2010年全国高中数学联赛模拟题11
2010年模拟考试数学试题答案
tan ABO
1 ……………………………………………
OB 4
2
.2 分
∴ OA＝ 2，即 A 的坐标为 (0， 2)，点 B 的坐标为 (4， 0)……………… 3 分
OA OB
∵ CE⊥ x 轴，∴ CE∥ OA，∴
………………………………
CE BE
∵ OE=2，∴ CE＝3.∴点 C 的坐标是 (－ 2， 3)…………………………
∴ OE ON , AE CN .
ห้องสมุดไป่ตู้
又∵ MOE MON 450 , OM OM , ∴ OME OMN . ∴ MN ME AM AE . ∴ MN AM CN ， ∴ p MN BN BM AM CN BN BM AB BC 4.
∴在旋转正方形
OABC 的过程中， p 值无变化 . …………… 10 分
∴一共调查了 3x＋4x＋ 5x＋ 8x＋ 2x＝ 66(人 ) ……………………………………………
∴捐款数不少于
20 元的概率是 30 66
5 11
．…………………………………………………
3分 5分
数学 第 1 页 ( 共 6 页)
(2) 由(1) 可知，这组数据的众数是 20(元 )，中位数是 15(元 )．…………………………… 7 分 (3) 全校学生共捐款 (9× 5＋ 12×10＋ 15×15＋ 24×20＋ 6× 30)÷ 66× 2310＝ 36750(元 ) ………………… 10 分
2y ……………………… 4 分 xy
x 3y =
2 y ………………………………………… 6 分
xy xy
= x y =1. xy
…………………………………………… 7 分
2010年全国数学联赛一试、二试试题及答案
（12 分）
8 3 8 x 4 x 2 x m （ m 为常数）满足题设条件，所以 a 最大值为 .（16 分） 3 3
2 解二： f ( x) 3ax 2bx c .
设 g ( x) f ( x) 1 ，则当 0 x 1 时， 0 g ( x) 2 . 设 z 2 x 1 ，则 x
由此可设 m (1,0,1), n (0,1, 3 ) ，
B1
z
A1 C1
P A O C B y
所以 m n m n cos ，
即 3
2 2 cos cos
6 . 4
x
3
所以 sin
10 . 4
A1 C1 E B1 O A P
2
整数的点）的个数是 1790 . 解：由对称性知，只要先考虑 x 轴上方的情况，设 y k ( k 1,2, ,9) 与双曲线右半支于 Ak ,交直
1
线 x 100 于 Bk ，则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 k ，从而在 x 轴上方区域内部整点的个数 为
(99 k ) 99 9 45 846 .
z 1 ,1 z 1 . 2 z 1 3a 2 3a 2b 3a h( z ) g ( ) z z b c 1. 2 4 2 4
（4 分） （8 分）
容易知道当 1 z 1 时，0 h( z ) 2,0 h( z ) 2 . 从而当 1 z 1 时， 0 即
3
3 3.
3 d q,
3(3 4d ) q 2 ，
（1）代入（2）得
（1） （2）
9 12d d 2 6d 9 ，求得 d 6, q 9 .
2010年全国高中数学联赛模拟试题
2009年全国高中数学联赛模拟试题方廷刚(四川省成都七中 610041)一、填空题(共56分,每题7分)1.设ABC ∆是给定锐角三角形,则关于x 的方程22222sin (cos cos sin )x B x C A B +-+ 22sin cos 0A C +=的解集是_________________.2.空间给定不共面的,,,A B C D 四点,其中任意两点间的距离均不相同,考虑具有如下性 质的平面α:,,,A B C D 中有三个点到α的距离相同,第四点到α的距离是那三点之一到α的距离的2倍,这样的平面α的个数是__________.3.设201,2(0,1,2,)n n a a a a n n +==-=,若{}n a 的所有项都是正整数,则{}n a 的最小值是__________.4.过椭圆22195x y +=内一点作两条弦AB 和CD ,过,A B 作椭圆的两切线交于E ,过,C D 作椭圆的两切线交于F ,则直线EF 的方程是____________________.5.设42ππθ<<,则2sin 2cos S θθ=-的最大值为_________. 6.圆台21O O 的上下底面半径分别是1r 和2r ,高为h ,以1O 为锥顶,圆台下底面为底面的圆 锥记为1V ,以2O 为锥顶,圆台上底面为底面的圆锥记为2V ,则圆台21O O 的既在圆锥1V 之外又在圆锥2V 之外的部份的体积为______.7.设函数)(x f 满足)2(x f =1222-+-a ax x ,且)(x f 在区间[12-a ,2222+-a a ]上的值域为[1,0]-,则a 的取值范围是_______________.8.一次AMC 考试共30题,评分标准规定每题答对得5分,答错得0分,不答得2分,一个参赛选手在每题所得分的和叫做该选手的总分.假设参赛选手足够多,则所有可能给出的不同总分的种数是____________.二、解答题(共44分)9.(14分)已知}{n a 是等差数列,d 为公差且不等于0,1a 和d 均为实数,它的前n 项和记作n S ,设集合}|),{(*N n nS a A n n ∈=,},,141|),{(22R y x y x y x B ∈=-=,证明或否定下列结论: (1)B A 至多有一个元素.(2)当01≠a 时,一定有∅≠B A .10.