期末复习--集合与函数学生版
集合与函数的概念复习
所以值域为{y | y R,且y 1}
1- 1 1 x 1
分离常数法
形如y cx b 的形式的值域为{y R | y c}
ax b
a
例7 求函数 y x 1 (x 1)的值域
x2
解 反表示法 ：
由y x 1 解出x，得x 2 y 1 ( y 1)
x2
1 y
而x 1,所以 2 y 1 1 即 y 2 0
增函数、减函数、单调函数是对定义域上的某个区间而言的
3.最大(小)值的定义:
设函数y=f(x)定义域为I,如果存在实数M满
足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x) M (或 ;)
(2)存在x0 ∈I,使得f(x0)=M.则称M是函数y=f(x) 的最大(小)值.
例5 画出函数f(x)=3x+2的图像,判断它的单调 性,并加以证明.
解：若A ,则集合A无真子集，这时关于x的方程
ax2 2x 1 0无实数解，则a 0,且 4 - 4a 0 解得a 0. 若集合A恰有一个真子集，这时集合A中仅有一个元素 可分两种情况：（1）a 0时，方程为2x 1 0, x 1
2 （2）a 0时，则 4 - 4a 0, a 1
[ a, b )
{x|a<x≤b}
半开半闭 区间
( a, b ]
ab ab ab
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
例题讲解
例1 判断下列对应是否为从集合A到集合B的函数 (1) A=R,B=(0,+),x A,对应法则f:x |x| (2)A R, B { y | y R且y 1}, x A,对应法则f:x y=x2 2x 2
2
(
x
2 1
1
集合与函数知识点归纳
集合与函数板块公式1.集合的运算:(1)交集:A x x B A ∈=|{ 且}B x ∈,即集合B A ,的所有公共元素构成的集合. (2)并集:A x x B A ∈=|{ 或}B x ∈,即集合B A ,的所有元素构成的集合. (3)补集:∁U ∈=x x A |{U 且}A x ∉,即除A 中元素需补充的所有元素的集合. 2.集合中的关系:(1)元素与集合的关系:属于或不属于关系.(∈或∉)(2)集合与集合关系:A 是B 的子集记为B A ⊆.(开口朝范围大的集合) (3)含有n 个元素的子集有n2个,真子集有12-n个,非空真子集有22-n个. 3.集合表示法:列举法、描述法、区间法、特殊字母(Venn 图象法、数轴表示) 4.常用函数定义域的求法(结果用集合的表示方法表示) (1))(x f y =,0)(≥x f (2))(log x f y a =,0)(>x f(3))()(x g x f y =,0)(≠x g (4))(tan x f y =,∈+≠k k x f (,2)(ππ)Z 5.函数的单调性 (1)定义法:①增函数:任意D x x ∈21,且21x x <,都有)()(21x f x f < ②减函数:任意D x x ∈21,且21x x <,都有)()(21x f x f > (2)定义法变形: ①)(x f 增函数⇔0)]()()[(0)()(21212121>--⇔>--x f x f x x x f x f x x②)(x f 减函数⇔0)]()()[(0)()(21212121<--⇔<--x f x f x x x f x f x x (3)图象法: ①增函数图象上升; ②减函数图象下降 (4)导数法:①增函数(增区间):令0)('>x f 解得x 的范围为增区间 ②减函数(减区间):令0)('<x f 解得x 的范围为减区间 6.函数的奇偶性(定义域对称) (1)定义法:①奇函数:)()(x f x f -=- ②偶函数:)()(x f x f =-(2)图像法:①奇函数图象关于原点对称; ②图像法图象关于y 轴对称 (3)奇偶函数求参数:赋值法①奇函数:)1()1(;0)0(f f f -=-= ②偶函数:)1()1(f f =- 7.函数的周期性(1)定义法:x ∀,都有)()(x f T x f =+,则T 为函数)(x f 的周期. (2)定义的变形:①)()(x f a x f -=+,周期a T 2=;②)(1)(x f a x f ±=+,周期a T 2=. (2)图象法:图象重复出现,重复的区间长度为周期T . (3)具体函数的周期:①B x A x f ++=)sin()(ϕω,ωπ2=T ;②B x A x f ++=)cos()(ϕω,ωπ2=T ; ③B x A x f ++=)tan()(ϕω,ωπ=T .8.基本初等函数:一次函数 (1)解析式:)0(,)(≠+=a b ax x f .(2)图象:一条斜线(两点定线:可以作与x 的交点和与y 的交点) (3)单调性: ①0>a 为增函数; ②0<a 为减函数.(4)奇偶性: ①当0=b 时,为奇函数; ②当0≠b 时,为非奇非偶的函数. 9.基本初等函数:二次函数(1)解析式:)0(,)(2≠++=a c bx ax x f (2)顶点式:(用配凑法配方) (3)图象:(抛物线)①作对称轴:abx 2-=; ②作顶点:将对称轴代入解析式得顶点y 坐标;③作与y 轴交点:令0=x 解得;④判断开口方向:0>a 开口向上;0<a 开口向下;⑤若x 轴相交,作与x 轴交点:令0=y 解方程. (4)一元二次方程的求解方法:①因式分解法:(十字相乘法,提公因式法); ②公式法: aacb b x 242-±-=.