【配套K12】2018-2019学年高中数学人教A版选修4-1学案创新应用：第一讲知识归纳与达标验收

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2018-2019学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第一讲知识归纳与达标验收-含答案

[对应学生用书P16]近两年高考中，由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同．但都主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；一般试题难度不大，解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果．在使用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系．1.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．解析：由CD ＝2，AB ＝4，EF ＝3，得EF ＝12(CD ＋AB )，∴EF 是梯形ABCD 的中位线，则梯形ABFE 与梯形EFCD 有相同的高，设为h ，于是两梯形的面积比为 12(3＋4)h ∶12(2＋3)h ＝7∶5. 答案：7∶52.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．解析：连接AC ，BC ，则∠ACB ＝90°.设AD ＝2，则AB ＝6，于是BD ＝4，OD ＝1.如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝8，则CD ＝2 2. 在Rt △OCD 中，DE ＝OD ·CD OC ＝1×223＝223.则CE ＝DC 2－DE 2＝8－89＝83， EO ＝OC －CE ＝3－83＝13.因此CE EO ＝8313＝8.答案：8[对应学生用书P16]的直线上截得的线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线段的长度，也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中，平行线等分线段定理是线段的比为1的特例．[例1] 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DH ∥GC . 求证：EG ∥BH . [证明] ∵DE ∥BC ， ∴AE AC ＝AD AB. ∵DH ∥GC ，∴AH AC ＝ADAG .∴AE ·AB ＝AC ·AD ＝AH ·AG . ∴AE AH ＝AGAB.∴EG ∥BH . [例2] 如图，直线l 分别交△ABC 的边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，且AF ＝13AB ，BD ＝52BC ，试求EC AE.[解] 作CN ∥AB 交DF 于点N ，并作EG ∥AB 交BC 于点G ，由平行截割定理，知BF CN ＝DB DC ，CN AF ＝ECAE，两式相乘，得BF CN ·CN AF ＝DB DC ·ECAE ，即EC AE ＝BF AF ·DC DB. 又由AF ＝13AB ，得BFAF ＝2，由BD ＝52BC ，得DC DB ＝35，所以EC AE ＝2×35＝65.角关系．其应用非常广泛，涉及到多种题型，可用来计算线段、角的大小，也可用来证明线段、角之间的关系，还可以证明直线之间的位置关系．其中，三角形全等是三角形相似的特殊情况．[例3] 如图所示，AD 、CF 是△ABC 的两条高线，在AB 上取一点P ，使AP ＝AD ，再从P 点引BC 的平行线与AC 交于点Q .求证：PQ ＝CF .[证明] ∵AD 、CF 是△ABC 的两条高线， ∴∠ADB ＝∠BFC ＝90°. 又∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBF . ∴AD CF ＝AB CB. 又∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC . ∴PQ BC ＝AP AB .∴AP PQ ＝AB BC .∴AD CF ＝AP PQ . 又∵AP ＝AD ，∴CF ＝PQ .[例4] 四边形ABCD 中，AB ∥CD ，CE 平分∠B CD ，CE ⊥AD 于点E ，DE ＝2AE ，若△CED 的面积为1，求四边形ABCE 的面积．[解] 如图，延长CB 、DA 交于点F ，又CE 平分∠BCD ，CE ⊥AD .∴△FCD 为等腰三角形，E 为FD 的中点． ∴S △FCD ＝12FD ·CE＝12×2ED ·CE ＝2S △CED ＝2， EF ＝ED ＝2AE . ∴F A ＝AE ＝14FD .又∵AB ∥CD ， ∴△FBA ∽△FCD .∴S △FBA S △FCD ＝(F A FD )2＝(14)2＝116.∴S △FBA ＝116×S △FCD ＝18. ∴S 四边形ABCE ＝S △FCD －S △CED －S △FBA ＝2－1－18＝78.系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．[例5] 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC于E ，EF ⊥AB 于F .求证：CE 2＝BD ·DF .[证明] ∵∠ACB ＝90°，DE ⊥AC ， ∴DE ∥BC .∴BD CE ＝AB AC .同理：CD ∥EF ，∴CE DF ＝AC AD. ∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴AC 2＝AD ·AB . ∴AC AD ＝AB AC.∴CE DF ＝BD CE . ∴CE 2＝BD ·DF .[对应学生用书P41] (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，已知AA ′∥BB ′∥CC ′，AB ∶BC ＝1∶3，那么下列等式成立的是( )A ．AB ＝2A ′B ′ B ．3A ′B ′＝B ′C ′ C ．BC ＝B ′C ′D ．AB ＝A ′B ′解析：∵AA ′∥BB ′∥CC ′，∴AB BC ＝A ′B ′B ′C ′＝13.∴3A ′B ′＝B ′C ′. 答案：B2.如图，∠ACB ＝90°.CD ⊥AB 于D ，AD ＝3、CD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )A ．3∶2B ．9∶4 C.3∶ 2D.2∶ 3解析：Rt △ACD ∽Rt △CBD ，∴AC BC ＝AD CD ＝32.答案：A3．在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，若BD ＝3 cm ，AC ＝2 cm ，则CD 和BC 的长分别为( )A. 3 cm 和3 2 cm B ．1 cm 和 3 cm C ．1 cm 和3 2 cm D. 3 cm 和2 3 cm 解析：设AD ＝x ，则由射影定理得x (x ＋3)＝4，即x ＝1(负值舍去)，则CD ＝AD ·BD ＝3(cm)， BC ＝BD ·AB ＝3(3＋1)＝23(cm)．答案：D4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，DE 是△ACD 的高，且AC ＝5，CD ＝2，则DE 的值为( )A.2215B.215C.3215D.2125解析：AC 2＝CD ·BC ，即52＝2×BC ， ∴BC ＝252.∴AB ＝BC 2－AC 2＝2524－52＝5212. ∵DE AB ＝DC BC ，∴DE ＝2215. 答案：A5．如图所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝ABBC ；④AC 2＝AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①由∠B ＝∠ACD ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；②由∠ADC ＝∠ACB ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；③AC CD ＝ABBC ，而夹角不一定相等，所以两个三角形不一定相似；④AC 2＝AD ·AB 可得AC AD ＝ABAC，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似．答案：C6.如图，DE ∥BC ，S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，则AD ∶DB 的值为( )A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶5解析：由S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8 得S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9. ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC . ∴(ADAB )2＝S △ADE S △ABC ＝19. ∴AD AB ＝13，AD DB ＝12. 答案：C7．△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中不一定使△ABC 与△DEF 相似的是( ) A ．∠A ＝∠D ＝45°38′，∠C ＝26°22′，∠E ＝108° B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16 C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝c D ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40° 解析：A 中∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ＝108°， ∴△ABC ∽△DEF ；B 中AB ∶AC ∶BC ＝EF ∶DE ∶DF ＝2∶3∶4； ∴△ABC ∽△EFD ； D 中AB AC ＝DEDF，∠A ＝∠D ， ∴△ABC ∽△DEF ；而C 中不能保证三边对应成比例．答案：C8．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°.CD ⊥AB 于D .若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( ) A.14 B.13 C.12D ．2解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶4. 令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)， ∴CD 2＝4x 2，∴CD ＝2x ，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12.答案：C9.在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ∶CE ＝2∶3，连接AE 、BE 、BD 且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝( )A ．4∶10∶25B ．4∶9∶25C ．2∶3∶5D ．2∶5∶25解析：∵AB ∥CD ， ∴△ABF ∽△EDF . ∴DE AB ＝DF FB ＝25. ∴S △DEF S △ABF ＝(25)2＝425.又△DEF 和△BEF 等高． ∴S △DEF S △EBF ＝DF FB ＝25＝410. 答案：A10．如图，已知a ∥b ，AF BF ＝35，BCCD ＝3.则AE ∶EC ＝( )A.125 B.512 C.75D.57解析：∵a ∥b ，∴AE EC ＝AG CD ，AF BF ＝AGBD .∵BCCD ＝3，∴BC ＝3CD ，∴BD ＝4CD . 又AF BF ＝35， ∴AG BD ＝AF BF ＝35.∴AG 4CD ＝35.∴AG CD ＝125.EC CD 5答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，D ，E 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，BD ＝2AD ，那么△ADE 的周长∶△ABC 的周长等于________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC . ∵BD ＝2AD ，∴AB ＝3AD .∴AD AB ＝13.∴△ADE 的周长△ABC 的周长＝AD AB ＝13. 答案：1312．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：∵DE ∥BC ，∴DE BC ＝AE AC ，∴BC ＝DE ·AC AE ＝6×53＝10，又DF ∥AC ，∴DE ＝FC ＝6. ∴BF ＝BC －FC ＝4. 答案：413．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点O ，直线AO 与DE 、BC 分别交于N 、M ，若DN ∶MC ＝1∶4，则NE ∶BM ＝________，AE ∶EC ＝________.解析：OD OC ＝DN MC ＝14，∴OE OB ＝OD OC ＝14. ∴NE BM ＝OE OB ＝14.BC OC 4∴AE AC ＝DE BC ＝14. ∴AE ∶EC ＝1∶3. 答案：1∶4 1∶314．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7 m 宽的亮区(如图所示)，已知亮区一边到窗下的墙角距离CE ＝8.7 m ，窗口高AB ＝1.8 m ，那么窗口底边离地面的高BC 等于________m.解析：∵BD ∥AE ，∴BCAB ＝CDDE .∴BC ＝AB ·CD DE.∵AB ＝1.8 m ，DE ＝2.7 m ，CE ＝8.7 m ， ∴CD ＝CE －DE ＝8.7－2.7＝6(m)． ∴BC ＝1.8×62.7＝4(m)．答案：4三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，△ABC 中，BC 的中点为D ，∠ADB和∠ADC 的平分线分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：MN ∥BC .证明：∵MD 平分∠ADB ， ∴AD BD ＝AM MB. ∵ND 平分∠ADC ，∴AD DC ＝ANNC .∵BD ＝DC ，∴AM MB ＝AD BD ＝AD DC ＝AN NC. ∴MN ∥BC .16．(本小题满分12分)如图，已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF于F ，求证：BP 2＝PE ·PF .证明：连接PC ，∵AB ＝AC ，AD 是中线，∴AD 是△ABC 的对称轴，故PC ＝PB ，∠PCE ＝∠ABP .∵CF ∥AB ，∴∠PFC ＝∠ABP ，故∠PCE ＝∠PFC ，∵∠CPE ＝∠FPC ，∴△EPC ∽△CPF ，故PC PF ＝PE PC，即PC 2＝PE ·PF ，∴BP 2＝PE ·PF .17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是BD 上任意一点，过P 点的直线分别交AB 、DC 于E 、F ，交DA 、BC的延长线于G 、H .(1)求证：PE ·PG ＝PF ·PH ；(2)当过P 点的直线绕点P 旋转到F 、H 、C 重合时，请判断PE 、PC 、PG 的关系，并给出证明．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴PE PF ＝PB PD. ∵AD ∥BC ，∴PH PG ＝PB PD， ∴PE PF ＝PH PG.∴PE ·PG ＝PH ·PF .(2)关系式为PC 2＝PE ·PG .证明：由题意可得到右图，∵AB ∥CD ，∴PE PC ＝PB PD. ∵AD ∥BC ，∴PC PG ＝PB PD. ∴PE PC ＝PC PG，即PC 2＝PE ·PG . 18．(本小题满分14分)某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 m 、20 m 的梯形空地上种植花木(如图)．(1)他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单位为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后(图中阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用；(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？解：(1)∵四边形ABCD 为梯形，∴AD ∥BC .∴△AMD ∽△CMB ，∴S △AMD S △CMB ＝(AD BC)2＝14. ∵种植△AMD 地带花费160元，∴S △AMD ＝1608＝20(m 2)． ∴S △CMB ＝80(m 2)．∴△CMB 地带的花费为80×8＝640元．(2)S △ABM S △AMD＝BM DM ＝BC AD ＝2， ∴S △ABM ＝2S △AMD ＝40(m 2)．同理：S △DMC ＝40(m 2)．所剩资金为：1600－160－640＝800元，而800÷(S △ABM ＋S △DMC )＝10(元/m 2)．故种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．。

