1.2 基本不等式 教学案 1
“基本不等式”(第一课时)教案
基本不等式教学设计（第一课时）阮 晓 锋一、教学目标1.知识与技能目标： 学会推证基本不等式，了解基本不等式的应用。
2.过程与方法目标：通过代数、几何背景探究抽象出基本不等式；3．情感与价值目标：通过学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。
二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索其证明过程； 难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．设置情景，引入新课如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明。
探究一：在这张“弦图”中借助面积能找出一些相等关系和不等关系吗？问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？结论：一般地，对于正实数a 、b ，我们有ab b a 222≥+当且仅当a=b 时等号成立.2．代数证明，推出结论问题2：你能给出它的代数证明吗？（请同学们用代数方法给出这个不等式的证明．）证明（作差法）：∵，当时取等号． （在该过程中，可发现a,b 取值可以是全体实数）问题3：当 a,b 为任意实数时，上式还成立吗？重要不等式：对任意实数a 、b ，我们有ab b a 222≥+（当且仅当a=b 时等号成立）特别地，若a>0且b>0可得ab b a ≥+，即ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时等号成立） 基本不等式:若a>0且b>0，则ab b a ≥+2（当且仅当a=b 时等号成立） 深化认识：(1)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(2)若称2b a +为a 、b 的算术平均数,称ab 为它们的几何平均数，则基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3．动手操作、几何证明，相见益彰探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a 和b （b a >），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？（通过学生动手操作，探索发现）探究三：如图，AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上一点，AC=a ，BC=b ．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD ．根据射影定理可得：ab BC AC CD =⨯=由于RtCOD 中斜边OD 大于直角边CD ，于是有ab b a ≥+2当且仅当点C 与圆心O 重合时，即a=b 时等号成立. （进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固新知例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲析，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化） 方法：一般地，对于R y x +∈,我们有：（1）若xy=p （p 为定值），则当且仅当a=b 时，x+y 有最小值xy 2； （2）若x+y=s （s 为定值），则当且仅当a=b 时，xy 有最大值2s 41． 上述应用基本不等式求最值的方法可简记为：在“一证、二定、三相等”的前提下有“积定和最小，和定积最大”。
基本不等式教案
基本不等式教案
教案：基本不等式
一、教学目标：
1. 理解不等式的概念和意义；
2. 掌握不等式的表示方法；
3. 能够解决基本不等式的求解问题。
二、教学重点：
1. 理解不等式的概念和意义；
2. 掌握不等式的表示方法。
三、教学难点：
能够解决基本不等式的求解问题。
四、教学步骤：
1. 导入新知识：
与学生进行一段对话，了解学生对不等式的认识程度，并引出本节课的主题。
2. 概念解释：
通过例子及图示，简单明了地向学生解释什么是不等式，以及不等式的表示方法，如“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等。
3. 基本不等式的求解方法：
介绍几个基本不等式的求解方法，并通过具体的例子进行讲解，如将不等式转化为方程、利用数轴图解法等。
4. 练习与巩固：
通过对一些简单的不等式进行练习，让学生逐步掌握基本不等式的求
解方法，并在解题过程中注意注意解题步骤和思路。
5. 拓展应用：
给学生一些有挑战性的不等式问题，让他们进一步巩固和应用所学的
求解方法，并在解答过程中培养他们的综合运用能力和创新思维。
6. 归纳总结：
对本节课的内容进行归纳总结，梳理基本不等式的求解方法，并强调
解题时的注意事项。
7. 课堂作业：
布置一些不等式的练习题，让学生独立完成并交作业。
五、教学资源：
教学课件、练习题。
六、教学评估：
通过课堂练习及作业的完成情况，评估学生对基本不等式的掌握情况。
七、教学反思：
根据学生的学习情况及问题反馈，及时调整教学策略，提高教学效果。
基本不等式教学设计(多篇)