(15分)过椭圆22221x y a b+=(0>>b a )中心O 作互相垂直的两条弦,AC BD ,设点,A B 的离心角分别为1θ和2θ(这里A 的离心角是1θ等于说A 的坐标为11(cos ,sin )a b θθ),求)cos(21θθ-的取值范围.11.(15分)求321()(1)x g x x x x+=>-的最小值.加试题一、等腰ABC ∆中,,AC BC I =为其内心,P 是IAB ∆的外接圆在ABC ∆内部的弧上的一点,过P 作AB 的平行线分别交,CA CB 于M 和N ,再在AB 上取点 ,E F ,使得PE ∥CA 且PF ∥CB ,求证直线ME 与直线NF 的交点在ABC ∆的外接圆上.二、设+∈R c b a ,,,abc =1,求证:))()((b a a c c b +++≥4[(c b a ++)1)3(81-++c b a ] (1)三、给定正整数,,,(,)1k a b a b =,求使二元一次不定方程ax by n +=恰有k 个不同正整数解(,)x y 的整数n 的最大值和最小值.四、数学实验班共30名学生,每个学生在班内都有同样多的朋友(朋友是相互的).在一次考试中,任意两名学生的成绩都不相同.若一个学生的所有朋友中,有超过一半朋友的成绩低于该生,则称该生为“好学生”.“好学生”最多可能有多少个?证明你的结论.。
2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷及详细答案
2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷及详细答案(考试时间:2010年9月4日9：00—11：30)题号 一 二总分9 10 11 12得分 评卷人 复核人注意：1.本试卷共12小题，满分150分；2.用钢笔、圆珠笔或签字笔作答；3.书写不要超过装订线；4.不能使用计算器.一、填空题（每小题8分，共64分）1.函数()2f x x =__________________________.2.函数y =_____________________的图象与x y e =的图象关于直线1x y +=对称.3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于__________________________.4.设椭圆22111x y t t +=+-与双曲线1xy =相切，则t =__________________________. 5.设z 是复数，则|1||||1|z z i z -+-++的最小值等于__________________________. 6.设a ，b ，c 是实数，若方程320x ax bx c +++=的三个根构成公差为1的等差数列，则a ，b ，c 应满足的充分必要条件是__________________________.7.设O 是ABC ∆的内心，5AB =，6AC =，7BC =，OP xOA yOB zOC =++，0,,1x y z ≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于________________________.8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是__________________.二、解答题（共86分）9.（20分）设数列{}n a 满足10a =，121n n a a -=+，2n ≥.求n a 的通项公式.10.（22分）求最小正整数n 使得224n n ++可被2010整除.11.（22分）已知ABC ∆的三边长度各不相等，D ，E ，F 分别是A ∠，B ∠，C ∠的平分线与边BC ，CA ，AB 的垂直平分线的交点.求证：ABC ∆的面积小于DEF ∆的面积. 12.（22分）桌上放有n 根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多1n -根火柴，此后每人每次至少取走1根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当100n =时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题8分，共64分） 1.答案：425,8⎡⎤-⎣⎦.提示：因04x ≤≤，设22cos x α-=（0απ≤≤），则4cos 2sin 425cos()4y αααϕ=-+=++（其中2cos 5ϕ=，1sin 5ϕ=，ϕ为锐角），所以当0α=时，max 8y =，当αϕπ+=时，min 425y =-，故425,8y ⎡⎤∈-⎣⎦. 2. 答案：1ln(1)x --提示：因两函数图象关于直线1x y +=对称，所以1x y →-，1y x →-，∴11y x e --=，解得1ln(1)y x =--.3. 答案：13-提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角α的两倍.∵tan 2α=，∴2211cos 1tan 3αα==+，则21cos 22cos 13αα=-=-.4. 答案：5提示：由椭圆方程22111x y t t +=+-知，1t >，设其参数方程为1cos 1sin x t y t θθ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数）代入双曲线方程1xy =，得22sin 21t θ=-.因两曲线相切，∴2211t =-，故5t =.5. 答案：13+提示：在复平面上，设(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，则当Z 为ABC ∆的费马点时，|1||||1|z z i z -+-++取得最小值，最小值为32323113333-++=+.6. 