(5)一元二次不等式(标准型:0>a )的解法:①有两个实数根:大于取两边,小于取中间; ②没有两个实数根:作图观察. (6)二次函数的单调性:在对称轴两侧单调性相反.(7)二次函数奇偶性: ①当0=b 时,为偶函数; ②当0≠b 时,为非奇非偶的函数. (8)韦达定理(根与系数的关系):方程02=++c bx ax 有两根21,x x ,则acx x a b x x =⋅-=+2121,10.基本初等函数:指数函数与对数函数 (1)指数幂:n naa1=-; n m nm a a =; nmnmaa1=-(2)指数幂的运算法则nm n m aa a +=⋅; n m n m a a a -=; mn n m a a =)(; n n nb a ab =)(; n n n ba b a =)((3)指数与对数的转换: N a b= ⇔ N b a log = (4)对数恒等式:01log =a ; 1log =a a ; n a n a =log ; N a Na =log(5)对数的运算法则:①N M N M a a a log log )(log +=⋅;②N M NMa a a log log log -= ③M n M a n a log log = (6)换底公式:①a N Nb b a log log log =; ②1log log =⋅a b b a ;③b b aa 1log log 1=11.函数与方程(1)函数的零点(方程的根):使得函数)(x f 等于0对应的x 的值,即为相应方程的根,也为函数图象与x 轴交点的x 坐标.(2)零点存在定理:若函数连续函数)(x f 在区间),(b a 上满足0)()(<⋅b f a f (即)(),(b f a f 一个在x 轴上方,一个在x 轴下方),则函数)(x f 在区间),(b a 上一定存在零点.(但是不能确定零点的个数) (3)零点个数(方程的根的个数)问题:①函数)(x f 为基本初等函数:画出函数)(x f 图象,图象与x 轴交点的个数即为零点的个数.②函数y 为两个基本初等函数加减得到,即)()(x g x f y ±=:令0=y ,将其变形为)()(x g x f =,在一个坐标系下画出)(x f y =图象与)(x g y =图象,两图象的交点个数即为y 的零点的个数.。
集合与函数概念知识点
集合与函数概念知识点集合与函数是高中数学中的重要概念，在数学的各个领域中起着关键的作用。
集合是数学中最基础的概念之一，它是由不同元素组成的一种事物的整体。
而函数则是集合之间的一种特殊的关系，它描述了输入和输出之间的映射关系。
本文将从集合和函数的定义、性质和应用等方面来探讨这两个重要的数学概念。
首先，我们先来了解集合的概念。
集合是由一些确定的对象组成，这些对象称为集合的元素。
举个简单的例子，{1, 2, 3}就是一个集合，其中的1、2、3就是集合的元素。
在集合中，元素的顺序是无关紧要的，而且一个元素在集合中只会出现一次。
集合可以用不同的方式来表示，比如列举法、描述法和图示法等。
集合的基本运算包括交集、并集、补集和差集等，这些运算在解决实际问题时起到了重要的作用。
其次，我们来介绍函数的概念。
函数是集合之间的一种对应关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
函数可以用各种方式表示，比如用公式、图像、表格和文字描述等。
函数有很多重要的性质，比如一一对应、单调性和可逆性等。
其中，一一对应是指一个输入对应一个输出，输出不会重复；单调性则描述了函数的增减趋势；可逆性则表示函数的输入和输出之间存在着逆关系。
函数在数学中的应用非常广泛，如在几何学中用来描述图形的变换、在微积分中用来描述曲线的变化、在统计学中用来表示概率分布等。
进一步探讨，集合和函数之间存在着密切的关系。
事实上，函数可以看作是将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的一种特殊关系。
函数可以用集合来表示，其中输入的集合被称为定义域，输出的集合被称为值域。
函数的图像可以用集合的图示法来表示，其中每个点代表了函数中的一个元素对。
函数的特性可以通过集合的运算来研究，比如函数的复合、函数的反函数和函数的性质等。
通过研究函数与集合之间的关系，我们可以更好地理解函数的本质和特点。
最后，我们来谈一谈集合和函数在现实生活中的应用。
集合的应用非常广泛，比如在统计学中用来表示样本空间、在计算机科学中用来表示数据集、在金融学中用来表示投资组合等。
集合与函数概念知识点复习
