2015届北京市东城区高三上学期期末考试文科数学试题word版
北京市东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试数学(文)试卷及答案
北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试数学试卷（文科）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共150分。
考试时长120分钟。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题。
（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合{}22|<<-∈=x R x A ，{}034|2≥+-∈=x x R x B ，则=⋂B A （ ）A. ]1,2(-B. ()1,2-C. ()2,2-D. ()),3[2,∞+⋃∞-2. 已知复数i a z 21+=，i z 212-=，若21z z 是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A. 2-B. 1C. 2D. 43. “3π=x ”是“21cos =x ”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为55=s ，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是（ ）A. 11≤kB. 10≤kC. 9≤kD. 8≤k5. 已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个棱锥的侧面积是（ ）A. 24cmB. 212cmC. 2248cm +D. 232244cm ++6. 已知()a x x f x ++=2||2有唯一的零点，则实数a 的值为（ ）A. -3B. -2C. -1D. 07. 如图，直线2-=x y 与圆03422=+-+x y x 及抛物线x y 82=依次交于A 、B 、C 、D 四点，则=+||||CD AB （ ）A. 13B. 14C. 15D. 168. 已知()⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤+-=,0,32,0,3422x x x x x x x f 不等式()()x a f a x f ->+2在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,-∞-B. ()0,∞-C. ()2,0D. ()0,2-第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题。
数学_2015年北京市东城区普通示范校高考数学模拟试卷(文科)(含答案)
2015年北京市东城区普通示范校高考数学模拟试卷（文科）一、选择题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合A＝{x∈R|−3<x<2}，B＝{x∈R|x2−4x+3≥0}，则A∩B＝（）A (−3, 1]B (−3, 1)C [1, 2)D (−∞, 2)∪[3, +∞)2. 已知复数z1＝a+2i，z2＝1−2i，若z1z2是纯虚数，则实数a的值为（）A −2B 1C 2D 43. “α=π3”是“cosα=12”的（）A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4. 如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为s＝55，则在判断框中应填入关于k的判断条件是（）A k≤11B k≤10C k≤9D k≤85. 已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（）A 4cm2B 12cm2C 8+4√2cm2D 4+4√2+2√3cm26. 已知f(x)＝2|x|+x2+a有唯一的零点，则实数a的值为（）A −3B −2C −1D 07. 已知直线y＝x−2与圆x2+y2−4x+3＝0及抛物线y2＝8x的四个交点从上到下依次为A、B、C、D四点，则|AB|+|CD|＝（）A 12B 14C 16D 188. 已知f(x)={x 2−4x+3,x≤0−x2−2x+3,x>0，不等式f(x+a)>f(2a−x)在[a, a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A (−∞, −2)B (−∞, 0)C (0, 2)D (−2, 0)二、填空题．（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 不等式组{x −y +1≥0x +y ≥1x ≤1表示的平面区域的面积为________．10. 设平面向量a →=(1, 2)，b →=(−2, y)，若a →⊥b →，则|2a →−b →|＝________．11. 在等差数列{a n }中，a 1=3，a 4=2，则a 4+a 7+...a 3n+1等于________．12. 直线x −√3y −4=0被圆(x −2)2+y 2=4截得的弦长为________．13. 已知0<x <π，且sin2x =−725，则sin(π4−x)的值为________． 14. 已知数集A ＝{a 1, a 2, a 3, a 4, a 5}(0≤a 1<a 2<a 3<a 4<a 5)具有性质p ：对任意i ，j ∈Z ，其中1≤i ≤j ≤5，均有(a j −a i )∈A ，若a 5＝60，则a 3＝________．三、解答题．（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n −1(n ＝1, 2,…)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n }满足b n+1＝a n +b n (n ＝1, 2,…)，b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．16. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，满足c ＝1，cosBsinC −(a −sinB)cosC ＝0．（1）求C 的大小；（2）求a 2+b 2的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的值．17. 如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 点移到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．(Ⅰ)求证：BC ⊥A 1D ；(Ⅱ)求证：平面A 1CD ⊥平面A 1BC ；(Ⅲ)若AB ＝10，BC ＝6，求三棱锥A 1−BCD 的体积．18. 设a ∈R ，已知函数f(x)＝ax 3−3x 2．(Ⅰ)当a ＝1时，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若对任意的x ∈[1, 3]，有f(x)+f′(x)≤0恒成立，求实数a 的取值范围．19. 已知椭圆W:x 22m+10+y 2m 2−2=1的左焦点为F(m, 0)，过点M(−3, 0)作一条斜率大于0的直线l 与W 交于不同的两点A 、B ，延长BF 交W 于点C ．(Ⅰ)求椭圆W 的离心率；(Ⅱ)求证：点A 与点C 关于x 轴对称．20. 已知定义在(1, +∞)上的函数f(x)＝x −lnx −2，g(x)＝xlnx +x ．（1）求证：f(x)存在唯一的零点，且零点属于(3, 4)；（2）若k∈Z，且g(x)>k(x−1)对任意的x>1恒成立，求k的最大值．2015年北京市东城区普通示范校高考数学模拟试卷（文科）答案1. A2. D3. B4. B5. D6. C7. B8. A9. 