2016年潍坊市中考数学一模试卷含答案.docx

2016 年潍坊市中考数学一模试卷含答案一、选择题（本大题共12 小题，共 36 分 .）1．的立方根是（）A ． 2 B．± 2 C． 4 D ．±4【分析】先求得的值，然后再求立方根即可．【解答】解：=8， 8 的立方根是2．故选： A ．【点评】本题主要考查的是立方根和算术平方根的定义和性质，求得=8 是解题的关键．2．下列运算正确的是（）036A ． a =1B ．= ± 3 ．C =﹣a【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质以及积的乘方运算法则分别化简求出答案．【解答】解： A 、a 0=1（ a≠0），故此选项错误；B、=3，故此选项错误；C、（ ab）2=a2b2，故此选项错误；2）36，正确．D、（﹣a=﹣a故选： D．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及二次根式的性质以及积的乘方运算等知识，正确把握运算法则是解题关键．3．王英同学从 A 地沿北偏西60°方向走 100m 到 B 地，再从B地向正南方向走200m 到 C 地，此时王英同学离 A 地（）A ．mB ． 100m C． 150m D．m【分析】根据三角函数分别求AD ， BD 的长，从而得到CD 的长．再利用勾股定理求AC 的长即可．【解答】解： AD=ABsin60°=50；BD=ABcos60° =50，∴CD=150 ．∴AC==100 ．故选 D ．【点评】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．4．已知关于x 的一元二次方程（m﹣2）2x2+（ 2m+1）x+1=0 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ． m＞B ． m≥C．m＞且m≠2D．m≥且m≠2【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0．【解答】解：根据题意列出方程组，解之得 m＞且m≠2．故选 C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．5．如图，组合体的俯视图是（）A ．B ．C． D ．【分析】找到从上面面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【解答】解：从上面看是两个同心圆，如图所示：故选 A ．．【点评】本题考查了三视图的知识，注意俯视图是从物体的上面看得到的视图．6．在边长为 2 的小正方形组成的网格中，有如图所示的C ，恰好能使得 △ABC 的面积为 2 的概率为（ ）A ，B 两点，在格点上任意放置点A ．B ．C ．D ．【分析】画出图形找到使得 △ABC 的面积为 2 的所有点 C ，由此即可解决问题．【解答】解：如图所示，∵在格点上任意放置点 C ，∴有关有 16 种可能，其中有 6 个点（见图）恰好能使得 △ABC 的面积为 2，∴恰好能使得 △ABC的面积为2 的概率 == ．故选 B ．【点评】本题考查几何规律问题、三角形面积问题等知识，找到点C 的位置是解题的关键，记住同底等高的三角形面积相等，所有中考常考题型．7．点 P （ a ，b ）是直线 y= ﹣ x ﹣5与双曲线的一个交点，则以 a 、 b 两数为根的一元二次方程是（）A ． x 2﹣ 5x+6=0B ．x 2+5x+6=0C ． x 2﹣ 5x ﹣ 6=0D ．x 2+5x ﹣ 6=0【分析】先把 P （ a ，b ）分别两个解析式整理得到 a+b=﹣5， ab=6，然后根据一元二次方程的根与系数的关系即可得到以 a 、 b 两数为根的一元二次方程．【解答】解：把 P （a ， b ）分别代入 y=﹣x ﹣5和 得 b=﹣a ﹣5， b= ，所以 a+b=﹣5， ab=6，而以 a 、 b 两数为根的一元二次方程为x 2﹣（ a+b ） x+ab=0 ，所以所求的方程为 x 2+5x+6=0 ．故选 B ．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两个函数的解析式．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．8．如图， AB 的中垂线为 CP 交 AB 于点 P ，且 AC=2CP ．甲、乙两人想在 AB 上取 D 、 E 两点，使得 AD=DC=CE=EB ，其作法如下：甲作 ∠ACP 、∠BCP 的角平分线，分别交 AB 于 D 、 E 两点，则 D 、 E 即为所求；乙作 AC 、 BC 的中垂线，分别交 AB 于 D 、 E 两点，则 D 、 E 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列正确的是（）A ．两人都正确B ．两人都错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误，乙正确【分析】求出 ∠A=30°， ∠ACP=60° ，求出 ∠ACD=30°=∠A ，即可推出 AD=CD ，同理 BE=CE ，即可判断甲，根据线段垂直平定县性质得出AD=CD ， BE=CE ，即可判断乙．