最新2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷

一、单选题1．若U=R,集合A={x|−3≤2x −1≤3}，集合B 为函数y =lg(x −1)的定义域，则图中阴影部分对应的集合为A ．(−1,1)B ．[−1,1]C ．[1,2)D ．(1,2] 2．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)是增函数的是 A ．y =x 12B ．y =x 3C ．y =(12)x D ．y=|x ﹣1| 3．函数f(x)=lnx −1x 的零点所在的大致区间是A ．(1e ，1) B ．(1，e) C ．(e ，e 2) D ．(e 2，e 3) 4．已知a=(35)−13，b=(35)−14，c=(23)−14，则a 、b 、c 的大小关系是 A ．c ＜a ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜c D ．c ＜b ＜a 5．已知函数y =x m2−5m+4（m ∈Z ）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=A ．2或3B ．3C ．2D ．16．已知函数f （x ）=log a （x 2﹣2ax ）在[4，5]上为增函数，则a 的取值范围是 A ．（1，4） B ．（1，4] C ．（1，2） D ．（1，2]7．设f(x)=3ax +1−2a 在(−1,1)内存在x 0使f(x 0)=0，则a 的取值范围是 A ．−1<a <15B ．a >15C ．a >15或a <−1 D ．a <−18．若2a =3b=6，则1a +1b = A ．2 B ．3 C ．12 D ．19．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上递增，f(13)=0，则满足f(log 18x)>0的x 的取值范围是A ．（0，+∞）B ．(0,18)∪(12,2) C ．(0,12)∪(2,+∞) D ．(0,12)10．若方程x 2+ax+a=0的一根小于﹣2，另一根大于﹣2，则实数a 的取值范围是 A ．（4，+∞） B ．（0，4）C ．（﹣∞，0）D ．（﹣∞，0）∪（4，+∞）11．已知函数f(x)={ln(x +1),x >0−x 2−2x +3,x ≤0，若函数g （x ）=f （x ）﹣m 有3个零点，则实数m 的取值范围是A ．（﹣∞，4）B ．（﹣∞，4]C ．[3，4）D ．[3，4]12．设函数f （x ）=ln （x+√x 2+1）+x 3（﹣1＜x ＜1），则使得f （x ）＞f （3x ﹣1）成立的x 的取值范围是A ．（0，12） B ．（﹣∞，12） C ．（12，23） D ．（﹣1，12）二、填空题13．已知函数()22f x x ax b =-+是定义在[]2,31b b --区间上的偶函数，则函数()f x 的值域为__________.14．设函数f(x)={2−x x <1log 4x x >1 , 则满足f(x)=14的x 的值__________．15．如果(m +4)−12<(3−2m)−12，则m 的取值范围是__．16．已知函数f （x ）=log 2（4x +1）+mx ，当m ＞0时，关于x 的不等式f （log 3x ）＜1的解集为_____．三、解答题17．（1）已知5a =3，5b =4，求a ，b ； 并用a ，b 表示log 2512. （2）求值 (214)12−(√3−π)0+log 313+712log 7418．已知集合A ={x|a −1<x <2a +1}(a ∈R),B ={x|x 2−x <0}， （1）若a =1,求A ∪B ，A ∩(C R B); （2）若A ∩B =φ，求实数a 的取值范围． 19．已知()()122x x f x a a R +-=+⋅∈.（1）若()f x 是奇函数，求a 的值，并判断()f x 的单调性（不用证明）； （2）若函数()5y f x =-在区间()0,1上有两个不同的零点，求a 的取值范围.20．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数h （x ），其中ℎ(x)={400x −12x 2,0<x ≤40080000,x >400,x 是新样式单车的月产量（单位：件），利润=总收益﹣总成本．（1）试将自行车厂的利润y 元表示为月产量x 的函数；（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？21．已知函数f （x ）=ax 2﹣2ax+1+b （a ＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1． （Ⅰ）求实数a ，b 的值； （Ⅱ）设函数g （x ）=f(x)x，若不等式g （2x ）﹣k•2x ≤0在x ∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k 的取值范围．22．已知函数()1log 1amxf x x -=+（a ＞0，a≠1，m≠﹣1），是定义在（﹣1，1）上的奇函数．