2014浙江省高考数学考前冲刺----强烈推荐
2014浙江省高考压轴卷 理科数学 Word版含答案
2014浙江省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集U=R ，集合M=}032|{2≤--x x x ,N=}13|{2+=x y y ,则=)(N C M u （ ）A ．}11|{<≤-x xB ．}11|{≤≤-x xC ．}31|{≤≤x xD ．}31|{≤<x x 2. 已知i 为虚数单位，则复数iiz 325+-=在复平面内表示的点位于（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限3. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,0,2)(x x x x f x ，则“4)(=a f ”是“2=a ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知21,e e 为互相垂直的单位向量，若向量21e e +λ与21e e λ+的夹角等于30，则实数λ等于（ ）A ．32±B ．3±C ．33±D ．333或 5. 执行如图所示的程序框图，若输出的值S=16，则输入自然数n 的最小值应等于（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106. 若y x ,满足约束条件y kx y x y y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥-+z 22201，且取得最小值时的点有无数个，则k=（ ）A ．-1B ．2C ．-1或2D ．1或 -27. 已知函数，，，⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=10621100|lg |)(x x x x x f 若函数92)(2)(2-+-=b x bf x f y 有6个零点，则b 的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛31,9297,32 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞31,,32 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛1,3231,0 D ．⎪⎭⎫⎝⎛97,92 8. 设m ，n 是两条不同的直线，βα，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）B ．αα⊥⇒⊥n n m m //，C ．βαβα⊥⇒⊂⊂⊥m n n m ，，D ．n m n m m ////⇒=⊂βααβ ，，9. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F ，F ，如图，过2F 于双曲线一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点P ，若21PF F ∠为钝角，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．()∞+，2 B ．()∞+，3 C ．()21， D ．()21，10. 设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为654321,,,,,a a a a a a ，若对任意的)6,5,4,3,2(=i a i 总有)5,4,3,2,1(=<k i k a k ，满足,1||=-k i a a 则这样的排列共有（ ）A ．36B ．32C ．28D ．20 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分 11. 若_____________2sin ),4sin(2cos 3),,2(=-=∈θθπθππθ则且.12. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为_______________. 13. 若444332210)12()12()12()12(x x a x a x a x a a =-+-+-+-+，则=2a _______________. 14. 若正数的最小值，则满足y x xy y x y x +=+53,为_________________. 15. 已知数列{}n a 满足：)(11*11N n n a a a a n n n n ∈=+--+++，且284=a ，，则{}n a 的通项公式为n a =_____________. 16. 圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）。
浙江省2014届高考模拟冲刺卷(提优卷)(二) 数学理试题及答案
浙江省2014届高考模拟冲刺卷（提优卷）（二）数学理试题本试题卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分, 考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.每小题选出后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i 是虚数单位，复数z 满足：2)1()21(i z i +=-，则z的值是( ▲ ) A ．i 5254+-B. i 5352+-C. i 5254- D.i 5352- 2．设集合M=}21{≤<x x ，N=}{a x x ≤，若M N C M R =⋂)(，则a 的取值范围是 ( ▲ )A ．(−∞，1）B ．(−∞，1]C ．[1，+∞)D ．(2，+∞）3．设x 为非零实数，则p ：21>+xx 是q ：1>x 成立的 ( ▲ ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是( ▲ )A ．2B ．-2C ．3D ．-35． 李先生居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班，途中（不绕行）共要经过6个交叉路口，假设每个交叉路口发生堵车事件的概率均为61，则李先生在一次上班途中会遇到堵车次数ξ的期望值ξE 是（ ▲ ）A ．61B ．1C ．6656⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯D ．6616⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯6．如果函数)4cos(ax y +=π的图象关于直线π=x 对称，则正实数a 的最小值是( ▲ )A ．41=a B ．21=a C ．43=a D ．1=a 7．已知函数)(x f y =在R 上为偶函数，当0≥x 时，)1(log )(3+=x x f ，若)2()(t f t f ->，则实数t 的取值范围是（ ▲ ）A ．)1,(-∞B ． ),1(+∞C ． )2,32( D ． ),2(+∞8． 已知双曲线C 的方程是：12222=--my m m x (0≠m ），若双曲线的离心率2>e ，则实数m 的取值范围是（ ▲ ）A ． 1<m<2.B ． 0<mC ．10><m m 或D ．0<m 或1<m<2.9． 在△ABC 中，已知4=⋅AC AB 3=，M 、N 分别是BC 边上的三等分点，则AN AM ⋅的值是（ ▲ ）A ．5B ．421C ． 6D ． 810．正四面体ABCD ，线段AB //平面α，E ，F 分别是线段AD 和BC 的中点，当正四面体绕以AB 为轴旋转时，则线段AB 与EF 在平面α上的射影所成角余弦值的范围是（ ▲ ） A ． [0，22] B ．[22，1] C ．[21，1] D ．[21，22]非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．设443322104111121⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x a x a x a a x ， 则42a a +的值是 ▲ ．12．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-0801050y x y x a y ，且目标函数y x z 52-=的最小值是10-，则a 的值是 ▲ .13．某几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，则此几何体的体积等于 ▲ cm 3．14．在数列{}n a 中，31=a ，2)2)(2(1=--+n n a a （*N n ∈），则该数列的前2014项的和是 ▲ .15．若实数x ，y 满足：1243=+y x ，则x y x 222++的最小值是 ▲ ．16. 将编号为1，2，3，4，5，6的6张卡片，放入四个不同的盒子中，每个盒子至少放入一张卡片， 则编号为3与6的卡片恰在同一个盒子中的不同放法共有 ▲ ．17．已知函数⎩⎨⎧---=x x e x f x 21)(200<≥x x ，若关于x 的方程a x x f -=)(有三个不同的实根，则实数a的取值范围是 ▲ _ .三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）设ABC △的三内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3=a ，A=︒60，23=+c b ． （Ⅰ）求三角形ABC 的面积；（Ⅱ）求C B sin sin +的值及ABC △中内角B,C 的大小. 19．（本小题满分14分） 在数列{a n }中，2551=a ，256111111=+-++n n a a )(*N n ∈， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）设kka b k2=（*N k ∈），记数列{}k b 的前k 项和为k B ，求k B 的最大值．20．（本小题满分15分）如图，ABC ∆在平面α内，090=∠ACB ，AB=2BC=2，P 为平面α外一个动点，且PC=3，︒=∠60PBC（Ⅰ）问当PA 的长为多少时，PB AC ⊥（Ⅱ）当PAB ∆的面积取得最大值时，求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值21．（本小题满分15分）设椭圆C 1：1522=+y x 的右焦点为F ，P 为椭圆上的一个动点． （Ⅰ）求线段PF 的中点M 的轨迹C 2的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 与椭圆C 1相交于点A 、D ，与曲线C 2顺次相交于点B 、C ，当FB FC AB -=时，求直线l 的方程． 22．（本小题满分14分） 已知函数x e x f x 2)(-=，m x x g +=2)(（R m ∈）（Ⅰ）对于函数)(x f y =中的任意实数x ，在)(x g y =上总存在实数0x ，使得)()(0x f x g <成立，求实数m 的取值范围（Ⅱ）设函数)()()(x g x af x h -=，当a 在区间]2,1[内变化时，（1）求函数)(x h y '= ]2ln ,0[∈x 的取值范围；（2）若函数)(x h y = ]3,0[∈x 有零点，求实数m 的最大值.2014年浙江省高考模拟冲刺卷（提优卷）数学（理科）二参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【答案解析】A ．由已知得i z i 2)21(=-，两边同乘)21(i +化简得i z 5254+-=,故选A 2．【答案解析】B ．因为)(N C R ={x |xa >}，若M H C M R=⋂)(，则∈a (−∞，1]，故选B3．【答案解析】B ．若p 成立，q 不一定成立，如取5.0=x ，反之成立，故p 是q 的必要不充分条件，故选B 4．【答案解析】C ．该程序运行后输出的值是3，故选C 5． 【答案解析】B ．ξ服从二项分布B )61,6(，1616=⨯=ξE ，故选B6． 【答案解析】A ． 由24ππk ax =+，当π=x 时，412-=k a )(Z k ∈，因为0>a ，所以当1=k 时，正数a 取得最小值是41，故选A 7． 【答案解析】B.由于函数)(x f y =的图象关于y 轴对称，且在0≥x 上为增函数，所以当)2()(t f t f ->时，t t ->2，由此解得1>t ，故选B8． 【答案解析】D.解.由21223002222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->>-m m m m m m m m ，或02)3(00222<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>---<<-m m m m m m m ，所以0<m 或1<m<2.，故选D9． 【答案解析】C设BC 的中点为O ，由4=⋅ACAB，即4)()(==+⋅+OC AO OB AO，因为3=，所以49=，由此可得：425=，而⋅=22OM AO -，由已知21=，所以22OM AO -=641425=-，所以⋅=6，故选C10．【答案解析】 B ．如图，取AC 中点为G ，结合已知得GF //AB ，则线段AB 、EF 在平面α上的射影所成角等于GF 与EF 在平面α上的射影所成角，在正四面体中，AB ⊥CD ，又GE //CD ，所以GE ⊥GF,所以222GF GE EF +=，当四面体绕AB 转动时，因为GF //平面α，GE 与GF 的垂直性保持不变，显然，当CD 与平面α垂直时，GE 在平面上的射影长最短为0，此时EF 在平面α上的射影11F E 的长取得最小值21，当CD 与平面α平行时，GE 在平面上的射影长最长为21，11F E 取得最大值22，所以射影11F E 长的取值范围是 [21，22]，而GF 在平面α上的射影长为定值21，所以AB 与EF在平面α上的射影所成角余弦值的范围是[22，1].