教育最新K122018-2019学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第一讲一平行线等分线段定理-含答案

一平行线等分线段定理[对应学生用书P1]1．平行线等分线段定理(1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)用符号语言表述：已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与a 、b 、c 交于点A 、B 、C 和A ′、B ′、C ′(如图)，如果AB ＝BC ，那么A ′B ′＝B ′C ′.[说明](1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线；它是由三条或三条以上的平行线组成的．(2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等． 2．平行线等分线段定理的推论[对应学生用书P1][例1] 已知如图，直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，l ，l ′分别交l 1，l 2，l 3，l 4于A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1，AB ＝BC ＝CD .求证：A 1B 1＝B 1C 1＝C 1D 1.[思路点拨] 直接利用平行线等分线段定理即可． [证明] ∵直线l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝BC ， ∴A 1B 1＝B 1C 1.∵直线l 2∥l 3∥l 4且BC ＝CD ， ∴B 1C 1＝C 1D 1， ∴A 1B 1＝B 1C 1＝C 1D 1.平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对应，分析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进行相关的计算与证明．1．已知：如图，l1∥l 2∥l 3，那么下列结论中错误的是( ) A ．由AB ＝BC 可得FG ＝GH B ．由AB ＝BC 可得OB ＝OG C ．由CE ＝2CD 可得CA ＝2BC D ．由GH ＝12FH 可得CD ＝DE解析：OB 、OG 不是一条直线被平行线组截得的线段．答案：B2．如图，已知线段AB ，求作线段AB 的五等分点．作法：如图，(1)作射线AC ；(2)在射线AC 上依任意长顺次截取AD ＝DE ＝EF ＝FG ＝GH ；(3)连接HB ；(4)过点G ，F ，E ，D 分别作HB 的平行线GA 1，F A 2，EA 3，DA 4，分别交AB 于点A 1，A 2，A 3，A 4.则A 1，A 2，A 3，A 4就是所求的五等分点．证明：过点A 作MN ∥HB ，则MN ∥DA 4∥EA 3∥F A 2∥GA 1∥HB . 又AD ＝DE ＝EF ＝FG ＝GH ，∴AA 4＝A 4A 3＝A 3A 2＝A 2A 1＝A 1B (平行线等分线段定理)．[例2]交AD 的延长线于E .求证：AG ＝2DE .[思路点拨]AF ＝FC ，GF ∥EC→AG ＝GE →△BDG ≌△CDE →AG ＝2DE[证明] 在△AEC 中， ∵AF ＝FC ，GF ∥EC ， ∴AG ＝GE . ∵CE ∥FB ，∴∠GBD ＝∠ECD ，∠BGD ＝∠E . 又BD ＝DC ， ∴△BDG ≌△CDE .故DG ＝DE ，即GE ＝2DE ，因此AG ＝2DE .此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果．3.如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，OE 平行于AB 交BC 于E ，AD ＝6，求BE 的长．解：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ，BC ＝AD . 又因为AB ∥DC ，OE ∥AB ，所以DC ∥OE ∥AB . 又因为AD ＝6，所以BE ＝EC ＝12BC ＝12AD ＝3.4．已知：AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F . 求证：AF ＝13AC .证明：如图，过D 作DG ∥BF 交AC 于G .在△BCF 中，D 是BC 的中点， DG ∥BF ，∴G 为CF 的中点．即CG ＝GF .在△ADG 中，E 是AD 的中点，EF ∥DG ， ∴F 是AG 的中点．即AF ＝FG . ∴AF ＝13AC .[例3] 已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，M 是CD的中点，求证： AM ＝BM .[思路点拨] 解答本题应先通过作辅助线构造推论2的应用条件． [证明] 过点M 作ME ∥BC 交AB 于点E ， ∵AD ∥BC ， ∴AD ∥EM ∥BC .又∵M 是CD 的中点，∴E是AB的中点．∵∠ABC＝90°，∴ME垂直平分AB.∴AM＝BM.有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理的推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算．5．若将本例中“M是CD的中点”与“AM＝BM”互换，那么结论是否成立？若成立，请给予证明．解：结论成立．证明如下：过点M作ME⊥AB于点E，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴AD⊥AB，BC⊥AB.∵ME⊥AB，∴ME∥BC∥AD.∵AM＝BM，且ME⊥AB，∴E为AB的中点，∴M为CD的中点．6．已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点A，B，C，D，O分别作直线a的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，D′，O′；求证：A′D′＝B′C′.证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于O点，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a，∴AA′∥OO′∥CC′.∴O′A′＝O′C′.同理：O ′D ′＝O ′B ′.∴A ′D ′＝B ′C ′.[对应学生用书P3]一、选择题1．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且EF ＝2 cm ，则AB ＋CD 等于( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．4 cm解析：由梯形中位线定理知EF ＝12(AB ＋CD )，∴AB ＋CD ＝4 cm. 答案：D2．如图，AD 是△ABC 的高，E 为AB 的中点，EF ⊥BC 于F ，如果DC ＝13BD ，那么FC 是BF 的( )A.53倍 B.43倍 C.32倍 D.23倍解析：∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD .又E 为AB 的中点，由推论1知F 为BD 的中点，即BF ＝FD .又DC ＝13BD ，∴DC ＝23BF .∴FC ＝FD ＋DC ＝BF ＋DC ＝53BF .答案：A3．梯形的中位线长为15 cm ，一条对角线把中位线分成3∶2两段，那么梯形的两底长分别为( )A ．12 cm 18 cmB ．20 cm 10 cmC ．14 cm 16 cmD ．6 cm 9 cm 解析：如图，设MP ∶PN ＝2∶3，则MP ＝6 cm ，PN ＝9 cm.∵MN 为梯形ABCD 的中位线，在△BAD 中，MP 为其中位线， ∴AD ＝2MP ＝12 cm. 同理可得BC ＝2PN ＝18 cm. 答案：A4．梯形的一腰长10 cm ，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12 cm ，则此梯形的面积为( )A ．30 cm 2B ．40 cm 2C ．50 cm 2D ．60 cm 2解析：如图，过A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中，AE ＝AB sin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm ，∴AD ＋BC ＝2×12＝24(cm)． ∴梯形的面积S ＝12(AD ＋BC )·AE＝12×5×24＝60 (cm 2)．答案：D 二、填空题5．如图所示，已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与a 、b 、c 交于点A 、B 、C 和A ′、B ′、C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝32，则B ′C ′＝________.解析：直接利用平行线等分线段定理．答案：326.如图，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC 交BD 于G ，CD ＝12AD ，若EG ＝2 cm ，则AC ＝______；若BD ＝10 cm ，则EF ＝________.解析：由E 是AB 的中点，EF ∥BD ，得EG ＝12AD ＝FD ＝2 cm ，结合CD ＝12AD ，可以得到F 、D 是AC 的三等分点，则AC＝3EG＝6(cm)．由EF∥BD，得EF＝12BD＝5(cm)．答案：6 cm 5 cm7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中点，EF∥BC，G是BC边上任一点，如果S△GEF＝2 2 cm2，那么梯形ABCD的面积是________cm2.解析：因为E为AB的中点，EF∥BC，所以EF为梯形ABCD的中位线，所以EF＝12(AD＋BC)，且△EGF的高是梯形ABCD高的一半，所以S梯形ABCD＝4S△EGF＝4×2 2＝82(cm2)．答案：8 2三、解答题8．已知△ABC中，D是AB的中点，E是BC的三等分点(BE>CE)，AE、CD交于点F.求证：F是CD的中点．证明：如图，过D作DG∥AE交BC于G，在△ABE中，∵AD＝BD，DG∥AE，∴BG＝GE.∵E是BC的三等分点，∴BG＝GE＝EC.在△CDG中，∵GE＝CE，DG∥EF，∴DF＝CF.即F是CD的中点．9．如图，先把矩形纸片ABCD对折后展开，并设折痕为MN；再把点B叠在折痕线上，得到Rt△AB1E.沿着EB1线折叠，得到△EAF.求证：△EAF是等边三角形．证明：因为AD∥MN∥BC，AM＝BM，所以B1E＝B1F.又因为∠AB1E＝∠B＝90°，所以AE＝AF，所以∠B1AE＝∠B1AF.根据折叠，得∠BAE＝∠B1AE，所以∠BAE＝∠B1AE＝∠B1AF＝30°，所以∠EAF＝60°，所以△EAF是等边三角形．10.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，四边形ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F.求证：EF＝FC.证明：法一：如图，连接BE交AF于O，∵四边形ABDE是平行四边形，∴BO＝OE.又∵AF∥BC，∴EF＝FC.法二：如图，延长ED交BC于点H，∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥ED，AB∥DH，AB＝ED.又∵AF∥BC，∴四边形ABHD是平行四边形．∴AB＝DH.∴ED＝DH.∴EF＝FC.法三：如图，延长EA交CB的延长线于M，∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥EA，AE＝BD.又AD∥BC.∴四边形AMBD是平行四边形．∴AM＝BD.∴AM＝AE.∴EF＝FC.。

教育最新K122018-2019学年高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲本讲知识归纳与达标验收-含答案

