凸优化课程详
凸优化课件
例： 半正定锥和矩阵不等式
严格广义不等式
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广义不等式的性质
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严格广义不等式的性质
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S，都有 成立，则称 x 为 S 的最小元。（唯一）
极小元的定义：设 x S ，对于 y S ，若 ，有 y x 成立，则称 x 为 S 的极小元。 （可以有多个） 例2.17 锥 等式。 ，它导出的是 上的关于分量的不
T T
则存在
x C, a x b且x D, a x b.
超平面 分 离了两个不相交的凸集 C 和 D 。仿射函数 在 C 上非正，在 D 上 非负。
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严格分离：
超平面分离定理的逆定理：
结合逆定理与平面分离定理得出结论：
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2.5.2 支撑超平面
x0 为 C 边界上的点。若存在 a 0， 定义：设集合 C ， 满足对任意 x C ，都有 aT x aT x0 成立，则称超平 T T { x | a x a x0} 为集合 C 在点 x0 处的支撑超平面。 面
正常锥的对偶锥 仍然是正常锥！ 2.若K 非中空，则K *有端点；
3.若K的闭包有端点，则K *非中空； 4.K 是K的闭凸包；
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**
2.6.2 广义不等式的对偶
对偶锥 是正常锥，可由这导出一个广义不等式 ，我们称其为广义不等式 的对偶。 广义不等式与其对偶的性质：
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2.6.3 对偶不等式定义的最小元和极小元
定理：任意非空凸集边界上的任意一点均存在支撑 超平面。 定理：若一个闭的非中空集合，在边界上的任意一 点均存在支撑超平面，则该集合为凸集。
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2.6 对偶锥和广义不等式
凸优化理论
凸优化理论第一章凸集1、仿射集1.1、定义：任意以及都有；直观上，如果两点在仿射集内，那么通过任意两点的直线位于其内；1.2、仿射集的关联子空间：如果是仿射集，且，则集合是一个子空间（关于加法和数乘封闭）,因此仿射集可以表示为一个子空间加上一个偏移，，可以是C中任意一点；定义C的维数为子空间V的维数（向量基的个数）;1.3、线性方程组的解集:等价于仿射集且其关联的子空间是就是的的零空间即;1.4、仿射组合：如果，称为的仿射组合；如果是仿射集，，且，那么；集合C是仿射集集合包含其中任意点的仿射组合；1.5、仿射包：集合C中的点的所有仿射组合组成的集合记为C的仿射包，；仿射包是包含的最小的仿射集合；1.6、仿射维数：集合仿射维数为其仿射包维数, 即仿射包相关联子空间的维数，即是其子空间最大线性无关基；如果集合的仿射维数小于n ，那么这个集合在仿射集合中;1.7、集合相对内部：定义为的内部，记为，即;集合内部：由其内点构成，内点为;1.8、集合的相对边界：集合C的相对边界定义为，为C的闭包；集合C的边界定义为;------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2.凸集：如果，，，都有；直观上，如果两点在凸集内，则两点间的线段也在凸集内；仿射集是凸集；2.1、凸组合：如果，，，称为的凸组合；点的凸组合可以看做他们的混合或加权平均，代表混合时所占的份数。