故选B 13．【答案解析】40．由题意40)2()2(444224=-+-C C14． 【答案解析】2．作出平面区域，由题设画图分析可知，当⎩⎨⎧=-=a y a x 105时，y x z 52-=取得最小值10-，由此可得2=a .13．【答案解析】332． 由题意，该几何体为一个四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为2，体积为33224312=⨯⨯14．【答案解析】7049．由2)2)(2(1=--+n n a a （*N n ∈）．可得：2)2)(2(1=---n n a a （2*,≥∈n N n ）,以上两式相除，得12211=---+n n a a ，)2()2(11-=--+n n a a 2*,≥∈n N n ，所以 ，数列{}n a 是一个周期数列，周期为2，由于22212-=-a a ，31=a ，所以2a =4，所以7049)43(1007)(1007212014=+⨯=+⨯=a a S15．【答案解析】8．由于x y x 222++=1])1[(22-++y x ，而点（-1，0）到直线01243=-+y x 的距离为35123)1(=-⨯-=d ，所以22)1(y x ++的最小值为3，所以x y x 222++的最小值为8132=-16. 【答案解析】240．将3和6“捆绑”看成一张卡片，这样可看成5张卡片放入四个盒子中，共有不同的放法：2404425=A C 种放法.17．【答案解析】)41,0()0,49(⋃-．如图，直线y=x-a 与函数1)(-==xe xf y 的图象在0≥x 处有一个切点，切点坐标为（0，0），此时0=a ；直线a x y -=与函数x x y 22--=的图象在0<x 处有两个切点，切点坐标分别是⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,21和)43,23(-，此时相应的41=a ，49-=a ，观察图象可知，方程a x x f -=)(有三个不同的实根时，实数a 的取值范围是)41,0()0,49(⋃- 18．（本小题满分14分）【答案解析】（Ⅰ）由余弦定理3cos2222πbc a c b =-+得3=bc ，由此可得4332323sin 21=⨯==∆A bc S ABC .（Ⅱ）因为A=3π；由正弦定理：CB cb Cc B b sin sin sin sin 3sin3++===π，又23=+c b ，所以26sin sin =+C B ；因为︒=+120C B ，所以26s i n )120sin(=+-︒C C ，由此得22)30sin(=+︒C ，在ABC △中，由此可求得A=︒105，︒=15C 或A=︒15，︒=105C .19．（本小题满分14分）【答案解析】（Ⅰ）设1+=n n a c ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n c 1是一个等差数列，其首项为2561，公差也是2561，所以2562561)1(25611n n c n =-+=，所以1256-=na n ，（Ⅱ）由（Ⅰ）知当256≤n 时，0≥n a ，由2562≤k得8≤k ，所以数列{}k b 的前8项和8B （或前7项和7B 最大，因为08=a ）最大，)8321()28232221(2568328++++-++++⨯= B ，令832828232221++++= T ，由错位相减法可求得782152⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=T ，所以8B =36]2152[2567-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=466.即前7项或前8项和最大，其最大值为466.23．（本小题满分15分）【答案解析】（Ⅰ）因为090=∠ACB ，所以BC AC ⊥，当PC AC ⊥时，PBC AC 平面⊥，而PBC PB 平面⊂，所以PB AC ⊥时，此时，63322=+=+=PC AC PA ，即当PA=6时，PB AC ⊥（Ⅱ）在PBC ∆中，因为PC=3，︒=∠60PBC BC=1，所以PC BC ⊥，2=PB .当PAB ∆的面积取得最大值时，︒=∠90PBA ，（如图）在PBA Rt ∆中，因为 2==BA BP ，由此可求得BD=2，又在BCD Rt ∆中，BC=1，所以CD=1，过C 作BD CE ⊥，E 为垂足，由于BCD PA 平面⊥，所以，PBA BCD 平面平面⊥，由两个平面互相垂直的性质可知：PBA CE 平面⊥，所以CPE ∠就是直线PC 与平面PAB所成角，在BCD Rt ∆中，可求得22=CE ，在P E C Rt ∆中，66322s i n =÷==∠PC CE CPE ，所以直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值是66.24．（本小题满分15分）【答案解析】（Ⅰ）设点M （x ，y ），而F （2，0），故P 点的坐标为（2x-2，2y ），代入椭圆方程得：1)2(5)22(22=+-y x ，即线段PF 的中点M 的轨迹C 2的方程为：145)1(422=+-y x （Ⅱ）设直线l 的方程为：2+=my x ，解方程组014)5(1522222=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=m y y m y x m y x ，2020)5(4162221+=++=∆m m m ，① 当0>m 时，则)5(2152422+++-=m m m y A ，解方程组018)5(4145)1(422222=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=m y y m y x m y x 8080)204(4642222+=++=∆m m m ，)204(2154822+++=m m m y c ，由题设FB FC AB -=，可得FC AF =，有C A y y =，所以)5(2152422+++-m m m =)204(2154822+++=m m m ，即1562+=m m （0>m ），由此解得：315=m ，故符合题设条件的其中一条直线的斜率51551==m k ；②当0<m 时，同理可求得另一条直线方程的斜率5155-=k ，故所求直线l 的方程是)2(5155-±=x y .25．（本小题满分14分）【答案解析】（Ⅰ）原命题⇔<min )]([x g min )]([x f ，先求函数)(x f y =的最小值，令02)(=-='x e x f ，得2ln =x .当2ln >x 时，0)(>'x f ；当2ln <x 时，0)(<'x f ，故当2ln =x 时，)(x f y =取得极（最）小值，其最小值为2ln 22-；而函数)(x g y =的最小值为m,故当2ln 22-<m 时，结论成立（Ⅱ）（1）：由m x x ea x h x---=2)2()(，可得x e a x h x 2)2()(--='，把)(x h y '=这个函数看成是关于a 的一次函数，（1）当]2ln ,0[∈x 时，02<-x e ，因为]2,1[∈a ，故)(x h '的值在区间]2)2(,2)2(2[x e x e xx ----上变化，令x e x M x 2)2(2)(--=，]2ln ,0[∈x ，则022)(>-='x e x M ，)(x M 在]2ln ,0[∈x 为增函数，故)(x h '在]2ln ,0[∈x 最小值为2)0(-=M ，又令x e x N x2)2()(--=，同样可求得)(x N 在]2ln ,0[∈x 的最大值1)0(-=N ，所以函数)(x h y '=在]2ln ,0[∈x 的值域为[-2，-1]（Ⅱ）（2）当]2ln ,0[∈x 时，x e x N x2)2()(--=的最大值1)0(-=N ，故对任意]2,1[∈a ，)(x h 在]2ln ,0[∈x 均为单调递减函数，所以函数m a h x h -==)0()(max当]3,2[ln ∈x 时，因为02>-x e ，]2,1[∈a ，故)(x h '的值在区间]2)2(2,2)2[(x e x e xx----上变化，此时，对于函数)(x M ，存在]3,2[ln 0∈x ，)(x M 在],2[ln 0x x ∈单调递减，在]3,[0x x ∈单调递增，所以，)(x h 在]3,2[ln ∈x 的最大值为m e a h ---=9)6()3(3，因为]2,1[∈a ，09)7()0()3(3>--=-e a h h ，所以)0()3(h h >，故)(x h 的最大值是m e a h ---=9)6()3(3，又因为]2,1[∈a ，故当函数)(x h y =有零点时，实数m 的最大值是9)6(23--=e m 2123-=e .题号：03“数学史与不等式选讲”模块（10分）解(Ⅰ)由于1=++c b a ，所以222)3()2()1(+++++c b a)642()14(c b a c b a ++++++=)32(215c b a +++=，由柯西不等式 14))(941()32(2=++++≤++c b a c b a ，当且仅当321c b a ==时， )32(c b a ++取得最大值14，又因为1=++c b a ，由此可得：当149,144,141===c b a 时，222)3()2()1(+++++c b a 取得最大值14215+(Ⅱ)因c b a ,,是正实数，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++a bc c ab c ab b ac b ac a bc c ab b ac a bc 21 1)(=++≥b a c ，又因222c b a ca bc ab ++≤++，所以1)()(32=++≤++c b a ca bc ab所以)(3ca bc ab cabb ac a bc ++≥++．题号：04“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(10分)解(Ⅰ)①当切线l 垂直于x 轴时，由题设可求得)712,712(A ，)712,712(-B ，（或)712,712(-'A ，)712,712(--'B ），故1-=⋅O B O A k k ，所以OB OA ⊥； ② 当切线l 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为：m kx y +=，解方程组⎩⎨⎧=-++=0124322y x m kx y01248)43(222=-+++⇒m kmx x k ，设),(11y x A ，),(22y x B ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++-=221222143843124k km x x k m x x ，2212122121)())((m x x mk x x k m kx m kx y y +++=++=，所以222222121)438()43124)(1(m k km mk k m k y y x x ++-++-+=+ （*），因为直线m kx y +=与圆71222=+y x 相切，所以71212=+k m ，即)1(71222k m +=，代入方程（*）化简得02121=+y y x x 即1-=⋅O B O A k k ，所以OB OA ⊥．综上 ，证得OB OA ⊥成立(Ⅱ) 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 椭圆C 在极坐标系下的方程是3s i n 4c o s 1222θθρ+=，因为OB OA ⊥，故可设)2,(),,(21θπρθρ+B A ，所以3)2(s i n 4)2(c o s )3s i n 4c o s (11222222θπθπθθ+++++=+OB OA 1273141=+=。
【步步高】(浙江专用)2014届高考数学 考前三个月 专题五 第三讲空间向量与立体几何
