考研高等数学部分综合竞赛试题参考答案及评分标准
高等数学竞赛真题及答案解析
高等数学竞赛真题及答案解析高等数学竞赛是对学生在该学科中的深入理解和应用能力的考察，对于提升学生的数学素养和能力有着重要的意义。
本文将为大家介绍一些高等数学竞赛的真题，并提供相应的解析，帮助大家更好地理解和掌握数学知识。
一、题目1让我们先来看一个简单的问题：计算$\int \frac{1}{x} dx$。
解析：这是一个基本的积分题目，我们可以使用积分的基本公式来解答。
首先，我们要找到该函数的原函数，即使得它的导数等于$\frac{1}{x}$的函数。
显然，原函数是$ln|x|$。
所以，该积分的结果就是$ln|x|+C$，其中C为常数。
二、题目2接下来，我们来看一个稍微复杂一些的题目：设$f(x)$在[0,1]上连续，且$\int_0^1 f(x) dx = c$，求证：存在$\xi \in (0,1)$，使得$f(\xi) = c$。
解析：根据题目要求，我们需要找到一个$\xi$，使得$f(\xi) = c$。
根据平均值定理，即在[0,1]区间上存在一个点$\xi$，使得$f(\xi) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$，其中a和b为区间的两个端点。
由于$\int_0^1 f(x) dx = c$，所以存在$\xi \in (0,1)$，使得$f(\xi) = c$。
三、题目3现在我们来考虑一个涉及到函数极限的题目：设函数$f(x)$在0的某个去心邻域内有定义，且$\lim_{x \to 0} f(x) = A$，证明：$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = A$。
解析：根据题目给出的条件，我们知道当$x$趋近于0时，$f(x)$会趋近于A。
我们需要证明的是，当$x$趋近于0时，$\frac{f(x)}{x}$也会趋近于A。
我们可以通过将分子和分母都除以$x$来简化问题，得到$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{f(x)}{x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = A$。
陕西省第十一次高等数学竞赛参考解答与评分标准
６２
高 等 数 学 研 究
２０１８年 ８月
ｄ —ｄ （ ｚ
Ｉｌ 一 ２
解１ 旦４ ． 由题设知厂（ｚ）一（ ） ， ｚ
ｃ蒯３＋—ｚ４ 一－『ｚ。（ ） Ｚ
＋ 一
）～ ３ 础
Ｊ
—ｚ。·ｎｚ一３［丢 。·ｎｚ一丢』 ｄｚ］
一 一 ｎｚ ＋ ＋ ｃ．
第 ２１卷 增 ２０１８年 ８月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵ Ｄ ＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ ＬＬＥＧ Ｅ Ｍ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩＣＳ
Ｖｏ１．２１，Ｓｕｐ． Ａ ｕｇ．，２０１８
陕 西 省 第 十 一 次 高 等 数 学 竞 赛 参 考解 答 与 评 分 标 准
一 、 选 择 题 （１—８题 ，每 小 题 ４分 ，共 ３２分 ）
解 曲线 Ｌ的切 向量 为 ＝ ｛３ ，２￡，１｝，平 面 二 、填 空题 （９— １４题 ，每 小题 ４分 ，共 ２４分）
Ⅱ 的法 向量 为 ＝ ｛１，一 ２，１｝．
（９）
由题意知这两个 向量垂直 ，即有 ；· 一 ３ｄ一４￡＋
１—０，解得 ｔ１— １，ｔ２一 ，所求切线 只有二条．故选 Ｂ
解２ 由题设知＿厂（ｚ）一（ ） 一 ｊ ，
』ｚ。ｆ（ｘ）ｄ．ｚ—Ｊｚ（１—１ｎ ）ｄｚ 一 一 专ｚ２一 －ｒｚ。 －ｍｎｚ＋十 ＩＪＪ ．ｚ ｄｚ
一 号２ …ｎ…ｚ ＋。导４ ｚ。＋’ｃ一．。 ｃ ３，篝（ ＋古＋吉）．
解 积分 域 Ｑ关 于 ，Ｙ，ｚ具有 轮换 对称性 ，故
有ｊＩ『 ｄ 一ｊ工『 ｄ 一ｊＩ『ｚ ｄ ．
（ｃ）．成立．反证法：若∑ （１ ａ Ｉ＋１ ｂ １）收敛，
（３）选 Ａ．
高等数学(下册)试题(含详细解答与点评,2020考研数学参考)
1高等数学（下册）试题（含详细解答与点评）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．在空间直角坐标系下，方程2x 2+3y 2=6表示的图形为（ ） A ．椭圆 B ．柱面 C ．旋转抛物面 D ．球面【答案】B【解析】考查了常见二次曲面的方程。
方程(,)0f x y =在空间表示母线平行于z 轴的柱面。
不难得到答案为B 。
注：一般来讲，关于x 、y 、z 的方程中不含哪一个字母，方程就表示母线平行于哪个轴的柱面。
2．极限021lim →→y x arcsin(x +y 2)=（ ）A ．6πB ．3π C ．2π D ．π【答案】A【解析】考查了二元函数极限的计算。
由于函数2arcsin()x y +在定义区域内是连续的，从而在点1,02⎛⎫⎪⎝⎭处是连续的，所以 221201limarcsin()arcsin(0)26x y x y π→→+=+=。