110. 511. n(5−n)212. 2√313. −4514. 3015.(I)因为S n＝2a n−1(n＝1, 2,…)，则S n−1＝2a n−1−1(n＝2, 3,…)，所以当n≥2时，a n＝S n−S n−1＝2a n−2a n−1，整理得a n＝2a n−1，由S n＝2a n−1，令n＝1，得a1＝2a1−1，解得a1＝1．所以{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，可得a n=2n−1(II)因为a n=2n−1，由b n+1＝a n+b n(n＝1, 2,…)，得b n+1−b n=2n−1，由累加得b n＝b1+(b2−b1)+(b3−b2)+...+(b n−b n−1)=2+1−2n−11−2=2n−1+1,(n≥2)，当n＝1时也满足，所以b n=2n−1+1．16. cosBsinC−(a−sinB)cosC＝0，即有sinBcosC+cosBsinC＝acosC，即sin(B+C)＝acosC，即sinA＝acosC．由正弦定理可知：asinA =csinC=1cosC，由于c＝1，则sinC＝cosC，即tanC＝1，C是三角形内角，∴ C=π4．由余弦定理可知：c2＝a2+b2−2abcosC，得1＝a2+b2−√2ab，又ab≤a 2+b22，∴ (1−√22)(a2+b2)≤1，即a2+b2≤2+√2．当且仅当a＝b即A＝B=3π8时，a2+b2取到最大值为2+√2．17.(I)证明：因为A1在平面BCD上的射影O在CD上，所以A1O⊥平面BCD．又BC⊂平面BCD，所以BC⊥A1O．又BC⊥CO，CO∩A1O＝O，CO⊂平面A1CD，A1O⊂平面A1CD，所以BC⊥平面A1CD．又A1D⊂平面A1CD，所以BC⊥A1D．(II)证明：因为矩形ABCD，所以A1D⊥A1B．由(I)知BC⊥A1D．又BC∩A1B＝B，BC⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC．又A1D⊂平面A1CD，所以平面A1BC⊥平面A1CD．(III)因为A1D⊥平面A1BC，所以A1D⊥A1C．因为CD＝10，A1D＝6，所以A1C＝8．所以V A1−BCD =V D−A1BC=13×12×6×8×6=48．18.(I)当a＝1时，f(x)＝x3−3x2，则f′(x)＝3x2−6x，由f′(x)>0，得x<0，或x>2，由f′(x)<0，得0<x<2，所以f(x)的单调递增区间为(−∞, 0)，(2, +∞)，单调递减区间为(0, 2)．(II)依题意，对∀x∈[1, 3]，ax3−3x2+3ax2−6x≤0，这等价于，不等式a≤3x 2+6xx3+3x2=3x+6x2+3x对x∈[1, 3]恒成立．令ℎ(x)=3x+6x2+3x(x∈[1,3])，则ℎ(x)=3(x 2+4x+6)(x2+3x)2=−3[(x+2)2+2](x2+3x)2<0，所以ℎ(x)在区间[1, 3]上是减函数，所以ℎ(x)的最小值为ℎ(3)=56．所以a ≤56，即实数a 的取值范围为(−∞,56]． 19.(I)由题意(2m +10)−(m 2−2)＝m 2(m <0)，解得m ＝−2．所以椭圆W:x 26+y 22=1． 离心率e =ca =2√6=√63．(II)设直线l 的方程为y ＝k(x +3)．联立{y =k(x +3)x 26+y 22=1得(1+3k 2)x 2+18k 2x +27k 2−6＝0．由直线l 与椭圆W 交于A 、B 两点，可知△＝(18k 2)2−4(1+3k 2)(27k 2−6)>0，解得k 2<23．设点A ，B 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−18k 21+3k 2，x 1x 2=27k 2−61+3k 2，y 1＝k(x 1+3)，y 2＝k(x 2+3)． 因为F(−2, 0)，设点A 关于x 轴的对称点为C′，则C′(x 1, −y 1)， 所以FC ′→=(x 1+2,−y 1)，FB →=(x 2+2,y 2)．又因为(x 1+2)y 2−(x 2+2)(−y 1)＝(x 1+2)k(x 2+3)+(x 2+2)k(x 1+3)＝k[2x 1x 2+5(x 1+x 2)+12]=k[54k 2−121+3k 2+−90k 21+3k 2+12]=k(54k 2−12−90k 2+12+36k 2)1+3k 2=0，所以B ，F ，C′共线，从而C 与C′重合，故点A 与点C 关于x 轴对称．20. 证明：令f(x)＝0，得：x −2＝lnx ，画出函数y ＝x −2，y ＝lnx 的图象，如图示：∴ f(x)存在唯一的零点，又f(3)＝1−ln3<0，f(4)＝2−ln4＝2(1−ln2)>0，∴ 零点属于(3, 4)；由g(x)>k(x −1)对任意的x >1恒成立，得：k <xlnx+xx−1，(x >1)，令ℎ(x)=xlnx+xx−1，(x >1)，则ℎ′(x)=x−lnx−2(x−1)2=f(x)(x−1)2，设f(x0)＝0，则由（1）得：3<x0<4，∴ ℎ(x)在(1, x0)递减，在(x0, +∞)递增，而3<ℎ(3)=31n3+32<4，83<ℎ(4)=41n4+43<4，∴ ℎ(x0)<4，∴ k的最大值是3．。
北京市东城区2015届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{0,1}A =，2{|4}B x x =≤ ，则AB =（A ）{0,1} （B ） {0,1,2} （C ）{|02}x x ≤< （D ）{|02}x x ≤≤ （2）在复平面内，复数i1+i对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）设a ∈R ，则“2a a >”是“1>a ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若493=+a a ，则11S 等于（A ）12 （B ）18 （C ）22 （D ）44 （5）当4n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）6 （B ）8 （C ）14 （D ）30（6）已知函数13log,0,()2,0,xx xf xx>⎧⎪=⎨⎪≤⎩若1()2f a>，则实数a的取值范围是（A）(1,0)(3,)-+∞（B）(1-（C）3(1,0)(,)3-+∞（D）(1,)3-（7）在空间直角坐标系O xyz-中，一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2)，(2,2,0)，(0,2,0)，(2,2,2)．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（A）（B）（C）（D）（8）已知圆22:2C x y+=，直线:240l x y+-=，点00(,)P x y在直线l上．若存在圆C 上的点Q，使得45OPQ∠=（O为坐标原点），则x的取值范围是（A）[0,1]（B）8[0,]5（C）1[,1]2-（D）18[,]25-第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2015-2016年北京市东城区高三(上)期末数学试卷和答案(理科)
