[精选+详解2013届高三数学名校试题汇编(第1期)专题11 概率与统计(理)

专题11 概率与统计（理）一．基础题1.【浙江省乐清市第二中学2013届高三第一次月考】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是（ ） A ．1127 B ． 1124 C ． 1627 D ． 924【答案】A4221P(B),P(B)12433331433P(A |B),P(A |B)819819--===-=++====++2.【山西大学附属中学2013届高三10月月考】学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量 为n 的样本，其频率分布直方图如图所示， 其中支出在[)60,50元的同学有30人，则n 的值为____．30100.010.0240.0361,100.n n⨯+++=∴=答案解析考点定位本题考查频率分布直方图基本知识，考查学生识图、读图能力和基本运（算力。

）能[] 100[] [] 3.【2013届安徽省示范高中高三9月模底考试】从集合{－1，1，2，3}中随机选取一个数记为m ，从集合{－1，1，2}中随机选取一个数记为n ，则方程22x y m n+＝1表示双曲线的概率为＿＿＿＿【答案】5124.【湖北省武汉市2013届高三11月调研测试】有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在 不同层离开的概率为 .5.【2013届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】已知正整数a ,b 满足4a +b =30，则a ,b 都是偶数的概率是 ．二．能力题1.【2013届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n,则复数2()m ni 为纯虚数的概率为CA ．13B ．14C ．16D ．1122．【浙江省温州八校2013届高三9月期初联考】已知随机变量X 的分布列如右表，则)(X D =（）A．0.4B．1.2C．1.6D．23.【重庆市部分重点中学2012—2013年高三上学期第一次联考】（本小题满分13分）一名高二学生盼望进入某名牌大学学习，不放弃能考入该大学的任何一次机会。

已知该大学通过以下任何一种方式都可被录取：①2013年2月国家数学奥赛集训队考试通过（集训队从2012年10月省数学竞赛壹等奖获得者中选拔，通过考试进入集训队则能被该大学提前录取）；② 2013年3月自主招生考试通过并且2013年6月高考分数达重点线；③ 2013年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线）。

该名考生竞赛获省一等奖．自主招生考试通过．高考达重点线．高考达该校分数线等事件的概率如下表：事件省数学竞获一等奖自主招生考试通过高考达重点线高考达该校分数线概率0．5 0．7 0．8 0．6如果数学竞赛获省一等奖，该学生估计自己进入国家集训队的概率是0．4。

（1）求该学生参加自主招生考试的概率；（2）求该学生参加考试次数的分布列与数学期望；（3）求该学生被该大学录取的概率。

6.【河北省唐山市2012-2013学年度高三年级摸底考试】某生产线生产的产品等级为随机变量X.，其分布列：设E(X)=1.7。

（I）求a. b的值（II)已知出售一件1级，2级，3级该产品的利润依次为306元，100元，0元．在该产品生产线上随机抽取两件产品并出售，设出售两件产品的利润之和为Y，求Y的分布列和E（Y）．三．拔高题1.【湖北省武汉市2013届高三11月调研测试】某班50名学生其中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示.其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].（1）求图中x 的值；（2）从样本成绩不低于80的学生中随机选取2人，改2人中成绩在90分以上（含90分）的人数为ξ，求ξ的数学期望.【答案】（1）由频率分布直方图知:30.006100.01100.05410101x ⨯⨯+⨯+⨯+=，解得0.018x = .…………4分（2）成绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人， 成绩在90分以上（含90分）的学生有0.006×10×50＝3人． ∴ξ的可能取值为0，1，2．292126(0)11C P C ξ===，11392129(1)22C C P C ξ===，232121(2)22C P C ξ===， ∴ξ的分布列为：∴69110121122222E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………………………………12分 2.【山西大学附属中学2013届高三10月月考】（本小题12分）为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选。

假定某基地有4名武警战士（分别记为A 、B 、C 、D ）拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为221,,332。

这三项测试能否通过相互之间没有影响。

（I ）求A 能够入选的概率；（II ）规定：按选人数得训练经费（每选1人，则相应的训练基地得到3000元的训练经费），求该基地得到训练经费的分布列与数学期望。

（2）记ξ表示该训练基地得到的训练经费，该基地得到训练经费的分布列4(=1==4=381333381221124222132=6==4=333381333381222216==333381P P P P P -⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯没有选任何人）（），（选了一人）（），（选了两人）（），（选了三人）（），（选了四人），824321630006000900012000800081818181E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 所以，该基地得到训练经费的数学期望8000元。

