算
1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
实部与实部相加减， 虚部与虚部相加减。
②图解法：
++jj F2
F2
O
O
F1 F1+F2
++j j F2
+1F2
O
F1-F2
F1 -F2
复数减法的平行四+1边形法和三O角形法
复数加法的平行四边形法和三角形法
F1-F2 F1 F1+F2 F2 +1
F1
+1
2．乘法运算：
①代数形式：
F1F2 ( a1 jb1 )( a2 jb2 ) ( a1a2 b1b2 ) j( a2b1 a1b2 )
e j 1
F2
－－旋转因子 jF1
F1 -jF2
j
e2
j
，e
-
j
2
j
，e j
-1
O
+1
旋转因子示意
乘以j，即把复数逆时针旋转π/2； 乘以-j（除以j），即把复数顺时针旋转π/2。
§8-2 正弦量
一、正弦电压和电流
1．定义：
随时间按正弦规律变换的电压和电流。
2．数学表达式：
（ω t+）|t=0 =
单位：弧度
通常，||≤180°－－主值范围。
三、几个概念
1．有效值：
工程中常将周期电流或电压在一个周期内产生的平均效 应换算为在效应上与之相等的直流量，以衡量和比较周期电 流或电压的效应，这一直流量就称为周期量的有效值。用相 应的大写字母表示。
I def
1 T i 2dt T0
2
F1
O
1
+1
复数的乘法
3．除法运算：
①代数形式：
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
（（aa21
jb1）（a2 jb2）（a2
jb2） jb2）
（aa12）a22
ห้องสมุดไป่ตู้
b1b2 （b2）2
j（aa22）b21
a1b2 （b2）2
②指数形式：
④图解法：
F1 F2
②指数形式：
F1F2 | F1 | e j1 | F2 | e j2 | F1 || F2 | e j（1 2）
③极坐标形式：
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | 1 2
模相乘，辐角相加。
④图解法：
+j
F1F2
F2
1 + 2
| |
F1 F2
| |
e e
j 1 j 2
| F1 | e j（1 2） | F2 |
+j
F1
③极坐标形式：
F1 F2
| F1 | F2
| 1 | 2
| F1 | F2
| |
1
2
模相除，辐角相减。
F1/F2
1 1 - 2
F2
O
2
+1
复数的乘法
4．旋转因子： +j
二、正弦量的相量
u（t） Umcos（t ）
由欧拉公式：
e j（t） cos（t ） jsin（t ）
则Ume j（t） Um cos（t ） j Um sin（t ）
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
1．代数形式： F a jb
Re[F] a --复数F的实部
Im[F] b --复数F的虚部
2．向量形式：
a F cos
b F sin
+j
F a2 b2 --复数F的模(值)
b |F|
argF --复数F的辐角
由
于
主
1 T
T 0
Im2cos（2 t
i）dt
－－均方根值
I Im / 2 0.707Im
工程中使用的交流电气设备铭牌上标注的额定电压、
电流的数值，以及交流电压表、电流表表面上标注的数字 都是有效值。
三、几个概念
2．相位差：
同频率正弦量的相位之差，为一常数，与时间无关。
u1
2Ucos（t
值arctan（b）〔
，
〕，
若
O
实部为负
数
，
a
22
则arctan（b） 才是正确的辐角。
a
F
a
+1
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
3．三角形式： F F（cos jsin）
4．指数形式：
由欧拉公式： e j cos jsin
F F e j
5．极坐标形式： F F