【数学】湖北省孝感高级中学2013-2014学年高一下学期期中考试

命题人：张享昌 满分：150分 考试用时：120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．如果a b >,那么下列不等式中正确的是（ ）A ．lg lg (0)a x b x x >>B ．22ax bx >C ．22a b >D ．22x x a b >2．sin(65)cos(20)cos(65)sin(20)x x x x -----的值为（ ）ABC ．12 D3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且2cos a B c =，则△ABC 的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．直角三角形4．设定点(0,1)A ,动点(,)P x y 的坐标满足条件0,,24,x y x y x ≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩则||PA 的最小值为（ ）ABC ．1 D5．函数22cos y x =的一个单调递增区间是（ ）A ．(,)44ππ-B ．(0,)2πC ．3(,)44ππD ．(,)2ππ6．已知数列{}n a 中，372,1a a ==,若数列1{}1n a +为等差数列,则11a =( ) A ．0B ．12 C ．23D ．27．等比数列{}n a 的各项均为正数，且453618,a a a a +=则313238log log log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．68．若正数x ,y 满足315xy+=,则34x y +的最小值是（ ） A ．245B ．285C ．5D ．69．已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，若112a =，则2014a =( ) A ．12B ．2C ．1-D ．110．定义运算a b ad bc c d =-，若si n s i n 1c o s ,c o s c o s 72αβπα==<β<α<αβ，则β等于（ ）A ．12πB ．6π C ．4πD ．3π二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．在锐角△ABC中，3,4BC AB C π=∠=,则A ∠= . 12．若实数x ,y 满足10,0,0,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则23x y z +=的最小值是 .13．已知函数()sin()sin()cos 66f x x x x a ππ=++-++在区间[,]22ππ-上的最大值为2，则常数a的值为_____________.14．若不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围为 . 15．设*m ∈N ,2log m 的整数部分用()F m 表示，则(1)(2)(3)+256F F F F +++…（）的值是 .三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知集合{||2|(0)},A x x a a =-<>集合22{|1}3x B x x -=<+. （1）若1a =,求A B ;（2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围.17．（本小题满分12分）已知7cos2,(0)252πθ=<θ<. （1）求tan θ的值；（2）求22cos sin 2)4θ-θπθ+的值.18．（本小题满分12分）已知函数()sin cos (0)44f x m x m xm ππ=+>，若直线2y =是函数()f x 图象的一条切线.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 图象上的两点M 、N 的横坐标依次为2和4，O 为坐标原点，求△MON 的面积.19．（本小题满分12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 万件，需另投入的成本为()C x （单位：万元），当年产量小于80万件时，21()103C x x x =+;当年产量不小于80万件时，10000()511450C x x x=+-.假设每万件该产品的售价为50万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完.（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*143()n n a a n n ++=-∈N .（1）若数列{}n a 是等差数列，求其公差d 的值;（2）若数列{}n a 的首项13a =，求数列{}n a 的前100项的和.21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足*1111,(2,)4(1)2n n n n a a a n n a --==≥∈--N .（1）求证：数列1{(1)}n na +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设(217)sin 2n n nb a -π=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：对任意*n ∈N ,有47n T <成立.三、解答题17．解：（1）由7cos225θ=， 得227912sin ,sin 2525-θ=θ=. 340sin ,cos 255π<θ<∴θ=θ=sin 3tan cos 4θ∴θ==θ.……………………………………………………………6′ （2）24312cos sin cos 1sin 655234sin cos 7554θ+--θθ+-θ===πθ+θ⎛⎫+θ+ ⎪⎝⎭……………………………12′18．解：（1）()sin cos 44f x m x m x ππ=+44x x ⎫ππ=⎪⎪⎝⎭sin 44x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭………………………………………………………2′直线2y =是函数图象的一条切线，22m ∴=，解得2m =.()22sin .44f x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭………………………………………………………5′（2）由（1）知，()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()22sin 2cos 244f πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭…………………………………………6′()42sin 2sin 44f ππ⎛⎫=π+=-= ⎪⎝⎭7′((,4,.M N ∴OM ON ∴== MN ==…………………………………………9′根据余弦定解得222cos 2OM ON MN MON OM ON+-∠=⨯222+-=………………10′sin MON ∴∠=.…………………………………………11′ M ON ∴∆的面积为11sin 22S OM ON MON =⨯⨯∠==…12′ 19．解：（1）当080x ≤<时，()221150102504025033L x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭；当80x ≥时，()1000010000505114502501200L x x x x x x ⎛⎫=-+--=--⎪⎝⎭. 所以()2140250,080,3100001200,80.x x x L x x x x ⎧-+-≤<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩……………………………………6′（2）当()()21080,60950,3x L x x ≤<=--+()()max 60950;L x L ==⎡⎤⎣⎦……………8′当80x ≥时，()100001200120012002001000L x x x x x=--≤-=-=，当且仅当10000x x=，即100x =时，等号成立，所以()()max 1001000L x L ==⎡⎤⎣⎦. …………………………………11′ 综上，当100x =时，()L x 取得最大值1000，即年产量为100万件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是1000万元. ……………12′21．解：（1）()()()()11112111,121,n n n n n n n a a a a ---⎡⎤=--∴+-=-+-⎢⎥⎣⎦又()113,na ∴+-=∴数列()11n n a ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭是首项为3，公比为-2的等比数列. …4′ 从而()()()()1111132,.321n n n n n n a a --+-=-=---………………………………6′（2）()()()()()111121711sin1,.2321321n n n n nn n b -----π-=-∴==+---…………………8′当3n ≥时，则21231111111111 (1332147321321323232)n n n T --=++++<+++++++++ 21111221112812n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+-21111111474841286228684847n -⎡⎤⎛⎫=+-<+=<=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…12′2344,,77n T T n N T *<<∴∈< …………………………14′。