比率估计
比率的区间估计
(2) 利用泊松分布逼近
当 n 较大，pˆ 或 1 pˆ 较小时，
(n 100, pˆ 0.1 或 pˆ 0.9）
① n 充分大，pˆ 充分小时，比率p 的置信度为1 的
近似置信区间为
a
b
a
b
(
,
)
2n
n
a 2
1
2n
n
b 2
或
( 2
pˆ
n
a
2
,
2
n pˆ
b
)
2n
2n
其中
a
2 1
2(
f1 )
,
b 2 2( f2 ) ,
自由度 f1 2n, f2 2n 2 .
6
② n 充分大，pˆ 充分大时，比率p 的置信度为1 的
近似置信区间为
(
n
n
a 2
,
n
n
b 2
1 )
n
n
a 2
n
n
b 2
1
1 pˆ a 1 pˆ b 2
或
( 1
pˆ
2n a
,
1
pˆ
2n b2
)
2n
2n
其中
a
2 1
2(
f1 )
2 0.975
(30)
16.791 ,
b
2
2(
f2 )
2 0.025
(32)
49.480
,
所以 p 置信区间近似为
( 2
a/n pˆ a 2
,
b/n 2 pˆ
b
)
(0.0282, 0.0811) .
2n
比率估计法
比率估计法简介在统计学中，比率估计法是一种用来估计总体比率的方法。
比率是指总体中某个特定类别的个体数与总体规模之间的比值。
比如，在人口统计学中，我们关心某个国家的男性和女性的比例；在市场调研中，我们关心某个产品的市场占有率。
比率估计法基于从总体中随机抽取样本的方法。
通过对样本的观察，我们可以利用样本中的比例来估计总体的比例。
比率估计法有多种形式，其中最常用的是点估计和区间估计。
点估计点估计是指根据样本数据，直接计算出总体比率的估计值。
估计值通常以样本比率的形式给出。
样本比率是指样本中满足某个条件的个体数与样本规模之间的比值。
点估计的优点是简单直接，可以通过简单的计算得到一个估计值。
但是，点估计的缺点是没有给出总体比率的不确定性程度，无法提供置信区间。
点估计的计算公式如下：p̂=x n其中，p̂为总体比率的估计值，x 为样本中满足条件的个体数，n 为样本规模。
区间估计区间估计是指根据样本数据，给出总体比率的估计区间。
估计区间包含了总体比率的真实值的可能范围。
区间估计的优点是可以提供总体比率的不确定性程度，使得我们可以评估估计值的可靠程度。
区间估计的缺点是计算较为复杂，需要使用统计方法进行推导。
区间估计的计算过程通常使用正态分布或二项分布进行，具体方法需要根据样本的具体情况进行选择。
在具体计算时，需要给定一个置信水平，通常为95%或99%。
置信水平是指给定样本数据，重复进行抽样和估计的过程中，估计区间包含真实值的比例。
区间估计的计算公式如下：p̂±Z √p̂(1−p̂)n其中，p̂为总体比率的估计值，Z 为与置信水平相对应的分位数，n 为样本规模。
总结比率估计法是一种用来估计总体比率的方法。
通过随机抽取样本，并对样本数据进行观察和统计，可以得到总体比率的估计值以及估计的不确定性程度。
点估计直接计算估计值，简单直接；区间估计则给出了估计区间，评估估计值的可靠程度。
比率估计法在统计学和市场调研中应用广泛，可以帮助我们了解总体的特征和趋势，做出合理的决策。
比率估计抽样的原理和应用
比率估计抽样的原理和应用1. 什么是比率估计抽样比率估计抽样是一种常见的统计抽样方法，用于估计总体中的某一个特定比率。
在比率估计抽样中，通过对样本进行观察和测量，得到样本中某个特定属性的比率，并以此推断总体中的相同属性的比率。
2. 比率估计抽样的原理比率估计抽样的原理基于无偏性和有效性的要求。
在比率估计抽样中，首先要保证样本是从总体中随机选择的，以保证样本的无偏性。
然后，通过对样本中的个体进行观察和测量，得到样本中某个特定属性的比率。
最后，利用统计学中的方法和技巧，将样本中的比率推断到总体中，从而得到总体的比率估计。