如果点在凸集内，则它们的凸组合仍在凸集内；C是凸集集合包含其中所有点的凸组合；2.2、集合的凸包：集合C中所有点的凸组合，;C的凸包是包含C的最小凸集；2.3、无穷级数的凸组合：假设，，，并且，，、、，为凸集，那么若下面的级数收敛，那么2.4、积分的凸组合：假设对所有满足，并且,其中为凸集，那么如果下面积分存在，则： ;2.5、概率的凸组合：假设x是随机变量，为凸集，并且的概率为，那么；---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3锥：如果对于任意和，都有，称集合C为锥；直观上如果点在锥中，那么以原点为端点过该点的射线在锥中；3.1、凸锥：集合C是锥，并且是凸的，则称C为凸锥，即对于任意，和，，都有直观上，如果两点在凸锥中，那么以原点为端点，以过两点的两条射线为边界的扇形面在凸锥中；3.2、锥组合：具有，形式的点称为的锥组合（或非负线性组合）；如果均属于凸锥C，那么的每一个锥组合也在C中；集合C是凸锥它包含其元素的所有锥组合；3.3、锥包：集合C的锥包是C中所有元素的锥组合的集合；---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 凸集的例子：空集、单点集、全集都是的仿射子集；线段是凸的，但不是仿射的；射线是凸的，不是仿射的，不是锥（除非端点是零点）；直线是仿射的，自然是凸的；如果通过零点，则是锥，并且是凸锥；子空间是仿射的、凸锥(满足对加法、数乘封闭、含零元)；超平面：，其中，且；，，在超平面上；闭的半空间：非平凡线性不等式的解空间，，半空间是凸的，但不是仿射的，也不是锥；半空间边界、内部：、；Euclid球：欧几里得球是凸集：；椭球：椭球是凸集：，对称正定矩阵，决定椭球从各个方向扩展的幅度；半轴长度有给出；正半定矩阵；若为奇异矩阵，椭球退化，即一些维度上半轴长为零，这时其仿射维数等于A的秩，退化的椭球也是凸的；范数球、范数锥：它们是凸集，范数锥：，；如二阶锥（二次锥）；---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4.多面体：有限个线性等式和不等式的解集：，，;因此多面体是有限个半空间和超平面的交集；仿射集合（如子空间、超平面、直线）、射线、线段、半空间都是多面体；多面体是凸集；有界多面体也称为多胞形<=>有限集合的凸包；多面体可以表示为，，b、d为向量；4.1、单纯形（一种多面体）：点描述法设k+1个点，，仿射独立，即，，，线性独立，那么这些点决定了一个单纯形：，，，，这个集合的仿射维数（它的仿射闭包的维数），即是，空间的维数，显然它的一个基就是，，，即集合的仿射维数为k；单纯形是凸集、并且是多面体，一般称k维单纯形（k+1个仿射独立点生成的凸包）；4.2、常见的单纯形:1维单纯形是一条空间线段（1个基向量，2个空间点）；2维单纯形是一个空间三角形（含其内部）（2个基向量，3个空间点）；3维单纯形是一个四面体（3个基向量，4个空间点）；4.3、单位单纯形：由零向量0和单位向量，，决定的n维单纯形，它可以表示为满足下列条件的向量的集合：;4.4、概率单纯形：由单位向量，，决定的n-1维单纯形，它是满足下列条件的向量集合：;概率单纯形中的每个向量对应于随机变量n个取值对应的一个概率分布，可理解为第i个元素的概率；4.5、单纯形的多面体描述法C是单纯形，充要条件是，对于某些，，有;，其中，，，，，，显然，B的秩为k；因此存在非奇异矩阵，使得，，,则: ，，，，，，，显然：且且且；这里A的选择与，，有关；4.6、多面体：凸包描述法有限集合，，的凸包是：，，，是一个有界多面体，但是无法用线性不等式和不等式的集合将其表示；凸包表达式的一个扩展：，，,其意义是，，的凸包加上，，的锥包，定义了一个多面体，反之每个多面体也都可以表示为此类形式；仿射集是凸集；多面体是凸集；仿射集是多面体；单纯形（特殊多面体）是凸集，可以给出线性等式和不等式表示；多面体（使用线性等式和不等式组定义）等价于凸包，无法给出线性等式和不等式表示；有限集的凸包是有界多面体，无法给出线性等式和不等式表示；5.保凸运算：用以从凸集构造出其他凸集；5.1、求交集：无穷多个凸集的交是凸集；5.2、仿射映射：,且,若S是凸的，那么是凸的；反之成立；伸缩、平移、投影是仿射映射；凸集的和、直积是凸的，凸集的投影是凸的，凸集的部分和是凸的；注意：，也是仿射函数；线性矩阵不等式的解：，是凸集；双曲锥：,是凸集；5.3、透视映射：，，定义域为，如果C是凸集，那么是凸集；反之成立；5.4、线性分式映射：是仿射的，其中并且,那么：，是线性分式（投射）函数, 定义域，P是透视函数；同样象与原象的凸性可以互推；线性分式映射的应用：条件概率，设u和v是分别在，，和，，中取值的随机变量，并且表示概率。
凸优化教学设计
凸优化教学设计简介凸优化是最优化问题中最重要的分支之一，它不仅是典型最优化问题的基础，也是许多实际问题的基本建模方式。
在工程和学术领域中，凸优化都有着广泛的应用。
因此，我们需要对凸优化的定义、理论和算法有一个清晰的认识。
本文档旨在介绍一项凸优化的教学设计，以便教师能够更好地对凸优化理论和应用进行教学。
本文档将从目标、教学内容、教学方法、评价等方面对凸优化教学做出具体设计方案。