[对应学生用书P33]考情分析通过对近几年新课标区高考试题的分析可见，高考对本讲知识的考查，主要是以参数方程为工具，考查直线与圆或与圆锥曲线的有关的问题．真题体验1．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．解析：由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3.答案：32．(陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．解析：由三角函数定义知yx ＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ，由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝11＋tan 2θ＝cos 2θ，则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又θ＝π2时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．答案：⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)3．(新课标全国卷Ⅱ)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离 d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．[对应学生用书P33]1.消参的常用方法(1)代入消参法，是指由曲线的参数方程中的某一个(或两个)得到用x (或y ，或x ，y )表示参数的式子，把其代入参数方程中达到消参的目的．(2)整体消参法，是指通过恰当的变形把两式平方相加(或相减、相乘、相除)达到消参的目的，此时常用到一些桓等式，如sin 2θ＋cos 2θ＝1，sec 2θ＝tan 2θ＋1，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4等． 2．消参的注意事项(1)消参时，要特别注意参数的取值对变量x ，y 的影响，否则易扩大变量的取值范围．(2)参数方程中变量x ，y 就是参数的函数，可用求值域的方法确定变量x ，y 的取值范围．[例1] 参数方程⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2表示的曲线是什么？ [解] 化为普通方程是：x 2＋y 2＝25，∵－π2≤θ≤π2， ∴0≤x ≤5，－5≤y ≤5.∴表示以(0,0)为圆心，5为半径的右半圆． [例2] 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ＋1，y ＝t 2－1(t 为参数)化为普通方程．[解] 由x ＝35t ＋1得t ＝53(x －1)，代入y ＝t 2－1，得y ＝259(x －1)2－1，即为所求普通方程.1．直线参数方程的标准形式直线参数方程的一般形式为⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，只有当b ≥0，a 2＋b 2＝1时，上述方程组才为直线的参数方程的标准形式，直线经过的起点坐标为M 0(x 0，y 0)，直线上另外两点M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)对应的参数分别为t 1，t 2，这时就有|M 0M 1|＝|t 1|，|M 0M 2|＝|t 2|，|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.2．直线参数方程的应用直线的参数方程应用十分广泛，特别在计算与圆锥曲线的相交弦的弦长时，可以利用参数的几何意义和弦长公式求解，这样可以避免因运用直线和圆锥曲线的方程所组成的方程组求解导致的烦琐运算，从而简化解题过程，优化解题思路．3．应用直线的参数方程求弦长的注意事项 (1)直线的参数方程应为标准形式． (2)要注意直线倾斜角的取值范围． (3)设直线上两点对应的参数分别为t 1，t 2. (4)套公式|t 1－t 2|求弦长．[例3] 已知点P (3,2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长． [解] 设弦AB 所在的直线方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入方程y 2＝4x 整理得： t 2sin 2α＋4(sin α－cos α)t －8＝0.①因为点P (3,2)是弦AB 的中点，由参数t 的几何意义可知，方程①的两个实根t 1，t 2满足关系t 1＋t 2＝0.即sin α－cos α＝0. 因为0≤α＜π，所以α＝π4. ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4·8sin 2π4＝8.圆心为(a ，b )，半径为r 的圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)；长半轴为a ，短半轴为b ，中心在原点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，圆、椭圆的参数方程在计算最大值、最小值和取值范围等问题中有着广泛的应用，利用圆、椭圆的参数方程将上述问题转化为三角函数的最值问题，利用三角函数的变换公式可以简化计算，从而避免了繁杂的代数运算．[例4] (新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．[解] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.[对应学生用书P37](时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知曲线的方程为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)，则下列点中在曲线上的是( )A ．(1,1)B ．(2,2)C ．(0,0)D ．(1,2)解析：当t ＝0时，x ＝0且y ＝0.即点(0,0)在曲线上．答案：C2．直线x ＋y ＝0被圆⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)截得的弦长是( )A ．3B ．6C ．2 3D. 3解析：圆的普通方程为x 2＋y 2＝9，半径为3，直线x ＋y ＝0过圆心，故所得弦长为6.答案：B3．点P (1,0)到曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝2t (其中t 为参数且t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2D ．2解析：点P 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t(t ∈R )上的点之间的距离d ＝(x －1)2＋(y －0)2＝(t 2－1)2＋(2t )2＝t 2＋1≥1. 答案：B4．参数方程⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θ(θ为参数)所表示的曲线为( )A ．抛物线的一部分B ．一条抛物线C ．双曲线的一部分D ．一条双曲线解析：x ＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，即y 2＝－x ＋1. 又x ＝cos 2θ∈[0,1]，y ＝sin θ∈[－1,1]， ∴为抛物线的一部分．答案：A5．当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2,3) B ．点(2,0) C ．点(1,3)D ．点(0，π2)解析：令x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，则动点(x ，y )的轨迹是椭圆：x 24＋y 29＝1，∴曲线过点(2,0)．答案：B6．已知三个方程：①⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t 2；②⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝tan 2t ；③⎩⎨⎧x ＝sin t ，y ＝sin 2t (都是以t 为参数)．那么表示同一曲线的方程是( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③D ．②③解析：①②③的普通方程都是y ＝x 2，但①②中x 的取值范围相同，都是x ∈R ，而③中x 的取值范围是－1≤x ≤1.答案：B7．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)解析：可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得(－2)2＋(2)2·|t |＝2，可得t ＝±22，将t 代入原方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以所求点的坐标为(－3，4)或(－1,2)．答案：C8．(安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14 B ．214 C. 2D ．2 2解析：由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4，圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2，直线l 被圆C 截得的弦长为222－(2)2＝2 2. 答案：D9．已知圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)上有一个点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )A ．πB ．3πC ．6πD ．9π解析：把已知点(3,0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧3＝r (cos φ＋φsin φ)，①0＝r (sin φ－φcos φ)，②由②得φ＝tan φ，所以φ＝0，代入①得，3＝r ·(cos 0＋0)，所以r ＝3，所以基圆的面积为9π.答案：D10．已知方程x 2－ax ＋b ＝0的两根是sin θ和cos θ(|θ|≤π4)，则点(a ，b )的轨迹是( )A ．椭圆弧B ．圆弧C ．双曲线弧D ．抛物线弧解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝a ，sin θ·cos θ＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝sin θ＋cos θ，b ＝sin θ·cos θ.a 2－2b ＝(sin θ＋cos θ)2－2sin θ·cos θ＝1. 又|θ|≤π4.∴表示抛物线弧．答案：D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(参数θ∈R )有唯一的公共点，则实数k ＝________.解析：曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝1，由题意知，|2k －0|1＋k 2＝1，∴k ＝±33.答案：±3312．双曲线⎩⎨⎧x ＝tan θ，y ＝2sec θ(θ为参数)的渐近线方程为______________．解析：双曲线的普通方程为y 24－x 2＝1，由y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ，即为渐近线方程．答案：y ＝±2x13．已知点P 在直线⎩⎨⎧x ＝3＋4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)上，点Q 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)上的动点，则|PQ |的最小值等于________．解析：直线方程为3x －4y －5＝0，由题意，点Q 到直线的距离d ＝|5cos θ－12sin θ－5|5＝|13cos (θ＋φ)－5|5，∴d min ＝85，即|PQ |min＝85. 答案：8514．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于M 点，则|MM 0|＝________.解析：由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1)．根据t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)．答案：6(3＋1)三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(福建高考)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t(t为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y 的最大值．解：因为椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)．故可设动点P 的坐标为()3cos φ，sin φ，其中0≤φ＜2π. 因此，S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3. 所以当φ＝π6时，S 取得最大值2. 17．(本小题满分12分)已知曲线C 1：⎩⎨⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t(t 是参数)，C ：⎩⎨⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数) (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎨⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 是参数)距离的最小值．解：(1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1， C 1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|.从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取得最小值855.18．(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M ，N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)． ∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0.(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝16(sin α＋cos α)2－16＞0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α＞0，又0≤α＜π，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且t 1＜0，t 2＜0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4， ∴22＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,42]．。

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[对应学生用书P13]考情分析通过对近几年新课标区高考试题的分析可知，高考对本讲的考查集在考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等．预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为主．真题体验1．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1解析：由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2，故选B.答案：B2．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R)的距离是________．解析：将ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，圆心为(0,2)．将θ＝π6(ρ∈R)化成直角坐标方程为x－3y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d ＝|0－23|2＝ 3.答案： 33．(江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．解析：∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2y ＋4x ，即x 2＋y 2－4x －2y ＝0. 答案：x 2＋y 2－4x －2y ＝0.[对应学生用书P13]利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x 轴，y 轴(坐标原点)．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．[例1] 已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|P A |2＋|PB |2＋|PC |2最小，并求出此最小值．[解] 以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，则A ⎝⎛⎭⎪⎫0，32a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0.设P (x ，y )，则|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝3x 2＋3y 2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎪⎫y －36a 2＋a 2≥a 2，当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立．∴所求的最小值为a 2，此时P 点的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，36a ，即为正三角形ABC的中心.设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x (λ＞0)y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．[例2] 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．[解] 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1中，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1. 化简，得(x －52)2＋(y ＋3)2＝14.该曲线是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆.θ)＝0如果曲线C 是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F (ρ，θ)＝0为曲线C 的极坐标方程．由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．[例3] △ABC 底边BC ＝10，∠A ＝12∠B ，以B 为极点，BC 为极轴，建立极坐标系，求顶点A 的轨迹的极坐标方程．[解] 如图：令A (ρ，θ)， △ABC 内，设∠B ＝θ，∠A ＝θ2，又|BC |＝10，|AB |＝ρ. 由正弦定理，得ρsin (π－3θ2)＝10sin θ2，化简，得A 点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．互化公式为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)直角坐标方程化极坐标方程可直接将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x ，y 代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．[例4] (天津高考)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________．[解析] 由于圆和直线的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝4y 和y ＝a ，它们相交于A ，B 两点，△AOB 为等边三角形，所以不妨取直线OB 的方程为y ＝3x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4y ，y ＝3x ，消去y ，得x 2＝3x ，解得x ＝3或x ＝0，所以y ＝3x ＝3，即a ＝3.[答案] 3[例5] 在极坐标系中，点M 坐标是(2，π3)，曲线C 的方程为ρ＝22sin(θ＋π4); 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点M 和极点．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，求线段AB 的长． [解] (1)∵直线l 过点M (2，π3)和极点， ∴直线l 的直角坐标方程是θ＝π3(ρ∈R )． ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0. (2)点M 的直角坐标为(1，3)，直线l 过点M 和原点， ∴直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .曲线C 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离为d ＝3－12，∴|AB |＝3＋1.[对应学生用书P35] (时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M 的极坐标为(1，π)，则它的直角坐标是( ) A ．(1,0) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(0，－1)解析：x ＝1×cos π＝－1，y ＝1×sin π＝0，即直角坐标是(－1,0)．答案：B2．已知曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos 2θ，给定两点P (0，π2)，Q (2，π)，则有( )A ．P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上B ．P 、Q 都不在曲线C 上C ．P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上D ．P 、Q 都在曲线C 上解析：当θ＝π2时，ρ＝2cos π＝－2≠0，故点P 不在曲线上；当θ＝π时，ρ＝2cos 2π＝2，故点Q 在曲线上．答案：C3．点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，π3，5，则其直角坐标为( )A.()5，8，83B.()8，83，5C.()83，8，5D.()4，83，5解析：∵ρ＝16，θ＝π3，z ＝5，∴x ＝ρcos θ＝8，y ＝ρsin θ＝83，z ＝5， ∴点P 的直角坐标是(8,83，5)．答案：B4．在同一坐标系中，将曲线y ＝2sin 3x 变为曲线y ＝sin x 的伸缩变换是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝12y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y C.⎩⎨⎧x ＝3x ′y ＝2y ′D.⎩⎨⎧x ′＝3x y ′＝2y解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxy ′＝μy 代入y ＝sin x ，得μy ＝sin λx ，即y ＝1μsin λx ，与y ＝2sin 3x 比较，得μ＝12，λ＝3，即变换公式为⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .答案：B5．曲线ρ＝5与θ＝π4的交点的极坐标写法可以有( ) A ．1个 B ．2个 C ．4个D ．无数个解析：由极坐标的定义易知有无数个．答案：D6．在极坐标系中，过点A (6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( ) A ．2 B ．6 C ．2 3D ．215解析：圆ρ＝－4cos θ化为(x ＋2)2＋y 2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝42－22＝12＝2 3.答案：C7．极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝12的图形是( )解析：把ρcos θ＝12化为直角坐标方程，得x ＝12，把ρ＝cos θ代为直角坐标方程，得x 2＋y 2－x ＝0，即其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12，故选项B 正确．答案：B8．极坐标方程θ＝π3，θ＝23π(ρ＞0)和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是( )A.163πB.83πC.43πD.23π解析：三条曲线围成一个扇形，半径为4，圆心角为2π3－π3＝π3. ∴扇形面积为：12×4×π3×4＝8π3. 答案：B9．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin(θ－π3)关于( ) A ．线θ＝π3轴对称B ．线θ＝5π6轴对称C ．(2，π3)中心对称D ．极点中心对称解析：ρ＝4sin(θ－π3)可化为ρ＝4cos(θ－5π6)，可知此曲线是以(2，5π6)为圆心的圆，故圆关于θ＝5π6对称．答案：B10．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan θ＝1与θ＝π4表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是( )A ．①③B ．①C ．②③D ．③解析：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上所有点的坐标不一定适合方程，故①是错误的；tan θ＝1不仅表示θ＝π4这条射线，还表示θ＝5π4这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．答案：D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________. 解析：由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得圆心C 的直角坐标为(2,0)，点P 的直角坐标为(2,23)，所以|CP |＝2 3.答案：2 312．点A 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332，92，3，则它的球坐标为________．解析：r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫922＋32＝6.cos φ＝36＝12，∴φ＝π3. tan θ＝92332＝3，∴θ＝π3.∴它的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π3.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π313．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2关于直线l ：ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标为________．解析：由直线l 的方程可知直线l 过点(1,0)且与极轴垂直，设A ′是点A 关于l 的对称点，则四边OBA ′A 是正方形，∠BOA ′＝π4，且OA ′＝22，故A ′的极坐标可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π414．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹方程为________．解析：数形结合，易知所求轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0为圆心，a 2为半径的圆，求得方程是ρ＝a cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2. 答案：ρ＝a cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(辽宁高考改编)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. 由⎩⎨⎧ x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ. 16．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－2cos θ与ρcos(θ＋π3)＝1表示的两个图形的位置关系是什么？解：ρ＝－2cos θ可变为ρ2＝－2ρcos θ，化为普通方程为x 2＋y 2＝－2x即(x ＋1)2＋y 2＝1它表示圆，圆心为(－1,0)，半径为1.将ρcos(θ＋π3)＝1化为普通方程为x －3y －2＝0.∵圆心(－1,0)到直线的距离为|－1－2|1＋3＝32＞1 ∴直线与圆相离．17．(本小题满分12分)把下列极坐标方程化为直角坐标方程并说明表示什么曲线．(1)ρ＝2a cos θ(a ＞0)；(2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)；(3)ρ＝4；(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.解：(1)ρ＝2a cos θ，两边同时乘以ρ，得ρ2＝2aρcos θ，即x 2＋y 2＝2ax .整理得x 2＋y 2－2ax ＝0，即(x －a )2＋y 2＝a 2.是以(a,0)为圆心，a 为半径的圆．(2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)，即x 2＋y 2＝9x ＋9y ，又可化为(x －92)2＋(y －92)2＝812，是以(92，92)为圆心，922为半径的圆．(3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x 2＋y 2＝16.是以原点为圆心，4为半径的圆．(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x －3y ＝5，是一条直线．18．(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，得M (2,0)；当θ＝π2时，ρ＝233，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈R .。

[推荐学习]2018-2019学年高中数学人教A版选修4-1学案创新应用：第一讲四直角三角形的射影定

四直角三角形的射影定理[对应学生用书P14]1．射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)图形语言：如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.[对应学生用书P14][例1]如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm，求CD，AC，BC的长．[思路点拨]在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．[解]∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝12＝23(cm)．∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝16＝4(cm)．∵BC 2＝BD ·AB ＝6×(2＋6)＝48， ∴BC ＝48＝43(cm)．故CD 、AC 、BC 的长分别为2 3 cm,4 cm,4 3 cm.(1)在Rt △ABC 中，共有AC 、BC 、CD 、AD 、BD 和AB 六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．1.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是AB 上的高．已知BD＝4，AB ＝29，试求出图中其他未知线段的长．解：由射影定理，得BC 2＝BD ·AB ， ∴BC ＝BD ·AB ＝4×29＝229. 又∵AD ＝AB －BD ＝29－4＝25. 且AC 2＝AB 2－BC 2， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝292－4×29＝529.∵CD 2＝AD ·BD ，∴CD ＝AD ·BD ＝25×4＝10.2．已知：CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，如果两直角边AC ，BC 的长度比为AC ∶BC ＝3∶4.求：(1)AD ∶BD 的值； (2)若AB ＝25 cm ，求CD 的长．解：(1)∵AC 2＝AD ·AB ， BC 2＝BD ·AB ， ∴AD ·AB BD ·AB ＝AC 2BC 2. ∴AD BD ＝(AC BC )2＝( 34)2＝916. (2)∵AB ＝25 cm ，AD ∶BD ＝9∶16， ∴AD ＝99＋16×25＝9(cm)，BD＝169＋16×25＝16(cm)．∴CD＝AD·BD＝9×16＝12(cm).[例2]DG⊥BE，F、G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.[思路点拨]先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．[证明]∵CD垂直平分AB，∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.又∵DF⊥AC，DG⊥BE，∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2.∵AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE.将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明．3．如图所示，设CD是Rt△ABC的斜边AB上的高．求证：CA·CD＝BC·AD.证明：由射影定理知：CD2＝AD·BD，CA2＝AD·AB，BC 2＝BD ·AB .∴CA ·CD ＝AD 2·BD ·AB ＝AD ·BD ·AB ， BC ·AD ＝AD ·AB ·BD . 即CA ·CD ＝BC ·AD .4．Rt △ABC 中有正方形DEFG ，点D 、G 分别在AB 、AC 上，E 、F 在斜边BC 上．求证：EF 2＝BE ·FC .证明：过点A 作AH ⊥BC 于H .则DE ∥AH ∥GF . ∴DE AH ＝BE BH ，GF AH ＝FC CH . ∴DE ·GF AH 2＝BE ·FC BH ·CH . 又∵AH 2＝BH ·CH ， ∴DE ·GF ＝BE ·FC . 而DE ＝GF ＝EF ， ∴EF 2＝BE ·FC .[对应学生用书P15]一、选择题1．已知Rt △ABC 中，斜边AB ＝5 cm ，BC ＝2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于E ，且AD ＝3.2 cm ，则DE ＝( )A ．1.24 cmB ．1.26 cmC ．1.28 cmD ．1.3 cm解析：如图，∵∠A ＝∠A ，∴Rt △ADE ∽Rt △ABC ， ∴AD AB ＝DE BC， DE ＝AD ·BC AB ＝3.2×25＝1.28.答案：C2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为( ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4D ．4∶1解析：设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为5，∴两直角边在斜边上的射影分别为15和45. 答案：C3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm ，斜边上的高为2.4 cm ，则这个直角三角形的面积为( )A ．7.2 cm 2B ．6 cm 2C ．12 cm 2D ．24 cm 2解析：长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32－2.42＝1.8(cm)，由射影定理知斜边长为321.8＝5(cm)，∴三角形面积为12×5×2.4＝6(cm 2)．答案：B4．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD ＝6 cm ，AD ∶DB ＝1∶2，则AD 的值是( )A ．6 cmB ．3 2 cmC ．18 cmD ．3 6 cm解析：∵AD ∶DB ＝1∶2， ∴可设AD ＝t ，DB ＝2t . 又∵CD 2＝AD ·DB ，∴36＝t ·2t ，∴2t 2＝36，∴t ＝32(cm)，即AD ＝3 2 cm. 答案：B 二、填空题5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1，则该三角形在直线l 上的射影的最大值为________．解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长．答案： 26．如图所示，四边形ABCD 是矩形，∠BEF ＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．解析：因为四边形ABCD 为矩形，所以∠A ＝∠D ＝90°.因为∠BEF ＝90°，所以∠1＋∠2＝90°. 因为∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3. 所以△ABE ∽△DEF . 答案：①③7．在△ABC 中，∠A ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，AD ＝6，BD ＝12，则CD ＝__________，AC ＝__________，AB 2∶AC 2＝__________.解析：如图，AB 2＝AD 2＋BD 2，又AD ＝6，BD ＝12， ∴AB ＝6 5.由射影定理可得，AB 2＝BD ·BC ， ∴BC ＝AB 2BD＝15.∴CD ＝BC －BD ＝15－12＝3. 由射影定理可得，AC 2＝CD ·BC ， ∴AC ＝3×15＝3 5. ∴AB 2AC 2＝BD ·BC CD ·BC ＝BD CD ＝123＝4. 答案：3 35 4∶1 三、解答题8．如图：在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，DE 是Rt △BCD 斜边BC 上的高，若BE ＝6，CE ＝2.求AD 的长是多少．解：因为在Rt △BCD 中，DE ⊥BC ，所以由射影定理可得：CD 2＝CE ·BC ，所以CD 2＝16，因为BD2＝BE·BC，所以BD＝6×8＝4 3.因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，所以由射影定理可得：CD2＝AD·BD，所以AD＝CD 2BD ＝1643＝433.9．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，且CD2＝AD·BD，求证：∠ACB＝90°.证明：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°.又∵CD2＝AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD，∴△ACD∽△CBD.∴∠CAD＝∠BCD.又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°.10．已知直角三角形周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分．(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长．解：(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB，由题意可得，DE＝3x，BE＝4x，∴AE＋AC＋12x＝48.又AE＝AC，∴AC＝24－6x，AB＝24－2x.∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，解得：x1＝0(舍去)，x2＝2.∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.(2)作CF⊥AB于F点，∴AC2＝AF·AB.∴AF＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)；同理：BF＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为365cm，645cm.[对应学生用书P16]近两年高考中，由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同．但都主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；一般试题难度不大，解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果．在使用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系．1.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．解析：由CD＝2，AB＝4，EF＝3，得EF＝12(CD＋AB)，∴EF是梯形ABCD的中位线，则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高，设为h，于是两梯形的面积比为 12(3＋4)h ∶12(2＋3)h ＝7∶5. 答案：7∶52.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．解析：连接AC ，BC ，则∠ACB ＝90°. 设AD ＝2，则AB ＝6，于是BD ＝4，OD ＝1.如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝8，则CD ＝2 2. 在Rt △OCD 中，DE ＝OD ·CD OC ＝1×223＝223.则CE ＝DC 2－DE 2＝8－89＝83， EO ＝OC －CE ＝3－83＝13.因此CE EO ＝8313＝8.答案：8[对应学生用书P16]的直线上截得的线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线段的长度，也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中，平行线等分线段定理是线段的比为1的特例．[例1] 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DH ∥GC . 求证：EG ∥BH .[证明] ∵DE ∥BC ， ∴AE AC ＝AD AB. ∵DH ∥GC ，∴AH AC ＝ADAG .∴AE ·AB ＝AC ·AD ＝AH ·AG . ∴AE AH ＝AGAB.∴EG ∥BH . [例2] 如图，直线l 分别交△ABC 的边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，且AF ＝13AB ，BD ＝52BC ，试求EC AE.[解] 作CN ∥AB 交DF 于点N ，并作EG ∥AB 交BC 于点G ，由平行截割定理，知BF CN ＝DB DC ，CN AF ＝EC AE，两式相乘，得BF CN ·CN AF ＝DB DC ·ECAE ，即EC AE ＝BF AF ·DC DB. 又由AF ＝13AB ，得BFAF ＝2，由BD ＝52BC ，得DC DB ＝35，所以EC AE ＝2×35＝65.角关系．其应用非常广泛，涉及到多种题型，可用来计算线段、角的大小，也可用来证明线段、角之间的关系，还可以证明直线之间的位置关系．其中，三角形全等是三角形相似的特殊情况．[例3] 如图所示，AD 、CF 是△ABC 的两条高线，在AB 上取一点P ，使AP ＝AD ，再从P 点引BC 的平行线与AC 交于点Q .求证：PQ ＝CF .[证明] ∵AD 、CF 是△ABC 的两条高线， ∴∠ADB ＝∠BFC ＝90°. 又∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBF . ∴AD CF ＝AB CB. 又∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC . ∴PQ BC ＝AP AB .∴AP PQ ＝AB BC .∴AD CF ＝AP PQ . 又∵AP ＝AD ，∴CF ＝PQ .[例4] 四边形ABCD 中，AB ∥CD ，CE 平分∠BCD ，CE ⊥AD 于点E ，DE ＝2AE ，若△CED 的面积为1，求四边形ABCE 的面积．[解] 如图，延长CB 、DA 交于点F ，又CE 平分∠BCD ，CE ⊥AD .∴△FCD 为等腰三角形，E 为FD 的中点． ∴S △FCD ＝12FD ·CE＝12×2ED ·CE ＝2S △CED ＝2， EF ＝ED ＝2AE . ∴F A ＝AE ＝14FD .又∵AB ∥CD ， ∴△FBA ∽△FCD .∴S △FBAS △FCD ＝(F A FD )2＝(14)2＝116.∴S △FBA ＝116×S △FCD ＝18. ∴S 四边形ABCE ＝S △FCD －S △CED －S △FBA＝2－1－18＝78.系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．[例5] 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC于E ，EF ⊥AB 于F .求证：CE 2＝BD ·DF .[证明] ∵∠ACB ＝90°，DE ⊥AC ， ∴DE ∥BC .∴BD CE ＝AB AC .同理：CD ∥EF ，∴CE DF ＝AC AD. ∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴AC 2＝AD ·AB . ∴AC AD ＝AB AC . ∴CE DF ＝BD CE . ∴CE 2＝BD ·DF .[对应学生用书P41] (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，已知AA ′∥BB ′∥CC ′，AB ∶BC ＝1∶3，那么下列等式成立的是( )A ．AB ＝2A ′B ′ B ．3A ′B ′＝B ′C ′ C ．BC ＝B ′C ′D ．AB ＝A ′B ′解析：∵AA ′∥BB ′∥CC ′，∴AB BC ＝A ′B ′B ′C ′＝13.∴3A ′B ′＝B ′C ′. 答案：B2.如图，∠ACB ＝90°.CD ⊥AB 于D ，AD ＝3、CD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )A ．3∶2B ．9∶4 C.3∶ 2D.2∶ 3解析：Rt △ACD ∽Rt △CBD ，∴AC BC ＝AD CD ＝32.答案：A3．在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，若BD ＝3 cm ，AC ＝2 cm ，则CD 和BC 的长分别为( )A. 3 cm 和3 2 cm B ．1 cm 和 3 cm C ．1 cm 和3 2 cm D. 3 cm 和2 3 cm 解析：设AD ＝x ，则由射影定理得x (x ＋3)＝4，即x ＝1(负值舍去)，则CD ＝AD ·BD ＝3(cm)， BC ＝BD ·AB ＝3(3＋1)＝23(cm)．答案：D4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，DE 是△ACD 的高，且AC ＝5，CD ＝2，则DE 的值为( )A.2215B.215C.3215D.2125解析：AC 2＝CD ·BC ，即52＝2×BC ， ∴BC ＝252.∴AB ＝BC 2－AC 2＝2524－52＝5212. ∵DE AB ＝DC BC ，∴DE ＝2215. 答案：A5．如图所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝ABBC ；④AC 2＝AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①由∠B ＝∠ACD ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；②由∠ADC ＝∠ACB ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；③AC CD ＝ABBC ，而夹角不一定相等，所以两个三角形不一定相似；④AC 2＝AD ·AB 可得AC AD ＝ABAC，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似．答案：C6.如图，DE ∥BC ，S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，则AD ∶DB 的值为( )A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶5解析：由S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8 得S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9. ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC . ∴(AD AB )2＝S △ADE S △ABC ＝19. ∴AD AB ＝13，AD DB ＝12. 答案：C7．△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中不一定使△ABC 与△DEF 相似的是( )A ．∠A ＝∠D ＝45°38′，∠C ＝26°22′，∠E ＝108°B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16 C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝cD ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40° 解析：A 中∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ＝108°， ∴△ABC ∽△DEF ；B 中AB ∶AC ∶BC ＝EF ∶DE ∶DF ＝2∶3∶4； ∴△ABC ∽△EFD ； D 中AB AC ＝DEDF，∠A ＝∠D ， ∴△ABC ∽△DEF ；而C 中不能保证三边对应成比例．答案：C8．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°.CD ⊥AB 于D .若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( ) A.14 B.13 C.12D ．2解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶4. 令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)， ∴CD 2＝4x 2，∴CD ＝2x ，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12.答案：C9.在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ∶CE ＝2∶3，连接AE 、BE 、BD 且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝( )A ．4∶10∶25B ．4∶9∶25C ．2∶3∶5D ．2∶5∶25 解析：∵AB ∥CD ， ∴△ABF ∽△EDF .∴DE AB ＝DF FB ＝25. ∴S △DEF S △ABF ＝(25)2＝425.又△DEF 和△BEF 等高． ∴S △DEF S △EBF ＝DF FB ＝25＝410. 答案：A10．如图，已知a ∥b ，AF BF ＝35，BCCD ＝3.则AE ∶EC ＝( )A.125 B.512 C.75D.57解析：∵a ∥b ，∴AE EC ＝AG CD ，AF BF ＝AGBD .∵BCCD ＝3，∴BC ＝3CD ，∴BD ＝4CD . 又AF BF ＝35， ∴AG BD ＝AF BF ＝35.∴AG 4CD ＝35.∴AG CD ＝125. ∴AE EC ＝AG CD ＝125. 答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，D ，E 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，BD ＝2AD ，那么△ADE 的周长∶△ABC 的周长等于________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC . ∵BD ＝2AD ，∴AB ＝3AD .∴AD AB ＝13.∴△ADE 的周长△ABC 的周长＝AD AB ＝13.答案：1312．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5， DE ＝6，则BF ＝________.解析：∵DE ∥BC ，∴DE BC ＝AE AC ，∴BC ＝DE ·AC AE ＝6×53＝10，又DF ∥AC ，∴DE ＝FC ＝6. ∴BF ＝BC －FC ＝4. 答案：413．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点O ，直线AO 与DE 、BC 分别交于N 、M ，若DN ∶MC ＝1∶4，则NE ∶BM ＝________，AE ∶EC ＝________.解析：OD OC ＝DN MC ＝14，∴OE OB ＝OD OC ＝14. ∴NE BM ＝OE OB ＝14. 又DE BC ＝OD OC ＝14， ∴AE AC ＝DE BC ＝14. ∴AE ∶EC ＝1∶3. 答案：1∶4 1∶314．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7 m 宽的亮区(如图所示)，已知亮区一边到窗下的墙角距离CE ＝8.7 m ，窗口高AB ＝1.8 m ，那么窗口底边离地面的高BC 等于________m.解析：∵BD ∥AE ，∴BCAB ＝CDDE .∴BC ＝AB ·CD DE.∵AB ＝1.8 m ，DE ＝2.7 m ，CE ＝8.7 m ， ∴CD ＝CE －DE ＝8.7－2.7＝6(m)． ∴BC ＝1.8×62.7＝4(m)．答案：4三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，△ABC 中，BC 的中点为D ，∠ADB和∠ADC 的平分线分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：MN ∥BC .证明：∵MD 平分∠ADB ， ∴AD BD ＝AM MB. ∵ND 平分∠ADC ，∴AD DC ＝ANNC .∵BD ＝DC ，∴AM MB ＝AD BD ＝AD DC ＝AN NC . ∴MN ∥BC .16．(本小题满分12分)如图，已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ，求证：BP 2＝PE ·PF .证明：连接PC ， ∵AB ＝AC ，AD 是中线，∴AD 是△ABC 的对称轴，故PC ＝PB ， ∠PCE ＝∠ABP . ∵CF ∥AB ，∴∠PFC ＝∠ABP ，故∠PCE ＝∠PFC ， ∵∠CPE ＝∠FPC ， ∴△EPC ∽△CPF ，故PC PF ＝PE PC，即PC 2＝PE ·PF ， ∴BP 2＝PE ·PF .17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是BD 上任意一点，过P 点的直线分别交AB 、DC 于E 、F ，交DA 、BC 的延长线于G 、H .(1)求证：PE ·PG ＝PF ·PH ；(2)当过P 点的直线绕点P 旋转到F 、H 、C 重合时，请判断PE 、PC 、PG 的关系，并给出证明．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴PE PF ＝PB PD .∵AD ∥BC ，∴PH PG ＝PBPD ，∴PE PF ＝PHPG.∴PE ·PG ＝PH ·PF . (2)关系式为PC 2＝PE ·PG .证明：由题意可得到右图， ∵AB ∥CD ， ∴PE PC ＝PB PD . ∵AD ∥BC ，∴PC PG ＝PB PD. ∴PE PC ＝PCPG，即PC 2＝PE ·PG . 18．(本小题满分14分)某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 m 、20 m 的梯形空地上种植花木(如图)．(1)他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单位为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后(图中阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用；(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？解：(1)∵四边形ABCD 为梯形，∴AD ∥BC . ∴△AMD ∽△CMB ，∴S △AMD S △CMB ＝(AD BC )2＝14.∵种植△AMD 地带花费160元， ∴S △AMD ＝1608＝20(m 2)． ∴S △CMB ＝80(m 2)．∴△CMB 地带的花费为80×8＝640元． (2)S △ABMS △AMD ＝BM DM ＝BCAD ＝2， ∴S △ABM ＝2S △AMD ＝40(m 2)．同理：S △DMC ＝40(m 2)．所剩资金为：1600－160－640＝800元，而800÷(S △ABM ＋S △DMC )＝10(元/m 2)．故种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．。