答案：213a b =-且3273a a c =-. 提示：设三个根为1α-，α，1α+，则32(1)()(1)x ax bx c x x x ααα+++=-+---， 右边展开与左边比较得3a α-=，2(1)(1)(1)(1)31b ααααααα=-++++-=-，(1)(1)c ααα-=-+，消去α得2313273a b a a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这就是所求的充要条件. 7. 答案：126提示：如图，根据向量加法的几何意义，知点P 在图中的三个平形四边形及其内部运动，所以动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于ABC ∆面积的2倍，即126. 8. 答案：67提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有38C 个三角形，其中直角三角形有3412C⨯个，所求“构成直角三角形”的概率是34381267C C ⨯=.二、解答题（共86分） 9. 解：特征根法. 又114221n n n a a a --++=+，11111n n n a a a ----=+，…………（10分）得21212222(2)(2)(2)111n n n n n n n a a a a a a ----+++=-⋅=-==----，于是(2)2(2)1n n na -+=--.………………（20分） 10. 解： 22010|24n n ++⇔2222240mod 2240mod3240mod5240mod 67n n n n n n n n ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩2220mod31mod543mod 67n n n n n n ⎧+=⎪⇔+=⎨⎪+=⎩…………（10分）又20mod30n n n +=⇔=或2mod3，21mod52mod5n n n +=⇔=，243mod 6710n n n +=⇔=或56mod 67，故所求最小正整数77n =.…………（22分）11. 证明：由题设可证A ，B C ，D ，E ，F 六点共圆. …………（10分）不妨设圆半径为1，则有1(sin 2sin 2sin 2)2ABC S A B C ∆=++，1(sin sin sin )2DEF S A B C ∆=++. 由于sin 2sin 2sin 2A B C ++ 111(sin 2sin 2)(sin 2sin 2)(sin 2sin 2)222A B B C C A =+++++ sin()sin()sin()sin()sin()sin()A B A B B C B C C A C A =+-++-++- sin()sin()sin()A B B C C A <+++++sin sin sin A B C =++∴ABC ∆的面积小于DEF ∆的面积. …………（22分）12. 解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目n 从小到大排序为：1n ，2n ，3n ，…，不难发现其前4项分别为2，3，5，8. 下面我们用数学归纳法证明：（1）{}i n 满足11i i i n n n +-=+；（2）当i n n =时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙此时所取的火柴数目1i n -≤； （3）当1i i n n n +<<时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所取的火柴数目i n ≤. ……………………………………（10分） 设i k n n =-（4i ≥），注意到212ii i n n n --<<. 当12in k ≤<时，甲第一次时可取k 根火柴，剩余2i n k >根火柴，乙无法获胜. 当12ii n k n -≤<时，21i i n k n --<<，根据归纳假设，甲可以取到第k 根火柴，并且甲此时所取的火柴数目2i n -≤，剩余22i i n n ->根火柴，乙无法获胜.当1i k n -=时，设甲第一次时取走m 根火柴，若m k ≥，则乙可取走所有剩小的火柴；若m k <，则根据归纳假设，乙总可以取到第k 根火柴，并且乙此时所取的火柴数目2i n -≤，剩余22i i n n ->根火柴，甲无法获胜.综上可知，11i i i n n n +-=+.因为100不在数列{}i n ，所以当100n =时，甲有获胜策略. …………（22分）。
2010年全国高中数学联赛陕西赛区预赛
2010 年第 7 期
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2010年全国高中数学联赛陕西赛区预赛
中图分类号 : G 424. 79 文献标识码 : A 文章编号 : 1005 6416( 2010) 07 0031 -04
第 一 试
一、 填空题 ( 每小题 8分 , 共 64 分 ) 1. 设集合 A = { 5, l o g a + 3) } , B= { a ,b } ( a 、b R ) . 2( 若 A ∩ B= { 1} ,则 A ∪ B= . 2. 如 图 1, 在 第 一 象限 内 , 矩形 A B C D 的三 个顶 点 A 、B 、C 分别在函 数 y =
2
n 个大矩形的面积之和为
S 2 = 1 n 1+ 11 n
2
+ … +
1-
n 1 n
2
.