目标•让学生了解凸优化的相关概念和基本假设条件•让学生掌握凸性质以及凸函数的性质•让学生掌握基本的凸优化算法，如梯度下降算法、牛顿法等•让学生了解最小二乘问题、线性规划、二次规划等典型凸优化问题•让学生能够灵活运用凸优化理论和方法解决实际问题教学内容1. 凸函数及其性质•凸函数的定义•凸函数的性质：Jensen不等式、强对偶性等•凸锥、线性函数、仿射函数的定义2. 凸优化基本概念•凸优化的定义•凸集、凸包、凸多面体的定义•凸函数、凸锥、仿射函数等基准函数的定义•凸优化的基本假设条件3. 凸优化算法•梯度下降法•牛顿法及其变种•内点法•等等。
4. 典型凸优化问题•最小二乘问题•线性规划•二次规划5. 实践•如何使用MATLAB或Python编写凸优化代码•如何使用现成的凸优化库教学方法1. 讲解教师通过课堂讲解的方式，介绍凸优化的相关概念和基本假设条件、凸函数的性质、基本凸优化算法、典型凸优化问题等教学内容，梳理理论知识点。
2. 实例分析教师通过实例分析的方式，让学生理解如何将凸优化理论与实际问题相结合，如何解决实际问题。
通过多个案例的分析，让学生更好地理解凸优化方法在实际中的应用。
3. 小组讨论将学生分成小组，讨论各自选择或设计的实际问题，并运用凸优化理论和方法求解问题。
通过小组讨论，让学生不仅理解凸优化理论和方法，还能够进一步加深对实际应用的理解。
4. 课堂互动问答教师在讲解过程中，适时提问，鼓励学生积极参与互动问答环节。
凸优化课件
局部最优解和全局最优解
非线性凸优化问题可能存在多个局部最优解，需要研究如何找到全 局最优解或近似全局最优解。
大规模凸优化问题
计算复杂度
大规模凸优化问题的计算复杂度通常很高，需要采用高效的优化 算法。
并行计算和分布式计算
为了加速大规模凸优化问题的求解，可以采用并行计算和分布式计 算技术。
凸函数性质
凸函数具有单调性、有下界性、最小化性质等性质。在优化问题中，凸函数的最小值可 以通过优化方法求解。
凸集与凸函数的几何解释
凸集的几何解释
凸集可以用图形表示，例如二维平面上的一个凸集可以表示 为一个凸多边形。
凸函数的几何解释
对于凸函数，其图像是一个向上的曲线，且在该曲线上任意 两点之间画一条线，该线总是在函数图像之下。这意味着对 于凸函数，其最小值存在于其定义域的端点或边界上。
凸函数的性质
凸函数具有连续性、可微性、单调性 、凸性等性质，这些性质使得凸优化 问题在求解过程中具有一些特殊的优 势。
凸优化在数学与工程领域的应用
在数学领域的应用
凸优化在数学领域中广泛应用于最优化理论、统计推断、机器学习等领域。例 如，在机器学习中，凸优化方法可以用于求解支持向量机、神经网络等模型的 参数。
现状与挑战
目前，凸优化算法在理论和实际应用中都取得了很大的进展。然而，随着问题的复杂性和规模的增加，凸优化算 法也面临着一些挑战，如计算复杂度高、局部最优解等问题。未来，需要进一步研究和发展更高效的算法和技术 ，以解决更复杂的问题。
02
凸集与凸函数
凸集的定义与性质
凸集定义
一个集合称为凸集，如果该集合中的 任意两点之间的线段仍在集合中。
凸优化问题的解法与应用
凸优化问题的解法与应用凸优化问题是指满足下列条件的优化问题：目标函数是凸函数，约束条件是凸集合。
凸优化问题是最优化问题中的一类比较特殊的问题，也是应用非常广泛的一类问题。
凸优化问题在工业、金融、电力、交通、通信等各个领域都有着广泛的应用。
本文将介绍凸优化问题的基本概念、解法和应用。
一、凸优化问题的基本概念1. 凸函数凸函数是指函数的图形总是位于函数上方的函数，即满足下列不等式：$$f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) \le \alpha f(x_1) + (1-\alpha) f(x_2),\quad x_1, x_2 \in \mathbb{R}, 0 \le \alpha \le 1$$凸函数有很多种性质，如单调性、上凸性、下凸性、严格凸性等，这些性质都与函数的图形有关。
凸函数的图形总是呈现出向上凸起的形状。
2. 凸集合凸集合是指集合内任意两点间的线段都被整个集合所包含的集合。
凸集合有很多常见的例子，如球、多面体、凸多边形、圆等。
凸集合的特点在于其内部任意两点之间都可以通过一条线段相连。
3. 凸组合凸组合是指将若干个向量按照一定比例相加后所得到的向量。
具体地，对于$n$个向量$x_1, x_2, \cdots, x_n$，它们的凸组合定义为：$$\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_n x_n, \quad\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n = 1, \quad \alpha_i \ge 0 $$凸组合可以看做是加权平均的一种特殊形式。