基本不等式教学设计（多篇）第1篇：基本不等式教学设计基本不等式一、教学设计理念：注重学生自主、合作、探究学习，用新课程理念打造新的教学模式.二、教学设计思路： 1.教学目标确定这节课的目标定位分为三个层面：第一层面：知识与技能层面，①了解两个正数的算术平均数和几何平均数的概念；②要创设几何和代数两个方面的背景，从数形结合的高度让学生了解基本不等式；③引导学生从不同角度去证明基本不等式；④用基本不等式来证明一些简单不等式.第二层面：过程与方法，通过掌握公式的结构特点，适当运用公式的变形，能够提高学生分析问题和解决问题的能力，加强学生的实践能力，渗透数学的思想方法.第三层面：情感、态度与价值观，①通过具体问题的解决，让学生去感受日常生活中存在大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行归纳，抽象，使学生感受到数学美，走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维方式；②通过问题的解决，激发学生探究精神和科学态度，同时去感受数学的运用性，体会数学的奥妙，数学的简洁美，激发学生学习数学的兴趣.2.教学过程本节课我设计了五个环节：第一个环节：创设情境，引入新课.我设计了两个情境：一个是天平测量的问题，另一个是让学生动手操作折纸试验，从不同的角度体验和理解基本不等式，让学生能够体会数学与生活紧密联系，激发学生学习兴趣，为后面学习作铺垫.第二个环节：探究交流，发现规律.我在问题的情境中，让学生带着不同的数据去比较几何平均数和算术平均数的大小，并通过小组折纸试验，通过这样合作交流的方式让学生初步感受到几何平均数和算术平均数之间的大小关系.第三个环节：启发引导、形成结论.本节课的重要任务就是对基本不等式进行严格的证明，包括了比较法，综合法和分析法，而学生对作差比较法是比较熟悉的，综合法和分析法的过程要加强引导，并组织学生去探究这两种方法之间的关系，并规范证明过程，为今后学习证明方法打下基础.第四个环节：训练小结，巩固深化.学习基本不等式最终的目的体现在它的运用上，首先在例题选择上，注重让学生充分认识和间的关系，给出一般的结论，在练习中我选择了题组形式，目的是与让学生强化对基本不等式成立条件包括等号成立的条件.第五个环节：研究拓展，提高能力.我设计了一道关于例题的变式题，目的是让学生感受到，通过适当的变形将其化为例题中出现的形式，体现化归的思想，最后设计三道思考题，两道进一步巩固化归思想及应用基本不等式的条件，一道需要分类讨论，让学有余力的学生提供更好展示自己能力的机会，得到进一步提高.最后我通过问题式的小结，让学生自行归纳我们这节课当中学到的知识，特别是最后一问中，让学生去总结在使用基本不等式的时候要注意哪些条件.虽然我没有点出“一正二定三相等”这样的结论，但已潜移默化为我们下一节课使用基本不等式求最值问题作了铺垫，起到承前启后的作用.三、本节课重点重点：应用数形结合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并从不同的角度探索不等式的证明过程.难点：灵活使用化归思想把问题转化为运用基本不等式，以及基本不等式成立条件中包括等号成立的条件.在这一节中的主要任务就是让学生从不同的角度去探索基本不等式的证明过程，包括它的成立条件，在这一节课中我的总体想法是通过互动，发现规律，直接猜想，指定验证，得出结论，最后灵活运用这个结论来解决问题.四、本节课亮点：1.积极引导学生自主探究问题，解决问题.2.灵活运用转化与化归的思想.3.实现课堂三大转变：①变教学生学会知识为指导学生会学知识；②变重视结论的记忆为重视学生获取结论的体验和感悟；③变模仿式学习为探究式学习.4.课堂小结采取问题式小结给学生留下满口香.导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）?? 推进新课师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?【三维目标】：一、知识与技能1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例的延伸。
基本不等式教案
基本不等式教案教案标题：基本不等式教案教学目标：1. 理解和运用基本不等式的概念；2. 掌握基本不等式的性质及解题方法；3. 提升对不等式问题的分析和解决能力。
教学准备：1. 教师：白板、标志笔、多媒体设备；2. 学生：教科书、练习册、笔、纸。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）利用一些简单的实例向学生介绍不等式的概念，并引发对不等式的思考，例如：3 > 2、4 ≠ 5。
步骤二：教学（30分钟）1. 解释基本不等式的定义和性质，包括大于、小于、大于等于、小于等于等概念。
2. 介绍不等式的运算规则，如相加、相减、相乘等，以及这些运算对不等式的影响。
3. 演示并分析如何解决一步骤的基本不等式方程，引导学生理解解不等式方程的思路和方法。
4. 提供一些具体的例子，让学生通过实际操作来练习解决不等式方程的能力。
步骤三：巩固（15分钟）1. 设计一些巩固练习，让学生独立或合作完成，检测他们对基本不等式的理解和应用。
2. 在学生完成练习后，逐个检查答案，并解释如何得出正确答案。
步骤四：拓展（10分钟）1. 提出一些扩展问题，要求学生运用基本不等式的知识，解决更复杂的不等式问题。
2. 引导学生思考应用不等式解决实际问题时可能遇到的困难，并讨论如何克服这些困难。
步骤五：总结（5分钟）总结基本不等式的概念、性质和解题方法，并鼓励学生运用这些知识解决更多的不等式问题。
教学扩展：1. 鼓励学生品尝到不同类型不等式的实例，如一元一次不等式、绝对值不等式等，扩展他们对不等式的理解和应用。
2. 提供更多的练习和挑战题，提高学生解决不等式问题的技巧和速度。
3. 引导学生进行小组或个人项目，研究不等式在实际生活中的应用，如经济学、生物学等领域。
衡量评估：1. 教师观察学生在课堂上的互动和参与度；2. 学生完成的练习和作业的准确性和完整性；3. 学生通过小组或个人项目展示的能力和创造性。
注意事项：1. 教师应根据学生的实际情况和学习进度，调整教学步骤和难度，确保教学效果；2. 鼓励学生积极参与互动，提出问题并解答；3. 考虑学生的不同学习特点和能力，利用多种教学方法和资源，提供个性化的教学指导。
1.1.2基本不等式-教案(优秀经典公开课比赛教案)
课题：1.1.2基本不等式一、教材分析：本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。
教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体.二、教学目标：1、知识与技能：（12a b +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；（3）能够利用基本不等式求简单的最值。
2、过程与方法：（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；（2）体验数形结合思想。