而单位 圆在第 一象限内 部分的 面积为 S= , 显然 , S < S 1 < 2. 4 4 又当 n ※+ ∞时 , S 1※ 4 ,S 2※ 4 .
所以 , 对任意的正整数 n , 当且仅当 a = 4 时 , 不等式 S a < S 1 < 2恒成立 . 二 、9. ( 1) 由A B ·A C= 8, 得 A B· A Cc o s θ = 8. 1 因 4( 2 - 3) ≤ A B· A Cs i nθ ≤4 3, 2 所以 , 2 - 3 ≤t a nθ ≤ 3. 注意到 0 < θ <. 故 θ 的取值范围为 ( 2) 注意到
2010年全国高中数学联赛湖北省预赛试题及答案
2010年全国高中数学联赛湖北省预赛2010年全国高中数学联赛湖北省预赛由湖北省数学竞赛组织委员会主办并具体组织活动，委托华中师范大学数学竞赛与普及研究所命题。
试题以《高中数学竞赛大纲（2006年修订稿）》为依据，所涉及的知识范围不超出现行《全日制普通高级中学数学教学大纲》和《普通高中数学课程标准》中所规定的教学内容和要求，在数学思想方法的要求上有所提高，主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力，适当考虑全国联赛对参赛学生的要求。
湖北省预赛按高一、高二年级分开命题，试题包括8道填空题和4道解答题，全卷满分120分，考试时间为120分钟。
湖北省预赛于2010年5月16日（星期日）上午8：00至10：00举行，约5万名学生参加，由各地市（州）安排考试并组织阅卷，从中选出约9000人参加全国高中数学联赛。
试 题一、填空题（每小题8分，共64分）1．数列}{n a 满足：3,121==a a ，且)(||*12N n a a a n n n ∈-=++．记}{n a 前n 项的和为n S ，则=100S ．2．在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，223=BK ，则△ABC 的面积为 ．3．设100<n ，则使得nb a )(+的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数n 为 ．4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为 ．5．若z y x ,,均为正实数，且1222=++z y x ，则xyzz S 2)1(2+=的最小值为 ．6．设椭圆1422=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，122F MF θ∠=，△12MF F 的内心为I ，则=θcos ||MI ．7．对于一切]21,2[-∈x ，不等式0123≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 ．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象经过点)0,2(-，且不等式221)(22+≤≤x x f x 对一切实数x 都成立． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若对一切]1,1[-∈x ，不等式)2()(xf t x f <+恒成立，求实数t 的取值范围． 10．（20分）设313116234++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值．11．（20分）已知直线x y =与椭圆C ：1111622=+y x 交于B A ,两点，过椭圆C 的右焦点F 、倾斜角为α的直线l 交弦AB 于点P ，交椭圆C 于点N M ,．（1）用α表示四边形MANB 的面积；（2）求四边形MANB 的面积取到最大值时直线l 的方程．解 答1．89 提示：由已知可得k k a a =+9．89)(11192110099100=++++=+=a a a a a S S ．2．16715 提示：由余弦定理可得b c b =-+22228 ① 又BC AB CK AK =，则 211cb =- ② 由①②，3,25==c b ．又由81cos =C 可得873sin =C ， 故△ABC 的面积16715sin 21==C ab S ． 3．98 提示：设nb a )(+的展开式中有连续三项的系数分别为)11(,,11-≤≤+-n k C C C k n k n k n ，由题意得 112+-+=k nk n k n C C C ．依组合数定义展开并整理得024)14(22=-++-k n k n ．故)(2981422,1N n k k n ∈+±+=（1）．22)12(98+=+m k ，222-+=m m k ，代入（1），得2)1(21-+=m n ，222-=m n ．由1002)1(2<-+m ，98=n ．4．327 提示：把这19个数按被3除所得的余数分类可以有三类：1A ：3，6，9，12，15，18； 2A ：1，4，8，11，14，17；3A ：2，5，7，10，13，14，19．这样，满足题设条件的取法有且只有四种情形：（1）在1A 中任取3个数，有2036=C 种取法； （2）在2A 中任取3个数，有2036=C 种取法； （3）在3A 中任取3个数，有3537=C 种取法；（4）在321,,A A A 中各取一个数，有252766=⨯⨯种取法．因此，取法总数为：32725235220=++⨯（种）． 5．223+ 提示：因 22212z y x xy -=+≤，所以 ]1)1)][(1(2[1)1(1)1()1(2)1(222-++-+=-+=-+≥+=z z z z z z z z z xyz z S ]12)1[(31+++-=z z 2232231+=-≥．