在凸优化问题中，凸组合常常被用来表示优化变量之间的关系。
二、凸优化问题的解法凸优化问题可以用很多方法来求解，其中比较常用的有梯度下降算法、最小二乘法、线性规划、二次规划、半定规划等。
1. 梯度下降算法梯度下降算法是一种基于梯度信息的优化算法。
凸优化理论与应用-凸优化PPT课件
凸优化问题最优解
定理：设 X 为凸优化问题的可行域，f0 (x)可微。则 x 为最优解当且仅当 f0 (x)T ( y x) 0, y X 成立。
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凸优化问题最优解
定理：无约束凸优化问题中，若 f0 (x)可微。则 x 为最 优解当且仅当 f0 (x) 0成立。
h1(x) (x1 x2 )2 0
等价于凸优化问题
minimize f0 (x) x12 x22 subject to f%1(x) x1 0
h%1(x) x1 x2 0
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凸优化问题的局部最优解
定理：凸优化问题的局部最优解均是全局最优解。
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优化问题的上半图形式
minimize t subject to f0 (x) t 0,
fi (x) 0, i 1,..., m hi (x) 0, j 1,..., p
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凸优化问题的基本形式
凸优化问题的基本描述：
minimize f0 (x), x R n subject to fi (x) 0, i 1,..., m
hi (z) 0, j 1,..., p x z R, R 0
2
若 x 为局部最优问题的最优解，则它为原最优问题的
局部最优解。
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优化问题的等价形式(1)
定理：若 i 0,i 0,..., m, i 0,i 1,..., p
则原优化问题与以下优化问题等价
hi (x) 0, j 1,..., p
fi (x)为凸函数 hi (x)为仿射函数 若 f0 (x)为准凸函数，则优化问题称为准凸优化问题。 性质：凸优化问题的可行域是凸集。
西安电子科技大学优质课程《凸优化及其在信号处理中的应用》课程教学大纲
课程教学大纲课程编号：G00TE1204课程名称：凸优化及其在信号处理中的应用课程英文名称：Convex Optimization and Its Applications in Signal Processing开课单位：通信工程学院教学大纲撰写人：苏文藻课程学分：2学分课内学时：32学时课程类别：硕士/博士/专业学位课程性质：任选授课方式：讲课考核方式：作业，考试适用专业：通信与信息系统、信号与信息处理先修课程：教学目标：同学应：1.掌握建立基本优化模型技巧2.掌握基本凸分析理论3.掌握凸优化问题的最优条件及对偶理论4.认识凸优化在信号处理的一些应用英文简介：In this course we will develop the basic machineries for formulating and analyzing various optimization problems. Topics include convex analysis, linear and conic linear programming, nonlinear programming, optimality conditions, Lagrangian duality theory, and basics of optimization algorithms. Applications from signal processing will be used to complement the theoretical developments. No prior optimization background is required for this class. However, students should have workable knowledge in multivariable calculus, real analysis, linear algebra and matrix theory.