3. 比率估计抽样的应用比率估计抽样在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：3.1 市场调研市场调研是比率估计抽样的常见应用之一。
通过对一定规模的样本进行调研，可以了解到市场中某种产品或服务的受欢迎程度、购买意愿、满意度等信息。
通过对样本中的比率进行推断，可以估计全体消费者的相关比率。
3.2 社会调查社会调查也是比率估计抽样的重要应用领域之一。
通过对样本中的人群进行调查，可以了解到社会中某种观点、态度或行为的比率。
通过对样本中的比率估计，可以推断全体人群的相关比率。
3.3 质量控制在质量控制领域，比率估计抽样也有着重要的应用。
通过对一定数量的产品进行抽样检验，可以了解到产品的合格比率、不良比率等信息。
通过对样本中的比率进行推断，可以估计生产批次或全体产品的相关比率。
3.4 健康调查健康调查是比率估计抽样的另一个重要应用领域。
通过对一定规模的样本进行调查和测量，可以了解到人群中某种疾病的患病率、风险因素的比率等信息。
通过对样本中的比率进行推断，可以估计全体人群的相关比率。
4. 比率估计抽样的步骤比率估计抽样一般包括以下步骤：4.1 确定研究目标在进行比率估计抽样前，需要明确研究的目标和需要估计的比率。
4.2 选择适当的抽样方法根据研究的目标和研究对象的特点，选择适当的抽样方法，如简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等。
比率估计量
王学民 编
第四章 比率估计量
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6 §4.7 §4.8
偏差和它的影响 比率的估计 比率估计量 比率估计量的近似方差 从一个样本估计方差 置信区间 比率估计量与单元均值的比较 分层随机抽样中的比率估计量
ˆ 的估计值为 V Y R
N 2 1 f 2 ˆ 2 2 ˆ s y R sx 2 Rs yx n 1 n yi y xi x 是yi与xi的样本协方 其中 s yx n 1 i 1 差，它是Syx的无偏估计。
1 f 2 2 2 ˆ V R S R S x 2 RS yx 2 y nX
定理2 总体总值Y，总体均值 Y，以及总体比率 R=Y/X的比率估计量分别是 y y y ˆ ˆ YR X , yR X , R x x x 对一个容量为n的简单随机样本（n很大）有
N 2 Y RX 2 i i N 1 f ˆ V Y i 1 R n N 1
§4.5 从一个样本估计方差
N 2 Yi RX i 2 N 1 f i 1 ˆ V YR n N 1
习惯上取 i 1
n
ˆ yi Rx i n 1
2
作为 i 1
Y RX
i i
N
2
N 1
可估计为
1 f 2 ˆ2 2 ˆ ˆ s R s R s 2 Rs y x yx nx 2 当 X 已知时，也可估计为 1 f 2 ˆ2 2 2 ˆ ˆ s1 R s R s 2 Rs y x yx nX 2
比率估计的名词解释
比率估计的名词解释比率估计是统计学中的一种常用方法，用于根据样本数据推断总体的特征。
它是通过计算不同群体之间的比率来进行估计，从而揭示总体的分布和特征。
本文将对比率估计的概念、应用场景和计算方法进行详细解释，并探讨其在实际问题中的意义和局限性。
一、比率估计的概念比率估计是统计学中重要的参数估计方法之一。
所谓比率，是指两个相关群体之间数量上的关系，可以是两个互斥事件之间的比率，也可以是两个不互斥事件之间的比率。
在估计过程中，我们通常使用样本数据来推断总体的比率。
比率估计的目标是根据样本的统计结果，推断出总体中某一特征的比例。
二、比率估计的应用场景比率估计广泛应用于各个领域，具有丰富的应用场景。
以下列举几个常见的应用示例。