当且仅当12,12-==-=y x z 时等号成立．所以 223min +=S ．6．32- 提示：先证明下面的结论：已知△ABC 的内心为I ，则AB ＋AC －BC ＝2AI A cos2⋅． 证明：设△ABC 的内切圆与边AB 、AC 分别切于D 、E 两点，则AD ＝AE ＝12（AB ＋AC －BC ），又AD ＝2AI A cos2⋅，所以AB ＋AC －BC ＝2AI Acos 2⋅． 对于本题的△12MF F ，有12122cos MF MF F F MI θ+-=⋅．又2214x y +=中2,1,a b c ====，所以1224MF MF a +==，122FF c ==，从而32)324(21)(21cos ||2121-=-=-+=⋅F F MF MF MI θ． 7．110-≤≤-a 提示：记1)(23++-=x x ax x f ，已知条件即0)(≥x f 对一切⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,2x 恒成立．（1）当0=x 时，对一切实数a ，01)(>=x f ．（2）当]21,0(∈x 时，01)(23≥++-=x x ax x f 可化为321x x x a --≥．设321)(xx x x g --=，则)3)(1(1)(4-+-='x x x x g ．当]21,0(∈x 时，0)(>'x g ，所以函数)(x g 在区间]21,0(上单调递增，从而10)21()]([max -==g x g ．因此10-≥a ．（3）当]0,2(-∈x 时，01)(23≥++-=x x ax x f 可化为321xx x a --≤． 设321)(xx x x g --=，则)3)(1(1)(4-+-='x x x x g ．当)0,1(-∈x 时0)(>'x g ；当1-=x 时0)(='x g ；当)1,2(--∈x 时．所以函数)(x g 在区间)1,2(--上单调递减，在区间)0,1(-上单调递增，从而1)1()]([min -=-=g x g ．因此1-≤a ．综合可知：110-≤≤-a ．8．26 提示：设所有放置中的最大数为A ，则200583≤⨯+A ，所以.26≤A 事实上26，6，26，26，6，26，26，6，26，26满足．9．（1）由已知，对2≥n 有11)1()1(11---=--=+n a n n a n a n a n n n n ， 两边同除以n 并整理，得)111()1(111nn a n na n n ---=--+， 于是，)111(111)1(1112121---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑-=-=+n k k a k ka n k n k k k ， 即2),111(1)1(12≥---=--n n a a n n ，所以123)111(1)1(12--=---=-n n n a a n n ，2,231≥-=n n a n ．又1=n 时也成立，故*,231N n n a n ∈-=． （2）当2≥k ，有)131431(31)13)(43(1)23(122---=--<-=k k k k k a k ，所以2≥n 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-+-+<+=∑∑==)131431()8151()5121(31112212n n a a nk k n k k.6761113121311=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=n又1=n 时，.67121<=a ．故对一切*N n ∈，有6712<∑=nk k a ．10．)10(3)13(22--++=x x x P ．所以，当10=x 时，2131=P 是完全平方数．下证没有其它整数x 满足要求．（1）当10>x 时，有22)13(++<x x P ，又03132)3(222>++=+-x x x x P ，所以22)3(x x P +>， 从而2222)13()3(++<<+x x P x x ． 又Z x ∈，所以此时P 不是完全平方数．（2）当10<x 时，有22)13(++>x x P ．令Z y y P ∈=,2， 则|13|||2++>x x y ，即|13|1||2++≥-x x y ， 所以 222)13(1||2++≥+-x x y y ， 即 01|13|2)10(32≥+++---x x x ．解此不等式，得x 的整数值为6,5,4,3,0,1,2----±±，但它们对应的P 均不是完全平方数． 综上所述，使P 为完全平方数的整数x 的值为10.11．（1）直线MN 的倾斜角为α，记θ=∠MFO ，则πθα=+，θα22222222cos 2cos 2||c a ab c a ab MN -=-=． 而AB 与MN 所成的角为θπ+4，则四边形MANB 面积θθθθπ2222cos cos sin ||2)4sin(||||21c a ab OA MN AB S MANB -+⋅⋅=+⋅=．而5,11,16222===c b a ，A 点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛9334,9334，且9664||=OA ， 从而，αααθθθ22cos 516cos sin 933352cos 516cos sin 933352--⋅=-+⋅=MANB S ， 其中59334334arctan0+≤<α或πα<≤+59334334arctan．