2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，那么集合（∁U A）∩B=（）A．{2}B．{4}C．{1，3}D．{2，4}2．（5分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm33．（5分）设i为虚数单位，如果复数z满足（1﹣2i）z=5i，那么z的虚部为（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i4．（5分）已知m∈（0，1），令a=log m2，b=m2，c=2m，那么a，b，c之间的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b5．（5分）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知函数f（x）=，如果关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C． D．[ln2，+∞）7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，如果|BF|=3，|BF|＞|AF|，，那么|AF|的值为（）A．1 B．C．3 D．68．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈（0，1），给出以下四个命题：①四边形MENF为平行四边形；②若四边形MENF面积s=f（x），x∈（0，1），则f（x）有最小值；③若四棱锥A﹣MENF的体积V=p（x），x∈（0，1），则p（x）为常函数；④若多面体ABCD﹣MENF的体积V=h（x），x∈（，1），则h（x）为单调函数；其中假命题为（）A．①B．②C．③D．④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在△ABC中，a、b分别为角A、B的对边，如果B=30°，C=105°，a=4，那么b=．10．（5分）在平面向量，中，已知=（1，3），=（2，y）．如果•=5，那么y=；如果|+|=|﹣|，那么y=．11．（5分）已知x，y满足满足约束条件，那么z=x2+y2的最大值为．12．（5分）如果函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2．那么a=；f（﹣t）=．13．（5分）如果平面直角坐标系中的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为．14．（5分）数列{a n}满足：a n﹣1+a n+1＞2a n（n＞1，n∈N*），给出下述命题：①若数列{a n}满足：a2＞a1，则a n＞a n（n＞1，n∈N*）成立；﹣1②存在常数c，使得a n＞c（n∈N*）成立；③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N*），则a p+a q＞a m+a n；④存在常数d，使得a n＞a1+（n﹣1）d（n∈N*）都成立．上述命题正确的．（写出所有正确结论的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）设q（q＞0，q≠1）是一个公比为q（q＞0，q≠1）等比数列，4a1，3a2，2a3成等差数列，且它的前4项和s4=15．（Ⅰ）求数列b n=，（n=1，2，3…）的通项公式；（Ⅱ）令b n=a n+2n，（n=1，2，3…），求数列{b n}的前n项和．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若α为第四象限角，且，求的值．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP，E为棱PD的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥CD；（Ⅱ）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为AB中点，棱PC上是否存在一点M，使得FM⊥AC，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．18．（13分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦点是F1、F2，且|F1F2|=2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|•|F2B|的取值范围．19．（14分）已知函数f（x）=﹣a（x﹣lnx）．（Ⅰ）当a=1时，试求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤0时，试求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有极值，试求a的取值范围．20．（13分）已知曲线C n的方程为：|x|n+|y|n=1（n∈N*）．（Ⅰ）分别求出n=1，n=2时，曲线C n所围成的图形的面积；（Ⅱ）若S n（n∈N*）表示曲线C n所围成的图形的面积，求证：S n（n∈N*）关于n是递增的；（Ⅲ）若方程x n+y n=z n（n＞2，n∈N），xyz≠0，没有正整数解，求证：曲线C n （n＞2，n∈N*）上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，那么集合（∁U A）∩B=（）A．{2}B．{4}C．{1，3}D．{2，4}【解答】解：集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，∴∁U A={2}，∴（∁U A）∩B={2}．故选：A．2．（5分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm3【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的底面为直角三角形，两个侧面和底面两两垂直，∴V=××3×1×3=．故选：A．3．（5分）设i为虚数单位，如果复数z满足（1﹣2i）z=5i，那么z的虚部为（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i【解答】解：由（1﹣2i）z=5i，得．∴z的虚部为1．故选：B．4．（5分）已知m∈（0，1），令a=log m2，b=m2，c=2m，那么a，b，c之间的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b【解答】解：∵m∈（0，1），则a=log m2＜0，b=m2∈（0，1），c=2m＞1，那么a，b，c之间的大小关系为a＜b＜c．故选：C．5．（5分）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：直线l的倾斜角为α，斜率为k，当＞，∴k=tanα＞；当时，k=tanα＜0．∵“”是“”的必要而不充分条件，故选：B．6．（5分）已知函数f（x）=，如果关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C． D．[ln2，+∞）【解答】解：作函数f（x）=与y=k的图象如下，，∵ln2，∴结合图象可知，k≥；故选：B．7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，如果|BF|=3，|BF|＞|AF|，，那么|AF|的值为（）A．1 B．C．3 D．6【解答】解：如图，作BN⊥准线l，AM⊥l，AC⊥BN，∴|BF|=|BN|，|AF|=|AM|，∵，∴cos∠BCF==，∵|BF|=3，∴|AF|=1，故选：A．8．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈（0，1），给出以下四个命题：①四边形MENF为平行四边形；②若四边形MENF面积s=f（x），x∈（0，1），则f（x）有最小值；③若四棱锥A﹣MENF的体积V=p（x），x∈（0，1），则p（x）为常函数；④若多面体ABCD﹣MENF的体积V=h（x），x∈（，1），则h（x）为单调函数；其中假命题为（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：①∵平面ADD′A′∥平面BCC′B′，∴EN∥MF，同理：FN∥EM，∴四边形EMFN为平行四边形，故正确；②MENF的面积s=f（x）=（EF×MN），当M为BB′的中点时，即x=时，MN最短，此时面积最小．