1. 市场调研：比率估计可以用于估计不同市场的消费者群体中，对某一产品的购买比例。
通过抽样一部分消费者，并了解他们对产品的偏好和购买行为，可以推断整个市场的购买比例，为制定营销策略提供依据。
2. 医学研究：比率估计可以在临床研究中发挥重要作用。
例如，对于某种疾病的发病率，我们可以通过抽样患者群体，并观察其具体情况，从而估计总体患病率。
这对医生了解病情、预防控制和治疗方案的制定都具有重要意义。
3. 教育评估：比率估计可以用于教育领域的评估，例如统计学习成绩的比率。
通过抽样学生群体，并对其进行考试和测评，可以推断全体学生的学习水平，从而更好地指导教学和评估教育质量。
三、比率估计的计算方法在比率估计中，我们通常使用样本比例来估计总体比例。
样本比例是指在样本中具有某一特征的个体数与样本总个体数之间的比值。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本比例的抽样分布会逼近于正态分布。
根据这一原理，我们可以使用置信区间来估计总体比例。
置信区间是用于描述估计值的不确定性范围的统计概念。
在比率估计中，置信区间给出了总体比例真值所在的可能范围。
通常，我们使用95%的置信水平来构造置信区间，这意味着在一百次实验中，大约有95次的置信区间会包含总体比例的真实值。
4.6 比估计回归估计的效率问题
比率估计、回归估计的效率 问题
（一）比率估计与简单估计的比较 （二）回归估计与简单估计的比较 （三）比率估计与回归估计的比较
Hale Waihona Puke （一）比率估计与简单估计的比较
结论：在大样本下
1 CX （1）如果 时，两种方法的估计效果基本相同。 2 CY 1 CX （2）如果 时，简单估计的估计效果优于比率估计。 2 CY 1 CX （3）如果 时，比率估计的估计效果优于简单估计。 2 CY
（一） 回归估计概述
（1）回归估计的定义 回归估计就是利用目标变量与辅助变量的线性 回归关系来提高估计效果的一种估计方法。
（2） 回归估计的应用条件
（1）选择的辅助变量X与目标量Y之间具有较好的正相关关系 （2）辅助变量的均值（或总量）是已知的 （3）样本量较大
0 ，则回归估计总是
（三）比率估计与回归估计的比较
结论 在大样本下，只有R=B时 ，两种方法的估计效果基本相 同，其他情况下，总有回归估计优于比率估计。
（一） 比率估计的定义
（1） 比率的定义
Y Y R X X
其中Y、Y 和X、 X 为两个总体指标值。
（2） 比率估计的定义
利用目标量与辅助变量的比率关系来提高估计精度的 的一种估计方法称为比率估计法。 注：比率估计的应用条件： （1）选择的辅助变量X与目标量Y之间具有较强的正相关关系 （2）辅助变量的均值（或总量）是已知的 （3）样本量较大
注：两种方法的优劣可以归结为相关系数是否大于1/2。
补充： 变异系数的定义
（1）变异系数的定义
变异系数是总体标准差相对于总体均值的百分比，通常用大写字
母CV表示。
注
变异系数是不受测量单位影响的衡量个体差异大小的指标，可以 用来比较不同的指标的个体差异大小。
比率估计的概念
比率估计的概念比率估计是统计学中的一种方法，用于估计总体参数的取值。
在估计总体参数时，如果无法对全部个体进行测量或观察，通常会采用抽样的方法，选取部分个体进行测量或观察，然后根据抽样结果对总体参数进行估计。
比率估计是一种重要的估计方法，常用于估计总体比例、总体概率等参数的取值。
总体比例是指某一特征在总体中的占比或概率，而比率估计则是根据样本数据对总体比例进行估计。
在进行比率估计时，首先需要获得一个代表总体的随机样本。
随机样本的选取应遵循一定的抽样方法，例如简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等，以确保样本的代表性和可靠性。
一旦得到随机样本，就可以计算样本中某一特征的比例，并将其作为总体比例的估计值。
