高中数学第二章参数方程22直线和圆锥曲线的参数方程直线参数方程及其应用素材北师大版4-4!
高中数学第二章参数方程22直线和圆锥曲线的参数方程直线参数方程及其应用素材北师大版4-4!
2.2 直线参数方程及其应用一、直线参数方程建立课本在P 55“向量与直线”阅读材料中，介绍了利用向量法建立直线方程的参数式：⎩⎨⎧ x ＝x 0＋aty ＝y 0＋bt(t 为参数) （*）,其中(x 0,y 0)是直线上的一点，(a,b)是直线的一个方向向量,P(x,y)是直线上任意一点，实数t 是对应点P 的参数.这种直线的参数式方程可直线称为直线参数方程.事实上，我们还可以这样来建立直线的参数方程：因过定点P(x 0,y 0)且倾斜角为α的直线方程为：y －y 0＝sin αcos α(x －x 0)(0＜α＜π,且α≠π2),则有：y －y 0sin α＝x －x 0cos α.令其比值为t,于是得：y －y 0sin α＝t,x －x 0cos α＝t,即有⎩⎨⎧ x ＝x 0＋tcos αy ＝y 0＋tsin α(t 为参数) （**）,这也是直线的参数方程.很显然其中参数t 还有很好的几何性质，即|t|＝|－→P 0P |.为区别于其它形式的参数方程，参数方程（**）我们称为直线的标准参数方程.M 0（x 0，y 0）为定点点，而t 表示有向线段M 0P 的数量，我们规定：当P 在M 的上方时，t ＞0；而P在M 的下方时，t ＜0.通常，当我们将（*）代入二次曲线C 的方程能得到：at 2＋bt ＋c ＝0（***）如果 a ≠0，且△＝b 2－4ac ＞0时，则（**）所表示的直线 L 与C 相交于A 、B 两点，且有向线段→M 0A ，→M 0B 的数量是方程（***）的二根t 1，t 2，即t 1＝M 0A ，t 2＝M 0B. 下面的几个结论是经常用到的：（1）|AB |＝| t 1－t 2|＝(t 2+t 1)2-4t 2t 1； （2）AB 的中点P 对应的参数为 t ＝t 1＋t 22；（3）设P 分有向线段AB 的比为 λ，则P 对应的参数为t 1＋λt 21＋λ.（4）当 t 1，t 2满足关系 t 1＝λt 2时，则(t 1＋t 2)2＝λ＋1λ＋2·t 1t 2二﹑直线参数方程应用例1(1)已知直线过点A(－2,3),B(1,－5),求直线AB 的参数方程；(2)直线l 过点A(1,5),倾斜角为π3,求直线l 的参数方程.解：(1)直线AB 的方向向量为v ＝(1,－5)－(－2,3)＝(3,－8),又因其过点A(－2,3)，∴直线AB 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－2＋3ty ＝3－8t.(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋tcos π3y ＝5＋tsin π3,即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t y ＝5＋32t.例2若直线参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋tsin70︒y ＝2－tcos70︒(t 为参数)，求直线的倾斜角.解：由参数方程得：x －1sin70︒＝y －2－cos70︒,∴y－2＝﹣cos70︒sin70︒(x －1),∴y－2＝tan160︒(x －1),由此普通方程可知其倾斜角为160︒.例3(1)直线l 过点P(1,2),倾斜角为π4，求l 上与P 的距离为22的点；(2)求直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t y ＝3＋2t(t 为参数)上的点到P(－2,3)距离为2的点的坐标.解：(1)l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋22t y ＝2＋22t ,令|t|＝22,∴t＝±22,代加原参数方程得所求点为(3,4)或(－1,0).(2)可化成普通方程处理，现仍将参数方程整理成标准形式，利用参数的几何意义求解. 即有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋(2t)(﹣22)y ＝3＋(2t)·22,又直线过定点P 0(－2,3)，且直线上任一点P 对应参数为2t,则有|－→P 0P |＝|2t|＝2,∴2t＝±2,当2t ＝2时，所求点为(－3,4)；当2t ＝－2时，所求点为(－1,2). 例4已知过点 P 0（－1，2）的直线ι的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝－1＋3ty ＝2－4t，求点P 0到另一直线2x －y ＋1＝0 的交点P 的距离.解：因为a 2＋b 2＝32＋42＝5≠1，所以此直线的参数方程不是标准线， 令t ＝15t '，化为标准式，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋35t 'y ＝2－45t ',将其代入方程2x －y ＋1＝0，解得交点P 对应的参数值 t 'P ＝32，故|P 0P |＝|t 'P |＝32.例5过点M(2，1)作直线l ，交x,y 轴的正半轴于A ，B 两点.(1)求|MA|·|MB|的最小值；(2)当(1)取最小值时，求直线l 的方程.解析：(1)设直线l 的倾斜角为θ(0＜θ＜π)，则其方程为⎩⎨⎧ x=2+tcos θy=1+tsin θ(θ为参数，π2＜θ＜π)…①,x,y 轴方程为xy=0…②,①代入②整理得t 2sin θcos θ+t(2sin θ+cos θ)+2=0…③,MA=t 1，MB=t 2，即为③的两个根， ∴|MA|·|MB|=|t 1|·|t 2|=2|sin θcos θ|=4|sin2θ|,∴当θ=3π4时|MA|·|MB|的最小值为4.(2)∵A，B 为直线l 与x,y 轴正半轴的交点，∴θ=3π4，将θ=3π4代入①得⎩⎪⎨⎪⎧ x=2+tcos 3π4y=1+tsin 3π4,即⎩⎪⎨⎪⎧ x-2=﹣22t y-1=22t,消去t,得x+y-3=0即为所求的l 的直线方程.例6在已知圆x 2＋y 2＝4上有定点A （－1,－3）及动点P 、Q 且∠QAP ＝π3，求△APQ面积的最大值.解：设直线AP 的方程为⎩⎨⎧ x ＝－1＋tcos αy ＝－3＋tsin α(t 为参数)，将其代入x 2＋y 2＝4，得t 2－2（cos a ＋3sin a ）t ＝0， 由弦长公式|AP |＝|2（cos a ＋3sin a ）|＝4|sin （α＋π6）|，同理可得|AQ |＝4|sin （β＋π6）|，而β＝2＋π3，所以|AQ |＝4|cos a |，故S △APQ ＝12|AP ||AQ |sin π3＝43|sin （α＋π6）|·|cos a |＝43|sin αcos π6＋cos αsin π6）|·|cos a |＝43|(32sin αcos α＋12cos 2α)|＝23|32sin2α＋12cos2α＋12| ＝23|sin(2α＋π6)＋12|当a ＝π6时，S max ＝3 3.例7已知圆x 2+y 2=r 2及圆内一点A(a ，b)(a ，b 不同时为零)，求被A 平分的弦所在直线方程．解：设所求直线的方程为⎩⎨⎧ x ＝a ＋tcos θy ＝b ＋tsin θ(t 为参数)①②，代入圆的方程x 2＋y 2＝r 2，整理得t 2＋2(acos θ＋bsin θ)t ＋a 2＋b 2－r 2＝0 设t 1，t 2为方程两根，∵A 是中点，∴t 1＋t 2＝0，即acos θ＋bsin θ＝0，①×a＋②×b，得ax ＋by ＝a 2＋b 2＋t(acos θ＋bsin θ)＝a 2＋b 2， 故所求直线方程是ax ＋by ＝a 2＋b 2．。