（2）记αααα2cos 516cos sin )(--=f ，而)(αf 只可能在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈πα,59334334arctan 时才可能取到最大值．对)(αf 求导数得到：222)cos 516()sin cos 10)(cos (sin )cos 516)(sin (cos )(ααααααααα----+='f ． 令0)(='αf ，则有0)tan 10)(1(tan )11tan 16)(tan 1(2=--++αααα． 化简得到 011tan 21tan 6tan 1623=+++ααα． 所以 0)11tan tan 8)(1tan 2(2=+-+ααα．而 011tan tan 82=+-αα无实根，则21tan -=α． 经检验21tan -=α，符合⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈πα,59334334arctan ． 故所求直线l 的方程为：2521+-=x y ．。
2010年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2010 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
第 1 页 共 12 页
3a 5 b3 ，且存在常数 , 使得对每一个正整数 n 都有 a n log bn ，则
◆答案：
3
3 3
2
★解析：设 {a n } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ，则 3 d q, （1） ， 3(3 4d ) q （2） （1）代入（2）得 9 12d d 6d 9 ，求得 d 6, q 9 . 从而有 3 6( n 1) log 9
h( z ) h( z ) 3a 2 3a 2 ， 即0 z b c 1 2， 2 4 4 3a 3a 8 b c 1 0 , z 2 2 ，由 0 z 2 1 知 a . 从而 4 4 3 8 3 8 2 又易知当 f ( x ) x 4 x x m （ m 为常数）满足题设条件，所以 a 最大值为 . 3 3 0
2010 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷） 第 4 页 共 12 页
为
8 . 3
解法二： f ( x ) 3ax 2bx c .
2
设 g ( x ) f ( x ) 1 ，则当 0 x 1 时， 0 g ( x ) 2 .
设 z 2 x 1 ，则 x
2
x1 x 2 y y2 ， 2, y 0 1 2 2
k AB
y 2 y1 y y1 6 3 . 22 2 x 2 x1 y 2 y1 y 0 y 2 y1 6 6 y0 ( x 2) . （1） 3
线段 AB 的垂直平分线的方程是 y y 0
2010A 10、 （本题满分 20 分） 已知抛物线 y 6 x 上的两个动点 A( x1 , y1 ) 和 B ( x 2 , y 2 ) ， 其中 x1 x 2 且 x1 x 2 4 ，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ，求 ABC 的面积的最大值。 ★解析：解法一：设线段 AB 的中点为 M ( x 0 , y 0 ) ，则 x 0
2010年全国高中数学联赛——试试题及参考答案(A卷)
从 而 有 ３ ６ ” １ 一 ｌ ． 一 ＋口对 一 切 正 整 数 ＋ （一 ） ｏ ９ ｇ
都成立 ， 即 ６ 一３ （一１ｌ ￣＋口对 一切 正 整数 ｒ 成立 一 ） ｇ９ ｏ ／ 都
从而 ｌｇ ９ ｏ ． —６， 一 一 ｌ＆９ ， 一３ ０ ＋口
段 Ａ 的垂 直平 分线 与 ｚ轴交 于 点 Ｃ， Ｂ 求ＡＡ Ｃ面积 的最 Ｂ
中 学 生 数 学 ・ ０ １ ２月 上 ・第 ４ １ （ 中 ） ２１ 年 １期 高
２１ ０ ０年坌 国高 巾数 学 联 赛一 ｉ 式 试 题及 蓥 考答案 （ Ａ謇 ）
试
一
缴
・
题
１ ．解
参 考答案
易 知 －（ ） 定 义 域 是 ［ ， ］ 且 厂 ） 厂ｚ 的 ５８ ， （ 在
值．
寸
①代入②得
求 得
９ ２ ＝ｄ ＋６ ＋９ ＋１ ｄ ｄ ，
一 ６ｇ ９ ，一 ．
１．本 小题 满 分 ２ 分 ） ０（ Ｏ 已知抛 物线 一６ ｘ上 的 两个
动 点 Ａ（ １Ｙ ） Ｂ ｘ ， ｚ ， 中 固 ≠而 且 ２ ＋ｚ —４ 线 ｘ ，１ 和 （ ２ｙ ） 其 １ ７ ２ ． １
［ ，］ 的最 大 值 为 ８ 则 它 在 这 个 区间 上 的最 小 值 是 一１１上 ，
●
．．． ．．．．． ．．．．． ．．＿ 一
从而可知
３ ．解
一— 睾≤ａ １ ． ≤ ２
由 对 称 性 知 ， 要 先 考 虑 轴 上 方 的 情 只
６ ．两 人轮 流投 掷骰 子 ， 每人 每 次投 掷 两颗 ， 一 个使 第
＝ １
８ ．方程 ｚ ＋ｚ ０ ０满 足 ≤ ＋ 一２ １ ≤ 的 正 整 数 解 （ ， ，） ｚ ｙ ｚ 的个 数是
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乌鲁木齐市高级中学2010年高中数学联赛辅导 yf6504@163.com 杨帆 第1页 2010年全国高中数学联赛模拟题11 一试 考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分 一、填空题（共8题，每题8分，64分）