3、情感、态度与价值观：（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；（2）体会多角度探索、解决问题。
三、教学重点： 应用数形结合的思想理解不等式ab b a 222≥+，并从不同角度探索不等式2a b +≤的证明过程； 通过简单的变形发现基本不等式在最值问题上的作用，并能够进行使用条件辨析及其简单运用。
四、教学难点：2a b +≤使用限制条件2a b +≤等号成立条件 基本不等式在最值问题中的运用五、教学准备1、课时安排： 2课时2、学情分析：高三的学生对于基本不等式已经有了初步认识，但是知识不成体系，通过课前的预习和课上两个例题及其变式的解决，使得学生对于基本不等式的使用注意点会有更为深刻的理解。
3、教具选择：多媒体六、教学方法：启发引导、师生合作探究七、教学过程1、自主导学：（一）课题引入：卖家诚信吗？从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤短两，于是他想出了一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售，你觉得，店主这个买卖做到诚信无欺了吗？请说明理由.利用几何画板演示，让学生清楚的看到两个互为倒数的正实数算术平均值是不小于1的，留下疑问。
基本不等式的教学设计一等奖4篇
第4篇教学设计一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生理解掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．2．灵活运用不等式的基本性质进行不等式形．（二）能力训练点培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力．（三）德育渗透点培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神．（四）美育渗透点通过不等式基本性质的学习，渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美，激发学生探究数学美的兴趣与激情，从而陶治学生的数学情操，数学教案－不等式和它的基本性质教学设计方案(二)。
二、学法引导1．教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法．2．学生学法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质，从具体下升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．三、重点·难点·疑点及解决办法（一）重点掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．（二）难点正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形．（三）疑点弄不清“不等号方向不变”与“所得结果仍是不等式”之间的关系是学生学习的疑点．（四）解决办法讲清“不等式的基本性质”与“等式的基本性质”之间的区别与联系是教好本节内容的关键．四、课时安排一课时五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片．六、师生互动活动设计1．通过设计的一组比较大小问题，让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质．2．通过教师的讲解及学生的质疑，让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质．3．通过教师的板书及学生的互动练习，体现出以学生为主体，教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育．七、教学步骤（一）明确目标本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用．（二）整体感知通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，再反复比较三条性质的异同，从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较：相同点为不管是对等式还是不等式，都可以在它的两边同加（或减）同一个数或同一个整式．不同点是对于等式来说，在等式的两边乘以（或除以）同一个正数（或同一个负数）的情况下等式仍然对立．但对于不等式来说，却不一样，在用同一个正数去乘（或除）不等式两边时，不等号方向不变；而在用同一个负数去乘（或除）不等式两边时，不等号要改变方向．这是在不等式变形时应特别注意的地方．（三）教学过程1．创设情境，复习引入什么是等式？等式的基本性质是什么？学生活动：独立思考，指名回答．教师活动：注意强调等式两边都乘以或除以（除数不为0）同一个数，所得结果仍是等式．请同学们继续观察习题：（1）用“＞”或“＜”填空．①7＋3____4＋3 ②7＋（－3）____4＋（－3）③7×3____4×3 ④7×（－3）____4×（－3）（2）上述不等式中哪题的不等号与7＞4一致？学生活动：观察思考，两个（或几个）学生回答问题，由其他学生判断正误．【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．不等式有哪些基本性质呢？研究时要与等式的性质进行对比，大家知道，等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（实质是移项法则），请同学们观察①②题，并猜想出不等式的性质．学生活动：观察思考，猜想出不等式的性质．教师活动：及时纠正学生叙述中出现的问题，特别强调指出：“仍是不等式”包括两种情况，说法不确切，一定要改为“不等号的方向不变或者不等号的方向改变．”师生活动：师生共同叙述不等式的性质，同时教师板书．不等式基本性质1 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．