【解答】解：甲、乙都正确，理由是： ∵CP 是线段 AB 的垂直平分线，∴BC=AC ， ∠APC= ∠BPC=90°，∵AC=2CP ，∴∠A=30°，∴∠ACP=60°，∵CD 平分 ∠ACP ，∴∠ACD=∠ACP=30°，∴∠ACD= ∠A，∴AD=DC ，同理 CE=BE ，即 D 、 E 为所求；∵D 在 AC 的垂直平分线上，∴AD=CD ，同理 CE=BE ，即D 、 E 为所求，故选 A ．【点评】本题考查了含 30 度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．9．某外贸公司要出口一批食品罐头，标准质量为每听454 克，现抽去10 听样品进行检测，它们的质量与标准质量的差值（单位：克）如下：﹣10，+5 ， 0， +5， 0， 0，﹣5， 0， +5，+10 ．则这 10 听罐头质量的平均数及众数为（）A ． 454， 454B ． 455，454 C． 454， 459 D ．455， 0【分析】首先求得﹣10，+5， 0， +5， 0， 0，﹣5， 0， +5，+10 这 10 个数的平均数以及众数，然后分别加上 454 克，即可求解．【解答】解：平均数是：454+（﹣10+5+0+5+0+0﹣5+0+5+10）=454+1=455克，﹣ 10，+5 ， 0， +5， 0， 0，﹣5， 0， +5，+10 的众数是0，因而这10 听罐头的质量的众数是：454+0=454 克．故选 B ．【点评】本题考查了众数与平均数的求法，正确理解定理，理解﹣10，+5 ， 0， +5， 0， 0，﹣5， 0， +5，+10 与这 10 听罐头质量的平均数及众数的关系是关键．10．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=bx+a 的图象不经过（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b 的正负情况，再由一次函数的性质解答．【解答】解：由图象开口向上可知a＞ 0，对称轴 x=﹣＜0，得b＞0．所以一次函数y=bx+a 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选 D ．【点评】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．11．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm ，以点 C 为圆心，以2cm 的长为半径作圆，则⊙ C 与 AB 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C．相交 D ．相切或相交【分析】作CD ⊥AB 于点 D．根据三角函数求CD 的长，与圆的半径比较，作出判断．【解答】解：作CD⊥AB 于点 D ．∵∠B=30°，BC=4cm ，∴CD=BC=2cm ，即CD 等于圆的半径．∵CD ⊥AB ，∴AB 与⊙ C 相切．故选： B．【点评】此题考查直线与圆的位置关系的判定方法．通常根据圆的半径R 与圆心到直线的距离 d 的大小判断：当 R ＞ d 时，直线与圆相交；当R=d 时，直线与圆相切；当 R ＜ d 时，直线与圆相离．12．已知如图，等腰三角形ABC 的直角边长为 a ，正方形 MNPQ 的边为 b （a ＜ b ），C 、 M 、 A 、 N 在同一条直线上，开始时点A 与点 M 重合，让 △ABC 向右移动，最后点C与点 N 重合．设三角形与正方形的重合面积为 y ，点 A 移动的距离为x ，则 y 关于 x 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状．【解答】解：设三角形与正方形的重合面积为y ，点 A 移动的距离为 x ，∴y 关于 x 的函数关系式为： y= x 2，①当 x ＜ a 时，重合部分的面积的y 随 x 的增大而增大，②当 a ＜ x ＜ b 时，重合部分的面积等于直角三角形的面积，且保持不变，③第三部分函数关系式为y=﹣+当 x＞ b 时，重合部分的面积随x 的增大而减小．故选 B ．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，此类题目的图象往往是几个函数的组合体．二、填空题（本大题共 6 小题，共18 分.）13．分解因式：﹣32=﹣x（ x﹣）2．x﹣x+x【分析】原式提取﹣x，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：﹣322﹣ x+） =﹣x（x﹣2，x﹣x+x=﹣x（x）故答案为﹣x（ x﹣）2．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．14．关于x、y的方程组，那么= 10．【分析】设a=， b=，方程组化为关于 a 与b 的方程组，求出方程组的解得到 a 与 b 的值，即为与的值，即可求出所求式子的值．【解答】解：设a=，b=，方程组化为，①×3﹣② ×2得： 5a=65，解得： a=13，将a=13 代入①得： b=3，则﹣=a﹣b=13﹣3=10．故答案为： 10【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了换元的思想，是一道基本题型．15．如图，已知△ABC ，AC=BC ，∠C=90°．