上海高中数学-复数练习
高中数学复数练习题含答案
高中数学复数练习题含答案一、单选题 1．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.3．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．24．若复数i (2i)z m m =++在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1)C ．(,0)-∞D ．(1,)-+∞5．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+C ．2i -D ．2i +7．若复数z 满足()13i 17i -=-z ，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ）AB ．5CD ．2 9．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 10．设i 12z =+，则在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |z ＝（ ） A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i12．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +13．下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（ ） A ．若复数1z ，2z 的模相等，则1z ，2z 是共轭复数B ．已知复数1z ，2z ，3z ，若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==C ．若关于x 的方程()21i 14i 0x ax +++-=（a ∈R ）有实根，则52a =-D ．12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中,p q 为实数，则5q = 14．若5i2iz =+，则||z =（ ）A．2 B C ．D ．315．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 16．已知复数i(1i)z =-，则其共轭复数z =（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +17．设向量OP ，PQ ，OQ 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么（ ）A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝0 18．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．3C ．D ．9 19．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ）A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i20．已知复数23i z =-，则()1i z +=（ ） A ．3i - B ．3+3i - C ．3i + D ．3i -+二、填空题21．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________． 22．设复数1z ，2z 是共轭复数，且12229i,-=-+z z ，则1z =___________.23．已知i 是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.24．设(3i)i 6i a a b +=-，其中a ，b 是实数，则i a b +=____________． 25．若i 为虚数单位，复数3i z =+，则表示复数1iz+的点在第_______象限. 26．复数2ii 1+-的共轭复数是_______． 27．设12z i =-，则z =___________ . 28．已知复数()3iR ib z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 29．若复数31i 2iz a -=-为实数，则实数a 的值为_______.30．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________. 31．若i 是虚数单位，则复数310i3i =-________．（写成最简结果） 32．复数1515cos77isin ππ+的辐角主值是________． 33．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．34i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．35．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________ 36．把复数z 的共轭复数记作z ，已知()12i 43i z +=+（其中i 是虚数单位），则z =______．37．方程()()2223256i 0x x x x --+-+=的实数解x =________.38．设复数20211i 1iz -=-（i 为虚数单位），则z 的虚部是_______．39．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.40．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________. 三、解答题41．若43i 3i m m -+(m ∈R)为纯虚数，求42i 2i m m +⎛⎫⎪-⎝⎭的值． 42．设复数22()(lg 2232i )z m m m m =--+++（m ∈R ），试求m 取何值时？ (1)z 是实数；(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．43．已知i 是虚数单位，复数()()221i z m m m =---，m ∈R.(1)当复数z 为实数时，求m 的值； (2)当复数z 纯虚数时，求m 的值.44．由方程()31cos2πisin 2πz k k k ==+∈Z 得310z -=的三个根为()2π2πcosisin 02,33k k k k k ω=+≤≤∈Z ，则()()()321111z z z z ωω-=---．将上式右边的各个一次因子适当分组相乘，则可变成有理系数多项式，就得到了31z -的有理分解式．请你仿此将151z -进行有理分解．45．在复平面内，复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ，其中O 为坐标原点，求线段AB 的中点所对应的复数．【参考答案】一、单选题 1．D 2．D 3．B 4．A 5．A 6．B 7．D 8．A 9．B 10．D 11．D 12．B 13．D 14．B 15．C 16．C 17．D18．C19．D20．B二、填空题21．－1＋2i##2i－1 222324．25．四26．13i22-+2728．29．2-30．1##1+ 31．13i+##3i1+32．7π3334．1-1-35．236．2i+##i2+ 37．238．039．340．三、解答题41．【解析】【分析】由题可得21230130mm⎧-=⎨-≠⎩，进而即得.【详解】因为243i (43i)(3i)3i 9m m m m m ---=++=22(123)13i9m m m --+是纯虚数， 所以21230130m m ⎧-=⎨-≠⎩，，解得m =±2．于是当m =2时，4442i 22i 1i 2i 22i 1i m m +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭=i 4=1; 当2m =-时，4442i 22i 1i 2i 22i 1i m m +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=4(i)-=1． 综上，42i 2i m m +⎛⎫⎪-⎝⎭=1．42．(1)2m =-或1m =-； (2)3m =； (3)2m <-或3m >. 【解析】 【分析】（1）（2）利用复数的分类，分别列式，求解作答. （3）复数的几何意义列式，求解作答. (1)复数22()(lg 2232i )z m m m m =--+++是实数，则22220320m m m m ⎧-->⎨++=⎩，解得2m =-或1m =-，所以当2m =-或1m =-时，z 是实数. (2)复数22()(lg 2232i )z m m m m =--+++是纯虚数，则22lg(22)0320m m m m ⎧--=⎨++≠⎩，解得3m =，所以当3m =时，z 是纯虚数. (3)复数22()(lg 2232i )z m m m m =--+++在复平面内对应点2222(lg(,)32)m m m m --++，依题意，22lg(22)0320m m m m ⎧-->⎨++>⎩，解得：2m <-或3m >，所以当2m <-或3m >时，z 对应的点位于复平面的第一象限. 43．(1)1或1-； (2)0. 【解析】 【分析】(1)虚部为零，则为实数；(2)虚部不为零，实部为零，则为纯虚数. (1)当210m -=时，得1m =±； (2)当22010m m m ⎧-=⎨-≠⎩时，得0m =.44．()()()()()231411111z z z z z ωωωω----⋅⋅⋅-【解析】 【分析】根据题目所给的信息即可求解. 【详解】根据题目有理分解式原理可知151=0z -的15个根为()2π2πcosisin 0151514,k k k k k ω=+≤≤∈Z ， 则151z -()()()()()231411111z z z z z ωωωω=----⋅⋅⋅-.45．12i + 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求出点A 、B 的坐标，可得出线段AB 的中点坐标，利用复数的几何意义即可得出结果. 【详解】解：由复数的几何意义可得()1,1A 、()1,3B ，所以线段AB 的中点为()1,2M ， 故线段AB 的中点所对应的复数为12i +.。
上海上海师大附中附属龙华中学必修第二册第二单元《复数》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．设a R ∈，则复数22121a aiz a-+=+所对应点组成的图形为（ ） A ．单位圆B ．单位圆除去点()1,0±C ．单位圆除去点()1,0D ．单位圆除去点()1,0-2．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）A ．2B 1C 1D ．33．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．324．如果复数z 满足|||i 2|i z z ++-=，那么|1|z i ++的最小值是( ) A ．1 B 2C ．2D5．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．iB ．i -C ．2iD ．2i -6．已知i 为虚数单位，复数32i2iz +=-，则以下命题为真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为74i 55- B ．z 的虚部为75-C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限7．复数z 满足()234(i z i i --=+为虚数单位)，则(z = ) A ．2i -+ B ．2i -C ．2i --D ．2i +8．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限9．i 为虚数单位，复平面内表示复数2iz i-=+的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10．若i 为虚数单位，复数z 满足z i ≤，则2z i -的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．D ．11．已知复数21aiz i+=-是纯虚数，则实数a 等于（ ） AB ．2CD12．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．若复数z满足||1z i -，则2z i +（i 为虚数单位）的最小值为______． 14．设复数z ，满足11z =，22z =，12z z i +=，则12z z -=____________． 15．已知复数z 满足()14i z a i +=+（i为虚数单位），且z =，则实数a =________．16．若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________. 17．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________. 18．已知复数z ，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是________． 19．已知i 为虚数单位，则（1）(23i)(32i)-+-+=________________； （2）(4i)(23i)+--+=________________；（3）已知复数13i z b =-，22i z a =-+，其中a ，b R ∈，若复数12z z z =+，且复数z 对应的点在第三象限，则+a b 的取值范围为________________；（4）在复平面内，复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，若复数21z z z =-，则复数z 对应的点在第________________象限．20．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z = _________________；三、解答题21．设m R ∈，复数22(56)(3)m m m m i -++-(i 为虚数单位)是纯虚数． （1）求m 的值；（2）若2mi -+是方程20x px q ++=的一个根，求实数p ，q 的值．22．已知：复数1z 与2z 在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且12(1)(1)z i z i -=+（i 为虚数单位），|1z． （I ）求1z 的值；（II ）若1z 的虚部大于零，且11mz n i z +=+（m ，n ∈R ），求m ，n 的值． 23．已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的两根为1x 、2x . （1）若134x i =+，求p 的值；（2）若121x x -=，求实数p 的值. 24．计算下列各题：(1)55(1)(1)11i i i i +-+-+；(2)201920191111i i i i +-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭；；(4) 23201920202320192020i i i i i +++++.25．