（I ）求f （0）的值和实数m 的值；（II ）当m=1时，判断函数f （x ）在（﹣1，1）上的单调性，并给出证明； （III ）若102f ⎛⎫>⎪⎝⎭且f （b ﹣2）+f （2b ﹣2）＞0，求实数b 的取值范围参考答案1．B【解析】【分析】解一元一次不等式，求对数函数的定义域求出集合A，B，阴影部分表示的集合为A∩∁U B，根据集合关系即可得到结论.【详解】阴影部分表示的集合为A∩∁U B，∵A={x|−3≤2x−1≤3}=[−1，2]，B=(1,+∞)，∴∁U B=(−∞,1]，∴A∩∁U B=[−1，1]，故选B．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，对数函数的定义域，根据图象确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2．B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性的定义，即可判断既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数．【详解】对于A，定义域为[0,+∞)不关于原点对称，故不为奇函数，故A错．对于B，f(−x)=−f(x)，则f(x)为奇函数，在区间(0,+∞)上单调递增，故B对；对于C，y=(12)x为非奇非偶函数，故C错误；对于D，y=|x−1|的图象关于x=1对称，为非奇非偶函数，故D错误，故选B.【点睛】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性的判断和单调性的判断，考查运算能力，属于基础题.3．B【解析】【分析】根据函数零点的判断条件，即可得到结论．【详解】∵f(x)=lnx−1x，则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，∵f(1)=−1<0，f(e)=1−1e>0，∴f(1)⋅f(e)<0，在区间(1,e)内函数f(x)存在零点，故选B．【点睛】本题主要考查方程根的存在性，利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键，属于基础题.4．D【解析】【分析】根据指数函数y=(35)x的单调性可以判断a，b的大小，根据幂函数y=x−14的单调性可以判断b，c的大小，综合可得结果.【详解】∵0<35<1，可得y=(35)x是单调减函数，∵−13<−14，∴a=(35)−13>b=(35)−14，∵−14<0，可得y=x−14为减函数，∵35<23，∴b=(35)−14>c=(23)−14，综上可得c<b<a，故选D.【点睛】本题考查大小比较，解题的关键是利用指数函数、幂函数的单调性，常见的做法还有可能与1比较，属于基础题.5．A【解析】【分析】由幂函数y=x m2−5m+4为偶函数，又它在(0,+∞)递减，故它的幂指数为负，由幂指数为负与幂指数为偶数这个条件，即可求出参数m的值．【详解】幂函数y=x m2−5m+4为偶函数，且在(0,+∞)递减，∴m2−5m+4<0，且m2−5m+4是偶数，由m2−5m+4<0得1<m<4，又由题设m是整数，故m的值可能为2或3，验证知m=2或者3时，都能保证m2−5m+4是偶数，故m=2或者3即所求．故选：A【点睛】本题考查幂函数的性质，已知性质，将性质转化为与其等价的不等式求参数的值属于性质的变形运用，请认真体会解题过程中转化的方向．6．C【解析】【分析】由题意可得g(x)=x2−2ax的对称轴为x=a，①当a>1时，由复合函数的单调性可知，g(x)在[4,5]单调递增，且g(x)>0在[4,5]恒成立，②0<a<1时，由复合函数的单调性可知，g(x)在[4,5]单调递增，且g(x)>0在[4,5]恒成立从而可求a.【详解】由题意可得g(x)=x2−2ax的对称轴为x=a，①当a>1时，由复合函数的单调性可知，g(x)在[4,5]单调递增，且g(x)>0在[4,5]恒成立，则{a>1g(4)＝16−8a>0a≤4，∴1<a<2②0<a<1时，由复合函数的单调性可知，g(x)在[4,5]单调递增，且g(x)>0在[4,5]恒成立，则{0<a<1 a≥5g(5)=25−10a>0，此时a不存在，综上可得1<a<2，故选C．【点睛】本题主要考查了由对数函数及二次函数复合二次的复合函数的单调性的应用，解题中一定要注意对数的真数大于0这一条件的考虑，属于中档题.7．C【解析】略8．D【解析】【分析】首先将指数式化为对数式解出a和b，将换底公式与对数的加法运算性质相结合即可得到最后结果.【详解】∵2a=3b=6，∴a=log26，b=log36，∴1a+1b=1log26+1log36=log62+log63=log66=1，故选D.【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化，换底公式（当两对数底数和真数位置互换时，两数互为倒数）与对数加法运算法则的应用，属于基础题.9．C【解析】【分析】由题意可得偶函数f(x)在[0，+∞)上递增，在(−∞，0]上递减，结合题意可得log18x>13①，或log18x<−13②，分别求得①②的解集，再取并集，即得所求．【详解】由题意可得偶函数f(x)在[0，+∞)上递增，在(−∞，0]上递减，且f(−13)=f(13)=0，故由f(log18x)>0可得log18x>13①，或log18x<−13②．由①可得lgx3lg12>13，lgx<lg12，解得0<x<12．