高中数学人教A版选修4-1学案创新应用第二讲知识归纳与达标验收 Word版含解析

[对应学生用书]近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．．(湖南高考)如图，已知，是⊙的两条弦，⊥，＝，＝，则⊙的半径等于．解析：设，的交点为，由已知可得为的中点，则在直角三角形中，＝＝，设圆的半径为，延长交圆于点，由圆的相交弦定理可知·＝·，即()＝－，解得＝.答案：.(新课标全国卷Ⅱ)如图，是⊙外一点，是切线，为切点，割线与⊙相交于点，，＝，为的中点，的延长线交⊙于点.证明：()＝；()·＝.证明：()连接，.由题设知＝，故∠＝∠.因为∠＝∠＋∠，∠＝∠＋∠，∠＝∠，所以∠＝∠，从而＝.因此＝.()由切割线定理得＝·.因为＝＝，所以＝，＝.由相交弦定理得·＝·，所以·＝.．(新课标全国卷Ⅱ)如图，为△外接圆的切线，的延长线交直线于点，，分别为弦与弦上的点，且·＝·，，，，四点共圆．()证明：是△外接圆的直径；()若＝＝，求过，，，四点的圆的面积与△外接圆面积的比值.解：()证明：因为为△外接圆的切线，所以∠＝∠，由题设知＝，故△∽△，所以∠＝∠.因为，，，四点共圆，所以∠＝∠，故∠＝∠＝°.所以∠＝°，因此是△外接圆的直径．()连接，因为∠＝°，所以过，，，四点的圆的直径为.由＝，有＝.又＝·＝，所以＝＋＝.而＝·＝，故过，，，四点的圆的面积与△外接圆面积的比值为.[对应学生用书]内接四边形的判定和性质．[例]已知四边形为平行四边形，过点和点的圆与、分别交于、.求证：、、、四点共圆．[证明]连接，因为四边形为平行四边形，所以∠＋∠＝°.因为四边形内接于圆，。

2018-2019学年高中数学人教A版选修4-1课件创新应用：第三讲圆锥曲线性质的探讨

解析：如果梯形 ABCD 所在平面平行于投影方向，则梯形 ABCD 在 α 上的射影是一条线段．如果梯形 ABCD 所在平面不平行于投影方向，则平行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯形 ABCD 在平面 α 上的射影仍是梯形．
答案：一条线段或梯形
3．已知△ABC 的边 BC 在平面 α 内，A 在平面 α 上的射影为 A′(A′不在 BC 上)． (1)当∠BAC＝90° 时，求证：△A′BC 为钝角三角形； (2)当∠BAC＝60° 时， AB、 AC 与平面 α 所成的角分别是 30° 和 45° 时，求 cos∠BA′C.
椭圆． (1)定理 1：圆柱形物体的斜截口是_______
(2)定理 2：在空间中，取直线 l 为轴，直线 l′与 l 相交于 O 点，夹角为 α，l′围绕 l 旋转得到以 O 为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面 π，若它与轴 l 的交角为 β(当 π 与 l 平行时，记 β＝0)，则
椭圆． ①β>α，平面 π 与圆锥的交线为_____
图形，叫做这个图形的平行射影．
3．正射影与平行射影的联系与区别正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积．
4．两个定理
(
)
解析：正射影是平行射影的特例，则选项 A 不正确，选项 B 正确；对同一个图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，则选项 C 不正确；当投影线垂直于投影面，且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，则选项 D 不正确．