第三讲 空间向量与立体几何1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)(以下相同)．(1)线面平行l ∥α⇔a ⊥μ⇔a ·μ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)线面垂直l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v ⇔μ＝λv ⇔a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v ⇔μ·v ＝0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0.2．空间角的计算(1)两条异面直线所成角的求法设直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a ·b ||a ||b |(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.(3)二面角的求法①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈m ，n 〉即为所求二面角的平面角．②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求．如图所示，二面角α－l －β，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α－l －β的大小为θ或π－θ.1．(2012·某某)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255 D.35答案 A解析 不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.可得O (0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)， ∴BC →1＝(0,2，－1)，AB →1＝(－2,2,1)，∴cos〈BC →1，AB →1〉＝BC →1·AB →1|BC →1||AB →1|＝4－15×9＝15＝55>0.∴BC →1与AB →1的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角，∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.2．(2013·某某)如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．(1)求证：平面PAC ⊥平面PBC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，PA ＝1，求二面角C －PB －A 的余弦值． (1)证明 由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ， 由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC . 又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以BC ⊥平面PAC . 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC .(2)解 方法一 过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB 、CA 、CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．在Rt△ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3. 因为PA ＝1，所以A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1)． 故C B →＝(3，0,0)，C P →＝(0,1,1)． 设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ C B →·n 1＝0，C P →·n 1＝0，所以⎩⎨⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0,1，－1)． 因为A P →＝(0,0,1)，A B →＝(3，－1,0)， 设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧A P →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎨⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0，不妨令x 2＝1，则n 2＝(1，3，0)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.所以由题意可知二面角C －PB －A 的余弦值为64. 方法二过C 作CM ⊥AB 于M ，因为PA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ， 所以PA ⊥CM ，又PA ∩AB ＝A ，故CM ⊥平面PAB .所以CM ⊥PB . 过M 作MN ⊥PB 于N ，连接NC ， 所以PB ⊥面MNC ，所以⊥PB ，所以∠M 为二面角C －PB －A 的平面角． 在Rt△ABC 中，由AB ＝2，AC ＝1，得BC ＝3，CM ＝32，BM ＝32，在Rt△PAB 中，由AB ＝2，PA ＝1，得PB ＝ 5. 因为Rt△BNM ∽Rt△BAP ，所以MN 1＝ 32 5，故MN ＝3510.又在Rt△M 中，＝305， 故cos∠M ＝64. 所以二面角C －PB －A 的余弦值为64.题型一 利用空间向量证明平行与垂直例1 如图所示，平面PAC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E 、F 、O分别为PA 、PB 、AC 的中点，AC ＝16，PA ＝PC ＝10.(1)设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE ； (2)证明：在△ABO 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE .审题破题 以O 点为原点，OB 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求解．(1)证明 如图所示，连接OP ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O —xyz ，则O (0,0,0)，A (0，－8，0)，B (8,0,0)，C (0,8,0)，P (0，0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，由题意得，G (0,4,0)，因OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)，因此平面BOE 的一个法向量n ＝(0,3,4)，FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0，又直线FG 不在平面BOE 内，因此有FG ∥平面BOE . (2)设点M 的坐标为(x 0，y 0,0)， 则FM →＝(x 0－4，y 0，－3)，因为FM ⊥平面BOE ，所以有FM →∥n ，因此有x 0＝4，y 0＝－94，即点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，－94，0， 在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 的内部区域可表示为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0y <0x －y <8，经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，所以，在△ABO 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE .反思归纳 (1)空间中线面的平行与垂直的证明有两种思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量法来论证．(2)用向量法来证明平行与垂直，避免了繁杂的推理论证，直接计算就行了，把几何问题代数化．尤其是在正方体、长方体、直四棱柱中相关问题的证明用向量法更简捷，但是向量法要求计算必须准确无误．变式训练1 如图，在直三棱柱ADE —BCF 中，面ABFE 和面ABCD 都是正方形且互相垂直，M为AB 的中点，O 为DF 的中点．运用向量方法证明：(1)OM ∥平面BCF ； (2)平面MDF ⊥平面EFCD .证明 (1)由题意，AB ，AD ，AE 两两垂直，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为1，则A (0,0,0)，B (1，0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，F (1,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0， O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12. (1)OM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，BA →＝(－1,0,0)，∴OM →·BA →＝0, ∴OM →⊥BA →.∵棱柱ADE —BCF 是直三棱柱，∴AB ⊥平面BCF ，∴BA →是平面BCF 的一个法向量， 且OM ⊄平面BCF ，∴OM ∥平面BCF .(2)设平面MDF 与平面EFCD 的一个法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． ∵DF →＝(1，－1,1)，DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，0，DC →＝(1,0,0)，由n 1·DF →＝n 1·DM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－y 1＋z 1＝0，12x 1－y 1＝0，令x 1＝1，则n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－12.同理可得n 2＝(0,1,1)．∵n 1·n 2＝0，∴平面MDF ⊥平面EFCD . 题型二 利用向量求空间角例2 如图，三棱锥P －ABC 中，PB ⊥平面ABC .PB ＝BC ＝CA ＝4，∠BCA ＝90°，E 为PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PAC ； (2)求二面角E －AB －C 的余弦值．审题破题 本题的关键是在平面ABC 内找到两条互相垂直的直线，可以过点B 作BC 的垂线BT ，分别以BC ，BT ，BP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． (1)证明⎭⎪⎬⎪⎫PB ⊥面ABC ⇒PB ⊥AC BC ⊥AC⇒⎭⎪⎬⎪⎫AC ⊥面PBC ⇒AC ⊥BEPB ＝BC ，E 为中点⇒BE ⊥PC ⇒BE ⊥面PAC .(2)解 如图，在平面ABC 内过点B 作BT ⊥BC ，分别以BC ，BT ，BP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B (0,0,0)，C (4,0,0)，A (4,4,0)，P (0,0,4)，E (2,0,2)，则BA →＝(4,4,0)，BE →＝(2,0,2)，平面ABC 的法向量为n 1＝(0,0,1)，设平面ABE的法向量为n 2＝(x ，y ，z )．则BA →·n 2＝0，BE →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋4y ＝02x ＋2z ＝0.令z ＝1，得x ＝－1，y ＝1，即n 2＝(－1,1,1)．设二面角E －AB －C 为θ，则cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝33.反思归纳 利用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：(1)建立恰当的空间直角坐标系．(2)求出相关点的坐标．(3)写出向量坐标．(4)结合公式进行论证、计算．(5)转化为几何结论．变式训练2 (2012·课标全国)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .(1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，CD ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 由(1)知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1A 1，所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直．以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴的正方向，|CA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .由题意知A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，D (1,0,1)，C 1(0,0,2)． 则A 1D →＝(0,0，－1)，BD →＝(1，－1，1)，DC 1→＝(－1,0,1)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1B 1BD 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·A 1D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，z ＝0，可取n ＝(1,1,0)．同理，设m ＝(x ，y ，z )是平面C 1BD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·DC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0，可取m ＝(1,2,1)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝32.故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°. 题型三 利用向量求空间距离例3 如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BA ＝BC ＝2，BA →·BC →＝0，异面直线A 1B 与AC成60°的角，点O 、E 分别是棱AC 和BB 1的中点，点F 是棱B 1C 1上的动点．(1)求证：A 1E ⊥OF ； (2)求点E 到面AB 1C 的距离； (3)求二面角B 1—A 1C —C 1的大小．