对比等式两边都乘（或除以）同一个数的性质（强调所乘的数可正、可负、也可为0）请大家思考，不等式类似的性质会怎样？学生活动：观察③④题，并将题中的3换成5，－3换成一5，按题的要求再做一遍，并猜想讨论出结论．【教法说明】观察时，引导学生注意不等号的.方向，用彩色粉笔标出来，并设疑“原因何在？”两边都乘（或除以）同一个负数呢？0呢？为什么？师生活动：由学生概括总结不等式的其他性质，同时教师板书．不等式基本性质2 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式基本性质3 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．师生活动：将不等式－2＜6两边都加上7，－9，两边都乘3，－3试一试，进一步验证上面得出的三条结论．学生活动：看课本第57～58页有关不等式性质的叙述，理解字句并默记．强调：要特别注意不等式基本性质3．实质：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“＋”、“－”、“×”、“÷”四则运算，当进行“＋”、“－”法时，不等号方向不变；当乘（或除以）同一个正数时，不等号方向不变；只有当乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向才改变．不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系？学生活动：思考、同桌讨论．归纳：只有乘（或除以）负数时不同，此外都类似．下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质．①若，则，；②若，且，则，；③若，且，则，．师生活动：学生思考出答案，教师订正，并强调不等式性质3的应用．注意：不等式除了上述性质外，还有以下性质：①若，则．②若，且，则，这些先不要向学生说明．2．尝试反馈，巩固知识请学生先根据自己的理解，解答下面习题．例1 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．（1）（2）（3）（4）学生活动：学生独立思考完成，然后一个（或几个）学生回答结果．教师板书（1）（2）题解题过程．（3）（4）题由学生在练习本上完成，指定两个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确．解：（l）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变．所以（2）根据不等式基本性质1，两边都减去，得（3）根据不等式基本性质2，两边都乘以2，得（4）根据不等式基本性质3，两边都除以－4得【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，并将原题与或对照，看用哪条性质能达到题目要求，要强调每步的理论依据，尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别，解题时书写要规范．例2 设，用“＜”或“＞”填空．（1）（2）（3）学生活动：在练习本上完成例2，由3个学生板演完成后，其他学生判断板演是否正确，最后与书中正确解题格式对照．解：（1）因为，两边都减去3，由不等式性质1，得（2）因为，且2＞0，由不等式性质2，得（3）因为，且－4＜0，由不等式性质3，得教师活动：巡视辅导，了解学生作题的实际情况，及时给予纠正或鼓励．注意问题：例2（3）是根据不等式性质3，不等号方向应改变．这是学生做题时易出错误之处．【教法说明】要让学生明白推理要有依据，以后作类似的练习时，都写出根据，逐步培养学生的逻辑思维能力．3．变式训练，培养能力（1）用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题后括号内填写理由．（不等式基本性质1，2，3分别用A、B、C表示．）①∵∴（）②∵∴（）③∵∴（）④∵∴（）⑤∵∴⑥∵∴（）学生活动：此练习以学生抢答方式完成，目的是训练学生思维能力，表达能力，烘托学习气氛．答案：①（A）②（B）③（C）④（C）⑤（C）⑥（A）【教法说明】做此练习题时，应启发学生将所做习题与题中已知条件进行对比，观察它们是应用不等式的哪条性质，是怎样由已知变形得到的．注意应用不等式性质3时，不等号要改变方向．（2）单项选择：①由得到的条件是（）A．B．C．D．②由由得到的条件是（）A．B．C．D．③由得到的条件是（）A．B．C．D．是任意有理数④若，则下列各式中错误的是（）A．B．C．D．师生活动：教师选出答案，学生判断正误并说明理由．答案：①A ②D ③C ④D（3）判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”①∵∴( ) ②∵∴( )③∵∴( ) ④若，则∴，( )学生活动：一名学生说出答案，其他学生判断正误．答案：①√②×③√④×【教法说明】以多种形式处理习题可以激发学生学习热情，提高课堂效率；（2）练习第③④题易出错，教师应讲清楚．（四）总结、扩展1．本节重点：（1）掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3．（2）能正确应用性质对不等式进行变形．2．注意事项：（1）要反复对比不等式性质与等式性质的异同点．（2）当不等式两边同乘（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数，对于未给定范围的字母，应分情况讨论．3．考点剖析：不等式的基本性质是历届中考中的重要考点，常见题型是选择题和填空题．八、布置作业（一）必做题：P61 A组4，5．（二）选做题：P62 B组1，2，3．参考答案（一）4．（1）（2）（3）（4）5．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（二）1．（1）（2）（3）2．（1）（2）（3）（4）3．（1）（2）（3）九、板书设计6.1 不等式和它的基本性质（二）一、不等式的基本性质1．不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．若，则，．2．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，若，，则．3．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则．二、应用例1 解（1）（2）（3）（4）例2 解（1）（2）（3）三、小结注意不等式性质3的应用．四、背景知识与课外阅读盒子里有红、白、黑三种球，若白球的个数不少于黑球的一半，且不多于红球的，又白球和黑球的和至少是55，问盒中红球的个数最少是多少个？第5篇教学设计初二下册数学16.1.2分式的基本性质说课稿设计16.1.2《分式的基本性质》说课稿今天我说课的内容是《分式的基本性质》。