O点D 与点 E．点 F 是⊙O 与 AB 的一个交点，连是AB 的中点，⊙ O 与 AC ， BCDF 并延长交 CB 的延长线于点分别相切于G．则∠CDG=67.5 °，若AB=，则BG=2﹣2 ．【分析】连接OD ，由AC为圆O 的切线，根据切线的性质得到OD 与AC垂直，又AC=BC ，且∠C=90°，得到三角形ABC为等腰直角三角形，得到∠A=45°，在直角三角形ABC 中，由 AC 与 BC 的长，根据 AB 的长，又 O 为 AB 的中点，从而得到 AO 等于 BO 都等于AB 的一半，求出 AO 与 BO 的长，再由 OB﹣OF 求出 FB 的长，同时由 OD 和 GC 都与 AC 垂直，得到 OD 与 GC 平行，得到一对内错角相等，再加上对顶角相等，由两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ODF 与三角形GBF 相似，由相似得比例，把OD， OF及FB的长代入即可求出GB的长．【解答】解：连接OD．∵CD 切⊙ O 于点 D，∴∠ODA=90°，∠DOA=45°，∵OD=OF ，∴∠ODF= ∠OFD=∠DOA=22.5°，∴∠CDG= ∠CDO﹣∠ODF=90°﹣ 22.5 ° =67．.5°∵AC 为圆 O 的切线，∴OD ⊥AC ，又 O 为 AB 的中点，∴AO=BO= AB=2，∴圆的半径DO=FO=AOsinA=2×=2，∴BF=OB﹣ OF=2﹣2．∵GC⊥AC ， OD⊥AC ，∴OD ∥CG，∴∠ODF= ∠G，又∠OFD= ∠BFG，∴△ODF ∽△BGF，∴=，即=，∴BG=2﹣2．故答案为： 67.5 °， 2﹣2．【点评】此题考查了切圆的综合知识．在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直” ．圆与相似三角形，及三角函数相融合的解答题、与切线有关的性质与判定有关的证明题是近几年中考的热点，故要求学生把所学知识融汇贯穿，灵活运用．16．若关于x 的不等式组有实数解，则 a 的取值范围是a＜ 4．【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组有实数解即可得到关于 a 的不等式，求出 a 的取值范围即可．【解答】解：，由①得， x＜ 3，由②得， x＞，∵此不等式组有实数解，∴＜ 3，解得 a＜ 4．故答案为： a＜ 4．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，根据不等式组有实数解得出关于 a 的不等式是解答此题的关键．17．如图，正方形ABCD 边长为 4，以 BC 为直径的半圆O 交对角线 BD 于 E．阴影部分面积为（结果保留π）8﹣π ．BCD的面积减去扇形OCE的面积，【分析】根据图形可得，阴影部分的面积等于三角形代入面积公式进行计算即可．【解答】解：∵四边形 ABCD 为正方形，∴BC=CD=4 ，∴OC=2，∴S 阴影 =S△BCD S扇形OCE=× 4× 4=8π．故答案8π．【点】本考了扇形面的算，正方形的性，是基知要熟掌握．18．式子“ 1+2+3+4+5+ ⋯ +100表”示从 1 开始的 100 个自然数的和，由于上述式子比，写也不方便，了便起，我可以将“1+2+3+4+5+⋯+100”表示，里的符号“”是求和的符号，如“1+3+5+7+⋯+99”即从1开始的100以内的奇数的和，可表示．通以上材料的，算：=（填写最后的算果）．【分析】根据意将所求式子化普通加法运算，拆后合并即可得到果．【解答】解：=++⋯+=1++⋯+ =1=．故答案：．【点】此考了分式的加减法，利用了拆的方法，弄清通用是解本的关．三、解答（本大共 6 小，共66 分.解答写出文字明、明程或演算步．）19．下表抄北京奥运会官方票网公布的三种球比的部分票价格，某公司的票种、数量制的条形如．比目票价（元 /）男1000足球800球x依据上列、表，回答下列：（1）其中看男比的票有30；看球比的票占全部票的20 %；（2）公司决定采用随机抽取的方式把门票分配给100 名员工，在看不到门票的条件下，每人抽取一张（假设所有的门票形状、大小、质地等完全相同且充分洗匀），问员工小亮抽到足球门票的概率是；（3）若购买乒乓球门票的总款数占全部门票总款数的，试求每张乒乓球门票的价格．【分析】（ 1）由条形统计图可得购买男篮比赛的门票数为数为 20 张，然后计算观看乒乓球比赛的门票所占的百分比；（2）根据概率的公式求解；30 张，购买乒乓球比赛的门票（3）根据题意列方程 = 【解答】解：（ 1）某公司购买男篮比赛的门票张数为，然后解方程即可．30（张），观看乒乓球比赛的门票所占的百分比 =×100%=20%；（2）员工小亮抽到足球门票的概率==；（3）根据题意得解得 x=500 ．即每张乒乓球门票的价格为500 元．=，【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了概率公式．20．如图，△ABC中，点O 是边AC上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ．设MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF ；（2）若CE=12 ，CF=5 ，求OC的长；（3）当点O 在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．