课程主要内容：Part I: Introduction-Problem formulation-Classes of optimization problemsPart II: Theory-Basics of convex analysis-Conic linear programming and nonlinear programming: Optimality conditions and duality theory-Basics of combinatorial optimizationPart III: Selected Applications in Signal Processing-Transmit beamforming-Network localization-Sparse/Low-Rank Regression参考书目：1.Ben-Tal, Nemirovski: Optimization I-II: Convex Analysis, Nonlinear ProgrammingTheory, Nonlinear Programming Algorithms, 2004.2.Boyd, Vandenberghe: Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004.3.Luenberger, Ye: Linear and Nonlinear Programming (3rd Edition), 2008.4.Nemirovski: Lectures on Modern Convex Optimization, 2005.。
03凸优化理论与应用_凸优化
03凸优化理论与应用_凸优化凸优化理论与应用是数学领域的一个重要分支，是一种优化问题的求解方法，它在工程、经济学、物理学、统计学等领域具有广泛的应用。
凸优化问题是指目标函数是凸函数（convex function）且约束条件是凸集（convex set）的优化问题。
凸函数是一种特殊的函数，它的任意两个点之间的线段在函数图像上方。
凸集是一种特殊的集合，对于集合中的任意两个点，连接这两个点的线段的端点也在集合中。
凸优化问题是在满足凸性条件下，寻找使目标函数最大化或最小化的变量值。
凸优化问题具有以下重要性质：1.局部最优解是全局最优解：对于凸优化问题，只需要找到一个局部最优解，就可以确定它就是全局最优解，无需再进行进一步的。
2.解的存在性：凸优化问题在一些条件下保证存在解，这对于实际问题的求解非常重要。
3.解的唯一性：对于凸优化问题，只能存在一个最优解，不会出现多个最优解的情况。
4.算法的可行性：凸优化问题可以通过多种有效的算法求解，这些算法具有较高的收敛速度和稳定性。
凸优化问题可以分为无约束问题和有约束问题两类。
无约束问题是指目标函数只有一个变量，没有约束条件；有约束问题是指在目标函数的最优化问题的基础上增加约束条件。
在凸优化理论中，有一些重要的概念和定理，如凸集、凸函数、凸锥、支撑超平面、KKT条件等。
这些概念和定理为凸优化问题的求解提供了理论基础和方法。
凸优化问题在实际应用中具有广泛的应用，例如：1.金融领域：用于投资组合优化、资产定价问题等。
2.电力领域：用于电网调度、能源管理等。
3.交通领域：用于交通流优化、交通路线规划等。
4.通信领域：用于信号处理、无线通信系统设计等。
5.机器学习领域：用于模型训练、参数优化等。
6.图像处理领域：用于图像恢复、图像分割等。
总之，凸优化问题在不同领域的应用非常广泛，它的理论基础和求解方法为解决复杂的优化问题提供了有效的工具和思路。
随着科学技术的不断发展，凸优化理论与应用领域将会不断扩展和深化，为实际问题的求解提供更多的可能性和机会。
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2. 凸集，凸函数， 3学时
凸集和凸函数的定义和判别
3. 数值代数基础， 3学时
向量，矩阵，范数，子空间，Cholesky分解，QR分解，特征值分解，奇异值分解
4. 凸优化问题， 6学时
典型的凸优化问题，线性规划和半定规划问题
5. 凸优化模型语言和算法软件，3学时
模型语言：AMPL, CVX, YALMIP; 典型算法软件： SDPT3, Mosek, CPLEX, Gruobi
随着科学与工程的发展，凸优化理论与方法的研究迅猛发展，在科学与工程计算，数据科学，信号和图像处理，管理科学等诸多领域中得到了广泛应用。通过本课程的学习，掌握凸优化的基本概念，对偶理论，典型的几类凸优化问题的判别及其计算方法，熟悉相关计算软件
