§10-4 RLC元件电压电流关系的相量形式
12.元件伏安特性相量形式
U
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2. 电容元件的功率
u 2Usi nω t i 2Uω C si n( ω t 90)
i
u
ωt
瞬时功率：
p i u UI si n2 ω t
o平均功率：P =0u Nhomakorabeap+
i
+ u
i
-
u
+
i
u
+
i
无功功率：
Q UI I X C
90
相位差
ψu ψi 90
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2.1 正弦交流中电压与电流的关系
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u 2Usinω t i 2Uω C sin( ω t 90)
有效值
I U ω C 或 1 1 定义： XC 容抗（Ω ） ωC 2 π f C
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§3.3.3 纯电容电路
1. 电压电流关系
du 基本关系式： i C dt 设：u 2 U sin ω t
2 U ωC sin( ω t 90) u i
du dt 2 UC ω cos ω t
i
+ u _
C
则： i C
u
i
ωt
1) 频率关系： 频率相同 2)大小关系： I =UC 3)相位关系 ： 电流超前电压90
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§ 3.3.1 纯电阻电路
1.电压与电流的关系 根据欧姆定律:
正弦交流电中RLC的串联
一、 电压电流关系 二、 阻抗
一、 电压电流关系
i
I
电压电流参考方向如图所示。 1、 瞬时值
设： i Im sin t
则： uR URm sinω t
uL U Lm sin(ω t 90 ) uC UCm sin(ω t 90 )
+ –u+R R
u –u+L L – u–C+ C
+
+ –uR
R
u –u+L L – u–C+ C
感谢
谢谢，精品课件
资料搜集
二、 阻抗
U
U
RI
R
jXULLI
U C
jX C
I
R j( X L XC )I
电路的 阻抗( )
欧姆定 律的相量
形式
U I
R
j( X L
XC )
Z
U IZ
其中： Z R j( X L X C ) Z
I+ U–+R NhomakorabeaRU U–+L jXL
– U–C+ – jXC
模：Z R2 ( X L XC )2 阻抗角： arctan X L XC
U•c U• 相量图
大于零时的 相量图
U•R
阻抗三角形
I
U•L
+ U–+R
U U–+L
R jXL
I•
– U–C+ – jXC
例 R、L、C串联交流电路如图所示。已知R=30 、
L=254mH、 C=80 F，
u 220 2sin(314t 20o )V
求：电流及各元件上的电压瞬时值表达式。
电路原理(邱关源)习题答案第八章 相量法
第八章 相量法求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。
引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC 元件用阻抗或导纳表示，画出电路的相量模型，利用KCL,KVL 和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的相量表示；（2）KCL,KVL 的相量表示；（3）RLC 元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算。
这就是用相量分析电路的理论根据。
8－1 将下列复数化为极坐标形式：（1）551j F --=；（2）342j F +-=；（3）40203j F +=；（4）104j F =；（5）35-=F ；（6）20.978.26j F +=。
解：（1）a j F =--=551θ∠25)5()5(22=-+-=a13555arctan -=--=θ(因1F 在第三象限)故1F 的极坐标形式为 135251-∠=F（2） 13.1435)43arctan(3)4(34222∠=-∠+-=+-=j F （2F 在第二象限）（3） 43.6372.44)2040arctan(40204020223∠=∠+=+=j F（4） 9010104∠==j F（5） 180335∠=-=F（6） 19.7361.9)78.220.9arctan(20.978.220.978.2226∠=∠+=+=j F注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即θθj ae a ja a F =∠=+=21,它们相互转换的关系为：2221a a a += 12arctan a a =θ和 θcos 1a a = θsin 2a a =需要指出的，在转换过程中要注意F 在复平面上所在的象限，它关系到θ的取值及实部1a 和虚部2a 的正负。
8－2 将下列复数化为代数形式：（1） 73101-∠=F ；（2） 6.112152∠=F ；（3） 1522.13∠=F ；（4） 90104-∠=F ；（5） 18051-∠=F ；（6） 135101-∠=F 。
正弦稳态时RLC电压电流相位关系的测试资料重点
输入信号：正弦波，f=10kHz,Upp=6V
eec
R、L、C电压电流相位关系
国家工科电工电子基础教学基地
国家级实验教学示范中心
现代电子技术实验
ＵL
ＵR24
1V/div 50mV/div ＵL
4 3 2 1
ＵR24
O -1 -2 -3 -4
UXpp
UR24pp
Ipp =UR24pp/24
t
X1 360
国家工科电工电子基础教学基地
国家级实验教学示范中心
现代电子技术实验
实验报告作图示例
eec
ＵL
IL
1V/div 2mA/div ＵL
4
IL
3 2
1
O -1
123456
t
-2
-3
-4
R、L、C电压电流相位关系
国家工科电工电子基础教学基地
国家级实验教学示范中心
现代电子技术实验
五、下次预习要求(通信学院)
者，先选定一电容值，再确定电阻。）
eec
R、L、C电压电流相位关系
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Ｕ u1
u2
() U1 U2
AB
O
X1
CD X
X1 360
t
X
测试相位差时，保持CH1、
CH2的扫描时基线重合。
eec
R、L、C电压电流相位关系
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三、实验内容
现代电子技术实验
元件取值： 被测元件：R=1kΩ、L=10mH、C=0.047μF 取样电阻：R=24Ω 输入信号：正弦波，f=10kHz,Upp=6V
（完整版）第八章相量图和相量法求解电路