【分析】（ 1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出长；（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．【解答】（ 1）证明：∵MN 交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACBEF 的长，即可得出的外角平分线于点COF，的∴∠2=∠5，∠4=∠6，∵MN ∥BC ，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO ，FO=CO ，∴OE=OF ；（2）解：∵∠2=∠5，∠4= ∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90 °，∵CE=12， CF=5 ，∴EF==13 ，∴OC=EF=6.5 ；（3）解：当点O 在边 AC 上运动到AC证明：当O 为 AC 的中点时， AO=CO ，∵EO=FO ，∴四边形 AECF 是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF 是矩形．中点时，四边形AECF是矩形．【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF=90°是解题关键．21．小明坐于堤边垂钓，如图，河堤是 60°，其长为 3 米，若 AO 与钓鱼线离．AC 的坡角为OB 的夹角为30°， AC 长60°，求浮漂米，钓竿B 与河堤下端AO 的倾斜角C 之间的距【分析】延长OA 交 BC 于点 D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°，解 Rt△ACD ，得出 AD=ACtan ∠ACD=米，CD=2AD=3米，再证明△BOD 是等边三角形，得到BD=OD=OA+AD=4.5米，然后根据BC=BD﹣CD即可求出浮漂 B 与河堤下端 C 之间的距离．【解答】解：延长OA 交 BC 于点 D．∵AO 的倾斜角是60°，∴∠ODB=60°．∵∠ACD=30°，∴∠CAD=180°﹣∠ODB﹣∠ACD=90°．在 Rt△ACD 中， AD=ACtan∴CD=2AD=3 米，又∵∠O=60°，∴△BOD 是等边三角形，∠ACD==（米），∴BD=OD=OA+AD=3+=4.5（米），∴BC=BD﹣ CD=4.5 ﹣ 3=1.5 （米）．答：浮漂 B 与河堤下端 C 之间的距离为 1.5 米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，作出辅助线得到Rt△ACD是解题的关键．22．如图，在△ABC 中，∠ABC= ∠ACB ，以 AC 为直径的⊙ O 分别交 AB 、 BC 于点M 、N ，点 P 在 AB 的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP 是⊙O 的切线；（2）若 BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．【分析】（ 1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN= ∠CAB ，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．【解答】（ 1）证明：∵∠ABC= ∠ACB ，∴AB=AC ，∵AC 为⊙ O 的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+ ∠ACN=90°，2∠BAN=2 ∠CAN= ∠CAB ，∵∠CAB=2 ∠BCP，∴∠BCP= ∠CAN ，∴∠ACP= ∠ACN+ ∠BCP= ∠ACN+ ∠CAN=90°，∵点 D 在⊙O 上，∴直线 CP 是⊙ O 的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC ， ∠ANC=90°，∴CN= CB=，∵∠BCP= ∠CAN ， sin ∠BCP= ， ∴sin ∠CAN= ，∴，∴AC=5 ，∴AB=AC=5 ，设 AF=x ，则 CF=5﹣x ，在 Rt △ABF 中， BF 2=AB22 2，﹣ AF =25 ﹣x22 22在 Rt △CBF 中， BF =BC ﹣ CF =2O ﹣（ 5﹣x ） ，22，∴25﹣x =2O ﹣（ 5﹣x ）∴x=3，2=25 2∴BF ﹣3=16，∴BF=4 ，即点 B 到 AC 的距离为4．【点评】此题是切线的判定，主要考查了切线的判定定理，勾股定理得应用，构造出直角三角形 Rt △ABF 和 Rt △CBF 是解本题的关键．23．某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元 /件）与月销量 x （件）的函数关系式为y= x+150 ，成本为 20 元 /件，无论销售多少，每月还需支出广告费 62500 元，设月利润为 w 内（元）．若只在国外销售，销售价格为150 元 /件，受各种不确定因素影响，成本为 a 元 /件（ a 为常数， 10≤a ≤40），当月销量为 x （件）时，每月还需缴纳 x 2元的附加费，设月利润为w 外（元）．