1．方程9135xx的实数解为 ．
2．函数sincosyxx(xR)的单调减区间是 . 3．函数221fxxx在区间0,2上的最大值是 ，最小值是 ． 4．在直角坐标系xOy中，已知圆心在原点O、半径为R的圆与△ABC的边有公共点， 其中4,0A、6,8B、2,4C，则R的取值范围为 ． 5．设函数fx的定义域为R，若1fx与1fx都是关于x的奇函数，则函数 yfx在区间0,100上至少有 个零点. ．
6．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是 ． 7．在三棱锥ABCD中，已知ACBCBD，ACDADCBCDBDC
，且10cos10．已知棱AB的长为62，则此棱锥的体积为 ．
8．设复数列nx满足1nxa，0，且11nnnaxxx．若对任意nN* 都有3nnxx， 则a的值是 ． 二、解答题（共3题，共56分） 9、（本题16分）直角坐标系xOy中，设A、B、M是椭圆22:14xCy上的三点．若
3455OMOAOB
，证明：线段AB的中点在椭圆22212xy上．
10、（本题20分）已知整数列na满足31a，74a，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列． (1) 求数列na的通项公式； (2) 求出所有的正整数m，使得1212mmmmmmaaaaaa．
11、（本题20分）求所有正整数x，y，使得23xy与23yx都是完全平方数． 乌鲁木齐市高级中学2010年高中数学联赛辅导 yf6504@163.com 杨帆 第2页 2010年全国高中数学联赛模拟题11 加试 9：40~12：10共150分钟 满分180分 平面几何、代数、数论、组合 1、（本题40分）如图，圆内接五边形ABCDE中，AD是外接圆的直径，BEAD，垂
足H. 过点H作平行于CE的直线，与直线AC、DC分别交于点F、G． 证明： (1) 点A、B、F、H共圆； (2) 四边形BFCG是矩形．
2、（本题40分）试证：当112n时，不存在n个连续自然数，使得它们的平方和是完全平方数.
3、（本题50分）设A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在A中取三个数，B中取两个数组成五个元素的集合iA，.201,2,20,,2,1jiAAiji
求n的最
小值。
4、（本题50分）生产由六种颜色的纱线织成的双色布，在所生产的双色布中，每种颜色的纱线至少与其他三种颜色的纱线搭配过。证明：可以挑出三种不同的双色布，它们包含所有的颜色。 乌鲁木齐市高级中学2010年高中数学联赛辅导 yf6504@163.com 杨帆 第3页 2010年全国高中数学联赛模拟题11 参考答案 一试 1、x＜0无解; 当0x时，原方程变形为32x+3x－6=0，解得3x=2，x=log32．
2、与f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同， [,],2422kkkZ． 3、极小值－4，端点函数值f(2)=0，f(0)=－2，最小值－4，最大值0．
4、画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B．[855，10]． 5、f(2k-1)=0，k∈Z. 又可作一个函数fx满足问题中的条件，且fx的 一个零点恰为21xk，k∈Z. 所以至少有50个零点. 6、穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 13 ． 7、4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ．
8、由11nnnaxxx，2321nnnaxxx21111nnaxax3211nnnaxxaax
恒成立，即2110nnaaxxa. 因为1nxa或0，故210aa，所以 1322ai．
9、解：设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则 x124＋y12＝1，x224＋y22＝1．
由3455OMOAOB，得 M(35x1＋45x2，35y1＋45y2)． 因为M是椭圆C上一点，所以 (35x1＋45x2)24＋(35y1＋45y2)2＝1， …………………6分
即 (x124＋y12)(35)2＋(x224＋y22)(45)2+2(35)(45)(x1x24＋y1y2)=1， 得 (35)2＋(45)2+2(35)(45)(x1x24＋y1y2)＝1，故 x1x2
4＋y1y2＝0． …………………14分
又线段AB的中点的坐标为 (x1＋x22，y1＋y22)，
所以 (x1＋x22)22＋2(y1＋y22)2＝12(x124＋y12)+12(x224＋y22)+x1x24＋y1y2＝1， 从而线段AB的中点(x1＋x22，y1＋y22)在椭圆x22＋2y2＝1上． ………………20分 乌鲁木齐市高级中学2010年高中数学联赛辅导 yf6504@163.com 杨帆 第4页 10、解：(1) 设数列前6项的公差为d，则a5=－1+2d，a6=－1+3d，d为整数. 又a5，a6，a7成等比数列，所以(3d－1)2=4(2d－1)， 即 9d2－14d+5=0，得d =1. …………………6分 当n≤6时，an =n－4， 由此a5=1，a6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2， 所以，当n≥5时，an =2n-5.