已知1(3)(?4)z x y y x i =++-,2(42)(53)(,)z y x x y i x y R =--+∈,设12z z z =-,且132z i =+,求复数1z ,2z .26．已知O 为坐标原点，向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，且()213105z a i a =+-+，()()22251z a i a R a =+-∈-.若12z z +是实数. （1）求实数a 的值； （2）求以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据复数222221212111a ai a az i a a a-+-==++++，得到复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，然后由22212,11a ax y a a -==++，利用复数的模求解. 【详解】因为复数222221212111a ai a az i a a a-+-==++++， 所以复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 即22212,11a ax y a a -==++， 所以222222212111a a x y a a ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，因为22212111a x a a-==-+++， 又因为a R ∈， 所以211a +≥， 所以22021a <≤+， 所以221111a -<-+≤+， 即11x -<≤，所以复数z 对应点组成的图形为单位圆除去点()1,0-. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及复数模的轨迹问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2．B解析：B 【分析】复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2221x y -+=，又|1|z i -+(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．则由几何意义得x ma |1|11z i -+==，故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题．3．B解析：B 【分析】先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-，则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=. 故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．A解析：A 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z 的轨迹．然后利用点到直线的距离公式求解即可． 【详解】：∵|z ＋i|＋|z －i|＝2∴点Z 到点A （0，-1）与到点B （0，1）的距离之和为2． ∴点Z 的轨迹为线段AB ．而|z ＋1＋i|表示为点Z 到点（-1，-1）的距离． 数形结合，得最小距离为1 故选A ． 【点睛】本题只要弄清楚复数模的几何意义，就能够得到解答．5．A解析：A 【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-. 6．D解析：D 【分析】利用复数的除法运算，化简32i2iz +=-，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可. 【详解】()()()()32i 2i 32i 47i2i 2i 2i 55z +++===+--+， z ∴的共扼复数为47i 55-，z 的虚部为75，z ==，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由()2345i z i --=+=，得()()()5252222i z i i i i -+===-+-----+， 2z i ∴=--． 故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．8．D解析：D 【分析】利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论． 【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则2z ==，z的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ． 【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -． 9．C解析：C【解析】(2)21122(2)(2)555i i i i z i i i i -----====--++-．故选C 10．D解析：D 【分析】先根据33z i ++≤分析出复数z 对应的点在复平面内的轨迹，然后将2z i -的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解. 【详解】因为33z i ++≤表示以点()3,1M --为圆心，半径3R =的圆及其内部， 又2z i -表示复平面内的点到()0,2N 的距离，据此作出如下示意图：所以()()()()22max 20321333z i MN R -=+=--+--=故选：D. 【点睛】结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：（1）()00z z r r -=>：表示以0z 为圆心，半径为r 的圆；（2）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z =：表示以12,z z 为端点的线段； （3）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z >：表示以12,z z 为焦点的椭圆；（4）(1220z z z z a a ---=>且)1202a z z <<：表示以12,z z 为焦点的双曲线.11．B解析：B 【分析】 化简复数2222a a z i -+=+，根据复数z 是纯虚数，得到202a -=且202a+≠，即可求解. 【详解】由题意，复数()()()()2122211122ai i ai a az i i i i +++-+===+--+， 因为复数z 是纯虚数，可得202a -=且202a+≠，解得2a =， 所以实数a 等于2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的基本概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．A解析：A 【分析】根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得51212z i i==-+， 所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限.故选:A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】设由知点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部表示点与点的距离数形结合即可得到答案【详解】设由可得此式表示复平面上的点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部此式表示点与点的距离故所以的最小值为故答案1【分析】设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +，知点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b 与点(2)B 的距离，数形结合即可得到答案. 【详解】设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +可得22((1)1a b -++≤，此式表示复平面上的点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2232(3)(2)z i a b +-=++-，此式表示点(,)P a b 与点(3,2)B -的距离，故22min 1(23)31PB AB =-=+-=211-.所以32z i +-的最小值为211-. 故答案为：211- 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生数形结合思想以及数学运算求解能力，是一道中档题.14．【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值【详解】设在复平面中对应的向量为对应的向量为如下图所示：因为所以所以又因为所以所以所以又故答案为：【点睛】 解析：6【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值. 【详解】设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为123z z i +，所以12312z z =+=+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯，又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=，所以216Z Z =，又12216z z Z Z -==， 6. 【点睛】结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈； （2）复数(),z a bi a b R =+∈ ←−−−→一一对应平面向量OZ .15．0【分析】先化简再利用建立方程最后解得实数的值【详解】解：∵∴∵∴解得：故答案为：0【点睛】本题考查复数的运算复数的几何意义求参数是基础题解析：0 【分析】先化简4422a a z i +-=+，再利用z ==后解得实数a 的值. 【详解】解：∵ ()14i z a i +=+， ∴ ()()4(1)4(4)(4)4411(1)222a i i a i a a i a a z i i i i +-+++-+-====+++-∵z =，∴z ==解得：0a =， 故答案为：0. 【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义求参数，是基础题.16．【分析】设利用列方程组解方程组求得题目所求两个数【详解】设依题意有即所以将代入得；将代入解得；将代入得结合解得或所以对应的数为故答案为：【点睛】本小题主要考查复数运算属于中档题 解析：2i ±【分析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，利用12124,5z z z z +=⋅=列方程组，解方程组求得题目所求两个数. 【详解】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以405a cb d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -. 故答案为：2i ± 【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.17．【分析】先写出的三角形式再进行化简整理即可【详解】设则∴∴解得故答案为：【点睛】本题考查复数三角形式的定义属基础题解析：1+【分析】 先写出1z z-的三角形式，再进行化简整理即可. 【详解】 设01z z z -=，则001,arg 23z z π==，∴011cos sin 2334z ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=，∴1144z z -=+，解得13z i =+.故答案为：1+. 【点睛】本题考查复数三角形式的定义，属基础题.18．4【解析】【分析】方法一：根据绝对值不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|求出|z+3+4i|的最小值即可方法二：利用复数的几何意义求解即可【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1∴|z+3解析：4【解析】【分析】方法一：根据绝对值不等式|a |﹣|b |≤|a +b |≤|a |+|b |，求出|z +3+4i |的最小值即可．方法二：利用复数的几何意义求解即可【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1，∴|z+3+4i|≥|3+4i|﹣|z|＝5﹣1＝4，∴|z+3+4i|的最小值是4．方法二：复数z 满足|z|＝1，点z 表示以原点为圆心、1为半径的圆．则|z+3+4i|表示z 点对应的复数与点（﹣3，﹣4）之间的距离，圆心O 到点（﹣3，﹣4）之间的距离d ==5，∴|z+3+4i|的最小值为5﹣1＝4，故答案为4．【点睛】本题考查了不等式的应用问题，也考查了复数的几何意义及运算问题，属基础题．19．四【分析】(1)利用复数的加法法则计算即可；(2)利用复数的减法法则计算即可；(3)由题意可得则且据此可得的取值范围(4)由题意可得结合可得据此确定其所在的象限即可【详解】（1）（2）（3）因为所以解析：1i --62i -(,5)-∞四【分析】(1)利用复数的加法法则计算()()2332i i -+-+即可；(2)利用复数的减法法则计算()()423i i +--+即可；(3)由题意可得12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，则2b <且3a <，据此可得+a b 的取值范围.(4)由题意可得122i z =-+，21z i =-，结合21z z z =-可得33z i =-，据此确定其所在的象限即可.【详解】（1）()()(23)(32)23321i i i i i -+-+=-+-+=--．（2）()()(4)(23)42362i i i i i +--+=++-=-．（3）因为13i z b =-，22i z a =-+，所以12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，又复数z 对应的点在第三象限，所以2030b a -<⎧⎨-<⎩，所以2b <且3a <， 所以5a b +<，故+a b 的取值范围为(,5)-∞．（4）因为复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，所以122i z =-+，21z i =-，又复数21z z z =-，所以1i (22i)33i z =---+=-，所以复数z 对应的点为(3,3)-，在第四象限【点睛】本题主要考查复数的加法、减法运算，复数所在象限的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．【分析】先根据复数除法得再根据共轭复数概念得【详解】因为所以即【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等属于基本题复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：2i +【分析】 先根据复数除法得z ，再根据共轭复数概念得z .