故正确；③连结AF，AM，AN，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以AEF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形AEF的面积是个常数．M，N到平面AEF的距离和是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V为常数函数，故正确．④多面体ABCD﹣MENF的体积V=h（x）=V ABCD=为常数函数，故错误；﹣A′B′C′D′故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在△ABC中，a、b分别为角A、B的对边，如果B=30°，C=105°，a=4，那么b=．【解答】解：在△ABC中，∵B=30°，C=105°，∴A=45°．由正弦定理可得：，∴b====，故答案为：2．10．（5分）在平面向量，中，已知=（1，3），=（2，y）．如果•=5，那么y=1；如果|+|=|﹣|，那么y=﹣．【解答】解：∵•=5，∴1×2+3y=5，解得y=1．∵|+|=|﹣|，∴⊥，∴1×2+3y=0，解得y=﹣．故答案为．11．（5分）已知x，y满足满足约束条件，那么z=x2+y2的最大值为58．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组，解得：A（3，7）；联立方程组，解得：B（6，4）．|OA|=，|OB|=．坐标原点O到直线x+y=10的距离d=．∴z=x2+y2的最大值为58．故答案为：58．12．（5分）如果函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2．那么a= 1；f（﹣t）=0．【解答】解：∵函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2，∴，解得a=1，t2sint=1，∴f（﹣t）=t2sin（﹣t）+a=﹣t2sint+1=﹣1+1=0．故答案为：1，0．13．（5分）如果平面直角坐标系中的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为x﹣y+1=0．【解答】解：∵k AB==﹣1，线段AB的中点为，两点A（a ﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，∴k L=1，其准线方程为：y﹣=x﹣，化为：x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．14．（5分）数列{a n}满足：a n﹣1+a n+1＞2a n（n＞1，n∈N*），给出下述命题：①若数列{a n}满足：a2＞a1，则a n＞a n﹣1（n＞1，n∈N*）成立；②存在常数c，使得a n＞c（n∈N*）成立；③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N*），则a p+a q＞a m+a n；④存在常数d，使得a n＞a1+（n﹣1）d（n∈N*）都成立．上述命题正确的①④．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：由a n﹣1+a n+1＞2a n（n＞1，n∈N*），得a n+1﹣a n＞a n﹣a n﹣1（n＞1，n∈N*）或a n﹣1﹣a n＞a n﹣a n+1（n＞1，n∈N*）．即数列函数{a n}为增函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐增大，或数列函数{a n}为减函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐增大．对于①，若a2＞a1，则数列函数{a n}为增函数，∴a n＞a n﹣1（n＞1，n∈N*）成立，正确；对于②，若数列函数{a n}为减函数，则命题错误；对于③，若数列函数{a n}为减函数，则命题错误；对于④，∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＞（n﹣1）（a2﹣a1）+a1；取d=a2﹣a1，即可说明命题正确．故答案为：①④．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）设q（q＞0，q≠1）是一个公比为q（q＞0，q≠1）等比数列，4a1，3a2，2a3成等差数列，且它的前4项和s4=15．（Ⅰ）求数列b n=，（n=1，2，3…）的通项公式；（Ⅱ）令b n=a n+2n，（n=1，2，3…），求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵q（q＞0，q≠1）是一个公比为q（q＞0，q≠1）的等比数列，∴．∵4a1，3a2，2a3成等差数列，∴6a2=4a1+2a3，即q2﹣3q+2=0．解得q=2，q=1（舍）．又它的前4和S4=15，得，解得a1=1．∴．（Ⅱ）∵b n=a n+2n=2n﹣1+2n，∴数列{b n}的前n项和=+=2n﹣1+n（n+1）．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若α为第四象限角，且，求的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知=．∴最小正周期；由，得．故函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）∵α为第四象限角，且，∴．∴==．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP，E为棱PD的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥CD；（Ⅱ）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为AB中点，棱PC上是否存在一点M，使得FM⊥AC，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．因为AD⊥CD，AD∩AP=A，所以CD⊥面PAD．由于AE⊂面PAD，所以有CD⊥AE．…（4分）（Ⅱ）解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设AB=AP=2，可得B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．由E为棱PD的中点，得E（0，1，1）．=（0，1，1）向量，．设为平面PBD的法向量，则=0，即∫﹣2x+2y=0．不妨令y=1，可得=（1，1，1）为平面PBD的一个法向量．设直线AE与平面PBD所成角为θ，则sinθ===，所以，直线AE与平面PBD所成角的正弦值为．…（11分）（Ⅲ）解：向量，，．由点M在棱PC上，设．故．由FM⊥AC，得=0，因此，（1﹣2λ）×2+（2﹣2λ）×2=0，解得．所以．…（13分）18．（13分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦点是F1、F2，且|F1F2|=2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|•|F2B|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的标准方程为，由题意知解得．所以椭圆的标准方程为．…（5分）（Ⅱ）因为F2（1，0），当直线的斜率不存在时，，，则，不符合题意．当直线y=k（x﹣1）的斜率存在时，直线y=k（x﹣1）的方程可设为y=k（x﹣1）．由消（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0（*）．设，，则、是方程（*）的两个根，所以，．