故 an =n－4，n≤4，2n-5， n≥5． …………………10分 (2) 由（1）知，数列na为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，… 当m=1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)； 当m=3时等式成立，即 －1+0+1=0； 当m=2、4时等式不成立； …………………15分 当m≥5时，amam+1am+2 =23m-12， am +am+1+am+2=2m-5(23－1)=7×2m-5， 7×2m-5≠23m-12， 所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 . 故所求 m= 1，或m=3． …………………20分 11、解：若x=y，则x2+3x是完全平方数.
∵ x2＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2， ∴ x2+3x= (x+1)2，∴ x=y =1. ………………5分 若x＞y，则x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2. ∵ x2+3y是完全平方数， ∴ x2+3y= (x+1)2，得3y = 2x+1，由此可知y是奇数，设y = 2k+1，则x=3k+1，k是正整数. 又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且 (2k+2)2=4k2+8k+4＜4k2+13k+4＜4k2+16k+16= (2k+4)2， ∴ y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2， 得 k=5，从而求得x=16，y=11. …………………15分 若x＜y，同x＞y情形可求得 x=11，y=16. 综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11)． …………………20分
二试 1、证明：(1) 由HG∥CE，得∠BHF=∠BEC，
又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC， ∴ ∠BAF=∠BHF， 乌鲁木齐市高级中学2010年高中数学联赛辅导 yf6504@163.com 杨帆 第5页 ∴ 点 A、B、F、H共圆； ………………10分 (2) 由(1)的结论，得 ∠BHA=∠BFA， ∵ BE⊥AD， ∴ BF⊥AC， 又AD是圆的直径，∴ CG⊥AC， …………………30分 由A、B、C、D共圆及A、B、F、H共圆， ∴∠BFG =∠DAB =∠BCG， ∴ B、G、C、F共圆. ∴ ∠BGC=∠AFB=900, ∴ BG⊥GC， ∴ 所以四边形BFCG 是矩形． …………………40分
2、证明:设x是非负整数.假若结论不成立,即存在Ny使 ,)()2()1(2222ynxxx即
22)12)(1(61)1(ynnnxnnnx
①
记).12)(1(61nnnA 则).(mod2nAy 当9,4,3n时，分别由① 和.|yn令nzy，代入①得 ,)12)(1(61)1(22nznnxnx
即.)1(121)21(222nznnx 把7,5n代入后将分别得到).7(mod03)4(),5(mod02)3(22xx但这是不可能的，故7,5n.
当10,8,6n时,由①得222)]12(61)[1(yxnnnxxn ② 若,6n则由②知,)7(mod022yx，由于x的任意性，所以只能有)7(mod40,2,1,02x因此要使)7(mod022yx成立,只能)7(mod0,0yx,于是由
③知有137)12)(1(61|72nnn,这是不可能的,故.6n同理可证.10n
若8n,则由②可得)9(mod6204179861989222xxyx,这是不可能的,故.8n综上,命题得证. 11n时,有.1434839382222
3、.16minn 设B中每个数在所有iA中最多重复出现k次，则必有4k。若不然，数m出现k次（4k），则.123k在m出现的所有iA中，至少有一个A中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，121,,,bmaa}},,,,1{},,,,,1{365243bmaabmaa，其中61,iAai，为满足题意的集合。ia必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以.4k 20个iA中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以16n。当16n时，如下