基本不等式教案
基本不等式教案一、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解基本不等式的内容及其证明过程。
（2）掌握运用基本不等式求最值的方法和条件。
2、过程与方法目标（1）通过对基本不等式的探究，培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理的能力。
（2）引导学生运用基本不等式解决实际问题，提高学生的数学应用意识和能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学的简洁美和应用价值，激发学生学习数学的兴趣。
（2）培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。
二、教学重难点1、教学重点（1）基本不等式的内容及证明。
（2）运用基本不等式求最值的方法和条件。
2、教学难点（1）基本不等式的证明。
（2）运用基本不等式求最值时条件的判断和正确应用。
三、教学方法讲授法、探究法、练习法四、教学过程（一）导入新课通过实际生活中的问题引入，比如：某工厂要建造一个面积为 100 平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙，墙长 16 米，问怎样建造才能使所用材料最省？（二）新课讲授1、基本不等式的推导对于任意两个正实数 a，b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
证明：＼＼begin{align}（a b)＾2&＼geq 0\＼a^2 2ab ＋ b^2&＼geq 0\＼a^2 ＋ 2ab ＋ b^2&＼geq 4ab\＼（a ＋ b)＾2&＼geq 4ab\＼a ＋ b&＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a b ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。
2、基本不等式的几何解释以直角三角形为例，直角边为 a，b，斜边为 c，那么\（c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）。
对于基本不等式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），可以看作是以 a，b 为直角边的直角三角形的斜边长大于等于以\（＼sqrt{ab}＼）为边长的正方形的对角线长。
不等式的基本性质教案
1.2 不等式的基本性质教学目标（一）教学知识点1.探索并掌握不等式的基本性质；2.理解不等式与等式性质的联系与区别.（二）能力训练要求通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力.（三）情感与价值观要求通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与 交流.教学重点探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用.教学难点能根据不等式的基本性质进行化简.教学方法类推探究法即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质.教具准备投影片两张第一张：（记作§1.2 A ）第二张：（记作§1.2 B ）教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ ［生］记得.等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式.［师］不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证.Ⅱ.新课讲授1.不等式基本性质的推导［师］等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法.［生］∵3＜5∴3+2＜5+23－2＜5－23+a ＜5+a3－a ＜5－a所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.［师］很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究.［生］∵3＜5∴3×2＜5×23×21＜5×21. 所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变.［生］不对.如3＜53×（－2）＞5×（－2）所以上面的总结是错的.［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明.［生］如3＜43×3＜4×33×31＜4×31 3×（－3）＞4×（－3）3×（－31）＞4×（－31） 3×（－5）＞4×（－5）由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变.［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为0），情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导.［生］当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变.［师］因此，大家可以总结得出性质2和性质3，并且要学会灵活运用. 