2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第三讲圆锥曲线性质的探讨

[对应学生用书P37]1．正射影的概念给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′，称点A′为点A在平面α上的正射影．一个图形上点A′所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．2．平行射影设直线l与平面α相交，称直线l的方向为投影方向，过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交α于一点A′，称点A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影．一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．3．正射影与平行射影的联系与区别正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积．4．两个定理(1)定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l 旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l 平行时，记β＝0)，则①β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆．②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线．③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．[对应学生用书P37][例1]()A．椭圆B．圆C．线段D．射线[思路点拨]要确定椭圆在投影面上的平行射影，关键看投影面与椭圆所在平面的位置关系．[解析]因为椭圆所在平面与投影面平行，所以椭圆的平行射影无论投射线的方向如何，始终保持与原图形全等．[答案] A平面图形可以看作点的集合，找到平面图形中关键点的正射影，就可找到平面图形正射影的轮廓，从而确定平面图形的正射影．1．下列说法正确的是()A．平行射影是正射影B．正射影是平行射影C．同一个图形的平行射影和正射影相同D．圆的平行射影不可能是圆解析：正射影是平行射影的特例，则选项A不正确，选项B正确；对同一个图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，则选项C不正确；当投影线垂直于投影面，且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，则选项D不正确．答案：B2．梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在α内，则它在α上的射影是____________．解析：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD在α上的射影是一条线段．如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，则平行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯形ABCD在平面α上的射影仍是梯形．答案：一条线段或梯形3．已知△ABC的边BC在平面α内，A在平面α上的射影为A′(A′不在BC上)．(1)当∠BAC ＝90°时，求证：△A ′BC 为钝角三角形；(2)当∠BAC ＝60°时，AB 、AC 与平面α所成的角分别是30°和45°时，求cos ∠BA ′C . 解：(1)证明：∵AB >A ′B ，AC >A ′C ， ∴A ′B 2＋A ′C 2<AB 2＋AC 2＝BC 2. ∴cos ∠BA ′C ＝A ′B 2＋A ′C 2－BC 22A ′B ·A ′C <0.∴∠BA ′C 为钝角．∴△A ′BC 为钝角三角形． (2)由题意，∠ABA ′＝30°，∠ACA ′＝45°.设AA ′＝1，则A ′B ＝3，A ′C ＝1，AC ＝2，AB ＝2， ∴BC ＝ AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC＝6－22，cos ∠BA ′C ＝A ′B 2＋A ′C 2－BC 22A ′B ·A ′C＝6－33.[例2] 如图，在圆柱O1O 2内嵌入双球，使它们与圆柱面相切，切线分别为⊙O 1和⊙O 2，并且和圆柱的斜截面相切，切点分别为F 1、F 2.求证：斜截面与圆柱面的截线是以F 1、F 2为焦点的椭圆．[思路点拨] 证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义(平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明．[证明] 如图，设点P 为曲线上任一点，连接PF 1、PF 2，则PF 1、PF 2分别是两个球面的切线，切点为F 1、F 2，过P 作母线，与两球面分别相交于K 1、K 2，则PK 1、PK 2分别是两球面的切线，切点为K 1、K 2.根据切线长定理的空间推广，知PF 1＝PK 1，PF 2＝PK 2，所以PF 1＋PF 2＝PK 1＋PK 2＝K 1K 2.由于K 1K 2为定值，故点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆．(1)证明平面与圆柱面的截线是椭圆，利用Dandelin 双球确定椭圆的焦点，然后利用椭圆的定义判定曲线的形状．(2)该题使用了切线长定理的空间推广 (从球外一点引球的切线，切线长都相等)．4．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为________．解析：由2a ＝6，即a ＝3，又e ＝cos 45°＝22，故b ＝c ＝ea ＝22×3＝322，即为圆柱面的半径．答案：3225．已知一平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为一半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴、短轴和离心率．解：由题意可知椭圆的短轴为2b ＝2×2， ∴短轴长为4.设长轴长为2a ，则有2b 2a ＝sin 30°＝12，∴2a ＝4b ＝8.e ＝c a ＝32.∴长轴长为8，短轴长为4，离心率为32.[例3][思路点拨] 本题直接证明，难度较大，故可仿照定理1的方法证明，即Dandelin 双球法．[证明] 如图，在圆锥内部嵌入Dandelin 双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切．当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F 1、F 2，与圆锥相切于圆S 1、S 2.在截面的曲线上任取一点P ，连接PF 1、PF 2.过P 作母线交S 1于Q 1，交S 2于Q 2，于是PF 1和PQ 1是从P 到上方球的两条切线，因此PF 1＝PQ 1.同理，PF 2＝PQ 2.所以PF 1＋PF 2＝PQ 1＋PQ 2＝Q 1Q 2.由正圆锥的对称性，Q 1Q 2的长度等于两圆S 1、S 2所在平行平面间的母线段的长度而与P 的位置无关，由此我们可知在β>α时，平面π与圆锥的交线为一个椭圆．由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓展为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用Dandelin 双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决．6．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：由α＝50°2＝25°，φ＝30°，φ>α，∴截线是椭圆．答案：B7．如图，已知平面π与圆锥的轴的夹角为β，圆锥母线与轴的夹角为α，α＝β，求证：平面π与圆锥的交线为抛物线．证明：当β＝α时，平面与圆锥的一部分相交，且曲线不闭合．在圆锥内嵌入一个Dandelin 球与圆锥交线为圆S .记圆S 所在平面为π′，π与π′的交线记为m .球切π于F 1点．在截口上任取一点P ，过P 作P A ⊥m 于A ，过P 作PB ⊥平面π′于B ，过P 作圆锥的母线交平面π′于C ，连接AB ，PF 1，BC .由切线长定理，PF 1＝PC .∵PB平行于圆锥的轴，∴∠APB＝β，∠BPC＝α.，在Rt△ABP中，P A＝PBcos β在Rt△BCP中，PC＝PBcos α.∵α＝β，∴PC＝P A.∴PF1＝P A，即截口上任一点到定点F和到定直线m的距离相等．∴截口曲线为抛物线．[对应学生用书P39]一、选择题1．一条直线在一个面上的平行投影是()A．一条直线B．一个点C．一条直线或一个点D．不能确定解析：当直线与面垂直时，平行投影可能是点．答案：C2．△ABC的一边在平面α内，一顶点在平面α外，则△ABC在面α内的射影是() A．三角形B．一直线C．三角形或一直线D．以上均不正确解析：当△ABC所在平面平行于投影线时，射影是一线段，不平行时，射影是三角形．答案：D3．下列说法不．正确的是()A．圆柱面的母线与轴线平行B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径解析：显然A正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B正确，C 显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．答案：D4．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120°，当圆锥的截面与轴成45°角时，则截得二次曲线的离心率为()A.22B. 2 C ．1D.12解析：由题意知α＝60°，β＝45°，满足β<α，这时截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e ＝cos 45°cos 60°＝ 2.答案：B 二、填空题5．用平面截球面和圆柱面所得到的截线形状分别是________、________.解析：联想立体图形及课本方法，可得结论．要注意平面截圆柱面所得的截线的不同情况．答案：圆圆或椭圆 6．有下列说法①矩形的平行射影一定是矩形； ②梯形的平行射影一定是梯形； ③平行四边形的平行射影可能是正方形； ④正方形的平行射影一定是菱形；其中正确命题有________．(填上所有正确说法的序号) 解析：利用平行射影的概念和性质进行判断．答案：③7．在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13.若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为________．解析：如图，为圆柱的轴截面，AB 为与两球O 1和球O 2都相切的平面与轴截面的交线，由对称性知AB 过圆柱的几何中心O .由O 1O ⊥OD ，O 1C ⊥OA ，故∠OO 1C ＝∠AOD ，且O 1C ＝OD ＝6，所以Rt △OO 1C ≌Rt △AOD ，则AO ＝O 1O . 故AB ＝2AO ＝2O 1O ＝O 1O 2＝13. 显然AB 即为椭圆的长轴，所以AB ＝13. 答案：13 三、解答题8．△ABC 是边长为2的正三角形，BC ∥平面α，A 、B 、C 在α的同侧，它们在α内的射影分别为A′、B′、C′，若△A′B′C′为直角三角形，BC与α间的距离为5，求A到α的距离．解：由条件可知A′B′＝A′C′，∴∠B′A′C′＝90°.设AA′＝x，在直角梯形AA′C′C中，A′C′2＝4－(5－x)2，由A′B′2＋A′C′2＝B′C′2，得2×[4－(x－5)2]＝4，x＝5±2.即A到α的距离为5±2.9．若圆柱的一正截面的截线为以3为半径的圆，圆柱的斜截面与轴线成60°，求截线椭圆的两个焦点间的距离．解：设椭圆长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则b＝3，a＝bcos 60°＝3×2＝6，∴c2＝a2－b2＝62－33＝27.∴两焦点间距离2c＝227＝6 3.10.如图所示，圆锥侧面展开图扇形的中心角为2π，AB、CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线？解：设⊙O的半径为R，母线VA＝l，则侧面展开图的中心角为2πRl＝2π，∴圆锥的半顶角α＝π4.连接OE，∵O、E分别是AB、VB的中点，∴OE∥VA，∴∠VOE＝∠AVO＝π4.又∵AB⊥CD，VO⊥CD，∴CD ⊥平面VAB . ∴平面CDE ⊥平面VAB .即平面VAB 为截面CDE 的轴面， ∴∠VOE 为截面与轴线所夹的角，即为π4.又∵圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，故截面CDE 与圆锥的截线为一抛物线．模块综合检测 [对应学生用书P45] (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，该图中只有x 个三角形与△ABC 相似，则x 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题所给图形为射影定理的基本图形，△ACD 、△BCD 均与△ABC 相似．答案：B2．已知：如图，▱ABCD 中，EF ∥AC 交AD 、DC 于E 、F ，AD ，BF 的延长线交于M ，则下列等式成立的是( )A ．AD 2＝AE ·AMB ．AD 2＝CF ·DC C ．AD 2＝BC ·AB D ．AD 2＝AE ·ED 解析：∵在▱ABCD 中， ∴AD ∥BC ，AB ∥DC . ∵DF ∥AB ，∴AD AM ＝BFBM.∵DM ∥BC ，∴BF BM ＝CFDC .∵EF ∥AC ，∴AE AD ＝CFDC .∴AD AM ＝AEAD ，∴AD 2＝AE ·AM . 答案：A3．对于半径为4的圆在平面上的投影的说法错误的是( ) A ．射影为线段时，线段的长为8 B ．射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8 C ．射影为椭圆时，椭圆的长轴可能为8 D ．射影为圆时，圆的直径可能为4解析：由平行投影的性质易知射影为圆时，直径为8. 答案：D4．如图，用平面去截圆锥，所得截面的形状是( )解析：用平面去截圆锥，如题图：平面与圆锥的侧面截得一条弧线，与底面截得一条线段，所以截面的形状应该是D.答案：D5．如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的直径，∠P ＝50°，则∠BOC 的度数为( )A ．50°B ．25°C ．40°D ．60°解析：因为P A ，PB 是⊙O 的切线，所以∠OAP ＝∠OBP ＝90°，而∠P ＝50°，所以∠AOB ＝360°－90°－90°－50°＝130°，又因为AC 是⊙O 的直径，所以∠BOC＝180°－130°＝50°.答案：A6.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，那么∠P等于()A．15°B．20°C．25°D．30°解析：∵OA＝OC，∴∠A＝∠1，∴∠POC＝2∠A＝70°.∵OC⊥PC，∴∠P＝90°－∠POC＝20°.答案：B7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，∠DAB＝80°，则∠ACO等于() A．30°B．35°C．40°D．45°解析：∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴OC∥AD，由此得∠ACO＝∠CAD.∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO.故AC平分∠DAB，∴∠CAO＝40°.又∠ACO＝∠CAO，∴∠ACO＝40°.答案：C8.(天津高考)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·F A；③AE·CE ＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是()A．①②B．③④C．①②③D．①②④解析：因为∠BAD ＝∠FBD ，∠DBC ＝∠DAC ，又AE 平分∠BAC ，即∠BAD ＝∠DAC ，所以∠FBD ＝∠DBC ，所以BD 平分∠CBF ，结论①正确；易证△ABF ∽△BDF ，所以AB AF ＝BDBF ，所以AB ·BF ＝AF ·BD ，结论④正确；由切割线定理，得BF 2＝AF ·DF ，结论②正确；由相交弦定理，得AE ·DE ＝BE ·CE ，结论③错误．选D.答案：D9．如图，P 为圆外一点，P A 切圆于点A ，P A ＝8，直线PCB 交圆于C ，B 两点，且PC ＝4， AD ⊥BC ，垂足为点D ，∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，连接AB ，AC ，则sin αsin β等于( )A.14B.12 C ．2D ．4解析：由P A 2＝PC ·PB ，有64＝4PB ，∴PB ＝16.又∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，AD ⊥BC ， ∴AB ＝AD sin α，AC ＝ADsin β. 在△P AB 和△PCA 中，∠B ＝∠P AC ，∠P 为公共角， ∴△P AB ∽△PCA .∴AC AB ＝APBP ，即ADsin βAD sin α＝816.∴sin αsin β＝12. 答案：B10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，下列条件：①∠B ＋∠DAC ＝90°，②∠B ＝∠DAC ，③CD AD ＝ACAB ，④AB 2＝BD ·BC .其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：验证法：①不能判定△ABC 为直角三角形，因为∠B ＋∠DAC ＝90°，而∠B ＋∠DAB ＝90°，则∠BAD ＝∠DAC ，同理∠B ＝∠C ，不能判定∠BAD ＋∠DAC 等于90°；而②中∠B ＝∠DAC ，∠C 为公共角，则△ABC ∽△DAC ，又△DAC 为直角三角形，所以△ABC 为直角三角形；在③中，由CD AD ＝ACAB可得△ACD ∽△BAD ，则∠BAD ＝∠C ，∠B ＝∠DAC ，所以∠BAD ＋∠DAC ＝90°；而④中AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝ABBC ，∠B 为公共角，则△ABC ∽△DBA ，即△ABC 为直角三角形．所以正确命题有3个．答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．(广东高考)如图，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC ＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则P A ＝________.解析：如图，连接OA .由∠ABC ＝30°，得∠AOC ＝60°，在直角三角形AOP 中，OA ＝1，于是P A ＝OA tan 60°＝ 3.答案： 312．如图，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AB ＝10，BD ＝8，则cos ∠BCE ＝________.解析：如图，连接AD .则∠ADB ＝90°，且∠DAC ＝∠B ，所以cos ∠BCE ＝cos ∠DAB ＝DA AB ＝102－8210＝35. 答案：3513．如图，AB 是直径，CD ⊥AB 于D ，CD ＝43，AD ∶DB ＝3∶1，则直径的长为________．解析：因为AB 是直径，CD ⊥AB 于D ，所以CD 2＝AD ·BD .因为AD ∶DB ＝3∶1，设DB ＝x ，则AD ＝3x . 所以(43)2＝3x ·x .所以x ＝4.所以AB ＝16. 答案：1614.如图，△ABC 中，AD ∥BC ，连接CD 交AB 于E ，且AE ∶EB ＝1∶2，过E 作EF ∥BC 交AC 于F ，若S △ADE ＝1，则S △AEF ＝________.解析：∵AD ∥BC ，∴△ADE ∽△BCE . ∴BE AE ＝CE DE ＝21. ∵EF ∥AD ，∴EF AD ＝CE DC ＝23.∵△ADE 与△AFE 的高相同， ∴S △AEF S △ADE ＝EF AD ＝23. ∴S △AEF ＝23.答案：23三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，EF ∥BC 交AB 于F ，FG ∥BD 交AD 于G .求证：AG ＝DG .证明：∵AD ∥EF ∥BC ，E 是CD 的中点， ∴F 是AB 的中点．又∵FG ∥BD ，∴G 是AD 的中点． ∴AG ＝DG .16．(本小题满分12分)如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD ⊥OE 于D ，割线EC 交圆O 于B ，C 两点．(1)证明：O ，D ，B ，C 四点共圆；(2)设∠DBC ＝50°，∠ODC ＝30°，求∠OEC 的大小．解：(1)证明连接OA ，OC ，则OA ⊥EA . 由射影定理得EA 2＝ED ·EO .由切割线定理得EA 2＝EB ·EC ，故ED ·EO ＝EB ·EC ，即ED EB ＝ECEO，又∠DEB ＝∠OEC ，所以△BDE ∽△OCE ，所以∠EDB ＝∠OCE ，因此O ，D ，B ，C 四点共圆．(2)连接OB .因为∠OEC ＋∠OCB ＋∠COE ＝180°，结合(1)得∠OEC ＝180°－∠OCB －∠COE＝180°－∠OBC －∠DBE ＝180°－∠OBC －(180°－∠DBC ) ＝∠DBC －∠ODC ＝20°.17．(新课标全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .(1)证明：∠D ＝∠E;(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形．证明：(1)由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠D ＝∠CBE .由已知CB ＝CE 得∠CBE ＝∠E ，故∠D ＝∠E .(2)设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB ＝MC 知MN ⊥BC ，故O 在直线MN 上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．18．(本小题满分14分)如图所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP；(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求P A的长．解：(1)证明：∵DE2＝EF·EC，∴DE∶CE＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA.即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD、BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.∵CE ·EB ＝EF ·EP ， ∴9×6＝4×EP . 解得：EP ＝272.∴PB ＝PE －BE ＝152，PC ＝PE ＋EC ＝452.由切割线定理得：P A 2＝PB ·PC ， ∴P A 2＝152×452.∴P A ＝152 3.。