本课程面向高. 凸优化简介， 3学时
Numerical Optimization,Jorge Nocedal and Stephen Wright,Springer,2006,2nd ed.,978-0-387-40065-5；
最优化理论与方法,袁亚湘，孙文瑜,科学出版社,2003,
参考书
1st ed.,9787030054135；
教学大纲
（2） 课程项目： 60%
要求：
作业和课程项目必须按时提交，迟交不算成绩，抄袭不算成绩
教学评估
文再文：
凸优化课程详细信息
课程号
00136660
学分
3
英文名称
Convex Optimization
先修课程
数学分析（高等数学），高等代数（线性代数）
中文简介
凸优化是一种广泛的，越来越多地应用于科学与工程计算，经济学，管理学，工业等领域的学科。它涉及建立恰当的数学模型来描述问题，设计合适的计算方法来寻找问题的最优解，研究模型和算法的理论性质，考察算法的计算性能。该入门课程??适合于数学，统计，计算机科学，电子工程，运筹学等学科的高年级本科生和研究生。教学内容包括凸集，凸函数和凸优化问题的介绍；凸分析的基础知识； 对偶理论；梯度算法，近似梯度算法，Nesterov加速方法，交替方向乘子法；内点算法，统计，信号处理和机器学习中的应用。
交替方向乘子法的构造，对偶方法，拆分方法
11. 内点算法， 6学时
内点算法基本理论和算法
12. 凸优化在统计，信号处理和机器学习等中的应用，3学时
凸优化在统计，信号处理和机器学习等中的应用
13. 课程项目报告，6学时
学生分组做小课题报告
教学方式：
课堂讲授： 80%
讨论： 20%
成绩评定：
（1） 4-5次大作业，包括习题和程序： 40%
英文简介
Convex Optimization is a subject that is widely and increasingly used in science, engineering, economics, management, industry, and other areas. It requires the formation of a mathematical model, the design of the computational methods to find optimal solutions, exploring their theoretical properties, and studying their computational performance. This introductory course is designed for senior undergraduates and graduate students in mathematics, computer science, electrical engineering, operations research and etc. Topics specifically covered are convex sets, functions, and optimization problems; basics of convex analysis; duality theory; gradient methods, proximal gradient methods, Nesterov`s acceleration methods, alternating direction methods of multipliers; interior point methods, statistics, signal processing, and machine learning.
6. 对偶理论， 3学时
对偶问题的转换和对偶理论
7. 梯度法和线搜索算法，3学时
最速下降法及其复杂度分析，线搜索算法，Barzilar-Borwein 方法
8. 近似点梯度法， 3学时
近似点梯度法的构造和分析
9. Nesterov加速算法， 3学时
Nesterov加速算法的分析和应用
10. 交替方向乘子法及其变形， 6学时
开课院系
数学科学学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
Convex Optimization,Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe,Cambridge University Press,2004,1st ed.,978-0521833783；