【详解】因为()1243i z i +=+，所以43212i z i i+==-+,即2.z i =+ 【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等，属于基本题.复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭为.-a bi三、解答题21．（1）2.（2）4p =，8q =．【分析】（1）根据纯虚数的定义求出m 的值即可；（2）将2mi -+代入方程20x px q ++=，得到关于p ，q 的方程组，解出即可．【详解】（1）复数22(56)(3)m m m m i -++-是纯虚数， 2256030m m m m ⎧-+=∴⎨-≠⎩解得：2?30?3m m m m ==⎧⎨≠≠⎩或且 2m ∴=（2） 2mi -+是方程20x px q ++=的一个根由（1）可得2m =，即：22i -+是方程20x px q ++=的一个根2(22)(22)0i p i q ∴-++-++=即(2)(28)0p q p i -++-=20280p q p -+=⎧∴⎨-=⎩解得：4p =，8q =．【点睛】本题解题关键是掌握纯虚数定义和复数相等求参数方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.22．（I ）11z i =-或11z i =-+（II ）4,1m n =-=【分析】（I ）设1z x yi =+，得出2z 的表达式，根据12(1)(1)z i z i -=+和1z =方程组求得,x y 的值，进而求得1z 的值.（II ）根据（I ）的结论确定1z 的值.代入11m z n i z +=+运算化简，根据复数相等的条件列方程组，解方程组求得,m n 的值. 【详解】解：（I ）设1z x yi =+（x ，y ∈R ），则2z =－x+yi ，∵z 1（1－i ）=2z （1+i ），|1z，∴22()(1)()(1)2x yi i x yi i x y +-=-++⎧⎨+=⎩， ∴11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即11z i =-或11z i =-+ （II ）∵1z 的虚部大于零，∴11z i =-+，∴11z i =--， 则有(1)1m i n i i +--=+-+，∴12112m n m ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，∴41m n =-⎧⎨=⎩． 【点睛】 本小题主要考查复数的概念，考查复数的模、复数相等、复数的虚部等知识，属于基础题. 23．（1）6；（2）p =或p =±【分析】（1）将134x i =+代入方程，将复数化为一般形式，利用复数相等可求得实数p 的值； （2）列出韦达定理，由121x x -=可得出关于p 的等式，由此可解得实数p 的值.【详解】（1）已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的一根为134x i =+，所以，()()()()23434251832440i p i p p i +-++=-+-=，所以，1832440p p -=-=，解得6p ；（2）2100p ∆=-，由题意得121225x x p x x +=⎧⎨=⎩. 若0∆≥，即2100p ≥，则121x x -===，解得p =；若∆<0，即100p <，由2250x px -+=，可得22210024p p x ⎫-⎛⎫⎪-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得12p x =+，22p x =，则121x x i -===，解得p =±.综上所述，p =或p =±【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）在解第一问时，可利用实系数的二次方程的两个虚根互为共轭复数来求解； （2）在解第二问时，应对二次方程是否有实根进行分类讨论，并结合韦达定理求解. 24．(1)0；(2)2i -；(3)516；(4)10101010i - 【分析】根据复数的乘除运算法则及乘方运算，即可计算出(1)(2)的值；利用复数模的运算性质可求出(3)的值；利用分组求和及i 的运算性质可求出(4)的值.【详解】 (1) 5566232322(1)(1)(1)(1)[(1)][(1)]11(1)(1)(1)(1)11i i i i i i i i i i i i i i +-+-+-+=+=+-+-++--- 3333(2)(2)44022i i i i -=+=-=. (2)因为21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+，21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ---===-++-， 所以20192019201945043201920319111(22221)i i i i i i i i i i ⨯+-=--==+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+=⎝⎭=-⎝⎭.545488(43)(1)|(43)(1)|(42)|(42||)|||||i i i i ⋅--==++545454884|43|1||525|42|2516i i -⨯====+⋅⨯. (4) 23201920202320192020i i i i i +++++(234)(5678)(2017201820192020)i i i i i i =--++--+++--+(22)(22)(22)+i i i =-+-+- 505(22)i =⨯-10101010i =-.【点睛】本题主要考查复数的乘除运算，乘方运算，复数的模的运算性质及i 的运算性质，属于中档题.25．1z =59,i -287.z i =--【分析】明确复数1z ,2z 的实部与虚部，结合加减法的运算规则，即可求出复数z ，从而用,x y 表示出z ，接下来根据复数相等的充要条件列出关于,x y 的方程组求解，即可得出1z ,2z .【详解】∵12z z z =- ()()()()344253x y y x i y x x y i =++---++ ()()342x y y x ⎡⎤=+--⎣⎦ ()()453y x x y i ⎡⎤+-++⎣⎦ ()()534x y x y i =-++. ∴()()534z x y x y i =--+.又∵132z i =+∴531342x y x y -=⎧⎨+=-⎩∴21x y =⎧⎨=-⎩∴()()1321142z i =⨯-+--⨯ 59,i =-∴()()24122523187.z i i ⎡⎤⎡⎤=⨯--⨯-⨯+⨯-=--⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查复数代数形式的加减运算、共轭复数的定义以及复数相等的充要条件，属于中档题.复数相等的性质是：若两复数相等则它们的实部与虚部分别对应相等.26．（1）3a =；（2）118. 【分析】（1）求出1z 和2z ，由复数12z z +是实数，可求得实数a 的值；（2）求出1OZ 和2OZ ，利用平面向量的数量积求出12cos Z OZ ∠，进一步求出12sin Z OZ ∠，结合三角形的面积公式可求得所求四边形的面积.【详解】（1）由题意可得()213105z a i a =--+， ()22251z a i a =+--，则()2123221551z z a a i a a+=+++-+-， 由于复数12z z +是实数，则221505010a a a a ⎧+-=⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得3a =；（2）由（1）可得138z i =+，21z i =-+，则点13,18Z ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()21,1Z -， 因此，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积为121118S Z Z =⨯=. 【点睛】本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了四边形面积的计算，涉及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.。
(人教版)上海市必修第二册第二单元《复数》测试(含答案解析)
一、选择题1．复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ）A ．2a ≠，或1a ≠B ．2a ≠，且1a ≠C ．2a =，或0a =D ．0a = 2．已知复数z 满足2||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） A ．1个圆 B ．线段 C ．2个点 D ．2个圆3．已知12,z z C ∈，121z z ==，12z z +=12z z -=（ ）A ．0B ．1C D ．2 4．能使得复数()32z a aia R =-+∈位于第三象限的是（ ） A ．212a i -+为纯虚数 B ．12ai +模长为3C ．3ai +与32i +互为共轭复数D ．0a > 5．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．213(1)i i +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 7．,A B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 8．已知复数2a i i +-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2B ．2C ．12D ．-1 9．“复数3i ia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12 D ．111．复数11i i +-的实部和虚部分别为a ，b ，则a b +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．若复数2(1)34i z i+=+，则z =（ ） A ．45 B ．35 C ．25 D ．25二、填空题13．已知集合{}11M z z =+=，{}i N z z i z =+=-，则M N =______. 14．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________.15．复数(1sin )(cos sin )z θθθ=++-i 是实数，[]0,2θπ∈则θ=______.16．已知复数（，是虚数单位）的对应点在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____17．已知复数z 满足43(z i i i+=为虚数单位），则z 的共轭复数z ＝____． 18．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z = _________________； 19．已知，则 =____．20．给出下列四种说法：①-2i 是虚数，但不是纯虚数；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③已知 x y R ，∈，则 x i 1i y +=+ 的充要条件为x y 1==；④如果让实数a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确说法的为 __________．三、解答题21．当实数m 取什么值时，复数224(6)Z m m m i =-+--分别满足下列条件？ （1）复数Z 实数；（2）复数Z 纯虚数；（3）复平面内，复数Z 对应的点位于直线y x =-上.22．已知复数z 满足2z =，2z 的虚部为2，（1）求复数z ；（2）设22,,z z z z -在复平面上对应点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积. 23．（1）在复数范围内解方程()232i z z z i i -++=+（i 为虚数单位） （2）设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<<（i ）求z 的值及z 的实部的取值范围；（ii ）设11z zμ-=+，求证：μ为纯虚数； （iii ）在（ii ）的条件下求2ωμ-的最小值．24．已知复数2z i =+（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=根.(1)求p q +的值；(2)复数w 满足z w ⋅是实数，且w =w 的值.25．设复数12,z z 满足12122210z z iz iz +-+=.（1）若12,z z 满足212z z i -=，求12,z z .（2）若1z =k ，使得等式24z i k -=恒成立？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由.26．已知1251034.z i z i =+=-，（1）若12z z ，若在复平面上对应的点分别为A,B ，求AB 对应用的复数（2）若12111z z z z =+，求【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用复数的运算性质和几何意义即可得出.【详解】解：由于复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上,因此, 220a a -=，解得2a =，或0a =故选C【点睛】熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键. 2．A解析：A【详解】 因为2||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.3．B解析：B【分析】 利用复数加法、减法和模的运算化简已知条件，由此求得12z z -.【详解】设12,z a bi z c di =+=+，则()()12z z a c b d i +=+++，()()12z z a c b d i -=-+-. 依题意得：22221,1a b c d +=+=，12z z +=⇒()()223a c b d +++=⇒()222223a b c d ac bd +++++=⇒()21ac bd +=.所以12z z -==1==.故选：B【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题. 4．A解析：A【分析】分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()32z a aia R =-+∈是第三象限的点.【详解】 322z a ai a ai =-+=--由题意可知，若复数在第三象限，需满足200a a -<⎧⎨-<⎩，解得：02a <<， A.212z a i =-+是纯虚数，则12a =，满足条件；B.123z ai =+==，解得：a =a =C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件.