审题破题 在已知三棱柱中，直线BA ，BC ，BB 1两两垂直，已有空间直角坐标系的框架． (1)证明 设棱柱的高为h ，以B 为坐标原点，以BA 、BC 、BB 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，O (1,1,0)，A 1(2,0，h )，∴BA 1→＝(2,0，h )，CA →＝(2，－2,0)，∴cos〈BA 1→，CA →〉＝BA 1→·CA →|BA 1→||CA →|＝422×4＋h 2，即cos 60°＝12＝422×4＋h 2，解得h ＝2.∴E (0,0,1)，A 1(2,0,2)，∴A 1E →＝(－2,0，－1)． ∵F 是B 1C 1上的动点，∴设F (0，y,2)，∴OF →＝(－1，y －1,2)， ∴A 1E →·OF →＝(－2,0，－1)·(－1，y －1,2)＝0， ∴A 1E →⊥OF →， 即A 1E ⊥OF .(2)解 易求面AB 1C 的法向量为n ＝(1,1,1)， EA →＝(2,0，－1)，所以E 到面AB 1C 的距离为d ＝|n ·EA →||n |＝13＝33.(3)解 ∵平面A 1CC 1的一个法向量是BO →＝(1,1,0)． 设平面A 1B 1C 的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )，A 1C →＝(－2,2，－2)，A 1B 1→＝(－2,0,0)，则n ·A 1C →＝(x ，y ，z )·(－2,2，－2)＝－2x ＋2y －2z ＝0，①n ·A 1B 1→＝(x ，y ，z )·(－2,0,0)＝－2x ＝0，∴x ＝0.② 代入①并令z ＝1得y ＝1，∴n ＝(0,1,1)，∴cos〈n ，BO →〉＝n ·BO →|n |·|BO →|＝12×2＝12，∴〈n ，BO →〉＝60°，即二面角B 1—A 1C —C 1的大小为60°.反思归纳 求点面距的常用方法：①直接法：即寻找或作出与该距离相对应的垂线段，此法的关键是确定垂足的位置，然后借助于直角三角形求解；②等体积法：把所求的距离转化为三棱锥的高，再通过变换三棱锥的顶点，由同一棱锥的体积是不变的，求出相应的距离．变式训练3 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PBC ⊥底面ABCD ，且PB ＝PC ＝ 5.(1)求证：AB ⊥CP ；(2)求点B 到平面PAD 的距离；(3)设面PAD 与面PBC 的交线为l ，求二面角A －l －B 的大小．(1)证明 以BC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B (1,0,0)，A (1，－2,0)，C (－1,0,0)，P (0,0,2)，D (－1，－2,0)． AB →＝(0,2,0)，CP →＝(1,0,2)，则有AB →·CP →＝0，∴AB →⊥CP →. 即AB ⊥CP .(2)解 设平面PAD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， PD →＝(－1，－2，－2)，AD →＝(－2,0,0)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·AD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －2y －2z ＝0，－2x ＝0.则x ＝0，令z ＝1＝－y ，得n ＝(0，－1,1)，又BP →＝(－1,0,2)，∴点B 到平面PAD 的距离d ＝|BP →·n ||n |＝|0＋0＋2|2＝ 2.(3)解 由(2)知平面PAD 的法向量n ＝(0，－1,1)， 而平面PBC ⊥平面ABCD ，∴平面PBC 的法向量m ＝(0,1,0)． ∴二面角A －l －B 的余弦值为|m ·n ||m ||n |＝22.由图形知二面角A －l －B 为锐二面角， ∴二面角A －l －B 的大小为45°.典例 (15分)如图，在三棱锥P —ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC ，点D 为BC 的中点．(1)求二面角A —PD —B 的余弦值；(2)在直线AB 上是否存在点M ，使得PM 与平面PAD 所成角的正弦值为16，若存在，求出点M 的位置；若不存在，说明理由．规X 解答解 (1)∵AC ＝BC ，PA ＝PB ，PC ＝PC ，∴△PCA ≌△PCB ， ∴∠PCA ＝∠PCB ， ∵PC ⊥AC ，∴PC ⊥CB ， 又AC ∩CB ＝C ，∴PC ⊥平面ACB ，且PC ，CA ，CB 两两垂直，[2分]故以C 为坐标原点，分别以CB ，CA ，CP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (0,2,0)，D (1,0,0)，P (0,0,2)，∴AD →＝(1，－2,0)，PD →＝(1,0，－2)，[4分]设平面PAD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x －2z ＝0，∴取n ＝(2,1,1)，平面PDB 的一个法向量为CA →＝(0,2,0)，[6分]∴cos〈n ，CA →〉＝66，设二面角A —PD —B 的平面角为θ，且θ为钝角，∴cos θ＝－66，∴二面角A —PD —B 的余弦值为－66.[8分](2)方法一 存在，M 是AB 的中点或A 是MB 的中点．[10分]设M (x,2－x,0) (x ∈R )，∴PM →＝(x,2－x ，－2)，[12分]∴|cos〈PM →，n 〉|＝|x |x 2＋2－x 2＋4·6＝16， 解得x ＝1或x ＝－2，∴M (1,1,0)或M (－2,4,0)，[14分]∴在直线AB 上存在点M ，且M 是AB 的中点或A 是MB 的中点，使得PM 与平面PAD 所成角的正弦值为16.[15分]方法二 存在，M 是AB 的中点或A 是MB 的中点．[10分] 设AM →＝λAB →， 则AM →＝λ(2，－2,0)＝(2λ，－2λ，0) (λ∈R )， ∴PM →＝PA →＋AM →＝(2λ，2－2λ，－2)，[8分]∴|cos〈PM →，n 〉|＝|2λ|2λ2＋2－2λ2＋4·6＝16. 解得λ＝12或λ＝－1.[13分]∴M 是AB 的中点或A 是MB 的中点．∴在直线AB 上存在点M ，且M 是AB 的中点或A 是MB 的中点，使得PM 与平面PAD 所成角的正弦值为16.[15分]评分细则 (1)没有指明CA 、CB 、CD 两两垂直，直接建系的扣1分；(2)求出平面的法向量给1分；法向量写成其他形式不扣分；(3)二面角余弦值写成66的扣1分；(4)第(2)问最后不写结论的扣1分．阅卷老师提醒 (1)利用空间向量求二面角的平面角时，应注意观察二面角是锐角还是钝角．如果两个平面的法向量分别是m ，n ，两个平面所成的锐二面角的大小为θ，则cosθ＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |.在一般的二面角大小计算中要根据这个二面角的实际大小，确定其余弦值的正、负号的选取． (2)探索性问题一定要写出结论．1．在空间中，已知AB →＝(2,4,0)，DC →＝(－1,3,0)，则异面直线AB 与DC 所成角θ的大小为( )A ．45° B．90° C．120° D．135°答案 A解析 ∵AB →＝(2,4,0)，DC →＝(－1,3,0)，cos 〈AB →，DC →〉＝AB →·DC →|AB →||DC →|＝12－225·10＝22.∵〈AB →，DC →〉∈(0°，90°]，∴〈AB →，DC →〉＝45°. 故选A.2．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为( )A.22B.155C.64D.63答案 C解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝2，则C 1(3，1,0)，A (0,0,2)，AC 1→＝(3，1，－2)，平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，所以AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为|AC 1→·n ||AC 1→||n |＝38＝64.故选C. 3．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定 答案 B解析 分别以C 1B 1、C 1D 1、C 1C 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．∵A 1M ＝AN ＝23a ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，23a ，a 3， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，23a ，a ，∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，0，23a . 又C 1(0,0,0)，D 1(0，a,0)，∴C 1D 1→＝(0，a,0)， ∴MN →·C 1D 1→＝0，∴MN →⊥C 1D 1→. ∵C 1D 1→是平面BB 1C 1C 的法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .4．在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30° B．45° C．60° D．90° 答案 C解析 取BC 中点E ，连接AE ，则AE ⊥平面BCC 1B 1，故∠ADE 为直线AD 与平面BB 1C 1C 所成的角．设各棱长为a ，则AE ＝32a ，DE ＝12a .∴tan∠ADE ＝ 3.∴∠ADE ＝60°.5．在一直角坐标系中已知A (－1,6)，B (3，－8)，现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A 、B 两点间的距离为________． 答案 217解析 如图为折叠后的图形，其中作AC ⊥CD ，BD ⊥CD ， 则AC ＝6，BD ＝8，CD ＝4，两异面直线AC 、BD 所成的角为60°，故由AB →＝AC →＋CD →＋DB →， 得|AB →|2＝|AC →＋CD →＋DB →|2＝68， ∴|AB →|＝217.6．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为________．答案 23解析 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，所以AE 与BC 所成的角即为AD 与AE 所成的角，即是∠EAD .连接DE ，在Rt△ADE 中，设AD ＝a ，则DE ＝52a ，tan∠EAD ＝DE AD ＝52，cos∠EAD ＝23，所以异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为23.专题限时规X 训练一、选择题1．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 OA →＋OB →＋OC →＝λOG →⇔OG →＝1λOA →＋1λOB →＋1λOC →，具体表示出向量OG →后，比较即可．如图所示． OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AE →＝OA →＋13(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝OA →＋13OB →＋13OC →－23OA →＝13OB →＋13OC →＋13OA → ＝1λOA →＋1λOB →＋1λOC →，所以λ＝3.2．若不同直线l 1，l 2的方向向量分别为μ，ν，则下列直线l 1，l 2中既不平行也不垂直的是( )A ．μ＝(1,2，－1)，ν＝(0,2,4)B ．μ＝(3,0，－1)，ν＝(0,0,2)C ．μ＝(0,2，－3)，ν＝(0，－2,3)D ．μ＝(1,6,0)，ν＝(0,0，－4) 答案 B解析 A 项中μ·ν＝0＋4－4＝0，∴l 1⊥l 2； C 项中μ＝－ν，∴μ，ν共线，故l 1∥l 2； D 项中，μ·ν＝0＋0＋0＝0，∴l 1⊥l 2，故选B.3．在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥平面ABCD ，AB ＝PD ＝a .点E 为侧棱PC 的中点，又作DF ⊥PB 交PB 于点F .则PB 与平面EFD 所成角为( )A ．30° B．45° C ．60° D．90° 答案 D解析 建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz ，D 为坐标原点．则P (0,0，a )，B (a ，a,0)，PB →＝(a ，a ，－a )， 又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，所以PB ⊥DE ，由已知DF ⊥PB ，且DF ∩DE ＝D ， 所以PB ⊥平面EFD ，所以PB 与平面EFD 所成角为90°.4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是( )A.63B.66C.33D.22答案 B解析 以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，A (1,0,0)，C (0,0,0)， 则A 1B →＝(－1,1，－2)， AC →＝(－1,0,0)，cos 〈A 1B →，AC →〉＝A 1B →·AC →|A 1B →||AC →|＝11＋1＋4＝66.5．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,3)，且k a ＋b 与2a －b 垂直，则k 的值为( )A.125B ．