《集合与函数概念》复习资料一、 知识结构：{}{}{}⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=∈∈=∈∈=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⊆⊆≠⊆⊂⊆⊆⊆⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≠A x U x x A C B x A x x B A B x A x x B A B A A B B A B A B A B A A A A B A U 且补集：（公共的部分）且交集：（合并的部分）或并集：集合的基本运算，则，且集合相等：若 真子集：子集：集合间的基本关系描述法列举法集合的表示法无限集有限集集合的分类无序性互异性确定性集合中元素的特征集合的含义与表示集合 .),(,,φ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧象法判定方法：定义法，图定义奇偶性象法判定方法：定义法，图定义单调性函数的基本性质图象法列表法解析法函数的表示法区间的概念值域对应法则定义域函数的三要素函数的定义函数及其表示函数知识要点填空：1． 常用的数集及其记法：非负整数集（自然数集）： ；正整数集： ；整数集： ；有理数集： ； 实数集：2． 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作 ；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作 .3． 任何一个集合是它本身的 ，即 .空集是任何集合的 ，即 .对于集合,,,C B A 如果,B A ⊆且,C B ⊆那么 .4． 若集合中有n 个元素，则这个集合的子集有 个，真子集 个，非空子集 个，非空真子集 个。
5． 并集：B A =交集：B A =补集：A C U =6.函数的定义：设B A ,是两个 ，如果按照 ，使对于集合A 中 的 元素x ，在集合B 中都有 元素y 与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数。
01第一章：集合与函数概念知识点总结
01第⼀章：集合与函数概念知识点总结第⼀章：集合与函数概念本章知识结构图：本章知识点梳理：1、集合①空集：不含有任何元素的集合，记作Φ（1）集合的分类⑤有限集：含有有限个元素的集合；⽆限集：含有⽆穷多个元素的集合（2）集合元素的特性②有：确定性、互异性、⽆序性。
（3）常⽤数集的专⽤符号⑥：⾃然数集：N ，正整数集：N +或N*，整数集：Z ，有理数集：Q ，实数集：R 。
（4）集合的表⽰⽅法④：①列举法：把集合中的元素⼀⼀列举出来，写在⼤括号内表⽰集合的⽅法；②描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在⼤括号内表⽰集合的⽅法。
2、⼦集、交集、并集、补集（1）⼦集⑧定义：设集合A 与B ，如果集合A 中的任何⼀个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的⼦集记作B A ?（或A B ）；如果A 是B 的⼦集，并且B 中⾄少有⼀个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真⼦集，记作B A≠（或A B ≠）（2）交集○14定义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 、B 的交集，记作B A （如右图），即A x xB A ∈=|{ 且}B x ∈（3）并集○13定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 、B 的并集，记作A B ，即A a B A ∈={ 或}B a ∈（4）补集○15定义：设I 是⼀个集合，A 是I 的⼀个⼦集，由I 中所有不属于A的元素组成的集合，叫做I 中⼦集A 的补集（或余集），记作A C I ，即I x x A C I ∈=|{，且}A x ?如右图所⽰。
3、（1）函数的概念○16①设A 、B 是两个⾮空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何⼀个数x ，在集合B 中都有唯⼀确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的⼀个函数，记作:f A B →．②函数的三要素○17:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同⼀函数．（2）区间的概念○19及表⽰法①设,a b 是两个实数，且a b <，满⾜a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满⾜a x b<<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满⾜a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满⾜,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以⼤于或等于b ，⽽后者必须a b <．（3）函数的表⽰⽅法○20表⽰函数的⽅法，常⽤的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是⽤数学表达式表⽰两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表⽰两个变量之间的对应关系．