故选：A【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.5．B解析：B【解析】【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项.【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选B.【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.6．A解析：A【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】 ()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.7．C解析：C【解析】 因为1212z z z z +=-，所以22||OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- , 因此0OA OB OA OB ⋅=∴⊥ ，即OAB 一定是直角三角形，选C. 8．C解析：C【解析】 2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C. 9．A解析：A【详解】因为33ai z a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ．10．A解析：A【解析】【分析】 先利用复数的除法运算法则求出11i i+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】 ()()21(1)21112i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，∴a ＝0，b ＝﹣1，∴a +b ＝﹣1，故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 11．A解析：A【分析】利用两个复数代数形式的除法运算性质，把复数化为最简形式，得到其实部和虚部的值，进而求得结果.【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+， 所以0,1a b ==， 所以1a b +=，故选：A.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关复数的问题，解题思路如下：（1）利用复数除法运算法则先化简复数11i i+-； （2）确定出复数的实部和虚部各是多事； （3）进而求得a b +的值.12．C解析：C【分析】先求出8625i z -=，再求出||z 得解. 【详解】 由题得()()()()212342863434343425i i i i i z ii i i +-+====+++-，所以102255z ===. 故选：C二、填空题13．【分析】根据复数的几何意义可知代表的是圆上代表的是线利用线与圆的位置关系可知结果【详解】的几何意义是以点为圆心1为半径的圆表示到点和点的距离相等的点的集合是线段的垂直平分线也就是轴的几何意义是轴与圆 解析：{}0,2-【分析】 根据复数的几何意义，可知11z +=代表的是圆上,i z i z +=-代表的是线，利用线与圆的位置关系，可知结果.【详解】11z +=的几何意义是以点()1,0-为圆心，1为半径的圆.i i z z +=-表示到点()0,1A 和点()0,1B -的距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴.M N ⋂的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数，故0z =或2z =-，{}0,2M N ∴⋂=-.【点睛】本题考查复数的几何意义，属中档题.14．－1【分析】利用复数的运算法则求出根据虚部的概念即可得出【详解】∴的虚部为故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数的分类考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：－1【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出．【详解】()()212122i i i z i i i +-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15．或【解析】【分析】由复数的虚部为0求得再由的范围得答案【详解】是实数即又或故答案为：或【点睛】本题主要考查了复数的代数表示法实部虚部的概念利用三角函数求角属于中档题 解析：4π或54π. 【解析】【分析】 由复数z 的虚部为0求得tan θ，再由θ的范围得答案. 【详解】(1sin )(cos sin )z i θθθ=++-是实数，cos sin 0θθ∴-=，即tan 1θ=，又[0,2],θπ∈4πθ∴=或54π， 故答案为：4π或54π 【点睛】 本题主要考查了复数的代数表示法，实部、虚部的概念，利用三角函数求角，属于中档题. 16．π【分析】先把复数分母有理化再根据z 在第四象限和|z|≤2可得关于xy 的不等式组进而可得点P 在平面上形成的区域面积【详解】由题得z=x+yi1+i=x+y+(y-x)i2z 在第四象限则有x+y2>0解析：【分析】先把复数分母有理化，再根据z 在第四象限和，可得关于x ，y 的不等式组，进而可得点P 在平面上形成的区域面积．【详解】 由题得，z 在第四象限，则有，整理得，由得，化简得，则点在不等式组所表示的平面区域内，如图阴影部分：则其面积.【点睛】本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性．17．【分析】利用复数的运算法则共轭复数的定义即可得出结果【详解】由可得即所以故答案是：【点睛】该题考查的是有关复数的问题涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念属于简单题目解析：34i -+【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出结果.【详解】 由43z i i +=可得34z i i=-，即23434z i i i =-=--， 所以34z i =-+，故答案是：34i -+.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念，属于简单题目.18．【分析】先根据复数除法得再根据共轭复数概念得【详解】因为所以即【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等属于基本题复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：2i +【分析】 先根据复数除法得z ，再根据共轭复数概念得z .【详解】因为()1243i z i +=+，所以43212i z i i+==-+,即2.z i =+ 【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等，属于基本题.复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi19．-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式即得a 的值详解：由题得(1-i)31+i-3i=a ∴a=(1-i)4(1+i)(1-i)-3i=-2i·-2i2-3i=-2-3i 故答案为-2-3i 点睛：（1）解析：-2-3i【解析】分析：化简已知的等式，即得 a 的值.详解：由题得，故答案为-2-3i点睛：（1）本题主要考查复数的综合运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)本题是一个易错题，已知没有说“a”是一个实数，所以它是一个复数，如果看成一个实数，解答就错了. 20．③【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断详解：①因为是虚数也是纯虚数错误；②两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共解析：③.【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断.详解：①因为2i -是虚数也是纯虚数，错误；②两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数，如1i -和3i +，这两个复数的和为实数，但这两个复数不是共轭复数，错误；③已知,x y R ∈，则i 1i x y +=+的充要条件为1x y ==，正确；④如果让实数a 与i a 对应，那么实数集与纯虚数集不是一一对应的，如当0a =时，错误，故答案为③.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查复数的基本概念，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.三、解答题21．（1）2m =-或3m =；（2）2m =；（3）2m =-或52m =. 【分析】（1）由虚部为0，求解m 值；（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解m 值；（3）由实部与虚部的和为0，列式求解m 值．【详解】解：由题可知，复数224(6)Z m m m i =-+--，（1）当Z 为实数时，则虚部为0，由260m m --=，解得：2m =-或3m =；（2）当Z 纯虚数时，实部为0且虚部不为0， 由224060m m m ⎧-=⎨--≠⎩，解得：2m =； （3）当Z 对应的点位于直线y x =-上时，则0x y +=，即：实部与虚部的和为0，由224(6)0m m m -+--=，解得：2m =-或52m =． 【点睛】本题考查复数的基本概念，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 22．（1）1i +或1i --；（2）1【分析】（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知列关于a ，b 的方程组，求解可得复数z ； （2）分类求得A 、B 、C 的坐标，再由三角形面积公式求解．【详解】解：（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知可得：22ab ==⎪⎩2221a b ab ⎧+=⎨=⎩， 解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩． ∴z ＝1+i 或z ＝﹣1﹣i ；（2）当z ＝1+i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝1﹣i ，∴A （1，1），B （0，2），C （1，﹣1），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1； 当z ＝﹣1﹣i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝﹣1﹣3i ，∴A （﹣1，﹣1），B （0，2），C （﹣1，﹣3），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1． ∴△ABC 的面积为1．【点睛】 本题考查复数的乘方和加减运算，考查复数相等的条件和复数的几何意义，以及三角形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．23．（1）12z =-±；（2）（i ）1z =；1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析；（iii ）1 【分析】（1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i ）采用待定系数法，根据实数的定义构造方程即可解得z 和ω，利用ω的范围求得a 的范围；（ii ）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证得结论；（iii ）将2ωμ-整理为123t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）()()()()()23235512225i i i i z z z i i i i i ----++====-++- 设(),z x yi x y R =+∈，则2221x y xi i ++=-22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得：12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩122z ∴=-± （2）（i ）设z a bi =+(,a b R ∈且)0b ≠2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ω为实数 220b b a b∴-=+，整理可得：221a b += 即1z = ()21,2a ω∴=∈- 1,12a ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（ii ）()()()()()222211*********a bi a bi z a bi a b bi z a bi a bi a bi a b μ--+-------====++++++-++ 由（i ）知：221a b +=，则1b i a μ=-+ 1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且0b ≠ 01b a ∴-≠+ μ∴是纯虚数（iii ）()()22222211212221111b a a a a a a a a a a a ωμ--++-=+=+=+=++++令1a t +=，则1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1a t =- ()2222111232123t t t t t t t t ωμ-+-+-+⎛⎫∴-===+- ⎪⎝⎭ 12t t+≥（当且仅当1t =时取等号） 2431ωμ∴-≥-= 即2ωμ-的最小值为：1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用待定系数法结合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强．24．(1) 1p q += (2) 42w i =-或42i -+.【解析】【分析】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，得出另一根为2i -，根据韦达定理即可得解.(2) 设(),w a bi a b R =+∈,由z w ⋅是实数，得出关于a b ，的方程，又w =a b ，的另一个方程，联立即可解得a b ，的值，即得解.【详解】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是2i -，根据韦达定理可得4,5,1p q p q =-=+=.（2）设(),w a bi a b R =+∈()()()()222a bi i a b a b i R +⋅+=-++∈，得20a b +=又w =2220a b +=,所以4,2a b ==-或4,2a b =-=，因此42w i =-或w=42i -+.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25．（1）123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-.（2）存在，k =【分析】（1）由条件可得211230z iz --=，设1z a bi =+，即可算出（2）由条件得212212iz z z i -=+，然后22212iz z i-=+22427z i -= 【详解】（1）由212z z i -=，可得212z z i =-，代入已知方程得()()1111222210z z i iz i z i -+--+=， 即211230z iz --=.令()1,z a bi a b =+∈R ， 所以()22230a b i a bi +---=， 即()222320a b b ai +---=， 所以2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩. 所以123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-. （2）由已知得212212iz z z i-=+，又1z =所以22212iz z i-=+22222132iz z i -=+， 所以()()()()22222121322iz iz z i z i ---=+-， 整理得()()224427z i z i -+=，所以22427z i -=，即24z i -=，所以存在常数k =，使得等式24z i k -=恒成立.【点睛】设()1,z a bi a b =+∈R ，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.26．（1）214i --（2）552i -【详解】 （1）()()2134i 510i 214.AB z z i =-=--+=--所以AB 对应用的复数为214i --. （2）由题得121212111z z z z z z z +=+= 1212552z z z i z z ∴==-+。