比率估计的关键是要确定该估计值的可靠程度，即估计值和真实总体比例之间的差距有多大。
为了评估估计值的可靠性，统计学家使用了一个称为置信区间的概念。
置信区间是一个范围，其中包含了参数估计值的真实值的概率。
通常，置信区间的上下界称为置信下限和置信上限，用于表示估计值的上下限范围。
置信区间的计算通常基于样本容量、抽样方法以及估计值的分布。
常用的计算方法包括正态分布法、大样本法、中心极限定理法等。
这些方法根据不同的前提条件和样本特性，给出了不同的置信区间估计方法。
比率估计的目的是以一个可靠的方法估计总体参数，并提供估计值的可靠程度的评估指标。
通过估计总体参数的取值，我们可以对总体的特征或概率进行推断，从而做出相应的决策或预测。
比率估计在各个领域都有广泛的应用。
例如，在医学研究中，比率估计可以用于估计某种疾病的患病率，对疾病的流行程度进行评估。
在市场调查中，比率估计可以用于估计某种产品的市场份额，以及不同用户群体的比例。
比率估计也有一些限制和局限性。
首先，比率估计通常要求样本容量足够大，以确保估计值的可靠性。
如果样本容量较小，估计值的可靠程度会降低。
其次，比率估计在估计过程中假设了总体参数的分布，并未考虑总体分布的严格形式，可能存在一定的误差。
比率估计的原理和应用
比率估计的原理和应用1. 比率估计的概念•比率估计是一种统计学中常用的参数估计方法，用于估计某个总体中两个变量的比率。
•比率是两个变量的相对关系的度量，通常用分子除以分母表示。
•比率估计可以用于描述和推断两个相关变量之间的关系，如男女比例、成功率等。
2. 比率估计的原理•比率估计的原理基于样本的比例能够近似等于总体的比例。
•根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本比例的分布接近正态分布。
•使用样本比例的均值作为总体比例的估计值，并通过计算置信区间来评估估计的精确性。
3. 比率估计的步骤1.收集样本数据，包括分子的数量和分母的数量。
2.计算样本比例，即将分子除以分母得到样本比例的值。
3.根据样本比例的均值和标准差计算置信区间，以评估估计的精确性。
4.根据置信区间判断总体比例是否在某个范围内。
5.根据结果对总体比例进行推断和决策。
4. 比率估计的应用•在医学研究中，可以使用比率估计来估计患病率、死亡率等关键指标。
•在市场调研中，可以使用比率估计来估计产品的市场份额、用户使用率等关键数据。
•在质量控制中，可以使用比率估计来估计产品的不合格率、工艺的良好率等指标。
•在社会科学研究中，可以使用比率估计来估计人口比例、民意分布等关键数据。
5. 比率估计的优缺点•优点：–简单直观，易于理解和解释。
–不受总体分布的影响，适用于各种类型的数据。
–可以提供关于总体比例的精确估计，并给出估计的置信区间。
•缺点：–对样本容量要求较高，当样本容量不足时，估计结果可能不准确。
–受样本选择偏倚的影响，需要进行适当的样本设计和调整。
–只能提供对比例的点估计和置信区间估计，无法提供对总体其他参数的估计。
6. 比率估计的示例假设有一家公司想要估计其员工的满意度比例，公司从全体员工中随机抽取了100人进行调查，并发现其中有80人对公司满意。
根据这个样本数据，我们可以进行比率估计。
•样本满意度比例 = 80/100 = 0.8•样本满意度比例的标准差 = sqrt(0.8 * (1-0.8) / 100) ≈ 0.04•假设置信水平为95%，我们可以计算出样本满意度比例的95%置信区间为0.8±1.96 * 0.04，即 (0.728, 0.872)。
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分层抽样下，比率估计有两方法：
1.Separate Ratio estimator yL y y 2 rL , r , r2 xL x2 ……. x