高中数学参数方程知识点大全
高考复习之参数方程一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构1.直线的参数方程(1)标准式过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y a t x x sin cos 00(t 为参数)(2)一般式过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tgα=ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 不参数)②在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时，｜t｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t｜.直线参数方程的应用设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y a t x x sin cos 00（t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则(1)P 1、P 2两点的坐标分别是(x 0+t 1cosα,y 0+t 1sinα)(x 0+t 2cosα,y 0+t 2sinα)；(2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t，则t=221t t +中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t｜=｜221t t +｜(4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆椭圆12222=+b y a x (a＞b＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆12222=+by a y (a＞b＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数)3.极坐标极坐标系在平面内取一个定点O，从O 引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x y tg y x θρ三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1在圆x 2+y 2-4x-2y-20=0上求两点A 和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解：将圆的方程化为参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin 51cos 52y x （θ为参数）则圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之距离d=223430sin 15cos 120+++θθ故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例2极坐标方程ρ=θθcos sin 321++所确定的图形是（）A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线解：ρ=)6sin(1211)]cos 2123(1[21πθθ++⋅=++(三)综合例题赏析例3椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得125)1(9)3(22=++-y x ∴a 2=25,b 2=9,得c 2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).应选B.例4参数方程表示)20()sin 1(212sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x A.双曲线的一支，这支过点(1，21) B.抛物线的一部分，这部分过(1，21)C.双曲线的一支，这支过(-1，21) D.抛物线的一部分，这部分过(-1，21)解：由参数式得x 2=1+sinθ=2y(x＞0)即y=21x 2(x＞0).∴应选B.例5在方程⎩⎨⎧==θθcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是()A.(2,-7)B.（31，32） C.(21，21) D.(1，0)解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2将x=21代入，得y=21∴应选C.例6下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是()A.⎩⎨⎧==t y t xB.⎩⎨⎧==ty tx 2cos cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y tgt x 2cos 12cos 1D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t ty tgt x 2cos 12cos 1解：普通方程x 2-y 中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中y=t t 22sin 2cos 2=ctg 2t=2211xt tg ==，即x 2y=1，故排除C.∴应选D.例7曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化成直角坐标方程为()A.x 2+(y+2)2=4B.x 2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y 2=4D.(x+2)2+y 2=4解：将ρ=22y x +，sinθ=22y x y +代入ρ=4sinθ，得x 2+y 2=4y，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.例8极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是()A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ=21(cosθ+sinθ)⇒22ρ=ρcosθ+ρsinθ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y，表示圆.