高中数学复数练习题含答案
高中数学复数练习题含答案一、单选题1．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为(1,2)，则复数iz 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四4．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.5．已知复数5i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．23i +B ．24i -C ．33i +D ．24i +6．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．27．已知 i 是虚数单位，复数412⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．设复数z 满足i 3i z z --=，则z 的虚部为（ ）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．2 9．复数z 满足：(2i)5z +=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2C ．i -D ．1-10．下列命题：①若i 0a b +=，则0a b ；②i 22i 2x y x y +=+⇔==；③若y R ∈，且()()211i 0y y ---=，则1y =.其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 12．设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（ ）A B ．4C D 13．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．复数z 满足(1i)23i z -=-，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．若复数()()2i ,z a b a b =+-∈R ，在复平面内对应的点在直线20x y --=上，则a b -=（ ）A ．4-B ．0C ．2D ．4 16．设复数z 1=1+i ，z 2=x +2i(x ∈R)，若z 1z 2∈R ，则x 等于（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．217．若5i2iz =+，则||z =（ ）A ．2B C ．D ．318．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-19．复数z 在复平面内对应点的坐标为（－2，4），则1z +=（ ）A ．3B ．4CD 20．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为()1,2，则()i z z -的对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题21．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.22．已知复数z i =，i 为虚数单位，则z =______23．已知z 是复数，3i 13i z z z z +-⋅⋅=-，则复数z =_________24．已知复数20202023i i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限．25．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________. 26．复数2ii 1+-的共轭复数是_______． 27．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______． 28．若复数(1i)+(2+3i)z =-（i 为虚数单位），则z =__________.29．若复数31i 2iz a -=-为实数，则实数a 的值为_______.30．已知复数z 满足294i z z +=+，则z =___________.31．若复数()()32i z a a R =-+-∈为实数，则2021i 1ia a -+的值为______.32．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．33．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______．34．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________． 35．计算cos 40isin 40cos10isin10________．36．已知复数12,z z ，满足121z z ==，且12z z +=，则12z z =________．37．已知m R ∈，复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内，则m 的取值范围是____________38．已知z =，则22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 39．若a ∈R ，且i2ia ++是纯虚数，则a =____． 40．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________.三、解答题41．若43i 3i m m -+(m ∈R)为纯虚数，求42i 2i m m +⎛⎫⎪-⎝⎭的值． 42．已知复数2(2)()i z m m m =-+-，其中i 是虚数单位，m 为实数． (1)当复数z 为纯虚数时，求m 的值；(2)当复数z 在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围． 43．设z 是虚数，且1z zω=+满足12ω-<<. (1)求||z 的值及z 的实部的取值范围； (2)设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数； (3)求2u ω-的最小值. 44．已知1z ，2z ∈C ，12z =，23z =，124z z +=，求12z z ．（提示：()1122cos isin z z z z θθ=+或()1122cos isin z zz z θθ=-，θ是1z ，2z 所表示的向量的夹角．） 45．根据复数的几何意义证明：121212z z z z z z -≤+≤+．【参考答案】一、单选题 1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．B 7．C 8．C 9．D 10．B 11．A 12．A 13．A 14．A15．B 16．A 17．B 18．B 19．C 20．D 二、填空题 21．35 22．123．12或12##12-或12 24．四 25．1 26．13i 22-+ 27．1i -##i+1-2829．2- 30．5 31．i - 32．825i 625- 33．[]4,6 343512i36．12- 37．()0,3 38．039．12-##0.5- 40．9 三、解答题41．【解析】 【分析】由题可得21230130m m ⎧-=⎨-≠⎩，进而即得.【详解】因为243i (43i)(3i)3i 9m m m m m ---=++=22(123)13i9m m m --+是纯虚数， 所以21230130m m ⎧-=⎨-≠⎩，，解得m =±2．于是当m =2时，4442i 22i 1i 2i 22i 1i m m +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭=i 4=1; 当2m =-时，4442i 22i 1i 2i 22i 1i m m +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=4(i)-=1． 综上，42i 2i m m +⎛⎫⎪-⎝⎭=1． 42．(1)2 (2)()0,1 【解析】 【分析】（1）由复数z 为纯虚数，得到220m m m -=⎧⎨-≠⎩，即可求解； （2）由复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，得出不等式组2200m m m -<⎧⎨-<⎩，即可求解. (1)解：由题意，复数2(2)()i z m m m =-+-， 因为复数z 为纯虚数，则满足2200m m m -=⎧⎨-≠⎩，解得2m =. (2)解：由复数2(2)()i z m m m =-+-，因为复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，可得2200m m m -<⎧⎨-<⎩，解得01m <<， 所以m 的取值范围为()0,1.43．(1)||1z =，112⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)证明见解析(3)1 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法可得ω，根据其为实数可得221a b +=，从而z 的实部的取值范围；（2）根据复数的除法可得i 1bu a =-+，从而可证u 为纯虚数； （3）根据基本不等式可求最小值. (1)设i z a b =+，a b R ∈、，0b ≠， 则22221i i i a b a b a b a b a b a b ω⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， ∵12ω-<<，∴ω是实数，又0b ≠，∴221a b +=，即||1z =，∴2a ω=，122a ω-<=<，112a -<<，∴z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (2)()222211i 12i i 11i 11z a b a b b b u z a b a a b ------====-++++++， ∵1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0b ≠，∴u 为纯虚数；(3)()()22212122212131111b a u a a a a a a a a ω-⎡⎤-=+=-=-+=++-⎢⎥+++⎣⎦+，∵112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，∴10a +>，故223431u ω-≥⨯=-=， 当111a a +=+，即0a =时，2u ω-取得最小值1.44．16+或16 【解析】 【分析】算出1z ，2z 所表示的向量的夹角的正、余弦即可. 【详解】设复数1z 对应OA ，2z 对应OB ，OA OB OC +=，则22223431cos 223124OAC +-∠==-=-⨯⨯ 所以1cos 4AOB ∠=，所以15sin AOB ∠= 所以122115115346z z ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭或121156z z =. 45．证明详见解析 【解析】 【分析】结合三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边来证得不等式成立. 【详解】当12,z z 方向相同时，121212z z z z z z -<+=+；当12,z z 方向相反时，121212z z z z z z -=+<+；当12,z z 不共线时，1212,,z z z z +满足三角形的三边，根据三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边可知：121212z z z z z z -<+<+.综上所述，不等式121212z z z z z z -≤+≤+成立.。
高中数学第七章复数经典大题例题(带答案)