所以，所以所以==当k2=0时，|AF2|•|F2B|取最大值为3，所以|AF2|•|F2B|的取值范围．又当k不存在，即AB⊥x轴时，|AF2|•|F2B|取值为．所以|AF2|•|F2B|的取值范围．…（13分）19．（14分）已知函数f（x）=﹣a（x﹣lnx）．（Ⅰ）当a=1时，试求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤0时，试求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有极值，试求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，，f′（1）=0，f（1）=e﹣1．∴方程为y=e﹣1．（Ⅱ）==．当a≤0时，对于∀x∈（0，+∞），e x﹣ax＞0恒成立，令f′（x）＞0⇒x＞1，令f′（x）＜0⇒0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有极值，则f′（x）==0在（0，1）内有解，∴e x﹣ax=0在（0，1）内有解，即y=e x和y=ax在（0，1）上有交点，如图示：，x=1时，y=e x=e，故a＞e．20．（13分）已知曲线C n的方程为：|x|n+|y|n=1（n∈N*）．（Ⅰ）分别求出n=1，n=2时，曲线C n所围成的图形的面积；（Ⅱ）若S n（n∈N*）表示曲线C n所围成的图形的面积，求证：S n（n∈N*）关于n是递增的；（Ⅲ）若方程x n+y n=z n（n＞2，n∈N），xyz≠0，没有正整数解，求证：曲线C n （n＞2，n∈N*）上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．【解答】（Ⅰ）解：当n=1，2时，曲线C1、C2的方程分别为|x|+|y|=1和x2+y2=1，其图象分别如图：由图可知，S 2=π；（Ⅱ）证明：要证是关于n递增的，只需证明：．由于曲线C n具有对称性，只需证明曲线C n在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增．，现在考虑曲线C n与C n+1∵|x|n+|y|n=1（n∈N*）…①，∵|x|n+1+|y|n+1=1（n∈N*）…②，在①和②中令x=x0，x0∈（0，1），当x0∈（0，1），存在y1，y2∈（0，1）使得，成立，此时必有y2＞y1．∵当x0∈（0，1）时，∴．两边同时开n次方有，．（指数函数单调性）这就得到了y2＞y1，从而是关于n递增的；（Ⅲ）证明：由于x n+y n=z n（n＞2，n∈N）可等价转化为，反证：若曲线上存在一点对应的坐标（x，y），x，y全是有理数，不妨设，p，q，s，t∈N*，且p，q互质，s，t互质．则由|x|n+|y|n=1可得，．即|qs|n+|pt|n=|ps|n．这时qs，pt，ps就是x n+y n=z n（n＞2，n∈N*）的一组解，这与方程x n+y n=z n（n＞2，n∈N*），xyz≠0，没有正整数解矛盾，∴曲线上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．。
数学_2015年北京市东城区高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2015年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知全集U =R ，集合A ={0, 1, 2}，B ={2, 3, 4}，如图阴影部分所表示的集合为（ ）A {2}B {0, 1}C {3, 4}D {0, 1, 2, 3, 4}2. 若复数(m 2−m)+mi 为纯虚数，则实数m 的值为（ ）A −1B 0C 1D 23. 已知圆的方程为x 2+y 2−2x −6y +1=0，那么圆心坐标为（ ）A (−1, −3)B (1, −3)C (1, 3)D (−1, 3)4. 设点P(x, y)，则“x =1且y =−2”是“点P 在直线l:x −y −3=0上”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件5. 设a =log 0.80.9，b =log 1.10.9，c =1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是C( )A a <b <cB a <c <bC b <a <cD c <a <b6. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于（ ）A 3B 4C 5D 67. 若实数x ，y 满足不等式组{x +3y −3≤0x −y +1≥0y ≥−1，则z =2|x|+y 的最大值为（ ）A 13B 11C 3D 18. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是边AA 1，CC 1的中点，点M 是BB 1上的动点，过点E ，M ，F 的平面与棱DD 1交于点N ，设BM =x ，平行四边形EMFN 的面积为S ，设y =S 2，则y 关于x 的函数y =f(x)的解析式为（ ）A f(x)=2x 2−2x +32，x ∈[0, 1]B f(x)={32−x ，x ∈[0,12)x +12,x ∈[12,1].C f(x)={−2x 2+32，x ∈[0,12]−2(x −1)2+32，x ∈(12,1].D f(x)=−2x 2+2x +32，x ∈[0, 1]二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知抛物线y 2=2x 上一点P(m, 2)，则m =________，点P 到抛物线的焦点F 的距离为________．10. 在△ABC 中，已知a =2，b =3，那么sinA sin(A+C)=________． 11. 函数y =2x +2x(x <0)的最大值为________． 12. 若非零向量a →，b →满足|a →+b →|=|a →−b →|=2|a →|，则向量b →与a →+b →的夹角为________．13. 已知函数f(x)=cosx （x ∈(0, 2π)）有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f(x)=m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为________． 14. 如图，△ABC 是边长为1的正三角形，以A 为圆心，AC 为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA 延长线于A 1，记弧CA 1的长为l 1；以B 为圆心，BA 1为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB 延长线于A 2，记弧A 1A 2的长为l 2；以C 为圆心，CA 2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC 延长线于A 3，记弧A 2A 3的长为l 3，则l 1+l 2+l 3=________．如此继续以A 为圆心，AA 3为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA 1延长线于A 4，记弧A 3A 4的长为l 4，…，当弧长l n =8π时，n =________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15∘，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？16. 已知函数f(x)=cos(2x +π3)+cos(2x +23π)，g(x)=cos2x ． （1）若α∈(π4，π2)，且f(α)=−35√3，求g(α)的值；（2）若x ∈[−π6，π3]，求f(x)+g(x)的最大值．17. 