2.用不等式的基本性质解释π42l ＞162l 的正确性 ［师］在上节课中，我们知道周长为l 的圆和正方形，它们的面积分别为π42l 和162l ，且有π42l ＞162l 存在，你能用不等式的基本性质来解释吗？ ［生］∵4π＜16 ∴π41＞161 根据不等式的基本性质2，两边都乘以l 2得 π42l ＞162l 3.例题讲解将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式：（1）x －5＞－1;（2）－2x ＞3;（3）3x ＜－9.［生］（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得x ＞－1+5即x ＞4;（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得x ＜－23; （3）根据不等式的基本性质2，两边都除以3，得x ＜－3.说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，要注意数的正、负，从而决定不等号方向的改变与否.4.议一议或除以某一个数时就能确定是正数还是负数，从而能决定不等号方向的改变与否.在本题中讨论的是字母，因此首先要决定的是两边同时乘以或除以的某一个数的正、负.本题难度较大，请大家全面地加以考虑，并能互相合作交流.［生］（1）正确∵a ＜b ，在不等式两边都加上c ，得a+c ＜b+c;∴结论正确.同理可知（2）正确.（3）根据不等式的基本性质2，两边都乘以c ，得ac ＜bc,所以正确.（4）根据不等式的基本性质2，两边都除以c ，得c a ＜cb 所以结论错误.［师］大家同意这位同学的做法吗？［生］不同意.［师］能说出理由吗？［生］在（1）、（2）中我同意他的做法，在（3）、（4）中我不同意，因为在（3）中有a ＜b,两边同时乘以c 时，没有指明c 的符号是正还是负，若为正则不等号方向不变，若为负则不等号方向改变，若c=0，则有ac=bc,正是因为c 的不明确性，所以导致不等号的方向可能是变、不变，或应改为等号.而结论ac ＜bc.只指出了其中一种情况，故结论错误.在（4）中存在同样的问题，虽然c ≠0,但不知c 是正数还是负数，所以不能决定不等号的方向是否改变，若c ＞0,则有c a ＜c b ,若 c ＜0，则有c a ＞cb ,而他只说出了一种情况，所以结果错误.［师］通过做这个题，大家能得到什么启示呢？［生］在利用不等式的性质2和性质3时，关键是看两边同时乘以或除以的是一个什么性质的数，从而确定不等号的改变与否.［师］非常棒.我们学习了不等式的基本性质，而且做过一些练习，下面我们再来研究一下等式和不等式的性质的区别和联系，请大家对比地进行.［生］不等式的基本性质有三条，而等式的基本性质有两条.区别：在等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，所得结果仍是等式；在不等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时会出现两种情况，若为正数则不等号方向不变，若为负数则不等号的方向改变.联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，都讨论的是在两边同时加上（或减去），同时乘以（或除以，除数不为0）同一个数时的情况.且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似.Ⅲ.课堂练习1.将下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式.（1）x －1＞2 （2）－x ＜65 ［生］解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x ＞3（2）根据不等式的基本性质3，两边都乘以－1，得5x＞－62.已知x＞y,下列不等式一定成立吗？（1）x－6＜y－6;（2）3x＜3y;（3）－2x＜－2y.解：（1）∵x＞y,∴x－6＞y－6.∴不等式不成立；（2）∵x＞y,∴3x＞3y∴不等式不成立；（3）∵x＞y,∴－2x＜－2y∴不等式一定成立.1.本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质.2.利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空.Ⅴ.课后作业习题1.2Ⅵ.活动与探究1.比较a与－a的大小.解：当a＞0时，a＞－a;当a=0时，a=－a;当a＜0时，a＜－a.说明：解决此类问题时，要对字母的所有取值进行讨论.2.有一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大哪个小？解：原来的两位数为10b+a.调换后的两位数为10a+b.根据题意得10a+b＞10b+a.根据不等式的基本性质1，两边同时减去a，得9a+b＞10b两边同时减去b ，得9a ＞9b根据不等式的基本性质2，两边同时除以9，得a ＞b.参考练习1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式：（1）x －2＜3;（2）6x ＜5x －1;（3）21x ＞5;（4）－4x ＞3. 2.设a ＞b.用“＜”或“＞”号填空. （1）a －3 b －3;（2）2a 2b ; （3）－4a －4b;（4）5a 5b;（5）当a ＞0,b 0时，ab ＞0; （6）当a ＞0,b 0时，ab ＜0;（7）当a ＜0,b 0时，ab ＞0;（8）当a ＜0,b 0时，ab ＜0.参考答案：1.（1）x ＜5;（2）x ＜－1;（3）x ＞10;（4）x ＜－43. 2.（1）＞ （2）＞ （3）＜ （4）＞（5）＞ （6）＜ （7）＜ （8）＞.。
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1.2 基本不等式 教学案 1
教学目标
1.学会推导并掌握均值不等式定理；
2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题.