3．设积分区域22:y x Ω+≤R 2，0≤z ≤1，则三重积分⎰⎰⎰=+Ωdxdydz y x f )(22（ ）A ．⎰⎰⎰π200102)(Rdz r f drd θ B ．⎰⎰⎰π20012)(Rdz r f rdrd θC ．⎰⎰⎰+π20122)(Rrdz y x f drd θD ．⎰⎰⎰π12)(Rdz r f rdrd θ2【答案】B【解析】本题考查了在柱面坐标下二重积分的计算。
积分区域可表示为 :01,(,)z x y D Ω≤≤∈， 其中D 是上述区域在Oxy 平面上的投影，且 :0,02D r R θπ≤≤≤≤， 所以2122220()()()R ΩΩf xy dxdydz f r rdrd dz d rdr f r dz πθθ+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
4．以y =sin 3x 为特解的微分方程为（ ） A ．0=+''y y B ．0=-''y y C ．09=+''y y D ．09=-''y y【答案】C【解析】考查了微分方程的解与特解的概念。
高等数学考研真题含答案
高等数学考研真题含答案高等数学对于很多考研的同学来说，那可真是一座难以翻越的大山呀！但别怕，咱们今天就一起来瞅瞅那些让人又爱又恨的高等数学考研真题，还有贴心的答案解析哦！记得我之前有个学生叫小李，他特别努力，每天都早早地来到图书馆，抱着那本厚厚的高等数学教材，一脸严肃地钻研。
有一天，我路过他身边，发现他正对着一道真题愁眉苦脸。
那道题是这样的：计算定积分∫（x^2 ＋ 2x ＋ 1)dx，积分区间是0, 2。
小李在草稿纸上写写画画，额头上都冒出了汗珠。
咱们先来说说这道题的答案吧。
首先对被积函数进行积分，得到(x^3/3 ＋ x^2 ＋ x)，然后把积分上限 2 和下限 0 代入，相减得到 14 ／3 。
再来看这一类的真题，比如求函数 f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2 的极值。
这就需要我们先求导，f'（x) ＝ 3x^2 6x，令导数等于 0 ，解出 x ＝ 0 和 x ＝ 2 。
然后再判断这两个点是极大值还是极小值。
通过二阶导数或者判断一阶导数在这两个点左右两侧的符号，就能得出 x ＝ 0 是极大值点，极大值为 2 ；x ＝ 2 是极小值点，极小值为－2 。
还有像这种证明题，比如证明方程 x^3 3x ＋ 1 ＝ 0 在区间(0, 1)内至少有一个实根。
这就得用到零点定理啦。
先设函数 f(x) ＝ x^3 3x ＋1 ，然后计算 f(0) 和 f(1) ，发现 f(0) ＝ 1 ，f(1) ＝－1 ，因为 f(0) 和f(1) 异号，所以根据零点定理，在区间(0, 1)内至少存在一个点使得 f(x) ＝ 0 ，也就是方程 x^3 3x ＋ 1 ＝ 0 在区间(0, 1)内至少有一个实根。
就像小李后来跟我说的，刚开始做这些真题的时候，感觉每个字都认识，放在一起就像天书。
但慢慢地，多做几道，多总结方法，好像也就没那么可怕了。
再比如说求曲线 y ＝ x^2 与直线 y ＝ x 所围成的图形的面积。
考研高数试题及答案
考研高数试题及答案考研高数对于许多考生来说都是非常具有挑战性的一门科目。
为了帮助考生更好地备考高数，本文将提供一些典型的高数试题及详细的解答。
接下来让我们一起来看看这些试题和答案吧！试题1：设函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5，求f(x)的驻点。
解答1：首先，我们要求出f(x)的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。
通过求导可得：f'(x) = 3x^2 - 6x - 9，f''(x) = 6x - 6。
驻点即为f'(x) = 0的解，因此我们解方程3x^2 - 6x - 9 = 0，得到x = -1和x = 3。
接下来我们需要判断这些解是否为极值点。
将x = -1代入f''(x) = 6x - 6，得到f''(-1) = -12。
由于f''(-1) < 0，所以x = -1为极大值点。
将x = 3代入f''(x) = 6x - 6，得到f''(3) = 12。
由于f''(3) > 0，所以x = 3为极小值点。
因此，f(x)的驻点为x = -1和x = 3，其中x = -1为极大值点，x = 3为极小值点。
试题2：已知函数g(x) = sin(x) + cos(x)，求g(x)的周期。
解答2：函数g(x)的周期等于最小正周期，即2π。
因此g(x)的周期为2π。
试题3：设A是n阶方阵，如果A^2 = A，则A的特征值可能是什么？解答3：根据矩阵的特征值的定义，设A的特征值为λ，则存在非零向量v 使得Av = λv。
将A^2 = A代入方程，得到A(Av) = Av。
由于Av ≠ 0（根据非零向量的定义），所以A^2 = A仅当λ=1时成立。
因此，A的特征值可能是1。
通过以上试题及答案的解析，我们可以看到高数考研试题通常涉及到函数的性质、导数、极值点、周期等内容，以及矩阵的特征值等概念。
考研高等数学真题及答案解析
考研高等数学真题及答案解析高等数学作为考研数学科目中的一部分，是一门相对较难的学科。