如图，在四棱锥P =ABCD 中，E 为AD 上一点，面PAD ⊥面ABCD ，四边形BCDE 为矩形∠PAD =60∘，PB =2√3，PA =ED =2AE =2．（1）已知PF →=λPC →(λ∈R)，且PA // 面BEF ，求λ的值；（2）求证：CB ⊥平面PEB ．18. 已知等比数列{a n }的前4项和S 4=5，且4a 1，32a 2，a 2成等差数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为2，公差为−a 1的等差数列，其前n 项和为T n ，求满足T n−1>0的最大正整数n ．19. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的左、右顶点分别为A ，B ，F 1为左焦点，且|AF 1|=2，又椭圆C 过点(0,2√3)．（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆x 2+y 2=16上（点A ，B 除外），设直线PB ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1=34k 2，证明：A ，P ，Q 三点共线．20. 已知函数f(x)=x 3+52x 2+ax +b ，g(x)=x 3+72x 2+lnx +b ，（a ，b 为常数）． （1）若g(x)在x =1处的切线过点(0, −5)，求b 的值；（2）设函数f(x)的导函数为f ′(x)，若关于x 的方程f(x)−x =xf′(x)有唯一解，求实数b 的取值范围；（3）令F(x)=f(x)−g(x)，若函数F(x)存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a 的取值范围．2015年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）答案1. B2. C3. C4. A5. C6. D7. B8. A9. 2,5210. 2311. −412. 30∘13. −√3214. 4π,1215. 解：如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积π⋅R2，阴影部分的面积为4×15πR 2360=πR26，则在甲商场中奖的概率为：P1=πR26πR2=16；如果顾客去乙商场，记3个白球为a1，a2，a3，3个红球为b1，b2，b3，记(x, y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a1, a2)，(a1, a3)，(a1, b1)，(a1, b2)，(a1, b3)(a2, a3)，(a2, b1)，(a2, b2)，(a2, b3)，(a3, b1)，(a3, b2)，(a3, b3)，(b1, b2)，(b1, b3)，(b2, b3)，共15种，摸到的是2个红球有(b1, b2)，(b1, b3)，(b2, b3)，共3种，则在乙商场中奖的概率为：P2=315=15，又P1<P2，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大．16. 解：（1）由f(x)=cos(2x+π3)+cos(2x+23π)得f(x)=12cos2x−√32sin2x−12cos2x−√32sin2x=−√3sin2x．因为f(α)=−35√3，即−√3sin2α=−35√3，所以sin2α=35．又因为α∈(π4，π2)，所以2α∈(π2，π)．故cos2α=−45，即g(α)=−45．（2）f(x)+g(x)=−√3sin2x+cos2x=2cos(2x+π3)．因为x∈[−π6，π3]，所以2x+π3∈[0,π]．所以当2x+π3=0，即x =−π6时，f(x)+g(x)有最大值，最大值为2． 17.（1）解：连接AC 交BE 于点M ，连接FM ． ∵ PA // 面BEF ，∴ FM // AP …∵ EM // CD ，∴ AM MC =AE ED =12 ∵ FM // AP ，∴ PFFC =AMMC =12 ∴ λ=13 …（2）证明：∵ AP =2，AE =1，∠PAD =60∘，∴ PE =√3， ∴ PE ⊥AD…又面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD ∩面ABCD =AD ， ∴ PE ⊥面ABCD ，∴ PE ⊥CB ，又BE ⊥CB ，且PE ∩BE =E ，∴ CB ⊥平面PEB ． …18. 解：(1)根据题意，设{a n }的公比为q ，∵ 4a 1，32a 2，a 2成等差数列，∴ 4a 1+a 2=3a 2．整理得2a 1=a 2，即2a 1=a 1q ，解得q =2．又S 4=a 1(1−24)1−2=5， 解得a 1=13．∴ a n =13×2n−1．(2)由(1)得−a 1=−13，∴ b n =2+(n −1)(−13)=7−n 3．T n =2+7−n32×n =(13−n)n6，又∵ T n−1>0，∴ [13−(n−1)](n−1)6>0，整理得(n −1)(n −14)<0，解得1<n <14．故满足T n−1>0的最大正整数为13．19. 解：（1）由已知可得a −c =2，b =2√3，又b 2=a 2−c 2=12， 解得a =4．故所求椭圆C 的方程为x 216+y 212=1．（2）由（1）知A(−4, 0)，B(4, 0)．设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)， ∴ k PA ⋅k 1=y 1x1+4⋅y 1x 1−4=y 12x 12−16． ∵ P(x 1, y 1)在椭圆C 上， ∴ x 1216+y 1212=1，即y 12=12−34x 12． ∴ k PA ⋅k 1=12−34x 12x 12−16=−34． 又∵ k 1=34k 2，∴ k PA k 2=−1．①由已知点Q(x 2, y 2)在圆x 2+y 2=16上，AB 为圆的直径， ∴ QA ⊥QB ．∴ k QA ⋅k 2=−1．②由①②可得k PA =k QA ．∵ 直线PA ，QA 有共同点A ，∴ A ，P ，Q 三点共线．20. 解：（1）设g(x)在x =1处的切线方程为y =kx −5， 因为g′(x)=3x 2+7x +1x ，g′(1)=11， 所以k =11，故切线方程为y =11x −5．当x =1时，y =6，将(1, 6)代入g(x)=x 3+72x 2+lnx +b ， 得b =32． …（2）f ′(x)=3x 2+5x +a ，由题意得方程x 3+52x 2+ax +b =3x 3+5x 2+ax +x 有唯一解， 即方程2x 3+52x 2+x =b 有唯一解． 令ℎ(x)=2x 3+52x 2+x ，则ℎ′(x)=6x 2+5x +1=(2x +1)(3x +1)， 所以ℎ(x)在区间(−∞,−12)，(−13,+∞)上是增函数，在区间(−12，−13)上是减函数． 又ℎ(−12)=−18，ℎ(−13)=−754，故实数b的取值范围是(−∞,−754)∪(−18,+∞)．…（3）F(x)=ax−x2−lnx，所以F′(x)=−2x 2−ax+1x．因为F(x)存在极值，所以F′(x)=−2x 2−ax+1x=0在(0, +∞)上有根，即方程2x2−ax+1=0在(0, +∞)上有根，则有△=a2−8≥0．显然当△=0时，F(x)无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正根．记方程2x2−ax+1=0的两根为x1，x2，则{x1x2=12>0x1+x2=a2F(x1)+F(x2)=a(x1+x2)−(x12+x22)−(lnx1+lnx2)=a22−a24+1−ln12>5−ln12，解得a2>16，满足△>0．又x1+x2=a2>0，即a>0，故所求a的取值范围是(4, +∞)．…。
北京市东城区2015届高三二模考试数学文试卷 Word版含答案