1 1 1
(h=1,2,…..L)
y RS Wh y Rh
yh Wh Xh xh
ˆ Ny Y RS RS
yh ˆ X h Y Rh xh
bined Ratio estimator
联合比率估计量
combined ratio estimator
y RC
y st ˆ X X R C x st
ˆ Y RC
y st ˆ X X Ny RC R C x st
N (1 f ) 2 11 ˆ v Y s y 3.43303 10 n
2
ˆ s Y
ˆ ) 585921 v(Y
ˆ) v ( Y R ˆ deff 0.6135 ˆ) v(Y
效率：
分层随机抽样下的比率估计
•如果各层的样本量不小的话， 则可以采用各层分别进行比率 估计，将各层加权汇总得到总 体指标的估计，这种方式称为 分别比率估计量。separate
(1)按分别比率估计量估计
ˆX ˆ R Y RS
2 h 1 h h
0.959859 171400 1.049725 102900 272536.6
2 Nh (1 f h ) 2 2 2 ˆ ˆ s R yh h s xh 2 Rs yxh nh h 1 2
比率估计的效率 (与简单估计比较）
简单估计量无偏，而比率估计量渐近无偏。当ｎ比较大
1 f 2 V y Sy n 1 f 2 2 2 V yR S y R S x 2 RS yx n
1 f 2 2 2 S y R S x 2RS y S x n
如果每一层样本量都比较大，各层 R 相差较大，则分别比 率估计量的方差小于联合比率估计量的方差。 但当每层的样本量不太大时，还是采用联合比率估计量更 可靠些，因为这时分别比率估计量的偏倚很大，从而使总 的均方误差增大。
例 某市对中央直属单位和市属单位 专业技术人员总数进行了分层随机 调查，已有98年各层人员总数， 135个中央直属单位有75650专业 技术人员，1228个市属单位有 315612专业技术人员。分别在两 层中调查了15、20家单位，调查 数据如下，试估计99年全市专业 技术人员总数。
ˆ Ny 推论: 对于简单随机抽样,n较大时, Y R R 的数学期望为 E (Y ˆ ) NRX NY Y
R
2014-1-21 5
引理:
y ˆ 对于简单随机抽样,n较大时, R r x
N 1 f 1 2 ˆ ˆ V ( R) ( yi Rxi ) 2 nX N 1 i 1
更简略的表达式
1 f 1 1 f 2 2 2 2 V R 2 Yi RX i 2 S y R S x 2 RS yx nX N 1 i1 nX
N
其中
N 1 2 2 Sx (Xi X ) N 1 i 1
1 N S yx (Yi Y )( X i X ) N 1 i 1Biblioteka ˆ v Y RS
ˆ 9588.48 v Y RS
2)按联合比率估计量估计
ˆ YRC
ˆ Y 277310 st X 274300 271956.1 ˆ 279700 X st
2 2 h
N ˆ v YRC
h 1
(1 f h ) 2 ˆs ˆ 2 s 2 2 R s yh R h yxh xh nh
i
1 2 3 4 5 6 7
yi
1 2 2 3 3 3 4 1 4 5 5 6 6 8
xi
ˆ R i
1 0.5 0.4 0.6 0.5 0.5 0.5
1 ˆ E ( R) n CN R
8 1 ˆ ˆ 0.56 R R i i 8 i 1 i 1
n CN
Y 3 0.5 X 6 ˆ) R E(R ˆ 不是R的无偏估计 R y ˆ E ( R) E (r ) E ( ) x y E( y) Y E( ) R X X X
2014-1-21
17
方差的比较