在考前复习过程中，做真题是非常重要的一步。
通过做真题，可以了解考点，熟悉考试形式，并锻炼解题能力。
本文将对考研高等数学真题及答案进行解析，帮助考生加深对高等数学知识的理解。
第一道题目是关于向量的问题。
题目如下：已知向量a = (1,2), b = (3,4)，求向量a + b的模长。
答案是√52。
解析：首先，根据向量的定义，向量a + b等于向量a的横纵坐标分别加上向量b的横纵坐标，即(1+3, 2+4)，得到向量c = (4, 6)。
接下来，根据向量的模长公式，向量c的模长等于√(4^2+6^2)，即√52。
这道题目主要考察了向量的加法和模长的相关知识。
通过计算过程可以看出，向量的加法就是将两个向量的对应分量相加得到新的向量。
而向量的模长就是向量各个分量的平方和的平方根。
掌握了这些基本知识，就可以解答这类题目。
第二道题目是极限问题。
题目如下：求lim(x→0) ((sinx)/x)的值。
答案是1。
解析：这道题目是一个常见的极限问题。
根据极限的定义，当x趋向于0时，((sinx)/x)的极限等于1。
这是因为当x趋向于0时，函数sinx也趋向于0，而分子分母同时趋向于0，所以极限等于1。
这道题目涉及到极限的概念和性质。
在解答这类题目时，可以先观察函数的特点，然后运用极限的定义和基本性质进行推导。
熟练掌握这些概念和方法，可以迅速解决类似的问题。
第三道题目是微分问题。
题目如下：设函数y = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b，如果它在点x = 1处的切线斜率为3，求常数a和b的值。
答案是a=4，b=-3。
解析：根据微分的定义，函数在某点的导数等于该点切线的斜率。
对函数y = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b求导，即求得一阶导数dy/dx = 6x^2 - 6x + 2a。
将x=1代入得到导数的值，即3 = 6 - 6 + 2a，解得a=4。
高中数学考研试题及答案
高中数学考研试题及答案1. 已知函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)，求\( f(2) \)的值。
答案：将\( x = 2 \)代入函数\( f(x) \)中，得到\( f(2) =\frac{1}{2} \)。
2. 计算下列极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]答案：根据洛必达法则，当\( x \)趋近于0时，\( \frac{\sin x}{x} \)的极限值为1。
3. 解方程\( 3x^2 - 5x + 2 = 0 \)。
答案：首先计算判别式\( \Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \times 3 \times 2 = 13 \)。
然后，使用求根公式\( x = \frac{-b \pm\sqrt{\Delta}}{2a} \)，得到\( x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6} \)。
4. 已知点A(1, 2)和点B(4, 6)，求直线AB的方程。
答案：首先计算斜率\( k = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3} \)。
然后，使用点斜式方程\( y - y_1 = m(x - x_1) \)，代入点A(1, 2)和斜率\( k \)，得到直线AB的方程为\( y - 2 = \frac{4}{3}(x - 1) \)，化简后得到\( 4x - 3y + 2 = 0 \)。
5. 计算定积分\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)。
答案：使用定积分的计算公式，\( \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)，其中\( n \neq -1 \)。
代入上下限，得到\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{x^3}{3} \bigg|_{0}^{1} =\frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \)。
高等数学竞赛试题及参考答案
九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨《高等数学》竞赛试题院系 班级 学号 姓名一、单项选择题（每小题3分，共30分）1 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥++<0x ,K x 2x 40x ,xx3sin 2在x=0处连续，则K=( )。