北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二） 高三数学（文科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分） 一、选择题（共8小题每小题5分共分在每小题出的四个选项中题目要求的（1）已知全集，集合，，如图阴影部分所表示的集合为 （B） （C）（D） （2）若复数为纯虚数，则实数的值为 （A）（B） （C）（D） （3）已知圆的方程为那么圆心坐标为A）（B）（C）（D） （4）设点,则“且”是“点在直线上”的A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 （5）设，，,则，，的大小关系是C （A）（B） （C）（D） （6）若一个底面是正三角形的三棱柱的如图所示，则其侧面积等于A）（B） （C）（D） （7），满足不等式组则的最大值为 （A）（B） （C）（D） （8）已知正方体的棱长为,，分别是边，的中点,点是上的动点,过点，，的平面与棱交于点,设,平行四边形的面积为,设,则关于的函数的解析式为 （A）， （B） （C） （D），第二部分（非选择题9）已知抛物线上一点，则，点到抛物线的焦点 （10）在△中，已知，那么 . （11）的最大值为2）若非零向量满足，则向量与的夹角为3），的两个的零点为，，且方程有两个不同的实根，．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数． （14）如图,△是边长为的正三角形,以为圆心,为半径，沿逆时针方向画圆弧，交延长线于的长为为圆心，为半径，沿逆时针方向画圆弧，交延长线于的长为为圆心，为半径，沿逆时针方向画圆弧，交延长线于记弧的长为 . 如此继续以为圆心，为半径，沿逆时针方向画圆弧，交延长线于记弧的长为，当弧长时， . 三、解答题共6小题，共80分。
(优辅资源)北京市东城区高三上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
东城区高三年级第一学期期末练习数学（文科） 2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1A. B. C.（2）下列函数中为偶函数的是A. B.C. D.3），则A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,（4A.8B.19C. 42D.89（5）已知向量若(2a-bA. C. D.（6A. B.（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为B. C. D.（8）再一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和。
丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为A. 甲、丁、乙、丙B. 丁、甲、乙、丙C.丁、乙、丙、甲D. 乙、甲、丁、丙第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9（10的渐近线方程为 .（11的最大值是 .（12的面积为 .（13）的值域为；的取值范围为 .（14）.的坐标为 . 三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）.（16）（本小题13分）.（17）（本小题14分）“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就.自2012年以来，北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收入快速增长，人民生活品质不断提升.下图是北京市2012-2016年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收入实际增速为7.3%，农村居民收入实际增速为8.2%）.（Ⅰ）从2012-2016五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于7%的概率；（Ⅱ）从2012-2016五年中任选一年，求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大？（结论不要求证明）（18）（本小题13分）.（19）（本小题14分）.求证：的充分必要条件. （20）（本小题13分）..东城区2017-2018学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）C（5）A （6）D （7）B （8）A二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9（10（11（12（13（14三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）……………6分………13分（16）（共13分）解： (6)……13分（17）（共13分）解：这三年城镇居民收入实际增速大于，所以……5分其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超………10分.………13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）………5分………9分………14分（19）（共14分）解：………4分………9分...………14分（20）（共13分）解：………4分①②1. ………13分。
北京市东城区2015届高三上学期期末考试数学(理)试卷 Word版含答案
东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测 高三数学（理科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题每小题5分共分在每小题出的四个选项中题目要求的，，则 （A）（B） （C）（D） （2）在复平面内，复数对应的点位于 （A）第一象限（B）第二象限 （C）第三象限（D）第四象限 ，则“”是“”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）等差数列的前项和，，则 （A）（B） （C）（D） （5）时，如图所示的程序框图， 输出的为 （B） （C） （D） （6）已知若，则的取值是（B） （C）（D） （7）在空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标为分别为，，．画该四面体三视图中的正视图时，以投影，则得到正视图可以 （A）（B）（C）（D） （8）已知圆直线点直线存在上的点使（为坐标原点，则的取值范围是 A）（B）（C）（D） 第二部分（非选择题的焦点到其准线的距离为，则该抛物线的方程为 ． （10）满足则的最大值为1）在△中，，，则的面积为 12）已知向量，不共线，）∥（）_______． （13）已知函数是上的奇函数为偶函数．若， 则．14）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形, ，，分别为线段上的点．，则三棱锥 . 三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分） 已知函数部分图象如图所示． （Ⅰ）求的最小正周期及解析式； （Ⅱ）将函数图象平移单位长度得到函数图象，在区间上的最大值和最小值． （16）（本小题共13分） 已知数列是等数列，，数列是公比为等比数列且 （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和． （17）14分） 如图平面，，，为的中点证：； （Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段存在点使得并求 （18）（本小题共14分） 已知函数，，其中． （Ⅰ）当时，求在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，的单调区间； （Ⅲ）若存在，使得不等式，求 （19）（本小题共13分） 已知椭圆的中心在原点，焦点在上轴长为心率为 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为交椭圆于，两点，求证：为定值． （20）（本小题共13分） 对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束. （Ⅰ）试问数列经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由； （Ⅱ）设数列，对数列变换”，得到数列数列，求，的值 （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由. 结束 输出 输入 开始 是 否。