图象法：就是⽤图象表⽰两个变量之间的对应关系．（4）映射的概念○23①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何⼀个元素，在集合B 中都有唯⼀的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定⼀个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 4、函数的基本性质（1）函数的单调性○25函数为增函数，减函数减去⼀个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）函数的最⼤（⼩）值定义○26①⼀般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满⾜：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最⼤值，记作m ax ()f x M =．②⼀般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满⾜：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最⼩值，记作m a x ()f x m=．（3）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，⼀个偶函数与⼀个奇函数的积（或商）是奇函数． 5、函数的图象的作法（1）利⽤描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．（2）利⽤基本函数图象的变换作图：要准确记忆⼀次函数、⼆次函数、反⽐例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三⾓函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k><=→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =→=-轴()()y y f x y f x =→=-轴()()y f x y f x =→=--原点 1()()y xy f x y f x -==→=直线()(||)y y y y f x y f x =→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =→=保留轴上⽅图象将轴下⽅图象翻折上去知识点1：集合与元素知识点2：集合中元素的三个特性知识点3：元素与集合的两种关系知识点4：集合的三种表⽰法知识点5：有限集和⽆限集知识点6：特定集合的表⽰知识点7：Venn 图与数轴法表⽰集合知识点8：⼦集知识点9：集合相等知识点10：真⼦集知识点11：空集知识点12：集合的⼦集的数⽬知识点13：并集知识点14：交集知识点15：补集知识点16：函数的概念知识点17：函数的两个要素知识点18：函数的值域及其求法知识点19：区间的概念知识点20：函数的三种表达⽅法知识点21：函数图象知识点22、分段函数知识点23：映射的定义知识点24：增函数与减函数的定义知识点25：单调性与单调区间知识点26：函数的最⼤（⼩）值知识点27：奇函数与偶函数的概念知识点28：利⽤定义判断函数奇偶性的⼀般步骤知识点29：奇偶函数的图象的性质知识点30：奇偶函数的单调性部分知识点详细解释：知识点1：集合与元素1、元素：⼀般地，我们把研究对象统称为元素（element ），元素常⽤⼩写字母 c b a ,,表⽰。
高一集合和函数知识点
高一集合和函数知识点在高一数学学习中，集合和函数是重要的知识点。
本文将详细介绍高一集合和函数的相关内容，帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。
一、集合集合是数学中的一种基本概念，它是由一些特定对象组成的整体。
常用的集合表示方法有列举法和描述法。
例如，我们可以用集合A来表示小于10的正整数，可以写成A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。
1. 集合的运算在集合中，常用的运算有并集、交集、差集和补集。
并集表示两个或多个集合中的所有元素的总和。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，它们的并集可以表示为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
交集表示两个或多个集合中共有的元素。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，它们的交集可以表示为A∩B={3}。
差集表示一个集合中剔除另一个集合的元素后的结果。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，它们的差集可以表示为A-B={1, 2}。
补集表示在给定的全集中排除某个集合的元素后的结果。