2 W 2 2 2 h ˆ ) N2 垐 Y V (Y ( S R RS n yh h S xh 2 Rh S yxh ) Rs h 2 W ˆ 2 2 2 2 h 垐 Y RC V (Y ) N ( S R n yh c S xh 2 Rc S yxh ) Rc h
1 Sx X Cx 2 S y Y 2C y
比率估计量优于简单估计量的条件是：
R S 2 RS y S x 0
2 2 x
正高度 相关
例:某县在对船舶调查月完成的货运 量进行调查时，对运管部门登记的 船舶台帐进行整理后获得注册船舶 2860艘，载重吨位154626吨，从 2860艘船舶中抽取了一个的简单随 机样本，调查得到样本船舶调查月 完成的货运量(Y)及其载重吨位(X) 如下表（单位：吨），要推算该县 船舶调查月完成的货运量。
第四章 比率估计
设我们关心的主要变量为 Y, 另一个与 Y 有关的 辅助变量为X,对简单随机抽样的一个样本中的 每个单元获得了Y和X的调查值yi和Xi,而X的总 体总值是已知的. 实际中,辅助变量一般有几种常见的情况. (1)同一变量的上期结果,往往隐含着当期与上期 的变化不会太大的假设; (2)与主要变量之间整体上存在某种比值关系 ,即 隐含两者比值关系的变化不会太大的假设
1 2 S (Yi Y ) N 1 i 1
2 y
N
比率估计量的方差估计 实际中，总体方差和协方差均未知， 可直接用Y 与 X 的样本方差、样本协方差和样本比率代替 相应的总体数值
2 1 f ˆ ˆs R ˆ 2s2 ) V1 (YR ) N (s 2 2R yx x n 2 2 X 1 f 2 ˆ ˆs R ˆ 2s2 ) V2 (YR ) N ( s 2 R yx x 2 x n
2014-1-21 1
例如: 一般认为GDP与能源消耗总量之比 不可能急剧变化, 可根据能源消耗是否增 加很多, 佐证GDP的高增长是否令人怀疑.
辅助变量的特点: (1)辅助变量必须与主要变量高度相关 (2)辅助变量与主要变量之间关系整体上稳定 (3)辅助变量的总体总值必须是已知的,或易获得. (4)辅助变量的信息质量更好,或信息更成本低
8
平均
6
3
13
6
0.46
0.56
引理: 对于简单随机抽样,n较大时, ˆ ) E (r ) R 的数学期望为 E ( R ˆ 不是无偏的 -- R ˆ 是近似无偏的 -- R
y ˆ Rr x
ˆ 定理: 对于简单随机抽样,n较大时, YR yR 的数学期望为 E ( y R ) RX Y
i
i
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Yi
780
1500 1005 376 600 2170 1823 1450 158 1370
Xi
100
50 50 10 20 120 150 80 20 50
在调查月完成货运量的比率估计为
y 1123.2 ˆ YR X 154626 2671937 x 65
ˆ v Y R
N 2 (1 f ) 2 ˆ 2 2 11 ˆ s y R sx 2 Rs yx 2.10617 10 n
标准差： ˆ s Y R
ˆ ) 458930 v(Y R
用简单估计对货运量进行估计
ˆ Ny 2860 1123.2 3212352 Y
ˆ Ny 定理: 对于简单随机抽样,n较大时, Y R R
1 2 1 f 2 ˆ ˆ V (YR ) N ( yi Rxi ) n N 1 i 1
N
ˆ 推论: 对于简单随机抽样,n较大时, YR yR
1 f 1 N 2 ˆ V ( yR ) ( yi Rxi ) n N 1 i 1
2014-1-21 2
(1) 上述主辅变量之间的稳定对比关系并非 罕见 , 所以使用比率估计量进行主要的 总体特征估计的做法较普遍. (2) 比率估计不像简单估计应用面那么宽 , 一般仅限于估计主要变量的总体均值和 总体总值.
2014-1-21
3
例：设总体（N=8），用简单随机抽样取样本(n=1)
ˆ 9289.44 v Y RC