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东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测
高三数学 （文科）
本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试
结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合12AxxZ，集合420，，B，则ABI
（A）02， （B）420，，
（C）4,2,0,1 （D）4,2,1,0,1
（2）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0+)，上为增函数的是
（A）xyln （B）3yx
（C）3xy （D）xysin
（3）设xR，则“1x”是“21x”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）当3n时，执行如图所示的程序框图，
输出的S值为
（A）6 （B）8
（C）14 （D）30
（5）已知3cos4，(,0)2，则sin2的值为
（A）38 （B）38 （C）378 （D）378
（6）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然
后给出了四种测量方案：（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）
①测量A，C，b ②测量a，b，C ③测量A，B，a ④测量a，b，
B
则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为
（A）①②③ （B）②③④
（C）①③④ （D）①②③④
A
B
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（7）已知向量(1,3)a，(,23)mmb，平面上任意向量c都可以唯一地表示为+cab(,)R，
则实数m的取值范围是
（A）(,0)(0,)U （B）(,3)
（C）(,3)(3,)U （D）[3,3)
（8）已知两点(1,0)M，(1,0)N，若直线(2)ykx上至少存在三个点P，使得△MNP是直角三角形，
则实数k的取值范围是
（A）11[,0)(0,]33U （B）33[,0)(0,]33U
（C）11[,]33 （D）[5,5]
第二部分
（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知抛物线的方程为24yx，则其焦点到准线的距离为________．
（10）若2+i1i()immR,则m________．
（11）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为
cm．
（12）已知x，y满足1,+4,210,xxyxy则2zxy的最大值为_______．
（13）设函数2log, 0,()4, 0,xxxfxx≤则1(())2ff=________；若函数()()gxfxk存在两个零点，则实数
k
的取值范围是________．
（14）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下：
①如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；
②如果一次性购物超过200元但不超过500元，则按标价．．给予9折优惠；
③如果一次性购物超过500元，则500元按第②条给予优惠，剩余部分给予7折优惠．
甲单独购买A商品实际付款100元，乙单独购买B商品实际付款．．．．450元，若丙一次性购买A，B两件商
品，则应付款________ 元．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
正(主)视图
俯视图
侧(左)视图
3
4
4
3
3
3
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（15）（本小题共13分）
已知函数()sin()6fxAx（0,0A）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2.
（Ⅰ）求()fx的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）设(0,)2，且()12f，求的值.
（16）（本小题共13分）
已知数列na是等差数列，数列nb是公比大于零的等比数列
，且112ab，33=8ab．
（Ⅰ）求数列na和nb的通项公式；
（Ⅱ）记nnbca，求数列nc的前n项和nS.
（17）（本小题共14分）
在三棱锥PABC中，PB底面ABC，90BCAo，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在
PA
上，且2AFFP.
（Ⅰ）求证：AC平面PBC；
（Ⅱ）求证：CMP平面BEF；
（Ⅲ）若2PBBCCA，求三棱锥EABC的体积．
（18）（本小题共13分）
为普及宪法知识，某中学举行了首届“宪法知识大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽
取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计.按照[50,60)，[60,70)，
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成绩（分）
频率
组距
y
0.010
0.040
x
0.016
1009080706050
O
[70,80)，[80,90)，[90,100]
的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在
[50,60)，[90,100]
的数据）．
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取两名学生参加“全民宪法知识
大赛”，求所抽取的两名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率．
（19）（本小题共13分）
已知椭圆1C：2214xy，椭圆2C的中心在坐标原点，焦点在y轴上，与1C有相同的离心率，且过椭
圆1C的长轴端点.
（Ⅰ）求椭圆2C的标准方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆1C和2C上，若2OBOAuuuruuur，求直线AB的方程.
（20）（本小题共14分）
已知函数2()lnfxaxbx，a，bR.
（Ⅰ）若()fx在1x处与直线12y相切，求a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求()fx在1[,e]e上的最大值；
（Ⅲ）若不等式()fxx对所有的(,0]b，2(e,e]x都成立，求a的取值范围.
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