1 C.75D ．2 答案 A解析 k a ＋b ＝(k －1，k,3)，2a －b ＝(3,2，－3)，依题意，得：(k －1)×3＋k ×2＋3×(－3)＝0，解得k ＝125.6．如图，过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD .若PA ＝BA ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是( )A ．30° B．45° C ．60° D．90° 答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB 与平面PCD 的法向量分别为n 1＝(0,1,0)，n 2＝(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP 所成二面角(锐角)的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝22，故所求的二面角的大小是45°.7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216aB.66aC.156aD.153a答案 A解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ， 则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )．∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 8．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，则下面结论错误的为( )A ．AC ⊥BDB ．△ACD 是等边三角形C ．AB 与平面BCD 所成的角为60° D ．AB 与CD 所成的角为60° 答案 C解析 取BD 中点O ，连接AO 、CO ， 则AO ⊥BD ，CO ⊥BD ， ∴BD ⊥平面AOC ，∴AC ⊥BD ，又AC ＝2AO ＝AD ＝CD ， ∴△ACD 是等边三角形，而∠ABD 是AB 与平面BCD 所成的角，应为45°. 又AC →＝AB →＋BD →＋DC →(设AB ＝a )，则a 2＝a 2＋2a 2＋a 2＋2·a ·2a ·(－22)＋2a ·2a ·(－22)＋2a 2cos 〈AB →，DC →〉， ∴cos〈AB →，DC →〉＝12，∴AB 与CD 所成的角为60°.二、填空题9．到正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三条棱AB 、CC 1、A 1D 1所在直线的距离相等的点：①有且只有1个；②有且只有2个；③有且只有3个；④有无数个．其中正确答案的序号是________． 答案 ④解析 注意到正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 上的每一点到直线AB ，CC 1，A 1D 1的距离都相等，因此到ABCD －A 1B 1C 1D 1的三条棱AB ，CC 1，A 1D 1所在直线距离相等的点有无数个，其中正确答案的序号是④.10．如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________．答案 60°解析 以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系． 设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)， 则EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)， ∴EF →·BC 1→＝2，∴cos〈EF →，BC 1→〉＝22×22＝12，∴EF 和BC 1所成的角为60°.11．在四面体P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，设PA ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为________．答案 33a解析 根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P —xyz ，则P (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (0,0，a )．过点P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于点H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离．∵PA ＝PB ＝PC ，∴H 为△ABC 的外心．又∵△ABC 为正三角形，∴H 为△ABC 的重心，可得H 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 3，a3. ∴PH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 32＝33a . 12．底面是正方形的四棱锥A －BCDE 中，AE ⊥底面BCDE ，且AE ＝CD ＝a ，G 、H 分别是BE 、ED的中点，则GH 到平面ABD 的距离是________． 答案 3a6解析 建立如图所示的坐标系，则有A (0,0，a )，B (a,0,0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，D (0，a,0)． 设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由题意知，GH ∥BD ，则有GH ∥平面ABD ，∴GH 到平面ABD 的距离等于G 点到平面ABD 的距离，设为d . ∵AB →＝(a,0，－a )，BD →＝(－a ，a,0)，GB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BD →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ax －az ＝0，－ax ＋ay ＝0，∴n ＝(1,1,1)．∴d ＝|GB →·n ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 23＝a 23＝3a 6.三、解答题13．如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ； (2)B 1F ⊥平面AEF .证明 如图建立空间直角坐标系A —xyz ，令AB ＝AA 1＝4， 则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B (4,0,0)，B 1(4,0,4)．(1)取AB 中点为N ，连接， 则N (2,0,0)，C (0,4,0)，D (2,0,2)，∴DE →＝(－2,4,0)， NC →＝(－2,4,0)， ∴DE →＝NC →，∴DE ∥NC ，又∵NC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC .故DE ∥平面ABC .(2)B 1F →＝(－2,2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)，AF →＝(2,2,0)． B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. ∴B 1F →⊥EF →，B 1F →⊥AF →，即B 1F ⊥EF ，B 1F ⊥AF ， 又∵AF ∩EF ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF .14．(2013·某某)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB .(1)求PA 的长；(2)求二面角B －AF －D 的正弦值． 解 (1)如图，连接BD 交AC 于点O ， 因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，AP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则OC ＝CD cos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3，又OD ＝CD sin π3＝ 3.故A (0，－3,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)． 因为PA ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )， 因为F 为PC 的中点，所以F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－1，z 2.又AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z )，因为AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 22＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|PA →|＝23，所以PA 的长为2 3.(2)由(1)知，AD →＝(－3，3,0)，AB →＝(3，3,0)，AF →＝(0,2，3)．设平面FAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由n 1·AD →＝0，n 1·AF →＝0得⎩⎨⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1＝(3，3，－2)．由n 2·AB →＝0，n 2·AF →＝0得⎩⎨⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2＝(3，－3，2)．从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝18.故二面角B －AF －D 的正弦值为378.。
2014届高考数学浙江专版(理)一轮复习小题专项集训8
小题专项集训(八) 不等式(建议用时：40分钟 分值：75分)1．若b <a <0，则下列结论不正确的是 ( )．A ．a 2<b 2B ．ab <b 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12a D.a b ＋b a >2解析 取a ＝－1，b ＝－2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4>⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2.答案 C2．“a ＋c ＞b ＋d ”是“a ＞b 且c ＞d ”的 ( )．A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 “a ＋c ＞b ＋d ”/⇒“a ＞b 且c ＞d ”，∴“充分性不成立”，“a ＞b 且c ＞d ”⇒“a ＋c ＞b ＋d ”． ∴必要性成立． 答案 A3．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3] 解析 首先x ≠1，在这个条件下根据不等式的性质，原不等式可以化为x ＋5≥2(x －1)2，即2x 2－5x －3≤0，即(2x ＋1)(x －3)≤0，解得－12≤x ≤3，故原不等式的解集是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3]．答案 D4．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则 ( )．A ．ab ≤12 B ．ab ≥12 C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析 由a ＋b ＝2可得2≥2ab ，即ab ≤1；对于选项C ：a 2＋b 2≥2，即(a ＋b )2－2ab ≥2，可得ab ≤1.故选项C 正确． 答案 C5．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值是( )．A ．4B ．3C ．2D ．1解析 如图，画出约束条件表示的可行域，当直线z ＝x －2y 经过x ＋y ＝0与x －y －2＝0的交点A (1，－1)时，z 取到最大值3，故选B. 答案 B6．不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ( )． A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析 因为x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以要使x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4，故选A. 答案 A7．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是 ( )．A ．6B ．4 2C ．2 6D ．8解析 2a ＋2b ≥22a ＋b ＝42，当且仅当2a ＝2b ，即a ＝b 时等号成立．故选B. 答案 B8．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成的平面区域的面积是( )．A.12B.π4 C ．1D.π2解析 由题意可得，当x ＝0时，by ≤1恒成立，b ＝0时，by ≤1显然恒成立；b ≠0时，可得y ≤1b 恒成立，解得0<b ≤1，所以0≤b ≤1；同理可得0≤a ≤1.