由②可得lgx3lg12<−13，lgx>−lg12=lg2，解得x>2．综上可得，不等式的解集为(0,12)∪(2,+∞)，故选C．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性在解不等式中的应用，解对数不等式，对数的熟练运算是解题的关键，属于中档题．10．A【解析】【分析】令f(x)=x2+ax+a，利用函数与方程的关系，结合二次函数的性质，列出不等式f(−2)<0求解即可.【详解】令f(x)=x2+ax+a，∵方程x2+ax+a=0的一根小于−2，另一根大于−2，∴f(−2)<0，即(−2)2−2a+a<0，解得a>4，即实数a的取值范围是a>4，故选A.【点睛】本题考查一元二次函数的零点与方程根的关系，数形结合思想在一元二次函数中的应用，是基本知识的考查．11．C【解析】【分析】将函数g(x)的零点问题转化为y=f(x)与y=m的图象的交点问题，借助于函数图象可得到结果．【详解】由于函数g(x)=f(x)−m有3个零点，则方程f(x)−m=0有三个根，故函数y=f(x)与y=m的图象有三个交点．函数f(x)={ln(x+1),x>0−x2−2x+3,x≤0，其图象如图所示，故函数f(x)的极大值为f(−1)=4，极小值为f(0)=3，则实数m的取值范围[3，4），故选：C．【点睛】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，常见的转化思想即方程f(x)−g(x)=0根的个数等价于函数y=f(x)和y=g(x)图象交点的个数，该题中画出函数f(x)的图象是解题的关键，属于中档题．12．A【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及函数的单调性易得f(x)=ln(x+√x2+1)+x3(−1<x<1)为奇函数且为增函数，进而得到关于x的不等式组，解出即可.【详解】∵f(x)=ln(x+√x2+1)+x3(−1<x<1)，定义域关于原点对称，f(−x)=ln(−x−√x2+1)−x3=x+√x2+1x3=−[ln(x+√x2+1)+x3]=−f(x)∴f(x)是奇函数，而x>0时，f(x)递增，故x<0时，f(x)递增，故f(x)在(−1,1)递增，若f(x)>f(3x−1)，则{−1<x<1−1<3x−1<1x>3x−1，解得0<x<12，故选A．【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查转化思想，观察得到y=ln(x+√1+x2)为奇函数是难点，常见与对数相结合的奇函数还有y=ln1+x1−x，在该题中容易遗漏的知识点为函数的定义域即{−1<3x−1<1−1<x<1，是一道中档题．13．[]1,5【解析】试题解析：∵函数在区间[]2,31b b--上的偶函数∴23101b b b-+-=⇒=()()0f x f x a=-⇒=∴()()()()min max01;254f x f f x f a====-即[]1,5考点：本题考查函数性质点评：解决本题的关键是利用函数奇偶性，定义域关于原点对称14．√2【解析】【分析】根据分段函数的解析式f(x)={2−x x<1log4x x>1，分为x<1和x>1两种情形，列出方程，然后求解即可．【详解】函数f(x)={2−x x<1log4x x>1，可得当x<1时，2−x=14，解得x=2舍去．当x>1时，log4x=14，解得x=√2．故答案为√2．【点睛】本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力，属于基础题.15．(−13,32) 【解析】 【分析】 由(m +4)−12<(3−2m)−12，可得m +4>3−2m >0，解出即可得出【详解】∵(m +4)−12<(3−2m)−12， ∴m +4>3−2m >0，解得−13<m <32，故m 的取值范围为−13<m <32．故答案为(−13,32)．【点睛】本题考查了幂函数的单调性，注意函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 16．(0,1) 【解析】 【分析】首先得到函数f (x )=log 2(4x +1)+mx 为增函数，原不等式等价于f (log 3x )<f (0)，结合单调性解出即可.【详解】函数f (x )=log 2(4x +1)+mx ，当m >0时，可知f (x )单调递增函数， 当x =0时，可得f (0)=1，那么不等式f (log 3x )<f (0)的解集， 即{x >0log 3x <0 ，解得0<x <1，故答案为(0,1). 【点睛】本题主要考查的知识点是对数函数的图象和性质，复合函数的单调性判断，将不等式转化为f (log 3x )<f (0)是解题的关键，在解关于对数函数的不等式时务必要保证真数部分大于0，属于基础题．17．(1)a =log 53，b =log 54，a+b 2；(2) 32【解析】 【分析】（1）将指数式化为对数式根据对数的运算性质化简即可；（2）利用幂指数的运算性质，对数的定义即可得到答案．【详解】（1）因为5a =3，5b =4，所以a =log 53，b =log 54， 所以log 2512=12log 53+12log 54=a+b 2.（2）原式=(94)12−1+7log 72=32−1−1+2=32. 