高中数学第七章复数经典大题例题单选题1、已知z =2+i ，则z−i 1+i =（ ）A ．1−2iB ．2+2iC ．2iD ．−2i答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解.由z =2+i ，得z =2−i ，所以z−i 1+i =2−i−i 1+i =2(1−i )×(1−i )(1+i )×(1−i )=2×(1−2i+i 2)2=−2i .故选：D.2、设(−1+2i)x =y −1−6i ，x,y ∈R ，则|x −yi|=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3答案：B分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{x =−3y =4，进而求模长即可. 因为(−1+2i )x =y −1−6i ，所以{2x =−6−x =y −1，解得{x =−3y =4， 所以|x −yi |=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5.故选：B.3、已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z =z .则其中正确命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：C解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数z 1和z 2的模相等,例如z 1=1+i ,z 2=√2i ,则z 1和z 2是共轭复数是错误的;对于②z 1和z 2都是复数,若z 1+z 2是虚数,则其实部互为相反数,则z 1不是z 2的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z =a ,则z =a 所以z =z ,反之当z =z 时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z =z 是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4、在复平面内，复数z =1+i 1−i +1−i 2对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：由复数的运算求出z ，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论．z =(1+i)2(1−i)(1+i)+1−i 2=2i 2+1−i 2=12+12i ， 则z 在复平面内对应的点为(12，12)，在第一象限，故选：A .5、z 1、z 2是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若z 12+z 22>0，则z 12>−z 22B ．|z 1−z 2|=√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2C ．z 12+z 22=0⇔z 1=z 2=0D ．|z 12|=|z 1|2答案：D解析：举反例z 1=2+i ，z 2=2−i 可判断选项A 、B ，举反例，z 2=i 可判断选项C ，设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，分别计算|z 12|、|z 1|2即可判断选项D ，进而可得正确选项.对于选项A ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，z 12=(2+i )2=3+2i ，z 22=(2−i )2=3−2i ，满足z 12+z 22=6>0，但z 12与z 22是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确；对于选项B ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，|z 1−z 2|=|2i |=2，而√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2=√42−4(2+i )(2−i )=√16−20无意义，故选项B 不正确；对于选项C ：取，z 2=i ，则z 12+z 22=0，但是z 1≠0，z 2≠0，故选项C 不正确；对于选项D ：设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，则z 12=(a +bi )2=a 2−b 2+2abi11z =11z =|z 12|=√(a 2−b 2)2+4a 2b 2=√(a 2+b 2)2=a 2+b 2，z 1=a −bi ，|z 1|=√a 2+b 2，所以|z 1|2=a 2+b 2，所以|z 12|=|z 1|2，故选项D 正确.故选：D.6、已知i 为虚数单位，则i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=（ ）A ．iB ．−iC ．1D ．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0，得到i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=i 2021，即可求解.根据虚数的性质知i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=1+i −1−i =0，所以i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=505×0+i 2021=i .故选：A.7、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D8、已知关于x 的方程（x 2＋mx ）＋2x i ＝－2－2i （m ∈R ）有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于（ ）A ．3＋iB ．3－iC．－3－iD．－3＋i答案：B分析：根据复数相等得出m,n的值，进而得出复数z. 由题意知（n2＋mn）＋2n i＝－2－2i，即{n 2+mn+2=02n+2=0，解得{m=3,n=−1，∴z=3−i故选：B多选题9、已知复数z=21+i，则正确的是（）A．z的实部为﹣1B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的虚部为﹣iD．z的共轭复数为1+i答案：BD分析：根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可.因为z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，所以z的实部为1，虚部为-1，在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限，共轭复数为z=1+i，故AC错误，BD正确.故选：BD10、复数z=1−i，则（）A．z在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)B．z在复平面内对应的点的坐标为(1,1)C．|z|=2D．|z|=√2答案：AD分析：利用复数的几何意义，求出复数对应的点坐标为(1,−1)，即可得答案；z=1−i在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)，|z|=√2．故选：AD.11、已知复数z满足(1+i3)z=2，则下列说法中正确的有（）A．z的虚部是iB．|z|=√2C．z⋅z=2D．z2=2答案：BC分析：根据复数的除法运算求出z，结合相关概念以及复数乘法运算即可得结果.z=21+i3=21−i=1+i，其虚部为1，|z|=√2，z⋅z=(1+i)(1−i)=2，z2=(1+i)2=2i≠2．故选：BC.12、已知复数z1=−2+i（i为虚数单位），复数z2满足|z2−1+2i|=2，z2在复平面内对应的点为，则（）A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限B．1z1=−25−15iC．(x+1)2+(y−2)2=4D．|z2−z1|的最大值为3√2+2答案：ABD分析：利用复数的几何意义可判断A选项；利用复数的除法运算可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用复数模长的三角不等式可判断D选项.对于A选项，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(−2,1)，该点位于第二象限，A对；对于B选项，1z1=1−2+i=−2−i(−2+i)(−2−i)=−25−15i，B对；对于C选项，由题意可得z2−1+2i=(x−1)+(y+2)i，因为|z2−1+2i|=2，则(x−1)2+(y+2)2=4，C错；对于D选项，z1−1+2i=−3+3i，则|z1−1+2i|=√(−3)2+32=3√2，所以，|z2−z1|=|(z2−1+2i)−(z1−1+2i)|≤|z2−1+2i|+|z1−1+2i|=2+3√2，D对.(), M x y故选：ABD.13、若复数z 满足：z (z +2i )=8+6i ，则（ ）A ．z 的实部为3B ．z 的虚部为1C ．zz =√10D ．z 在复平面上对应的点位于第一象限答案：ABD分析：根据待定系数法，将z =a +bi (a,b ∈R )代入条件即可求解a =3，b =1，进而即可根据选项逐一求解. 设z =a +bi (a,b ∈R )，因为z (z +2i )=8+6i ，所以zz +2iz =8+6i ，所以(a 2+b 2−2b )+2ai =8+6i ，所以a 2+b 2−2b =8，2a =6，所以a =3，b =1，所以z =3+i ，所以z 的实部为3，虚部为1，故A ，B 正确；zz =|z |2=10，故C 不正确；z 在复平面上对应的点(3,1)位于第一象限，故D 正确．故选:ABD ．填空题14、i 2 021＝________.答案：i分析：利用周期性求得所求表达式的值.i 2021=i 505×4+1=i 1=i所以答案是：i15、设复数z ，满足|z 1|=1，|z 2|=2，z 1+z 2=√3−i ，则|z 1−z 2|=____________．答案：√6解析：根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出|z 1−z 2|的值.设z 1,z 2在复平面中对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，z 1+z 2对应的向量为OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如下图所示：因为z 1+z 2=√3−i ，所以|z 1+z 2|=√3+1=2，所以cos∠OZ 1Z 3=12+22−221×2×2=14， 又因为∠OZ 1Z 3+∠Z 1OZ 2=180°，所以cos∠Z 1OZ 2=−cos∠OZ 1Z 3=−14，所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OZ 12+OZ 22−2OZ 1⋅OZ 2⋅cos∠Z 1OZ 2=1+4+1=6， 所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，又|z 1−z 2|=|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，所以答案是：√6.小提示：名师点评复数的几何意义：（1）复数z =a +bi (a,b ∈R )一一对应↔复平面内的点Z (a,b )(a,b ∈R )； （2）复数z =a +bi (a,b ∈R ) 一一对应↔平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 16、在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5).则(1−i)z =___________.答案：−2−8i ##−8i −2分析：根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5)，则z =3−5i ，所以(1−i)z =(1−i)(3−5i)=−2−8i .所以答案是：−2−8i解答题17、已知复数z 1＝4－m 2＋（m －2）i ，z 2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i （其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R ）.(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围.答案：(1)-2；(2)[2，6]分析：（1）z 1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；（2）由z 1＝z 2，实部、虚部分别相等，求得λ关于θ的函数表达式，根据sinθ的范围求得参数取值范围.(1)由z 1为纯虚数，则{4−m 2=0,m −2≠0,解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得{4−m 2=λ+2sinθ,m −2=cosθ−2,∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3=(sinθ−1)2+2. ∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2，当sin θ＝－1时，λmax ＝6，∴实数λ的取值范围是[2，6].18、已知m ∈R ，α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．（1）若|α−β|=2√2，求m 的值；（2）用m 表示|α|+|β|．答案：（1）−1或3；（2）|α|+|β|={2√m,m >12,0≤m ≤12√1−m,m <0.分析：（1）由α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．可得α+β=−2，αβ=m ，对α，β分为实数，与一对共轭虚根即可得出．（2）不妨设α⩽β，对m 及其判别式分类讨论，利用根与系数的关系即可得出．解：（1）∵α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．∴α+β=−2，αβ=m ，若α，β为实数，即Δ=4−4m ≥0，解得m ≤1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=√4−4m ，解得m =−1．若α，β为一对共轭复数，即Δ=4−4m <0，解得m >1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=|√4m −4i|，解得m =3．综上可得：m =−1或3．（2）因为x2+2x+m=0，不妨设α⩽β．Δ=4−4m⩾0，即m⩽1时，方程有两个实数根．α+β=−2，αβ=m，0⩽m⩽1时，|α|+|β|=|α+β|=2．m<0时，α与β必然一正一负，则|α|+|β|=−α+β=√(α+β)2−4αβ=2√1−m．Δ=4−4m<0，即m>1时，方程有一对共轭虚根．|α|+|β|=2|α|=2√α2=2√m综上可得：|α|+|β|={2√m,m>1 2,0⩽m⩽12√1−m,m<0．。
专题16 复数(习题)-2021届沪教版高考数学一轮复习(上海专用)