所以点P (a ，b )确定的平面区域是一个边长为1的正方形，故面积为1. 答案 C9．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 ( )．A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 800元解析 设需用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，由题目条件可得约束条件为⎩⎨⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，0≤y ≤8，目标函数z ＝400x ＋300y ，画图可知，当平移直线400x ＋300y ＝0过点(4,2)时，z 取得最小值2 200，故选B.答案 B10．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则ab 的最大值为( )．A ．1 B.12 C.32D ．2解析不等式组⎩⎨⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0所表示的可行域如图所示，当平行直线系ax ＋by ＝z 过点A (4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值，z 最大值＝4a ＋6b ＝12，∵4a ＋6b ＝12≥24a ×6b ，∴ab ≤32. 答案 C11．若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________．解析 由不等式的解集知1,2是方程m (x －1)＝x 2－x 的根，将2代入可得m ＝2. 答案 212．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________． 解析 因为正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，所以由基本不等式得xy ≥22·xy ＋6(当且仅当x ＝3，y ＝6时等号成立)，令xy ＝t ，得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)或t ≥32，故xy 的最小值为18. 答案 1813．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)解析 根据已知条件画出可行域(如下图所示)．平移直线3y －2x ＝0，当经过A 点时，z ＝2x －3y 取得最大值；当平移到C 点时，z ＝2x －3y 取得最小值，A 点坐标满足方程组⎩⎨⎧x －y ＝3，x ＋y ＝－1，解得A (1，－2)．C 点坐标满足方程组⎩⎨⎧x －y ＝2，x ＋y ＝4，解得C (3,1)，代入直线z ＝2x －3y 中求得z 的最大值为8，最小值为3，所以取值范围为(3,8)． 答案 (3,8)14．设常数a >0，若对任意正实数x ，y 不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9恒成立，则a 的最小值为________．解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当y ＝a x时取等号．所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9，所以a ≥4，故a 的最小值为4.答案 415．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则a 的值为________．解析 依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有无数个，则直线z ＝y －ax 必平行于直线y －x ＋1＝0，于是有a ＝1. 答案 1。
2014浙江省高考压轴卷 文科数学 Word版含答案
2014浙江省高考压轴卷文科数学一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1.已知集合{}{}2|38,|8120A x x B x x x =≤≤=-+<，则A B ⋂=A.{}|28x x <≤B. {}|26x x <≤C. {}|36x x ≤<D. {}|68x x <≤2．若复数z =（其中i 是虚数单位），则z =A ．．1 D ．1 3. 已知非零向量,a b ，则“20a b -=”是“a b a b +=+”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.已知12,e e 为互相垂直的单位向量，若向量12e e λ+与12e e λ+的夹角等于30︒，则实数λ等于A.± 3±35．执行如同所示的程序框图，若输出的值16S =，则输入自然数n 的最小值应等于A ．7B ．8C ．9D ．106．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线222223x y m n -有公共的焦点，则双曲线的渐近线方程是A ．15y x =±B ．2y x =±C ．3y x =±D ．4y x =±7.若,x y 满足约束条件10222x y y x y +-≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，且z kx y =+取得最小值是的点有无数个，则k =A ．1-B ．2C ．12-或D ．12或-8.已知等差数列{}n a 的公差0,n d S ≠是其前n 项和，若2215a a a =，且69353a a a +=+，则2nnS 的最大值是 A ．12 B ．2532C ．1D ．989．设双曲线()222210,0y x a b a b-=>>，若双曲线的渐近线被圆22:100M x y x +-=所截的两条弦长之和为12，则双曲线的离心率为A ．54 B ．53 C ．43 D10．设函数()()f x g x 与是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若对任意的[],x a b ∈，都有()()()0f x g x k k -≤>，则称()()f x g x 与在[],a b 上是“k 度和谐函数”， [],a b 称为“k 度密切区间”.设函数()()1mx f x g x x -==lnx 与在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“e 度和谐函数”，则m 的取值范围是A ．[]1,1e --B ．[]1,1e -+C ．1,1e e e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦D ．11,1e e e ⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11. 函数()212,02,0x x x x f x x +⎧++≥=⎨<⎩，则()()1f f -= ________. 12. 已知向量()()4,3,2,1a b ==-，若()0a b b λ+⋅=，则2a bλ-的值为_______. 13．若圆()2220x y rr +=>上有且只有两个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围是 .14.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .15.已知0,0,228,x y x y xy >>++=则2x y +的最小值是 . 16.一个不透明的袋中有4个除颜色外其他都相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个，若取到红球记2分，取到白球记1分，取到黑球记0分，则连续取两次球所得分数之和为2或3的概率为 .17.如图，已知()ABC AB AC ∆>的面积是，且则6,AB AC BC ⋅==，M 是BC 的中点，过M 作MH AB ⊥于H ，则MH BC ⋅= .三、解答题（共5小题，共72分）18. 已知函数()()cos 0f x A x ωω=>的部分图象如图所示，且,6MQP MQ π∠==（1）求MP 的长；（2）求函数()f x 的单调递减区间.19.数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：*111,21, 2.n n a S S n N n -=-=∈≥且 （1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若()*n nnc n N a =∈，求数列{}n c 的前n 项和n T20.如图，在三棱锥A-BOC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OA=OB=OC=2，E ，F 分别是棱AB ，AC 的中点.（1）求证：AC BOF ⊥平面；（2）过EF 作平面与棱OA ，OB ，OC 或其延长线分别交于点111,,A B C ，已知132OA =，求直线1OC 与平面111A B C 所成角的正弦值.21.已知函数()()()2214ln .2m f x x m x x m R =+--∈ （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若对于任意的(]0,2x ∈，都有()0f x ≥成立，求实数m 的取值范围.22.如图，过抛物线()21:20C x py p =>上第一象限内的点P 作1C 的切线，依次交抛物线22:2C x py =-于点Q ，R ，过Q,R 分别作2C 的切线，两条切线交于点M.（1）若点P 的坐标为,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且过抛物线21:2C x py =上的点P 的切线点()1,0，求抛物线1C 的方程；（2）在（1）的条件下，（i ）证明：点M 在抛物线1C 上；（ii ）连接MP ，是否存在常数λ，使得PQM MQR S S λ∆∆=？若存在，求出满足条件的常数λ，若不存在，说明理由.2014浙江省高考压轴卷文科数学参考答案一、选择题答案1-5 CBADC 6-10 DDDAB 二、填空题答案11.412.11<r 14.8π 15.4 16.58 17.278-18.解：(1)结合函数()f x 图象的对称性易知：MP=PN=NQ （1分）2222cos MP MQ PQ MQ PQ MQP =+-⋅⋅∠，即(()222222cos6x x x π=+-⨯， （3分）整理得2440x x -+=，解得2x =，故所求MP=2 （5分） （2）由（1）知2,4,MP PQ MQ ===222MP MQ PQ +=，所以MPQ ∆是直角三角形，且3MPN π∠=（6分）又由2,3MP PN MPN π==∠=知，MPN ∆是边长为2的等边三角形 （7分）所以MN=2，所以24T πω==，解得2πω=又点P 到xA =于是函数()2xf x π= （９分）令22,2xk k k Z ππππ≤≤+∈，解得442,k x k k Z ≤≤+∈ （１１分）故函数()f x 的单调递减区间为[]()4,42k k k Z +∈ （１４分）19.解：（１）当2n ≥时，由112121n n n n S S S S -+-=⎧⎨-=⎩两式相减得120n n a a +-=，即12n n a a +=，所以3542342a a a a a a ==== （４分）又当2n =时，2121S S -=，所以2221123,2,2a S a a =+=== （６分） 所以()*12n na n N a +=∈，所以数列{}n a 是以１为首项，２为公比的等比数列. （7分） （2）由（1）得12n n a -=，所以112n n c n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭， （8分）令()01232111111112341222222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()123411111111123412222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得，()0123111111111111222122222222212nn n n n n T n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-⨯=-⨯=-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-所以()11422n n T n -⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭ （14分）20.证明：（1）因为,,OB OA OB OC OA OC O ⊥⊥⋂=，所以.OB AOC ⊥平面 因为AC AOC ⊂平面，所以AC OB ⊥因为OA=OC ，F 是AC 的中点，所以AC OF ⊥，又OB OF O ⋂=，所以.AC BOF ⊥平面 （5分） （2）过点O 作11OP A B ⊥于点P ，连接1PC 。
浙江省2014届高三高考模拟冲刺卷数学【理科】试题及答案
浙江省2014届高三高考模拟冲刺卷（提优卷）（四）数学（理）试题本试题卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分, 考试时间120分钟。