A. 3 B. 2 C. 1 D. 312 ⎰-=+116dx x sin 1xcos x （ ）A.2π B.π C.1D.03 设f （x ）=⎩⎨⎧<≥0x ,x sin 0x ,x ，则)0(f '=（ ）A.-1B.1C.0D.不存在 4 下列极限中不能应用洛必达法则的是( ) A.x xx ln lim +∞→B.xxx 2cos lim∞→C.xxx -→1ln lim1D.x e x x ln lim -+∞→5 设f (x)是连续函数，且⎰=x x x dt t f 0cos )(，则f (x)=( ) A.cos x-xsin xB.cos x+xsin xC.sin x-xcos xD.sin x+xcos x6 设函数f(x)满足)x (f 0'=0, )x (f 1'不存在, 则（ ） A.x=x 0及x=x 1都是极值点 B.只有x=x 0是极值点C.只有x=x 1是极值点D.x=x 0与x=x 1都有可能不是极值点7 设f(x)在[-a,a](a>0)上连续, 则⎰-=a adx )x (f （ ）A. 0B. 2⎰adx )x (fC.⎰-+a0dx )]x (f )x (f [D. ⎰--adx )]x (f )x (f [8 设函数y=f(x)在点x 0的邻域V(x 0)内可导，如果∀x ∈V(x 0)有f(x)≥f(x 0)， 有（ ） A ．)(')('0x f x f ≥ B ．)()('0x f x f ≥ C ．0)('0=x fD ．0)('0>x f9 设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（ ） A ．16!B ．15!C ．14!D ．010=⎰])arctan ([673dx x x dx d （ ） A. 5 B. 3 C. 7 D. 0 二、填空题（每空4分，共32分）1 当x →0时，sin(2x 2)与ax 2是等价无究小，则a=___________ .2 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+000)1ln(2x x xx ，则f '(0)=___________. 3 曲线y =x 3+3x 2-1的拐点为___________. 4 n31sin n 1lim22n ∞→= ___________.5 设1)1(f =' 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∞→)1(f )x11(f x lim x =___________.6 曲线x 2+y 5-2xy=0在点(1、1)处的切线方程为 .7 dx xx x ⎰++221)(arctan = .8 曲线y =1222-+-x x x 的垂直渐近线的方程是 .三、计算题 （每题8分，共16分） 1. 计算⎰10dx ex2. 设f(x)的一个原函数为x e x 2，计算dx x x f)(/⎰四、解答题（第1题10分，第2题12分）1. 设曲线xy=1与直线y=2，x=3所围成的平面区域为D （如图所示）.求D 的面积.2. 计算定积分⎰-+12.)2()1ln(dx x x九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨《高等数学》竞赛试题参考答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）1 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥++<0x ,K x 2x 40x ,xx3sin 2在x=0处连续，则K=( A )。
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考研高等数学部分综合竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（每题2分，共32分）1、C2、A3、B4、B5、C6、D7、D8、A9、B 10、B 11、D 12、D 13、C 14、B 15、C 16、B 二、填空题（每空1分，共49分） 17、2-；18、357,,,4444x ππππ=；37,44x ππ=为第一类可去间断点，5,44x ππ=为第二类间断点；19、（1）11arctan x x x π--；（2）π；20、()1!12n n n ---；21、2120x y --=；22、dx π-；23、y x =；24、 25、5522224444,,,222k k k k x e x k N x k N k Z ππππππππ++++⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪-<<∈<<-∉∈⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭26、1ln 284π-；27arctan 1xx e C -；28、3211,10221ln ln 2,01211x x x x x x xx e e +--≤<--++≤≤++⎧⎪⎨⎪⎩；29、（1（2；30、34； 31、（1）1ln 242π+；（2）(ln 22π++；32、()ln sin cos x x +；33、2222x y x y-+； 34、()()1sin xe x zf y f f x x y x z z ⎡⎤-∂∂∂-+-⎢⎥∂∂-∂⎣⎦；35、22ln