2021届高考数学一轮复习 专题16复数一、填空题1．（2020·上海松江·期末）已知复数z 满足，则2z i -（其中i 是虚数单位）的最小值为____________. 【答案】1 【解析】复数z 满足||1(z i =为虚数单位）， 设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．则|2||cos (sin 2)|1z i i θθθ-=+-，当且仅当时取等号．故答案为：1．2．（2020·上海高三其他）若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________ 【答案】1- 【解析】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1-故答案为1- 【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力. 3．（2020·上海普陀·高三一模）设i 是虚数单位，若11z ai i=++是实数，则实数a = 【答案】12【解析】依题意，由于z 为实数，故110,22a a -==.4．（2020·上海市建平中学高三月考）已知x C ∈，且，则_____． 【答案】4或-1【解析】由()()54321110x x x x x x -=-++++=,得1x =,或43210x x x x ++++=,进而得到答案．∵x C ∈，且()()54321110x x x x x x -=-++++=,故1x =,或43210x x x x ++++=， 当1x =时,,当43210x x x x ++++=时， ， 故，或-1故答案为：4或-1．5．（2020·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程有实根，则这样的复数z 的和为________ 【答案】32- 【解析】设z a bi =+，（且），将原方程变为，则2220ax ax ++=①且220bx bx -=②；再对b 分类讨论可得；设z a bi =+，（且） 则原方程变为所以2220ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，此时1x =-，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得14a =-，b =所以14z =-±综上满足条件的所以复数的和为 故答案为：32-6．（2019·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足(4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______． 【答案】-3 【解析】试题分析：由题意得：32436iz i i+=+=-+，其虚部为-3 7．（2019·上海市建平中学高三月考）已知复数z 满足(1i)1i z +=-，则Re()z =________ 【答案】0 【解析】因为，所以()Re 0z =. 故答案为0.8．（2020·上海普陀·三模）在复平面内，点()2,1A -对应的复数z ，则1z +=___________【解析】由题意2z i =-+，∴。
(北师大版)上海市高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(含答案解析)
一、选择题1．设复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值为（ ）A 1B ．2C 1D ．22．若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 3．复数34i z i -=，|z |＝（ ）A B ．3 C ．4 D ．5 4．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34± B ．43 C ．34- D ．43- 5．若复数z 满足(34)25i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是A ．3iB ．3i -C ．3D ．-3 6．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知0)z a a =>且||2z =，则z =( )A．1B ．1C ．2D ．3+ 8．已知复数33i z i --=，则z 的虚部为（ ） A ．3- B ．3 C ．3i D ．3i -9．复数z 满足(1)35i z i -⋅=+，则||z =A ．2B ．CD 10．已知复数122i z i +=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．i11．设i 是虚数单位，则复数734i i ++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 12．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标为 ( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)二、填空题13．设221i z i-=+，则z =_____________． 14．在复数集中分解因式：2364x x -+=________.15．已知复数zi =，i 为虚数单位，则z =____________16．设12,z z 为复数，21z =，则21121z z z z -=-___________. 17．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_____（米）．18．已知复数z 满足21z i i=++，则z 的共轭复数z=__________. 19．已知复数z 满足(1)i z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为_________． 20．下列四个命题中正确的有_______（填上所有正确命题的序号）①若实数,,a b c 满足3a b c ++=，则,,a b c 中至少有一个不小于1②若z 为复数，且z =1，则z i -的最大值等于2③(0,),sin x x x ∈+∞>任意都有④204π=三、解答题21．已知复数2(1)(24)33Z i m i m i =+-+-+（1）当m 为何值时 , Z 为纯虚数 ?（2） 当m 为何值时 , Z 对应的点在y x =上?22．实数m 取什么数值时，复数()2212z m m m i =-+--分别是： （1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z 的点在复平面的第四象限？23．已知z 是复数，121z z ==，12z z +=12z z -.24．复数2(21)(1),z a a a i a R =--+-∈.（1）若z 为实数，求a 的值；（2）若z 为纯虚数，求a 的值；（3）若93z i =-，求a 的值.25．方程21(4)02x m x m --+=的两根为α，β，且||||αβ+=m 的值.26．若关于x 的方程22470x zx i -++=有实根，求复数z 的模的最小值和此时z 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】 如图所示，复数满足1z =时轨迹方程为复平面内的单位圆， 而()11z i z i -+=--表示z 与复数1i -所对应的点在复平面内的距离，结合圆的性质可知，1z i -+的最大值为()2211121+-+=+.本题选择C 选项. 2．A解析：A 【分析】设z x yi =+，得到()()22221x y ++-=，化简得到()()221212z i x y --=-+-根据其几何意义计算得到答案.【详解】设z x yi =+，则()()()()222222221z i x y i x y +-=++-=++-=， 即()()22221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆. ()()()()22121212z i x y i x y --=-+-=-+-，表示点(),x y 和()1,2之间的距离，故()()min 12122z i r --=---=.故选：A.【点睛】本题考查了复数的模，与圆相关距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 3．D解析：D【分析】根据复数的除法运算先把z 化成(),z a bi a b R =+∈的形式，再根据公式z =求模.【详解】 ()()()2234343443i i i i i z i i i i i----+====----，5z ∴==.故选：D .【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，属于基础题.4．C解析：C【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果.【详解】 若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠， 所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-， 所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-． 故选C ．【点睛】 本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.5．C解析：C【分析】本道题目可以设出z a bi =+,然后结合待定系数法,计算参数,即可得出答案.【详解】设z a bi =+,代入原式得到()()()()34343434i z i a bi a b b a i +=++=-++结合待定系数法得到340,3425a b b a -=+=,解得3b =,故选C.【点睛】本道题目考查了待定系数法和复数的四则运算,注意虚部是指i 的系数.6．B解析：B【分析】先化简得到2z i =--，再计算2z i =-+得到答案。
(完整word版)高中数学复数专项练习题(含答案)
高考复数练习题一、选择题1.设有下面四个命题：p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1·z2∈R，则z1=z2−；p4：若复数z∈R，则z−∈R．其中的真命题为()A. p1，p3B. p1，p4C. p2，p3D. p2，p42.若z(1−i)=|1−i|+i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为()A. √2−12B. √2−1 C. 1 D. √2+123.i为虚数单位，i607的共轭复数为()A. iB. −iC. 1D. −14.在复平面内，复数11−i的共轭复数对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.若复数(1−i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A. (−∞,1)B. (−∞,−1)C. (1,+∞)D. (−1,+∞)6.复数z=2−i2+i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.若复数z满足(3−4i)z=|4+3i|，则z的虚部为()A. 45i B. 45C. 4iD. 48.若z=1+2i，则4iz⋅z−−1=()A. 1B. −1C. iD. −i9.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于()A. −3B. −2C. 2D. 310.已知i是虚数单位，a，，得“a=b=1”是“”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件11.若复数z满足2z−z−=3+12i，其中i为虚数单位，z−是z的共轭复数，则复数|z|=()A. 3√5B. 2√5C. 4D. 512.设z=3−i1+2i，则|z|=()A. 2B. √3C. √2D. 113.复数21−i(i为虚数单位)的共轭复数是()A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i14.设z=11+i+i，则|z|=()A. 12B. √22C. √32D. 2二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）15.已知a∈R，i为虚数单位，若a−i2+i为实数，则a的值为．16.i是虚数单位，复数z满足(1+i)z=2，则z的实部为．17.已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为______．18.若z l=a+2i，z2=3−4i，且z1z2为纯虚数，则实数a的值为______．19.设a∈R，若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a=．20.已知复数z满足z+3z=0，则|z|=．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）21.设z1=2x+1+(x2−3x+2)i，z2=x2−2+(x2+x−6)i(x∈R)，其中i是虚数单位．(1)若z1是纯虚数，求实数x的取值范围；(2)若z1>z2，求实数x的取值范围．22.当实数a为何值时z=a2−2a+(a2−3a+2)i．(1)为纯虚数；(2)为实数；23.已知复数z=bi(b∈R)，z−2是实数，i是虚数单位．1+i(1)求复数z；(2)若复数(m+z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B本题主要考查命题的真假判断，考查了复数的运算，复数的概念，共轭复数，属于基础题．【解答】解：设z=a+bi(a,b∈R)，则1z =1a+bi=a−bia2+b2，若复数z满足1z∈R，则b=0，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=−1∈R，但z∉R，故命题p2为假命题；p3：复数z1=i，z2=2i满足z1·z2=−2∈R，但z1≠z2−，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则z−=z∈R，故命题p4为真命题．故选B．2【答案】D本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念及模，属于基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z(1−i)=|1−i|+i=√2+i，∴z=√2+i1−i=(√2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=√2−12+√2+12i，则z的虚部为√2+12，故选D．3.【答案】A本题考查复数的基本运算，复数单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．【解答】解：i 607=i 604+3=i 3=−i ，它的共轭复数为：i ．故选：A ．4.【答案】D本题考查复数的四则运算，复数的代数表示及其几何意义，属于基础题． 可得复数11−i 的共轭复数为12−12i ，即可得解．【解答】解：复数11−i =1+i (1−i)(1+i)=12+12i ，则复数11−i 的共轭复数为12−12i ，在复平面内，复数11−i 的共轭复数对应点的坐标为(12,−12)，故在复平面内，复数11−i 的共轭复数对应的点位于在第四象限．故选D ．5.【答案】B本题考查了复数的运算法则，几何意义，属于基础题．根据条件可得{a +1<01−a >0，解得a 范围即可． 【解答】解：复数(1−i)(a +i)=a +1+(1−a)i 在复平面内对应的点在第二象限， ∴{a +1<01−a >0，解得a <−1． 则实数a 的取值范围是(−∞,−1)．故选B ．6.【答案】D先将复数z 进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限． 判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果．