高中数学选修2-2复数单元测试卷

章末检测

一、选择题

1.i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )

A.i ∈S

B.i 2∈S

C.i 3∈S

D.2i

∈S 答案 B

2.z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

答案 A

解析 因为z 1＝z 2，

所以⎩⎪⎨⎪⎧

m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2， 所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件.

3.设z 1，z 2为复数，则下列四个结论中正确的是( )

A.若z 21＋z 22＞0，则z 21＞－z 22

B.|z 1－z 2|＝(z 1＋z 2)2－4z 1z 2

C.z 21＋z 22＝0⇔z 1＝z 2＝0

D.z 1－z 1是纯虚数或零

答案 D

解析 举例说明：若z 1＝4＋i ，z 2＝2－2i ，则z 21＝15＋8i ，z 22＝－8i ，z 21＋z 22＞0，但z 21与－z 22

都是虚数，不能比较大小，故A 错；因为|z 1－z 2|2不一定等于(z 1－z 2)2，故|z 1－z 2|与

(z 1＋z 2)2－4z 1z 2不一定相等，B 错；若z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则z 21＝3＋4i ，z 22＝－3－4i ，z 21

＋z 22＝0，但z 1＝z 2＝0不成立，故C 错；设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 1＝a －b i ，故z 1－z 1＝2b i ，当b ＝0时是零，当b ≠0时，是纯虚数.故D 正确.

4.已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋i ＝1＋n i ，则

m ＋n i m －n i

等于( ) A.－1 B.1 C.－i D.i

答案 D

解析 由m ＋i ＝1＋n i(m ，n ∈R )，∴m ＝1且n ＝1.则m ＋n i m －n i ＝1＋i 1－i

＝(1＋i )22＝i. 5.已知a 是实数，a －i 1＋i

是纯虚数，则a 等于( ) A.1 B.－1 C. 2 D.－ 2

答案 A

解析 a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )

＝(a －1)－(a ＋1)i 2是纯虚数，则a －1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1. 6.若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( )

A.－2＋i

B.2＋i

C.1－2i

D.1＋2i

答案 B

解析 ∵(x －i)i ＝y ＋2i ，x i －i 2＝y ＋2i ，

∴y ＝1，x ＝2，∴x ＋y i ＝2＋i.

7.已知2＋a i ，b ＋i 是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，则p ，q 的值为( )

A.p ＝－4，q ＝5

B.p ＝4，q ＝5

C.p ＝4，q ＝－5

D.p ＝－4，q ＝－5 答案 A

解析 由条件知2＋a i ，b ＋i 是共轭复数，则a ＝－1，b ＝2，即实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是2±i ，所以p ＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q ＝(2＋i)(2－i)＝5. 8.i 为虚数单位，设复数z 满足|z |＝1，则⎪⎪⎪⎪

⎪⎪z 2－2z ＋2z －1＋i 的最大值为( ) A.2－1

B.2－ 2

C.2＋1

D.2＋ 2 答案 C

解析 |z 2－2z ＋2z －1＋i

|＝|z －(1＋i)|，故只需求x 2＋y 2＝1上的点到(1,1)的最大距离，其值为1＋ 2. 9.实数x ，y ，θ有以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)(其中i 是虚数单位)，则x 2＋y 2的最大值为( )

A.30

B.15

C.25

D.100

答案 D

解析 由复数相等知⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3＋5cos θ，y ＝－4＋5sin θ， 则x 2＋y 2＝50－50sin(θ－φ)≤100(其中φ为辅助角).

∴x 2＋y 2的最大值为100.

10.设复数z 满足|z |＜1且⎪

⎪⎪⎪z ＋1z ＝52，则|z |等于( ) A.45 B.34 C.23 D.12

答案 D

解析 因为⎪⎪⎪⎪z ＋1z ＝|z z ＋1||z |＝52，即|z |2＋1＝52|z |，所以|z |＝12

. 11.如果关于x 的方程2x 2＋3ax ＋a 2－a ＝0至少有一个模等于1的根，那么实数a 的值( )

A.不存在

B.有一个

C.有三个

D.有四个

答案 C

解析 (1)当根为实数时，将x ＝1代入原方程得a 2＋2a ＋2＝0，此方程无实数解；将x ＝－1代入原方程得a 2－4a ＋2＝0，解得a ＝2±2，都符合要求.

(2)当根为虚数时，Δ＝a (a ＋8)＜0，∴－8＜a ＜0.此时有x 1·x 2＝|x 1|2＝|x 2|2

＝1＝a 2－a 2，所以可得a 2－a －2＝0，解得a ＝－1，或a ＝2(舍去).故共有三个.

12.已知f (n )＝i n －i －

n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.无数个

答案 B

解析 f (n )有三个值0,2i ，－2i.

二、填空题

13.复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是 .

答案 (3,4)

解析 ∵z ＝m 2－4m ＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧

m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3

答案 1＋2i

解析 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，即a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.

15.已知|z 1|＝2，|z 2|＝3，|z 1＋z 2|＝4，则z 1z 2

＝ . 答案 16±156

i 解析 由题意，z 1z 1＝4，z 2z 2＝9，

(z 1＋z 2)(z 1＋z 2)＝z 1z 1＋z 2z 2＋z 1z 2＋z 2z 1＝4＋9＋9z 1z 2＋4z 2z 1

＝16，