ln vv u x yv y u dx x u dy x y u u ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎣⎦；36、()()''22''2'''1112222421xy xy xy xyf x y e f xye f xy e f -+-+++；37、83,55⎛⎫⎪⎝⎭；38、a ；39、23-； 40、)113+；41、()12e ππ+；42、23；43、136；44、()2222b a a a b π-+； 45、π；46、1-；2arctan y C x -+；47、π；48、32π；49、(32R π；50、2π；51、()1x x e e x-；52、23；53、()()211ln 1112x x -+-<<；1；54、（1）112n -；（2）43；55、(ln 2；56、()2lnm mg B mmg B kv y v k k mg B ρρρ---=---；57、23； 三、计算题（每题10分，共90分） 58、解：设半径为r 的球地体积为1V ，则3143V r π=……………………………………(2分)由题意可知圆锥的体积为33113224h V h ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭……………………………………......(3分)要使圆锥的体积V 最小，则必要使12V V -取最小值……………………………………...(4分) 故令()12V y f h V ==-，即3312243y h r ππ=-………………………………………...(6分) 又由题意可知r 与h 间也存在某种函数关系……………………………………………….(7分)故22'28h y r ππ=-，………………………………………………………………………...(8分)令'0y =，解得4h r =……………………………………………………………………….(9分)故当4h r =时圆锥的体积V 最小，且33min18323h V r ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭…………………………(10分) 59、解：（1）由题意可知()()222x x tte e V tf x dx dx ππ-⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎰⎰…………………(1分) 由()2x x e e f x -+=得()'2x xe ef x --=…………………………………………………..(2分)则()(02tS t f x π=⎰2022x x te e dx π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰………………………….(3分)故()()2S t V t =；…………………………………………………………………………………(4分) （2）由（1）知()22x x te e V t dx π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ 即()2202444tttx x V t e dx e dx dx πππ-=++⨯⎰⎰⎰()()2200022882tttx xe d x ed x dx πππ-=--+⎰⎰⎰2200882ttx x e e t πππ-⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦ 22882t t e e t πππ-=-+………………………………………………………………………(5分)由（1）知()()22244t t S t V t e e t πππ-==-+…………………………………………...(6分)由题意()()2F t f t π==22x x e e π-⎛⎫+ ⎪⎝⎭22442t t e e πππ-=-+…………………………,.(7分)()()222242t t t tS t e e tF t e e ---+∴=++…………………………………………………………………….(8分) ()()()()22224lim lim lim 2t t t tx t t S t S t e e tF t F t e e --→+∞→+∞→+∞-+∴==++ 易证此极限满足罗必塔法则故()()()()()()2222'2lim lim lim lim 't t t t x t t t S t S t S t e e F t F t F t e e--→+∞→+∞→+∞→+∞++===+………………………….....(9分) 2222lim lim 11t tt t t t e e e e --→+∞→+∞-===-………………………………………………………………(10分) 60、解：()()2241zxy x y x y x∂=--+⨯-∂()()2241zx x y x y y∂=--+⨯-∂ 即2223283242z xy x y xy x z x x x y y ∂=--∂∂=--∂⎧⎪⎨⎪⎩…………………………………………………………………………….