解：∵z=2−i2+i =(2−i)2(2+i)(2−i)=35−45i，∴复数在复平面对应的点的坐标是(35,−45)，∴它对应的点在第四象限，故选：D．7.【答案】B本题考查复数的运算，考查复数的概念，比较基础．由题意，z=53−4i =35−45i，可得z的虚部．【解答】解：由题意，z=53−4i =35+45i，∴z的虚部为45．故选B．8.【答案】C本题考查复数的代数形式的混合运算，共轭复数的概念，属于基础题．利用复数的四则运算法则化简求解即可．【解答】解：因为z=1+2i，所以z−=1−2i，则4iz·z−−1=4i(1+2i)(1−2i)−1=4i5−1=i，故选C．9.【答案】A本题考查复数的概念及复数的乘法的运算法则，考查计算能力，属于基础题．利用复数的乘法运算法则，根据复数的概念求解即可．【解答】解：(1+2i)(a+i)=a−2+(2a+1)i的实部与虚部相等，可得：a−2=2a+1，解得a=−3．10.【答案】A本题考查的知识点是充分、必要条件的判断，复数的相等，复数的运算，属于简单题．利用复数的运算性质，分别判断“a =b =1”⇒“(a +bi )2=2i ”与“(a +bi )2=2i ”⇒“a =b =1”的真假，进而根据充分条件和必要条件的判断得到结论．【解答】解：当a =b =1时，(a +bi )2=(1+i )2=2i 成立，故“a =b =1”是“(a +bi )2=2i ”的充分条件；当(a +bi )2=a 2−b 2+2abi =2i 时，a =b =1或a =b =−1，故“a =b =1”不是“(a +bi )2=2i ”的必要条件；综上所述，“a =b =1”是“(a +bi )2=2i ”的充分不必要条件．故选A ．11.【答案】D【解析】解：复数z =a +bi ，a 、b ∈R ，∵2z −z −=3+12i ，∴2(a +bi)−(a −bi)=3+12i ，即{2a −a =32b +b =12，解得a =3，b =4， ∴z =3+4i ，∴|z|=√32+42=5．故选：D ．根据复数的四则运算法则先求出复数z ，再计算它的模长．本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题． 12.【答案】C本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．直接利用复数商的模等于模的商求解．【解答】解：由z=3−i1+2i，得|z|=|3−i1+2i |=|3−i||1+2i|=√10√5=√2．故选C．13.【答案】B本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．【解答】解：化简可得z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，∴z的共轭复数z−=1−i，故选：B．14.【答案】B【解答】解：z=11+i+i=1−i(1+i)(1−i)+i=12+12i．故|z|=√14+14=√22．故选B．15.【答案】BD本题主要考查随机事件中的互斥与对立事件的判断，属于基础题．根据互斥与对立事件的概念即可得解．【解答】解：将一个骰子抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，由题意，事件A与事件B能同时发生，不是互斥事件，故A错误，B正确；事件B与事件C不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故C错误，D正确；16.【答案】−2本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简a−i2+i，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：a∈R，i为虚数单位，a−i 2+i =(a−i)(2−i)(2+i)(2−i)=2a−1−(2+a)i4+1=2a−15−2+a5i由a−i2+i为实数，可得−2+a5=0，解得a=−2．故答案为−2．17.【答案】1本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是中档题．把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由(1+i)z=2，得z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i，∴z的实部为1．故答案为：1．18.【答案】21【解析】解：z=(5+2i)2=25+20i+4i2=25−4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21根据复数的有关概念，即可得到结论．本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础．19.【答案】83利用实部等于0，虚部不为0，求出a 即可．本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，是基础题．【解答】解：z 1z 2=a+2i 3−4i =(a+2i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=3a−8+(4a+6)i 25，它是纯虚数，所以3a −8=0，且4a +6≠0，解得a =83，故答案为：83． 20.【答案】−1本题考查的知识点是复数的运算及其几何意义，属基础题．可由(1+i)(a +i)=a −1+(a +1)i ，则a +1=0，解得答案．【解答】解：因为(1+i)(a +i)=a −1+(a +1)i ，若复数(1+i)(a +i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a +1=0，解得a =−1．故答案为−1．21.【答案】√3本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．设z =a +bi(a,b ∈R)，代入z 2=−3，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案．【解答】解：由z +3z =0，得z 2=−3，设z =a +bi(a,b ∈R)，由z 2=−3，得(a +bi)2=a 2−b 2+2abi =−3，即{a 2−b 2=−32ab =0，解得：{a =0b =±√3． ∴z =±√3i ．则|z|=√3．故答案为：√3．⇒{x =−12(x −1)(x −2)≠0⇒{x =−12x ≠1且x ≠2⇒x =−12所以实数x 的取值范围是{x|x =−12}；(2)依题意得{x 2−3x +2=0x 2+x −6=0⇒{(x −1)(x −2)=0(x +3)(x −2)=0⇒{x =1或x =2x =−3或x =2 所以x =2，检验：当x =2时，z 1=2×2+1=5,z 2=22−2=2，满足z 1>z 2符合题意． 所以实数x 的取值范围是{x|x =2}．【解析】本题考查复数的基本概念，是基础题．(1)利用复数的实部为0且虚部不为0，列出方程求解即可．(2)利用复数z 1，z 2是实数，虚部都为0求出x 的值，然后判断即可．23.【答案】解：(1)复数z 是纯虚数，则由{a 2−2a =0a 2−3a +2≠0，得{a =0或a =2a ≠1且a ≠2，即a =0．(2)若复数z 是实数，则a 2−3a +2=0，得a =1或a =2．(3)在复平面内对应的点位于对应的点在第一象限，则{a 2−2a >0a 2−3a +2>0， 即{a >2或a <0a <1或a >2，解得a <0或a >2．【解析】(1)复数为纯虚数，则实部为0，虚部不等于0．(2)复数为实数，则虚部等于0．(3)若复平面内对应的点位于第一象限，则实部大于0，虚部大于0．本题主要考查复数的有关概念，建立条件关系是解决本题的关键，比较基础． 24.【答案】解：(1)因为z =bi(b ∈R)，所以z−21+i =bi−21+i =(bi−2)(1−i)(1+i)(1−i)=(b−2)+(b+2)i 2=b−22+b+22i. 又因为z−21+i 是实数，所以b+22=0，所以b =−2，即z =−2i ．(2)因为z =−2i ，m ∈R ，所以(m +z)2=(m −2i)2=m 2−4mi +4i 2=(m 2−4)−4mi ， 又因为复数(m +z)2所表示的点在第一象限，所以{m 2−4>0,−4m >0,解得m <−2， 即m ∈(−∞,−2)．。
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复数综合练习题
一、 选择题
1、若22
(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是（ ） A 1 B 1- C 1± D 以上都不对
2、22
1(1)(4),.z m m m m i m R =++++-∈232.z i =-则1m =是12z z =的（ ）条件
A 充分不必要
B 必要不充分
C 充要
D 既不充分又不必要 3、若12,z z C ∈，则1212z z z z ⋅+⋅是（ ） A 纯虚数 B 实数 C 虚数 D 无法确定 4、(),()n
n
f n i i n N -+
=+∈的值域中，元素的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 无数个 5、3()m i R +∈，则实数m 的值为（ ）
A ±3±
2
± 6、若x C ∈，则方程||13x i x =+-的解是（ ）
A
122+ B 124,1x x ==- C 43i -+ D 122
- 7、|34|2z i ++≤，则||z 的最大值为（ ） A 3 B 7 C 9 D 5 8、已知
z =则501001z z ++的值为（ ） A i B 1 C 2i + D 3 9、已知11x x +
=，则199619961
x x
+的值为（ ） A 1- B 1 C i - D i
10、已知方程|2||2|z z a --+=表示等轴双曲线，则实数a 的值为（ ）
A ±
B 11、复数集内方程2
5||60z z ++=的解的个数是（ ）
A 2
B 4
C 6
D 8
12、复数1cos sin ,(2)z i ααπαπ=++<<的模是（ ） A 2cos
2
α B 2cos
2
α- C 2sin
2
α D 2tan
2
α-
二、填空题
13、34i +的平方根是 、 。
14、在复平面内，若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形是 。
15、设12ω=-
，则集合A={|()k k x x k Z ωω-=+∈}中元素的个数是 。
16、已知复数122,13z i z i =-=-，则复数 2
15
z i z + = 。
三、解答题 （写出必要的运算步骤）
17 在复平面上，设点A 、B 、C ，对应的复数分别为,1,42i i +。
过A 、B 、C 做平行四边形ABCD ，求此平行四边形的对角线BD 的长。
18、设,a b 为共轭复数，且2
()3412a b abi i +-=- ，求,a b 的值。
19、已知复数z 满足|4||4|,z z i -=-且141
z
z z -+-为实数，求z 。
20、已知,z ω为复数，(13)i z +⋅为纯虚数，2z
i
ω=+，且||ω=
求复数ω。
21、求同时满足下列两个条件的所有复数z ； （1）10z R z +
∈，且10
16z z
<+≤；
（2）z 的实部与虚部都是整数。
22、=x ＋yi (x ，y ∈R )，且 222
log 8(1log )x y
i x y i ++-=-，求z ．
23、于x 的的方程是0)2()(tan 2
=+-+-i x i x θ；若方程有实数根， 求锐角θ和实数根；
复数综合练习题（二）参考答案
答案:
一、A 、A 、B 、B 、B 、 C 、B 、A 、A 、A 、 A 、B
二、 13 2,2i i +-- 14 y x =-直线 15 2 16 i 三、简答题
17、由题知平行四边形三顶点坐标为(0,1),(1,0),(4,2)A B C ，设D 点的坐标为 (,)D x y 。
因为BA CD =，得(1,1)(4,2)x y -=--，得41,2 1.x y -=-⎧⎨-=⎩得3
3x y =⎧⎨=⎩
，即(3,3)D
所以(2,3)BD = ，
则||BD =
18、设,,(,)a x yi b x yi x y R =+=-∈。
带入原方程得
2
2
2
43()412x x y i i -+=-，由复数相等的条件得2
22
44,
3()12.x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
解得1x y =⎧⎪⎨
=⎪⎩
1
x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩.对应四组解略。
19、,(,)z x yi x y R =+∈，因为|4||4|,z z i -=-带入得x y =，所以,z x xi x R =+∈
又因为141z
z z -+
-为实数，所以141411
z z z z z z --+=+--， 化简得，所以有0z z -=或2
|1|13z -=
由0z z -=得0x =；由2
|1|13z -=得2,3x x =-=或。
所以0;22;3 3.z z i z i ==--=+ （也可以直接用代数形式带入运算）
20、设,(,)z x yi x y R =+∈，则(13)i z +⋅=(3)(3)x y x y i -++为纯虚数，所以30x y =≠， 因
为|||
|2z
i
ω==+，所
以||z ==；又3x y =。
解得15,5;15,5x y x y ===-=- 所以155(7)2i
i i
ω+=±=±-+。
21、（一）使用19题的方法解得0z z -=
或||z =，然后解决。
（二）设,(,)z x yi x y R =+∈
则1010z x yi z x yi +
=+++2210()x yi x yi x y -=+++22221010(1)(1)x y i x y x y =++-++ 因为10
z R z
+
∈，所以2
2
10(1)0y x y -=+。
所以22010y x y =+=或。
当0y =时，z x =，又1016z z <+≤，所以x R +∈
，而10
6z z
+≥>，所以在实数范围内无解。
当2
2
10x y +=时，则102z z z z z z x z z ⋅+
=+=+=。
由112632
x x <≤⇒<≤ 因为,x y 为正整数，所以x 的值为 1，或2，或3。
当1,3;x y ==±时
当2,)x y ==时舍；当3,1x y ==±时。
则133z i z i =±=±或,。
22本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法． ∵ 222
log 8(1log )x y
i x y i ++-=-，∴22280log 1log x y x y
+⎧-=⎨=-⎩，∴3
2x y xy +=⎧⎨=⎩，
解得21x y =⎧⎨
=⎩或1
2x y =⎧⎨=⎩
, ∴ z ＝2＋i 或z ＝1＋2i ． 23（1）设实数根是a ，则0)2()(tan 2
=+-+-i x i a θ，即---2tan 2
θa a
0)1(=+i a ，∵a 、R ∈θtan ，⎩⎨
⎧=+=--;
01,
02tan 2a a a θ ∴,1-=a 且1tan =θ，又2
0πθ<
<，∴1,4
-==
a π
θ；。