选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}3,4,5,6P =，{}5,7Q =，下列结论成立的是 （ ）A ．Q P ⊆B ．PQ P = C ．P Q Q = D ． {}5PQ =2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()(3)10z i i --=，则z = （ ）ABCD3．“2()4k k Z παπ=+∈”是“cos 20α=”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件 4．已知两条直线,a b ，两个平面,αβ．给出下面四个命题：①//,////a b a b αα⇒； ②,,//a b αβαβ⊂⊥a b ⇒⊥； ③,//,////a a b b αβαβ⊥⇒； ④//,//,a b a b αβαβ⊥⇒⊥．其中正确的命题序号为 （ ） A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．②④ 5．如果执行右边的程序框图，若输出的55s =，则=k （ ）A ．8B ．9C ．10D ．9或106．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点．若双曲线上存在点M ，使1260F MF ∠=，且122MF MF =，则双曲线离心率为（ ）ABC ．2 D7．现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位男生和任何两位女生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是 （ ）A ．20B ．40C ．60D ．80 解：①男甲，甲，甲22A (22A+222A)=12;②甲，甲，男甲 22A (22A+222A)=12；③甲，男甲，甲22A（222A+222A)=168．ABC ∆中，,A B 为锐角，,,a b c 为其三边长，如果sin sin a A b B c +=，则C ∠的大小为（ ）A ．30 B ．45 C ．60 D ．909．已知正三角形ABC的顶点A B ，顶点C 在第一象限，若点(,)M x y 在ABC ∆的内部或边界，则z OA OM =⋅取最大值时，223x y +有 （ ）A ．定值52B ．定值82C ． 最小值52D ． 最小值5010．定义函数348,12,2()1(), 2.22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间[1,2]n （*N n ∈）内的所有零点的和为 （ ）A ．nB ．2nC ． 3(21)4n -D ．3(21)2n - 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．8(x 展开式中5x 的系数是 ． 12．已知某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的半径为 ． 13．已知向量,a b 满足231a b +=，则a b ⋅最大值为 ． 14．设点,A B 分别在直线350x y -+=和3130x y --=上运动，线段AB 的中点M 恒在圆228x y +=内，则点M 的横坐标的取值范围为 ．15．已知()sin cos f x x a x =+，且()03f π=，则当[,0)x π∈-时，()f x 的单调递减区间是 ．16．设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，A 为抛物线上一点，AK l ⊥，K 为垂足，如果直线KF 的斜率为1-，则AKF ∆的面积为 ．17．已知()f x 是二次函数，令123212,(2),(),,()n n a a f a f a a f a -====，如果数列{}n a 是各项为正的等比数列，则(2)f = ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18． 设数列{}n a 的前n 项的和为n S ．已知16a =，135n n n a S +=+，*N n ∈．（1）设5n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（2）数列{}n b 中是否存在不同的三项，它们构成等差数列？若存在，请求出所有满足条件的三项；若不存在，请说明理由．19． 在某次娱乐游戏中，主持人拿出甲、乙两个口袋，这两个口袋中各装有大小、形状完全相同，但颜色不同的10个小球，其中甲口袋中装有8个红球，2个白球，乙口袋中装有9个黄球，1个黑球．现进行摸球游戏，主持人宣布游戏规则：从甲口袋中摸一个球，如果摸出的是红球，记4分，如果摸出的是白球，则记1-分；从乙口袋中摸一个球，如果摸出的是黄球，记6分，如果摸出的是黑球，则记2-分．（1）如果每次从甲口袋中摸出一个球，记下颜色后再放回，求连续从甲口袋中摸出4个球所得总分（4次得分的总和）不少于10分的概率；（2）设X （单位：分）为分别从甲、乙口袋中各摸一个球所可获得的总分，求X 的数学期望．20．在四棱锥ABCD P -中， BC AD //，90ABC APB ∠=∠=︒，点M 是线段AB 上的一点，且CD PM ⊥，BM AD PB BC AB 422====．（1）证明：面⊥PAB 面ABCD ；（2）求平面PAB 与平面PCD 的二面角的正弦值．21．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为单位圆222:1C x y +=的直径，且．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆短轴的上顶点1B 作直线分别与单位圆2C 和椭圆1C 交于,A B 两点（,A B 两点均在y 轴的右侧），设2B 为椭圆的短轴的下顶点，求2AB B ∠的最大值．22．已知函数c bx x x x f ++-=233)(在1=x 处的切线是43)33(+--=a x a y ．（1）试用a 表示b 和c ；20（第题）P ABMCD21（第题）（2）求函数23)(-≥x f 在[]3,1上恒成立，求实数a 的取值范围．2014年浙江省高考模拟冲刺卷（提优卷）数学理科（四）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． D 提示：因为7P ∉，所以A ，B ，C 都错．2． D 提示：由()(3)10z i i --=得10323z i i i=+=+-． 3．A 提示：当2()4k k Z παπ=+∈时，cos 2cos(4)02k παπ=+=；当cos 20α=时，222k παπ=±+()k Z ∈，得4k παπ=±+，推不出2()4k k Z παπ=+∈．4．D 提示：①b 可能在平面α内，所以①错；②由,//b βαβ⊥得b α⊥，因为a α⊂，所以a b ⊥，②正确；③由,//,//a a b b αβ⊥可得αβ⊥，所以③错；④由//αβ，a α⊥得a β⊥，又//a b ，所以b β⊥，即④正确．5．B 提示：∵121055S =++=，所以10i =，故9k =．6．B 提示：由点M 在双曲线上，且122MF MF =，则124,2MF a MF a ==，又1260F MF ∠=，所以在12MF F ∆中，由余弦定理得222164242cos604a a a a c +-⋅⋅⋅=，解得e =7．B 提示：分成两类，第一类：男女男女男女．先排男生，当男生甲在最前的位置时，女生乙只能在其右侧，当男生甲不在最前的位置时，女生乙均有两种排法，另外两位男生和女生的排法都有22A 种，所以第一类的排法总数有22122222222220A A C A A A ⋅+⋅⋅⋅=种．第二类：女男女男女男，与第一类类似，也有20种排法，所以满足条件的排法总数是40种．8．D 提示：若2A B π+>，则sin cos ,sin cos A B B A >>，从而22sin sin A B +sin cos cos sin sin()sin A B A B A B C >+=+=，这与sin sin a A b B c +=矛盾；同理2A B π+<也不可能，所以2A B π+=，及090C ∠=．9．C 提示：由题意得C ， 因为3z OA OM x y =⋅=+，而BC k =，所以z OA OM =⋅取最大值时，点(,)M x y 的坐标满足10y +=x ≤≤，所以10y =x ≤≤，2222233(10)6100s x y x x =+=+=-+，对称轴x =，所以()s f x =在⎡⎣上单调递增，因此当x =s 有最小值5210． D 提示：当312x ≤≤时，()88f x x =-32x =时，max ()0g x =；当322x <≤时，()168f x x =-，所以2()8(1)20g x x =--+<； 由此可得12x ≤≤时，max ()0g x =．下面考虑122n n x -≤≤且2n ≥时，()g x 的最大值的情况． 当12232n n x --≤≤⋅时，由函数()f x 的定义知1111()()()2222n n x x f x f f --===，因为13122n x -≤≤，所以22251()(2)82n n g x x --=--，此时当232n x -=⋅时，max ()0g x =；当2322n n x -⋅≤≤时，同理可知，12251()(2)802n n g x x --=--+<． 由此可得122n n x -≤≤且2n ≥时，max ()0g x =．综上可得对于一切的*n N ∈，函数()g x 在区间1[2,2]n n -上有1个零点，从而()g x 在区间[1,2]n 上有n 个零点，且这些零点为232n n x -=⋅11.28； 12.1 ； 13.124； 14.[ ,25]; 15.[ -p ,- 6]; 16.2 ; 17.2 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18． 解：因为11n n n a S S ++=-，且135n n n a S +=+，所以145n n n S S +=+，……2分把5n n n S b =+代入得14n n b b +=，……3分所以数列{}n b 是首项为1151b S =-=，公比为4的等比数列，所以14n n b -=．……5分 （2）假设数列{}n b 中存在任意三项,,i j k a a a 成等差数列．……6分不妨设1i j k >>≥，由于数列{}n b 单调递增，所以2j i k a a a =+，所以1112444j i k ---⋅=+，……9分 因此2441i k j k --⋅=+，此时左边为偶数，右边为奇数，不可能成立，……13分 所以数列{}n b 中不存在不同的三项，它们构成等差数列．……14分19． 解：（1）设连续从甲口袋中摸出的4个球中，红球有x 个，则白球有4x -个，由题设可得4(4)10x x --≥，解得145x ≥，……4分由x N ∈，得3x =或4x =，所以所求的概率为33440.80.20.80.8192P C =⨯⨯+=．……6分（2）由题意知X 可能取值分别为10,5,2,3X =-，……8分且由每次摸球的独立性，可得：(10)0.80.90.72P X ==⨯=，(5)0.20.90.18P X ==⨯=，(2)0.80.10.08P X ==⨯=，(3)0.20.10.02P X =-=⨯=，……12分由此得X 的数学期望为：100.7250.1820.08(3)0.028.2EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=．……14分20．解：（1）由BM PB AB 42==，得AB PM ⊥，又因为CD PM ⊥，且CD AB ，所以⊥PM 面ABCD ，……5分 且⊂PM 面PAB ．所以，面⊥PAB 面ABCD 。
浙江省2014届高三高考模拟冲刺卷(提优卷)(三)文科数学试卷(带解析)
浙江省2014届高三高考模拟冲刺卷（提优卷）（三）文科数学试卷（带解析）1．已知集合A ＝{x |4≤x2≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是（ ） A. (－∞，－2] B. [)+∞-,2 C. (－∞，2] D. [)+∞,2 【答案】A 【解析】试题分析：集合A 是不等式4216x≤≤的解集，由题意，集合[]2,4A =，因为A B ⊆，故2a ≤，4b ≥，故242a b -≤-=-，即a b -的取值范围是(],2-∞-．[故A 正确。
考点：1指数不等式；2集合的运算。
2．“函数y=sin(x ＋φ)为偶函数” 是“φ＝2π” 的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 试题分析：2πϕ=时，()sin cos y x x ϕ=+=为偶函数；若()sin y x ϕ=+为偶函数，则k =ϕZ k ∈+,2ππ；选B.考点：1三角函数的性质；2充分必要条件。
3．某校150名教职工中，有老年人20个，中年人50个，青年人80个，从中抽取20个作为样本．①采用随机抽样法：抽签取出30个样本；②采用系统抽样法：将教工编号为00,01，…，149，然后平均分组抽取30个样本； ③采用分层抽样法：从老年人，中年人，青年人中抽取30个样本． 下列说法中正确的是( )[来源:]A ．无论采用哪种方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等B ．①②两种抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等；③并非如此C ．①③两种抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率都相等；②并非如此D ．采用不同的抽样方法，这150个教工中每一个被抽到的概率是各不相同的 【答案】A 【解析】试题分析：三个抽样方法, 每一个被抽到的概率都等于5115030=. 考点：抽样方法。