例如，如果全集为U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={1, 2, 3}，那么集合A的补集可以表示为A'={4, 5}。
2. 集合的关系和性质在集合中，常用的关系有相等关系、包含关系和互斥关系。
相等关系表示两个集合中的元素完全相同。
例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={1, 2, 3}，那么A=B。
包含关系表示一个集合中的元素包含于另一个集合中。
例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={1, 2, 3, 4, 5}，那么A⊆B。
互斥关系表示两个集合没有共同的元素。
例如，如果集合A={1, 2}，集合B={3, 4}，那么A∩B=∅。
二、函数函数是数学中的一种映射关系，它描述了输入和输出之间的对应关系。
一个函数通常由定义域、值域和对应关系组成。
1. 函数的定义函数的定义包括函数名、自变量和因变量。
高一集合与函数的复习
高一新教材：第一章：集合与函数集合的概念1、集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。
我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合。
元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。
2、常用数集及记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *3、元素对于集合的隶属关系：（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……⑵“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写练习题：1、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（不确定）（2）好心的人 （不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）(4)大于3小于11的偶数； (5)我国的小河流；(6)非负奇数； (7)方程210x +=的解；(8)某校2011级新生； (9)血压很高的人；(10)著名的数学家； (11)平面直角坐标系内所有第三象限的点(12)全班成绩好的学生。
集合与函数概念知识点归纳
集合与函数概念知识点归纳
一、集合
1、定义：集合是一种特殊的数学概念，由一组无序的、相互独立的、具有相同特征的对象构成的。
2、术语：元素是集合中的每一个成员，例如：集合{1,2,3}中1,2,3
都是它的元素。
一个集合的元素称为它的子集，可以用一对大括号表示：{x,y,z}。
3、集合的关系：
（1）子集：如果一个集合包含另一个集合中的全部元素，称前者是
后者的子集。
（2）真子集：如果一个集合中包含另一个集合中的其中一元素，称
前者是后者的真子集。
（3）并集：并集是指两个集合中元素的总和，称为两个集合的并集。
（4）交集：交集是指两个集合中都包含的元素，称为两个集合的交集。
（5）补集：补集是指一个集合之外的其他元素，称为另一个集合的
补集。
4、集合的操作：
（1）加法：将元素加入到一些集合中，使得其包含的元素增加。
（2）减法：从一些集合中删除元素，使其包含的元素减少。
（3）求幂：将一些集合中的元素以其中一种方式考虑，得到一个新
的集合。
（4）合并操作：将两个集合中的元素合并成一个集合。
二、函数
1、定义：函数是一种特殊的数学概念，它表示两个变量之间的关系，当给定一个输入时，它可以将输入映射到一个输出。
2、术语：函数由函数表达式组成。
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高一上期末复习——集合与函数
2008-1-15
一、知识回顾：
1. 集合的性质与表示，运算（交并补），空集的特殊性
2. 函数的三要素，函数的表示
3. 函数单调性的证明与判断
4. 函数奇偶性的证明与判断（注意定义域是否对称）
5. 函数图像的平移与变换
二、课前热身：
1.满足{1，2，3} ≠⊂M ≠
⊂{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是 （ ）C A ．8 B ．7 C ．6 D ．5
2. 已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合 ()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元 素的个数（ ）C
A. 1
B. 0
C. 1或0
D. 1或2
3. 若函数f (x )=x －
2p x p +在（1，+∞）上是增函数，则实数p 的取值范围是 （ ）A A ．［－1,＋∞) B ．［1,+∞)
Ｃ．(－∞,－1］ Ｄ．( －∞,1］ 4. 已知函数()()0f x x a x a a =+--≠，()(
1g x x =-()()()2200x x x h x x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩，则 ()()(),,f x g x h x 的奇偶性依次为