教学重、难点
重点：均值不等式定理的证明及应用.
难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧.
教学过程：
一、知识学习：
我们已经学过重要不等式222(,),a b ab a b R +≥∈为了方便同学们的学习，下面将它以定理的形式给出，并给出证明.
定理1：如果a 、b ∈R ，那么222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“＝”号) 证明：因为2222()0,a b ab a b +-=-≥当且仅当a ＝b 时等号成立，所以 222a b ab +≥，当且仅当a =b 时，等号成立.
探究：你能从几何角度解释定理1吗？
如果把实数a ，b 作为线段长度，那么可以这样来解释定理1：
以a ≥b 为例.如图1.1-2(课本第5页)，在正方形ABCD 中，AB =a ；在正方形CEFG 中，E F =b .那么S 正方形ABCD +S 正方形CEFG =a 2+b 2.
矩形BCGH 和矩形JCDI 的长均为a ，宽为b ，它们面积的和是S 矩形形BCGH +S 矩形JCDI =2ab .
矩形BCGH 和矩形JCDI 的公共部分是正方形JCGK ，它的边长等于b ，其面积与正方形C EFG 相等.所以，上述两个矩形面积的和2ab 就等于图中阴影部分面积，它不大于正方形ABC D 与正方形CEFG 面积的和，即
222a b ab +≥.
当且仅当a =b 时，两个矩形成为两个正方形，阴影部分面积等于正方形ABCD 与正方形C EFG 面积的和，即
222a b ab +=.
将定理1作简单的恒等变形，就可以得到以下的基本不等式.
定理2(基本不等式) 如果a ，b >0，那么
2
a b +≥(当且仅当a ＝b 时取“＝”号) (老师引导学生完成证明过程)
说明：如果a ，b 都是正数，我们称
2
a b +为a ，b
为a ，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.
下面我们讨论基本不等式的几何意义.在图1.1-3(课本第6页)中，CD 是Rt △ABC 中斜边AB 上的高，OC 是斜边AB 上的中线，AD =a ，BD =b .于是，
11().22
90,90,.
Rt Rt .
,.OC AB a b DCA A B A DCA B DCA DBC AD CD a CD CD BD CD b
CD =
=+∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠∴∆∆∴=⇒=∴= ∽ 当a ≠b 时，在Rt △OCD 中，斜边CO 大于直角边CD
，所以2
a b +> 当a =b 时，Rt △ABC 斜边AB 上的中线CO 和高CD
重合，所以
2a b += 综上所述可知，基本不等式的几何意义是：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高
二、例题讲解：
例3 求证：(1)在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；
(2)在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短.
一般地，从基本不等式可以得到下面结论：对两个正实数x ，y ，如果它们的和S 是定值，则当且仅当x =y 时，它们的积P 取最大值；如果它们的积P 是定值，则当且仅当x =y 时，它们的和S 取得最小值.
例4 某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主题造型平面图(图1.1-4，课本第7页)是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200平方米的十字形地域.计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为每平方米80元.
(1)设总造价为S 元，AD 长为x 米，试建立S 关于x 的函数关系式；
(2)当x 为何值时，S 最小？并求出这个最小值.
四、课堂小结：
通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件.。