4．已知函数()⎩⎨⎧>≤+=1,lg 1,92x x x x x f ，记()()x f x f =1，()()()x f f x f 12=，()()()x f f x f 23=，，则()=102014f ( )A ．lg109B ．2C ．1D ．10 【答案】D 【解析】试题分析：∵101>，∴()()11010lg1011f f ===≤，∴()()()2210(10)11910f f f f ===+=，()()()310((10))10lg101f f f f f ====，，()20141010f =，故选D.考点：1分段函数；2函数的周期性。
2014年高考数学冲刺高分秘诀
2014高考数学冲刺高分秘诀题型通解思维，我们来看一下历年高考真题，看看类题型是不是能够用一种方法或一种思维进行解答。
为了不体现题目的特殊性，我们用05~08全国I 卷的最后一题。
发现都是数列或函数或不等式题，没关系，题型不一样，照样能固定的思维解法：1、 严格按照题目的要求，判断要我们干什么2、 题目给的条件和我们要求的差距点是什么3、 弥补这个差距4、 得出这个结论固定的步骤：1、 根据定义得出结论2、 用求同存异的思想进行条件转换3、 若是证明，数列用数学归纳法，函数用式子变形先看题目，再看解答，是否存在这样的共性呢？已知函数].1,0[,274)(2∈--=x xx x f （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和值域；（Ⅱ）设1≥a ，函数g x x a x a x ()[,]=--∈323201，。
若对于任意x 101∈[]，总存在x 001∈[]，，使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围。
（06全国卷）设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ； （Ⅱ）设2nn n T S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑ （07全国卷）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，43n n b a -<≤，123n =，，，…． （08全国卷）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥．证明：1k a b +>． 解答与解析：（05全国卷）解析：本题看似式子复杂，但是第一问直接可根据定义去做，这个分数必须拿到。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014年浙江省高考数学冲刺第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，则ii 31+=（ ）A ．i 4143- B ．i 4143+ C ．i 2123+ D ．i 2123- 2．设集合}20|{<≤∈=x Z x M ，}4|{2≤∈=x R x P ，则=P M I（ ）A ．}1{ B. }1,0{ C ． M D ．P 3．函数Rx x x f ∈-=),32sin(2)(π的最小正周期为（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π44． R c b a ∈,,.则“c b a ,,成等比数列”是“ac b =”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 且0222=-++a bc c b ，则cb C a --︒)30sin(的值为（ ）A ．21 B ．23 C ．21- D ．23-6．在平面直角坐标系中，不等式2|2||2|≤++-x y 表示的平面区域的面积是 （ ）A ．8B ．4C ．24D ．227．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为 （ ） AB ．12C D 8．如图， ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 是边动点，AD BE ⊥于E ，则CE 的最小值为 （A ．1 B ．2C 1D 9．已知椭圆C: 2212x y +=，点125,,,M M M L 为其长轴AB 的6等分点，分别过这五直观图俯视图侧视图正视图点作斜率为)0(≠k k 的一组平行线，交椭圆C 于1210,,,P P P L ，则直线1210,,,AP AP AP L 这10条直线的斜率乘积为（ ） A ．116-B ．132- C ．164 D ．11024- 10．下列四个函数:①32()f x x x =+;②4()f x x x =+;③2()sin f x x x =+; ④()cos 2sin f x x x =+中 ，仅通过平移变换就能使函数图像为奇函数或偶函数图像的函数为 （ ）A ．① ② ③B ．② ③ ④C ．① ② ④D ．① ③ ④非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．二项式52)1(x -的展开式中6x 的系数为 ．1213．若非零向量,a b r r ，满足||||a b b +=r r r ，()a a b λ⊥+r r r，则=λ ．14．已知函数()sin 2cos(2)3f x a x x π=++的最大值为1，则=a ．15．对任意R x ∈，都有(1)()f x f x +=，(1)()g x g x +=-，且()()()h x f x g x =在]1,0[上的值域]2,1[-．则)(x h 在]2,0[上 的值域为 ．16．两对夫妻分别带自己的3个小孩和2个小孩乘缆车游玩，每一缆车可以乘1人，2人或3人，若小孩必须有自己的父亲或母亲陪同乘坐，则他们不同的乘缆车顺序的方案共有 种．17．已知：长方体1111D C B A ABCD -，4,4,21===AA AD AB ，O 为对角线1AC 的中点，过O 的直线与长方体表面交于两点N M ,，P 为长方体表面上的动点，则PN PM ⋅的取值范围是_____________三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）一个袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个球，记随机变量X 为取出2球中白球的个数，已知5(2)12P X ==． （Ⅰ）求袋中白球的个数；（Ⅱ）求随机变量X 的分布列及其数学期望．19．（本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)2(2)n n n S a n =⎧=⎨≥⎩．（Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）设21211(log )(log )n n n n n n S b S S S S +++=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCDCD PD =，90,120ADP CDP ∠=︒∠=︒，,,E F G 分别 为,,PB BC AP 的中点.（Ⅰ）求证:平面//EFG 平面PCD ;（Ⅱ）求二面角D EF B --的平面角的大小. 21．（本题满分15分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点(1,0)F -，离心率为2，函数13()24f x x x =+，（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设(,0)(0)P t t ≠，((),0)Q f t ，过P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，求QA QB •u u u r u u u r的最小值，并求此时的t 的值． 22．（本题满分14分）FB P已知R a ∈，函数1ln ()ax x f x e x-=-+（e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 的最小值为a ，求a 的最小值． 答案一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分） 1．B ； 2．B ； 3．D ； 4．D ； 5．A ； 6．A ； 7．C ； 8．C ； 9．B ； 10．D ． 二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分） 11．10-； 12．60137； 13．2； 14． 0或3；15．]2,2[-； 16． 648； 17．]8,8[-．三、解答题（本大题共5小题，第18、19、22题各14分，20、21题各15分，共72分）18. 解：（Ⅰ）设袋中有白球n 个，则125)2(292===C C X P n ，即12589)1(=⨯-n n ，解得6=n ．（Ⅱ）随机变量X 的分布列如下：3412522111210)(=⨯+⨯+⨯=X E ．19.解:（Ⅰ）2≥n 时,)(221--==n n n n S S a S所以2nn S = ⎩⎨⎧=≥=-1)(n 22)(21n a n n（Ⅱ）112111(2)(21)221n n n n n n b n n n n +++==-++++++ 20. 解：（Ⅰ）因为G E ,分别为AP BP ,中点,所以AB EG //,又因为ABCD 是正方形,CD AB //,所以CD EG //,所以//EG 平面PCD . 因为F E ,分别为BC BP ,中点,所以PC EF //,所以//EF 平面PCD . 所以平面//EFG 平面PCD .（Ⅱ）法1.易知CD AD ⊥,又PD AD ⊥,故分别以DA DC ,为x 轴和z 轴,不妨设2===PD CD AD 则)1,0,2(),2,0,2(F B ,)0,3,1(-P所以)1,23,21(E 设),,(111z y x =是平面BEF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=•=•00m FB 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=023230111y x z 取⎪⎩⎪⎨⎧===031111z y x ,即)0,3,1(=m设),,(222z y x =是平面DEF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=•=•00所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=+02323022222y x z x 取⎪⎩⎪⎨⎧-===231222z y x 设二面角B EF D --的平面角的大小为θ所以22cos -=θ,二面角B EF D --的平面角的大小为π43. 法 2. 取PC 中点,联结DM EM ,则BC EM //,又⊥AD 平面PCD ,BC AD //,所以⊥BC 平面PCD ,所以⊥EM 平面PCD ,所以DM EM ⊥,PC EM ⊥. 因为DP CD =,则PC DM ⊥,所以 ⊥DM 平面又因为PC EF //,所以EM EF ⊥所以DEM ∠就是二面角B EF D --不妨设2===PD CD AD ,则1=EM ,1=DM ,4π=∠DEM .所以二面角B EF D --的平面角的大小为π43.21. 解：（Ⅰ）1=c ,由⎪⎩⎪⎨⎧=-=122122b a a 得1,2==b a ,椭圆方程为1222=+y x（Ⅱ）若直线l 斜率不存在,则•=2)4321(2-+t t 设直线)(:t x k y l -=,)0,(),,(),,(02211x Q y x B y x AFBP由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)(1222t x k y y x 得0224)12(22222=-+-+t k tx k x k所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+2222122212122214k t k x x k tk x x故•的最小值为21-,此时36±=t .22. 解:（Ⅰ）1=a 时,1ln )(-+-=x e x x x f ,12ln 1)('-+--=x e xxx f 当1>x 时,0ln 11ln 1)('222>+-=+-->x x x x x x f 当10<<x 时,0ln 11ln 1)('222<+-=+--<x xx x x x f 所以)(x f 的单调减区间为),1,0(单调增区间为),1(+∞. （Ⅱ）由题意可知:a e xxax ≥+--1ln 恒成立,且等号可取. 即0ln 1≥---x ax xe ax 恒成立,且等号可取. 令x ax xe x g ax ln )(1--=- 由011=--x e ax 得到x x a ln 1-=,设x x x p ln 1)(-=,22ln )('x x x p -= 当2e x >时,0)('>x p ;当20e x <<时,0)('<x p .)(x p 在),0(2e 上递减,),(2+∞e 上递增.所以22min 1)()(e e p x p -== 当21e a -≤时, x x a ln 1-≤,即011≤--x e ax ,在)1,0(a-上,0)(',01≤>+x g ax ,)(x g 递减; 在),1(+∞-a上,0)(',01≥<+x g ax ,)(x g 递增. 所以)1()(min ag x g -=设],0(12e a t ∈-=,)0(1ln )()1(22e t t ett h a g ≤<+-==- 011)('2≤-=t et h ,)(t h 在],0(2e 上递减,所以0)()(2=≥e h t h故方程0)1()(min =-=a g x g 有唯一解21e a =-,即21e a -=. 综上所述,当21e a -≤时,仅有21e a -=满足)(x f 的最小值为a , 故a 的最小值为21e -. 2020-2-8。