3.【广东省珠海市2012年9月高三摸底考试】A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量1x 和2x。

根据市场分析，1x 和2x 的分布列分别为：（1）在A 、B 两个项目上各投资100万元， 1y 和2y 分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差1Dy 、2Dy ；（2）将(0100)x x ≤≤万元投资A 项目，100x -万元投资B 项目，()f x 表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和. 求()f x 的最小值，并指出x 为何值时，()f x 取到最小值.（注：2()D ax b a Dx +=）2224[3(100)]100x x =+- 2224(46003100)100x x =-+⨯……………………………………..10分 当6007524x ==⨯时，()3f x =为最小值。

…………………………12分4.【浙江省考试院2013届高三上学期测试】(本题满分14分) 已知A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的6个顶点，在顶点取自A ，B ，C ，D ，E ，F 的所有三角形中，随机(等可能)取一个三角形．设随机变量X 为取出三角形的面积．(Ⅰ) 求概率P ( X )； (Ⅱ) 求数学期望E ( X )．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。

满分14分。

5.【四川省成都市石室中学2013届高三9月月考】）（本小题满分12分）已知关于x的二次函数2()41f x ax bx=-+.(I)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数()y f x=在区间[1,)+∞上是增函数的概率；(II)设点(a，b)是区域80x yxy+-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的一点，求函数()y f x=在区间[1,)+∞上是增函数的概率．(2)由(1)，知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，(8分)依条件可知事件的全部结果所构成的区域为80,,0,,a ba b ab⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭，构成所求事件的区域为三角形部分．由802a b a b +-=⎧⎪⎨=⎪⎩得交点坐标为168,33⎛⎫⎪⎝⎭，(10分)6.【浙江省乐清市第二中学2013届高三第一次月考】一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为12,x x ，记2212(3)(3)x x ξ=-+-．（1）分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率； （2）求ξ的分布列及数学期望．7.【2013届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】浙江省某示范性高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。

（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座概率如下表：信息技术生物化学物理数学周一4141 41 41 21周三21 21 21 21 32 周五31 31 31 31 32 （Ⅰ）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率;（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随即变量ξ的分布列和数学期望. 本题主要考查概率、分布列、数学期望等基础知识，同时考查运算求解能力。

满分14分。

8.【河北省五校联盟2013届高三上学期调研考试】（本小题满分12分）某校高二年级共有学生1000名,其中走读生750名,住宿生250名,现从该年级采用 分层抽样的方法从该年级抽取n 名学生进行问卷调 查.根据问卷取得了这n 名同学每天晚上有效学习时间(单位:分钟)的数据,按照以下区间分为八组 ①[0,30),②[30,60),③[60,90),④[90,120),⑤[120,150),⑥[150,180),⑦ [180,210),⑧[210,240), 得到频率分布直方图如下.已知抽取的学生中每天晚上 有效学习时间少于60分钟的人数为5人； （1）求n 的值并补全下列频率分布直方图；（2）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n 名学生，下列2×2列联表：是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++参考列表：(3）若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X ，求X 的分布列及期望； 解：（1）设第i 组的频率为P i （i=1,2,…,8), 则由图可知：P 1=13000×30=1100,P 2=1750×30=4100∴学习时间少于60钟的频率为：P 1+P 2=5100 由题n ×5100=5 ∴n=100…(2分)又P 3=1300×30=10100, P 5=1100×30=30100, P 6=1200×30=15100, P 7=1300×30=10100, P 8=1600×30=5100, ∴P 4=1-(P 1+P 2+P 3+P 5+P 6+P 7+P 8)=1-1+4+10+30+15+10+5100=1-75100=第④组的高度h=25100×130=253000=1120频率分布直方图如图：（未标明高度1/120扣1分）……4分 （2）K 2=100×(50×15-25×10)275×25×40×60≈5.556由于K 2>3.841,所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关………8分（3）由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑦组15人，第⑧组10人，总计20人。