（完整版）第⼋章相量图和相量法求解电路第⼋章相量图和相量法求解电路⼀、教学基本要求1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。
2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、⽆功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式。
3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。
4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应⽤情况。
5、掌握最⼤功率传输的概念，及在不同情况下的最⼤传输条件。
⼆、教学重点与难点1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系；(2). 正弦量的相量差和有效值的概念(3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式(4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。
2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别；2. 元件电压相量和电流相量的关系。
三、本章与其它章节的联系：本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。
§8.1 复数相量法是建⽴在⽤复数来表⽰正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表⽰形式及运算规则。
1. 复数的四种表⽰形式代数形式A = a +j b复数的实部和虚部分别表⽰为： Re[A]=a Im[A]=b 。
图 8.1 为复数在复平⾯的表⽰。
图 8.1根据图 8.1 得复数的三⾓形式：两种表⽰法的关系：或根据欧拉公式可将复数的三⾓形式转换为指数表⽰形式：指数形式有时改写为极坐标形式：注意：要熟练掌握复数的四种表⽰形式及相互转换关系，这对复数的运算⾮常重要。
2. 复数的运算(1) 加减运算——采⽤代数形式⽐较⽅便。
若则即复数的加、减运算满⾜实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
复数的加、减运算也可以在复平⾯上按平⾏四边形法⽤向量的相加和相减求得，如图8.2所⽰。
图 8.2(2) 乘除运算——采⽤指数形式或极坐标形式⽐较⽅便。
若则即复数的乘法运算满⾜模相乘，辐⾓相加。
除法运算满⾜模相除，辐⾓相减，如图8.3⽰。
图 8.3 图 8.4(3) 旋转因⼦：由复数的乘除运算得任意复数A 乘或除复数，相当于A 逆时针或顺时针旋转⼀个⾓度θ，⽽模不变，如图 8.4 所⽰。
正弦交流电路的分析—RLC并联电路的分析
分析依据：补偿前后 P、U 不变(已知)。
IC
UC
U
P
cos1
sin 1
U
p
cos
sin
P U
(tan 1
tan )
U
C
P
U
2
(tan 1
tan )
1
I1
I
IC
功率因素的提高
✓ 课堂练习
例：已知一台单相电机接在220V、50Hz的交流电上，吸收1.4kW 的功率，功率因数为0.7，需并联多大的电容，才能将功率因数提高至 0.9？
I
R I2 U I1 jXL jXC
•
I2
••
=0 I U
1
•
•
I1
I2
并联谐振电路
✓ 并联谐振的条件
U IZ
I
R
1
jL
jC
U
R
2
R
L2
j
R2
L
L2
C U
实部
虚部
I
R I2 U I1 jXL jXC
•
I2
••
=0 I U
1
•
•
I1
I2
并联谐振电路
✓ 并联谐振的条件
I
R2
R
解： (已知P=1.4kW，U=220V，cos1=0.7，cos=0.9)
由题意可知： f=50Hz，=2f=100 rad/s
tan1=1，tan=0.5
C
P
U
2
(tan 1
tan )=46 F
功率因素的提高
✓ 小结
功率因数是衡量电气设备效率的参数； 提高功率因数的方法：并联合适电容器。 用并联电容器法提高功率因数时，若原电路的功率因数为cos1 ，补 偿后为cos ，补偿前后负载的P、U不变，则电容C为：
电路相量法
6
3. 旋转因子ejq
旋转因子 ejq =1∠q是一个模 等于1，辐角为q的复数。
+j
Aejq
qA
任意一个复数A=|A|ejqa乘以
ejq ，等于把A逆时针旋转q
qa
+1
角度，而模|A|保持不变。 o
ej
p
2
=j
-j p
e 2 = -j
e jp = -1
都是旋 转因子
A×j = jA，等于把 A 逆时针旋转90o。
U = 220V ， 则其最大值为Um≈311V。
2020年10月19日星期一
11
需要注意的是
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 电网的电压等级、设备铭牌的额定值等。但绝 缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑 电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。
在测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。
+j F=F1+F2
F1
F2
+1
o
+j F=F1+F2
F1
F2
+1
o
2020年10月19日星期一
4
复数减的图解
+j F=F1-F2
F1
F2
F
o
+1
+j -F2
F=F1-F2
F2
F1
o
+1
若F1 = F2 即两个复数相等 则必须是
|F1| = |F2|，q1=q2
或者 a1 = a2，jb1= jb2
难点
1. 正弦量与相量之间的联系和区别；
2. 元件电压相量和电流相量的关系、相量图。
RLC串联电路的阻抗
RLC串联电路的阻抗
1.时域模型到相量模型的变换
2.电路的分析
依据基尔霍夫电压定律的相量形式电路的电压相量方程为
将
、、
代入上式得
Z称为RLC串联电路的阻抗
|Z|——阻抗模，|Z| =；——阻抗角，
说明：
1）元件上电压、电流的关系：
2）端口上电压、电流的关系：
设Z=|Z|
则：
阻抗端口电压、电流有效值(或振幅)之比等于阻抗模
=端口电压越前于电流的相位差等于阻抗角
注：分析阻抗角大于、等于、小于0的状况。
3）串联电路的相量图
据图可知：
例1 一个电阻R=15、电感L=12mH的线圈与C=5F的电容器相串联，接在电压V的电源上，=5000rad/s。
试求电流、电容器端电压和线圈端电压。
解：此为RLC串联电路，其阻抗
Z=R+j[－]=15+j[5000×12×10-3-1/(5000×5×10-6 )]
=(15+j20)=2553.1°
电流相量和瞬时表达式分别为
=4-53.1°A
A
电容端电压相量和瞬时表达式
=－j40-53.1°A=160-143.1°V
V
线圈电阻R与电感L为串联关系，其阻抗
线圈端电压相量和瞬时表达式：
=6276°×4-53.1°A=24822.9°V
V。