（1）当 x=1000时， y= 140 元 /件， w 内= 57500元；（2）分别求出w 内， w 外与 x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）当 x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求 a 的值．【分析】（1）将x=1000代入函数关系式求得y，并根据等量关系“利润 =销售额﹣成本﹣广告费”求得w 内；（2）根据等量关系“利润 =销售额﹣成本﹣广告费”“利润 =销售额﹣成本﹣附加费”列出两个函数关系式；（3）对 w 内函数的函数关系式求得最大值，再求出w 外的最大值并令二者相等求得 a 值．【解答】解：（1）∵销售价格 y（元 /件）与月销量x（件）的函数关系式为y=x+150 ，∴当 x=1000 时， y= ﹣ 10+150=140， w 内=x （y﹣ 20）﹣ 62500=1000 × 120 ﹣ 62500=57500，故答案为： 140， 57500．（2）根据题意得出：w 内=x （ y﹣ 20）﹣ 62500=x 2+130x ﹣ 62500，w 外=x 2+（ 150 ﹣a） x．（3）当 x==6500 时， w 内最大，∵在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，∴由题意得：解得 a1=30 ， a2=270（不合题意，舍去）．，所以a=30．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，难度适中，根据利润的关系式分别写出 w 内，w 外与 x 间的函数关系式是解题的关键．24．如图，⊙ C 的内接△AOB中， AB=AO=4， tan∠AOB=，抛物线y=ax 2+bx 经过点A （ 4，0）与点（﹣2， 6）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线 m 与⊙ C 相切于点 A ，交 y 轴于点 D ．动点 P 在线段 OB 上，从点 O 出发向点 B 运动；同时动点 Q 在线段 DA 上，从点 D 出发向点 A 运动；点 P 的速度为每秒一个单位长，点（3）点Q 的速度为每秒 R 在抛物线位于2 个单位长，当 PQ ⊥ADx 轴下方部分的图象上，当时，求运动时间 t 的值； △ROB 面积最大时，求点R 的坐标．【分析】（ 1）根据抛物线y=ax 2+bx 经过点 A （4， 0）与点（ ﹣2， 6），利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如答图 1，由已知条件，可以计算出OD 、 AE 等线段的长度．当PQ ⊥AD 时，过点O 作OF ⊥AD于点 F ，此时四边形OFQP 、 OFAE均为矩形．则在Rt △ODF 中，利用勾股定理求出 DF的长度，从而得到时间t 的数值；（ 3）因为 OB 为定值，欲使 △ROB 面积最大，只需 OB 边上的高最大即可．按照这个思路解决本题．如答图 2，当直线积最大．联立直线l 平行于 OB ，且与抛物线相切时， OB 边上的高最大，从而 △ROB 的面 l 和抛物线的解析式，利用一元二次方程判别式等于 0 的结论可以求出R 点的坐标．【解答】解：（ 1） ∵抛物线 y=ax 2+bx 经过点 A （4， 0）与点（ ﹣2， 6），∴，解得∴抛物线的解析式为： y=x 2﹣ 2x ．（ 2）如答图 1，连接 AC 交 OB 于点 E ，由垂径定理得 AC ⊥OB ． ∵AD 为切线，∴AC ⊥AD ，∴AD ∥OB ．过 O 点作 OF ⊥AD 于 F ，∴四边形 OFAE 是矩形，∵tan ∠AOB= ，∴sin ∠AOB= ，∴AE=OAsin ∠AOB=4× =2.4，OD=OAtan ∠OAD=OAtan ∠AOB=4× =3．当 PQ ⊥AD 时， OP=t ，DQ=2t ．在 Rt △ODF 中，∵OD=3 ， OF=AE=2.4 ，DF=DQ ﹣ FQ=DQ ﹣ OP=2t ﹣ t=t ，由勾股定理得： DF= ==1.8，∴t=1.8 秒；（3）如答图 2，设直线 l 平行于 OB ，且与抛物线有唯一交点R （相切），此时 △ROB 中 OB 边上的高最大，所以此时△ROB 面积最大．∵tan ∠AOB= ， ∴直线 OB 的解析式为 y= x ，由直线 l 平行于 OB ，可设直线l 解析式为 y= x+b ．∵点 R 既在直线 l 上，又在抛物线上，∴ x 2﹣ 2x= x+b ，化简得： 2x 2﹣ 11x ﹣ 4b=0．∵直线 l 与抛物线有唯一交点R （相切），∴判别式 △=0，即 112+32b=0 ，解得 b=﹣，此时原方程的解为x=，即 x R =，而 y R = x R 2﹣ 2x R =∴点 R 的坐标为 R （，）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图形与性质、待定系数法求函数解析式、一元二次方程根的判别式、圆、勾股定理和解直角三角形等重要知识点．难点在于第（ 3）问，判定何时△ROB的面积最大是解决问题的关键．本题覆盖知识面广，难度较大，同学们只有做到基础扎实和灵活运用才能够顺利解答．本题第（ 3）问亦可利用二次函数极值的方法解决，同学们有兴趣可深入探讨．。