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[对应学生用书P16]近两年高考中，由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同．但都主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；一般试题难度不大，解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果．在使用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系．1.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．解析：由CD ＝2，AB ＝4，EF ＝3，得EF ＝12(CD ＋AB )，∴EF 是梯形ABCD 的中位线，则梯形ABFE 与梯形EFCD 有相同的高，设为h ，于是两梯形的面积比为 12(3＋4)h ∶12(2＋3)h ＝7∶5. 答案：7∶52.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．解析：连接AC ，BC ，则∠ACB ＝90°.设AD ＝2，则AB ＝6，于是BD ＝4，OD ＝1.如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝8，则CD ＝2 2. 在Rt △OCD 中，DE ＝OD ·CD OC ＝1×223＝223.则CE ＝DC 2－DE 2＝8－89＝83， EO ＝OC －CE ＝3－83＝13.因此CE EO ＝8313＝8.答案：8[对应学生用书P16]的直线上截得的线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线段的长度，也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中，平行线等分线段定理是线段的比为1的特例．[例1] 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DH ∥GC . 求证：EG ∥BH . [证明] ∵DE ∥BC ， ∴AE AC ＝AD AB. ∵DH ∥GC ，∴AH AC ＝ADAG .∴AE ·AB ＝AC ·AD ＝AH ·AG . ∴AE AH ＝AGAB.∴EG ∥BH . [例2] 如图，直线l 分别交△ABC 的边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F，且AF ＝13AB ，BD ＝52BC ，试求EC AE.[解] 作CN ∥AB 交DF 于点N ，并作EG ∥AB 交BC 于点G ，由平行截割定理，知BF CN ＝DB DC ，CN AF ＝ECAE，两式相乘，得BF CN ·CN AF ＝DB DC ·ECAE ，即EC AE ＝BF AF ·DC DB. 又由AF ＝13AB ，得BFAF ＝2，由BD ＝52BC ，得DC DB ＝35，所以EC AE ＝2×35＝65.角关系．其应用非常广泛，涉及到多种题型，可用来计算线段、角的大小，也可用来证明线段、角之间的关系，还可以证明直线之间的位置关系．其中，三角形全等是三角形相似的特殊情况．[例3] 如图所示，AD 、CF 是△ABC 的两条高线，在AB 上取一点P ，使AP ＝AD ，再从P 点引BC 的平行线与AC 交于点Q .求证：PQ ＝CF .[证明] ∵AD 、CF 是△ABC 的两条高线， ∴∠ADB ＝∠BFC ＝90°. 又∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBF . ∴AD CF ＝AB CB. 又∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC . ∴PQ BC ＝AP AB .∴AP PQ ＝AB BC .∴AD CF ＝AP PQ . 又∵AP ＝AD ，∴CF ＝PQ .[例4] 四边形ABCD 中，AB ∥CD ，CE 平分∠B CD ，CE ⊥AD 于点E ，DE ＝2AE ，若△CED 的面积为1，求四边形ABCE 的面积．[解] 如图，延长CB 、DA 交于点F ，又CE 平分∠BCD ，CE ⊥AD .∴△FCD 为等腰三角形，E 为FD 的中点． ∴S △FCD ＝12FD ·CE＝12×2ED ·CE ＝2S △CED ＝2， EF ＝ED ＝2AE . ∴F A ＝AE ＝14FD .又∵AB ∥CD ， ∴△FBA ∽△FCD .∴S △FBA S △FCD ＝(F A FD )2＝(14)2＝116.∴S △FBA ＝116×S △FCD ＝18. ∴S 四边形ABCE ＝S △FCD －S △CED －S △FBA ＝2－1－18＝78.系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．[例5] 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC于E ，EF ⊥AB 于F .求证：CE 2＝BD ·DF .[证明] ∵∠ACB ＝90°，DE ⊥AC ， ∴DE ∥BC .∴BD CE ＝AB AC .同理：CD ∥EF ，∴CE DF ＝AC AD. ∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴AC 2＝AD ·AB . ∴AC AD ＝AB AC .∴CE DF ＝BD CE . ∴CE 2＝BD ·DF .[对应学生用书P41] (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，已知AA ′∥BB ′∥CC ′，AB ∶BC ＝1∶3，那么下列等式成立的是( )A ．AB ＝2A ′B ′ B ．3A ′B ′＝B ′C ′ C ．BC ＝B ′C ′D ．AB ＝A ′B ′解析：∵AA ′∥BB ′∥CC ′，∴AB BC ＝A ′B ′B ′C ′＝13.∴3A ′B ′＝B ′C ′. 答案：B2.如图，∠ACB ＝90°.CD ⊥AB 于D ，AD ＝3、CD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )A ．3∶2B ．9∶4 C.3∶ 2D.2∶ 3解析：Rt △ACD ∽Rt △CBD ，∴AC BC ＝AD CD ＝32.答案：A3．在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，若BD ＝3 cm ，AC ＝2 cm ，则CD 和BC 的长分别为( )A. 3 cm 和3 2 cm B ．1 cm 和 3 cm C ．1 cm 和3 2 cm D. 3 cm 和2 3 cm 解析：设AD ＝x ，则由射影定理得x (x ＋3)＝4，即x ＝1(负值舍去)，则CD ＝AD ·BD ＝3(cm)， BC ＝BD ·AB ＝3(3＋1)＝23(cm)．答案：D4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，DE 是△ACD 的高，且AC ＝5，CD ＝2，则DE 的值为( )A.2215B.215C.3215D.2125解析：AC 2＝CD ·BC ，即52＝2×BC ， ∴BC ＝252.∴AB ＝BC 2－AC 2＝2524－52＝5212. ∵DE AB ＝DC BC ，∴DE ＝2215. 答案：A5．如图所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝ABBC ；④AC 2＝AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①由∠B ＝∠ACD ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；②由∠ADC ＝∠ACB ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；③AC CD ＝ABBC ，而夹角不一定相等，所以两个三角形不一定相似；④AC 2＝AD ·AB 可得AC AD ＝ABAC，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似．答案：C6.如图，DE ∥BC ，S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，则AD ∶DB 的值为( )A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶5解析：由S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8 得S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9. ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC . ∴(ADAB )2＝S △ADE S △ABC ＝19. ∴AD AB ＝13，AD DB ＝12. 答案：C7．△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中不一定使△ABC 与△DEF 相似的是( ) A ．∠A ＝∠D ＝45°38′，∠C ＝26°22′，∠E ＝108° B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16 C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝c D ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40° 解析：A 中∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ＝108°， ∴△ABC ∽△DEF ；B 中AB ∶AC ∶BC ＝EF ∶DE ∶DF ＝2∶3∶4； ∴△ABC ∽△EFD ； D 中AB AC ＝DEDF，∠A ＝∠D ， ∴△ABC ∽△DEF ；而C 中不能保证三边对应成比例．答案：C8．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°.CD ⊥AB 于D .若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( ) A.14 B.13 C.12 D ．2解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶4. 令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)， ∴CD 2＝4x 2，∴CD ＝2x ，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12.答案：C9.在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ∶CE ＝2∶3，连接AE 、BE 、BD 且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝( )A ．4∶10∶25B ．4∶9∶25C ．2∶3∶5D ．2∶5∶25解析：∵AB ∥CD ， ∴△ABF ∽△EDF . ∴DE AB ＝DF FB ＝25. ∴S △DEF S △ABF ＝(25)2＝425.又△DEF 和△BEF 等高． ∴S △DEF S △EBF ＝DF FB ＝25＝410. 答案：A10．如图，已知a ∥b ，AF BF ＝35，BCCD ＝3.则AE ∶EC ＝( )A.125 B.512 C.75D.57解析：∵a ∥b ，∴AE EC ＝AG CD ，AF BF ＝AGBD .∵BCCD ＝3，∴BC ＝3CD ，∴BD ＝4CD . 又AF BF ＝35， ∴AG BD ＝AF BF ＝35.∴AG 4CD ＝35.∴AG CD ＝125.EC CD 5答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，D ，E 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，BD ＝2AD ，那么△ADE 的周长∶△ABC 的周长等于________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC . ∵BD ＝2AD ，∴AB ＝3AD .∴AD AB ＝13.∴△ADE 的周长△ABC 的周长＝AD AB ＝13. 答案：1312．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：∵DE ∥BC ，∴DE BC ＝AE AC ，∴BC ＝DE ·AC AE ＝6×53＝10，又DF ∥AC ，∴DE ＝FC ＝6. ∴BF ＝BC －FC ＝4. 答案：413．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点O ，直线AO 与DE 、BC 分别交于N 、M ，若DN ∶MC ＝1∶4，则NE ∶BM ＝________，AE ∶EC ＝________.解析：OD OC ＝DN MC ＝14，∴OE OB ＝OD OC ＝14. ∴NE BM ＝OE OB ＝14.BC OC 4∴AE AC ＝DE BC ＝14. ∴AE ∶EC ＝1∶3. 答案：1∶4 1∶314．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7 m 宽的亮区(如图所示)，已知亮区一边到窗下的墙角距离CE ＝8.7 m ，窗口高AB ＝1.8 m ，那么窗口底边离地面的高BC 等于________m.解析：∵BD ∥AE ，∴BCAB ＝CDDE .∴BC ＝AB ·CD DE.∵AB ＝1.8 m ，DE ＝2.7 m ，CE ＝8.7 m ， ∴CD ＝CE －DE ＝8.7－2.7＝6(m)． ∴BC ＝1.8×62.7＝4(m)．答案：4三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，△ABC 中，BC 的中点为D ，∠ADB和∠ADC 的平分线分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：MN ∥BC .证明：∵MD 平分∠ADB ， ∴AD BD ＝AM MB. ∵ND 平分∠ADC ，∴AD DC ＝ANNC .∵BD ＝DC ，∴AM MB ＝AD BD ＝AD DC ＝AN NC. ∴MN ∥BC .16．(本小题满分12分)如图，已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF于F ，求证：BP 2＝PE ·PF .证明：连接PC ，∵AB ＝AC ，AD 是中线，∴AD 是△ABC 的对称轴，故PC ＝PB ，∠PCE ＝∠ABP .∵CF ∥AB ，∴∠PFC ＝∠ABP ，故∠PCE ＝∠PFC ，∵∠CPE ＝∠FPC ，∴△EPC ∽△CPF ，故PC PF ＝PE PC，即PC 2＝PE ·PF ，∴BP 2＝PE ·PF .17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是BD 上任意一点，过P 点的直线分别交AB 、DC 于E 、F ，交DA 、BC的延长线于G 、H .(1)求证：PE ·PG ＝PF ·PH ；(2)当过P 点的直线绕点P 旋转到F 、H 、C 重合时，请判断PE 、PC 、PG 的关系，并给出证明．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴PE PF ＝PB PD. ∵AD ∥BC ，∴PH PG ＝PB PD， ∴PE PF ＝PH PG.∴PE ·PG ＝PH ·PF .(2)关系式为PC 2＝PE ·PG .证明：由题意可得到右图，∵AB ∥CD ，∴PE PC ＝PB PD. ∵AD ∥BC ，∴PC PG ＝PB PD. ∴PE PC ＝PC PG，即PC 2＝PE ·PG . 18．(本小题满分14分)某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 m 、20 m 的梯形空地上种植花木(如图)．(1)他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单位为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后(图中阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用；(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？解：(1)∵四边形ABCD 为梯形，∴AD ∥BC .∴△AMD ∽△CMB ，∴S △AMD S △CMB ＝(AD BC)2＝14. ∵种植△AMD 地带花费160元，∴S △AMD ＝1608＝20(m 2)． ∴S △CMB ＝80(m 2)．∴△CMB 地带的花费为80×8＝640元．(2)S △ABM S △AMD＝BM DM ＝BC AD ＝2， ∴S △ABM ＝2S △AMD ＝40(m 2)．同理：S △DMC ＝40(m 2)．所剩资金为：1600－160－640＝800元，而800÷(S △ABM ＋S △DMC )＝10(元/m 2)．故种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．。