【点睛】本题考查有理数指数幂的运算性质，对数的运算性质，考查计算能力，是基础题． 18．（1）见解析（2）a ≤−12或a ≥2 【解析】 【分析】（1）把a =1代入集合A ，求解一元二次不等式化简B ，再由交、并、补集的运算得答案；（2）分为A =∅和A ≠∅两类分析，当A ≠∅时，列关于a 的不等式组求解．【详解】 解：（1）当（2）若，求实数a 的取值范围．①当A=时，有； ②当A 时，有又∵，则有或，解得：或∴或综上可知：或．【点睛】本题考查交集及其运算以及子集的概念，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题.19．(1) 2a =- (2) 253,8a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：(1)奇函数满足()()0f x f x +-=恒成立，据此得到关于实数a 的等式，据此可得2a =-；结合指数函数的性质可知()()222x x f x -=-在(),-∞+∞上是单调递增函数.(2)原问题等价于方程12250x xa +-+⋅-=在区间()0,1上有两个不同的根，换元即方程225a t t =-+在区间()1,2t ∈上有两个不同的根，结合二次函数的性质可得a 的取值范围是253,8⎛⎫⎪⎝⎭. 试题解析：（1）因为()f x 是奇函数， 所以()()12x f x f x -+-+=+ ()12222x x xa a a +-⋅++⋅=+ ()22xx-+ 0=，所以2a =-；()()222x x f x -=-在(),-∞+∞上是单调递增函数.（2）()5y f x =-在区间()0,1上有两个不同的零点，⇔方程12250x xa +-+⋅-=在区间()0,1上有两个不同的根，⇔方程22252x x a =-⋅+⋅在区间()0,1上有两个不同的根， ⇔方程225a t t =-+在区间()1,2t ∈上有两个不同的根，253,8a ⎛⎫⇔∈ ⎪⎝⎭.20．（1）见解析（2）当月产量x=300件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元 【解析】 【分析】（1）求出总成本，由利润=总收益-总成本可得自行车厂的利润y 元与月产量x 的函数式；（2）当0≤x ≤400时，利用配方法求二次函数的最大值25000，当x >400时，由函数的单调性可得y <20000，由此得答案．【详解】解：（1）依题设，总成本为20000+100x ， 则y ={−12x 2+300x −20000,0<x ≤400,且x ∈N60000−100x,x >400且x ∈N；（2）当0≤x≤400时，，则当x=300时，y max =25000；当x ＞400时，y=60000﹣100x 是减函数， 则y ＜60000﹣100×400=20000，∴当月产量x=300件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元． 【点睛】本题考查函数模型的选择及应用，考查简单的数学建模思想方法，训练了分段函数最值的求法，是中档题.21．（1）a=1，b=0；（2）[1,+∞) 【解析】【分析】（Ⅰ）a >0时，f (x )在区间[2,3]上单调递增，可得{g (2)=1g (3)=4，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得g (x )=x +1x −2，原题可化为2x +12x −2−k ⋅2x ≤0，分离参数k ，令ℎ(t )=t 2−2t +1=(t −1)2，t ∈[12,2]，求出ℎ(t )的最大值即可．【详解】解：（Ⅰ）f （x ）=ax 2﹣2ax+1+b=a （x ﹣1）2+1+b ﹣a ． ∵a ＞0，∴f （x ）在区间[2，3]上单调递增， ∴{g (2)=4a −4a +1+b =1g (3)=9a −6a +1+b =4 ，解得a=1，b=0； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=x 2﹣2x+1，∴g （x ）==，不等式g （2x ）﹣k•2x ≤0可化为，即k ．令t=，∵x ∈[﹣1，1]，∴t ∈[，2]，令h （t ）=t 2﹣2t+1=（t ﹣1）2，t ∈[，2]，∴当t=2时，函数取得最大值h（2）=1．∴k≥1．∴实数k的取值范围为[1，+∞）．【点睛】本题考查二次函数在闭区间上最值的求法，考查恒成立问题的求解方法，训练了利用换元法及配方法求最值，是中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为a>ℎ(x)或a<ℎ(x)恒成立，即a>ℎmax(x)或a<ℎmin(x)即可，求出ℎmax(x)或ℎmin(x)即得解.【答案】（1）1（2）见解析（3）43, 32⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（I）由奇函数的定义可得f（﹣x）+f（x）= log a=0，进一步整理得1﹣m2x2=1﹣x2恒成立，比较系数可得m=1或m=﹣1（舍去）；（II）根据函数单调性的定义证明即可；（III）由，得0＜a＜1，根据条件构造不等式f（b﹣2）＞f（2﹣2b），然后利用函数的单调性得到关于b的不等式求解即可。