(1分)令00z x z y∂=∂∂=∂⎧⎪⎨⎪⎩得{21x y ==……………………………………………………………………………….(2分)又()2,1A D ∈ ，故二元函数在D 上存在驻点()2,1A …………………………………(3分)又()()222,12,128626z A y xy y x∂==--=-∂()()222,12,18344z B x x xyx y ∂==--=-∂∂()()222,12,1228z C x y∂==-=-∂2320,60AC B A ∴-=>=-<…………………………………………………………(4分)故二元函数(),f x y 在驻点()2,1A 处取得极大值()2,14f =…………………………(5分) 综上所述，可知二元函数在驻点()2,1A 处取得极大值()2,14f =，即二元函数在D 上取得的最大值为()2,14f =，………………………………………..(6分) 而其最小值应在边界6x y +=上取得，即可将问题转化为求解(),f x y 在约束条件6x y +=下的极值： 即可设拉格朗日函数()()(),,6F x y f x y x y λ=++-，即()()()2,46F x y x y x y x y λ=--++-……………………………………………..(7分)令0060Fx F yx y ∂=∂∂=∂+-=⎧⎪⎨⎪⎩得22232832042060xy x y xy x x x y x y λλ--+=--+=+-=⎧⎪⎨⎪⎩解得{42x y ==…………………………………………………..(8分) 故二元函数在约束条件6x y +=下的驻点为()4,2B ……………………………………(9分) 则二元函数在驻点()4,2B 上取得最小值()4,264f =-………………………………(10分) 61、解：（1）求轨迹C令()222,,1F x y z x y z yz =++--，故动点(),,P x y z 的切平面的法向量为{}2,2,2n x y z z y =--………………………...(1分)由切平面垂直xOy ，得20z y -=…………………………………………………………(2分) 注意到P 在椭球面222:1S x y z yz ++-=上，故所求曲线C 的方程为：{2221,20x y z yz z y ++-=-=即2231,420x y z y +=-=⎧⎨⎩……………………………………………………………………(3分) （2）计算曲面积分曲线C 在xOy 平面的投影为22:143xy y D x +=，……………………………………….(4分) 又方程2221x y z yz ++-=两边分别对,x y 求导得220,z z x zy x x ∂∂+-=∂∂ 220z z y z z y y y∂∂+--=∂∂……………………………………(5分) 解之得22z x x y z ∂=∂-， 22z y z y y z∂-=∂-， (6)) dS ==…………………………….(7分)==…………………………..(8分)于是(2xy xyD Dx y zI x dxdy dxdy∑-===⎰⎰ (9)) 12ππ=⨯=…………………………………………………………………….(10分)62、解：()32222xdydz ydzdx zdxdyIx y z∑++=++⎰⎰ ，其中∑是曲面222224x y z++=，……..(1分) ()()22235222222222P x y z xx xx y z x y z⎡⎤∂∂+-⎢⎥==⎢⎥∂∂⎢⎥++++⎣⎦…………………………………………..(2分) ()()22235222222222Q y x z yy yx y z x y z⎡⎤∂∂+-⎢⎥==⎢⎥∂∂⎢⎥++++⎣⎦…………………………………………..(3分) ()()22235222222222R z x y zz zx y z x y z⎡⎤∂∂+-⎢⎥==⎢⎥∂∂⎢⎥++++⎣⎦…………………………………………..(4分) 0P Q Rx y z∂∂∂∴++=∂∂∂………………………………………………………………………..(5分) 由于被积函数及其偏导数在点()0,0,0处不连续，………………………………………..(6分)作封闭曲面（内侧）22221:,01,x y z R R∑++=<<…………………………………….(7分)有()32222xdydz ydzdx zdxdyx y z∑++++⎰⎰()()113322222222xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdyx y z x y z∑+∑∑++++=-++++⎰⎰⎰⎰…………………………….（8分）()133332222134343xdydz ydzdx zdxdy RdVR Rx y zππ∑Ω++=-==∙=++⎰⎰⎰⎰⎰……………………(10分)63、解：()()()()()()21211lim lim1211121n nn n n nn n n n→∞→∞--⨯=++++222lim 1231n n nn n →∞-==++,……………………………………………………………………..（1分） ∴当21x <时，原级数绝对收敛，当21x >时，原级数发散。