（ ）D
A ．奇函数，偶函数，奇函数
B ．奇函数，奇函数，偶函数
C ．奇函数，奇函数，奇函数
D ．奇函数，非奇非偶函数，奇函数
5. 若任取x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1≠x 2，都有[]12121()()()22
x x f f x f x +>+成立，则称f (x ) 是[a ，b ]上的凸函数。
试问：在下列图像中，是凸函数图像的为
（ ）C
A B C D
6. 某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度，既可用来洗浴。
洗浴时，已知每分钟放水34
升，在放水的同时按4升/分钟2的匀加速度自动注水。
当水箱内的水量达到最小值时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65升，则该热水器一次至多可供
（ ）B
A ．3人洗浴
B ．4人洗浴
C ．5人洗浴
D ．6人洗浴
三、例题讲解：
例1设集合A={x |x 2＋4x =0}，B={x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1=0} ，A ∩B=B ， 求实数a 的范围．
11-≤=a a 或
例2已知函数22|1|()1
x x f x x -=-．（1）判断函数的奇偶性； （2）作出函数的图象．
（1）奇函数 (2)略
例3二次函数f （x ）满足(1)()2,f x f x x +-=且f （0）=1.
(1) 求f （x ）的解析式; (2)在区间[]1,1-上,y = f （x ）的图象恒在y =2x +m 的图象上方,试确定实数m 的范围.
（1）1)(2+-=x x x f
(2) 1-<m
例4若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()()f xy f x f y =+
⑴求()1f 的值；⑵若()61f =，解不等式()132f x f x ⎛⎫+-<
⎪⎝⎭ (1) f(1)=0
(2) 2
17330+-<
<x 例5已知函数f (x )=x
a x x ++22，x ∈［1，＋∞］ （1）当a =2
1时，求函数f (x )的最小值； （2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围． (1)
2
7 (2) 3->a
四、课后巩固：
1.设集合A={a ，b ，c}，B={0，1}，那么从B 到A 的映射有 （ ）D
(A)3个 (B)6个 (C)8个 (D)9个
2.若α、β是关于x 的方程()053222=+++--k k x k x （R k ∈）的两个实根，则22βα+的最大值等于（ ）C
A. 6
B. 9
50 C. 18 D. 19 3.设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()
223f a a -+ （a R ∈）的大小关系是
（ ）B
A ．()2f -<()223f a a -+
B ．()2f -≥()223f a a -+
C ．()2f ->()223f a a -+
D ．与a 的取值无关 4.已知函数()()2
21,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有()()11f x f x -=+ 成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立,则b 的取值范围是
（ ）C A ．10b -<< B ．2b >
C ．12b b <->或
D ．不能确定 5.设集合U ={(x ，y )|y =3x －1}，A ={(x ，y )|1
2--x y =3}，则C U A = {(1,2)} . 6.⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<--≤+=2 221 1 |1|)(2x x x x x x x f ，那么f (f (－2))= 1 ；如果f (a)=3，那么实数
a = 4-7.函数x x y --=10lg 的值域是___]1,(-∞_____________
8.求函数21x
y =的单调区间是___),0(),0,(+∞-∞_____________ 9.设f(x) 是定义在R 上的偶函数, 且图象关于x=2对称, 己知x ∈[－2,2] 时, f(x) =－x 2+1, 求x ∈[－6,－2]
时,f(x) 的表达式.
f(x) =－(x+4)2+1
10*.已知()2f x x c =+，且()()
21f f x f x =+⎡⎤⎣⎦。
⑴设()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，求()g x 的解析式； 22)(24++=x x x g
⑵设()()()x g x f x φλ=-，问是否存在实数λ，使()x φ在(),1-∞-上是减函数，并且在 ()1,0-上是增函数．
λ =4。