应选D.例9在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是()A.ρsinθ=2 B.ρcosθ=2C.ρcosθ=-2 D.ρcosθ=-4例9图解：如图.⊙C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA 为直径，｜OA｜=4,l 和圆相切，l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点，则有cosθ=ρ2=OPOB ，得ρcosθ=2，∴应选B.例104ρsin 22θ=5表示的曲线是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解：4ρsin 22θ=5⇔4ρ·.5cos 2221cos -=⇔-θρρθ把ρ=22y x +ρcosθ=x，代入上式，得222y x +=2x-5.平方整理得y 2=-5x+.425.它表示抛物线.∴应选D.例11极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是()A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆D.抛物线解：由4sin 2θ=3,得4·222yx y +＝3,即y 2=3x 2，y=±x 3,它表示两相交直线.∴应选B.四、能力训练(一)选择题1.极坐标方程ρcosθ=34表示()A.一条平行于x 轴的直线B.一条垂直于x 轴的直线C.一个圆D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3.若(x，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组曲线：①θ=6π和sinθ=21；②θ=6π和tgθ=33，③ρ2-9=0和ρ=3；④⎩⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x ty t x 322213222和其中表示相同曲线的组数为()A.1 B.2 C.3 D.44.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=0，则M，N 两点位置关系是()A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=2π D.关于极轴对称5.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线6.经过点M(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是()A．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211 C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t x t y 2152317.将参数方⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++⋅=+++⋅=2222222222m m m b y m m mm a x (m 是参数，ab≠0)化为普通方程是()A.)(12222a xb y a x ≠=+ B.)(12222a x b y a x -≠=+C.)(12222a x by a x ≠=- D.)(12222a x by a x -≠=-8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6π)，则圆心的极坐标和半径分别为()A.(1,3π),r=2 B.(1,6π),r=1 C.(1,3π),r=1D.(1,-3π),r=29.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的曲线是()A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线10.双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 212y tg x (θ为参数)的渐近线方程为()A.y-1=)2(21+±x B.y=x 21±C.y-1=)2(2+±x D.y+1=)2(2-±x 11.若直线⎩⎨⎧=+=bty at x 4((t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为()A.3π B.32π C.3π或32π D.3π或35π12.已知曲线⎩⎨⎧==pty pt x 222(t 为参数)上的点M，N 对应的参数分别为t 1，t 2，且t 1+t 2=0，那么M，N 间的距离为()A.2p(t 1+t 2)B.2p(t 21+t 22) C.│2p(t 1-t 2)│D.2p(t 1-t 2)213.若点P(x，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy，y 2-x 2)也在单位圆上运动，其运动规律是()A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向14.抛物线y=x 2-10xcosθ+25+3sinθ-25sin 2θ与x 轴两个交点距离的最大值是()A.5B.10C.23D.315.直线ρ=θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=4π(ρ∈R)对称，则l 的方程是()A．θθρsin cos 23-=B．θθρcos cos 23-=C．θθρsin 2cos 3-=D．θθρsin 2cos 3+=(二)填空题16.若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=ty t x 532543(t 为参数)，则过点(4，-1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为.17.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x （θ为参数）化成普通方程为.18.极坐标方程ρ=tgθsecθ表示的曲线是.19.直线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 3231(t 为参数)的倾斜角为；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为.(三)解答题20.设椭圆⎩⎨⎧==θθsin 32cos 4y x (θ为参数)上一点P，若点P 在第一象限，且∠xOP=3π，求点P 的坐标.21.曲线C 的方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222(p＞0，t 为参数)，当t∈［-1，2］时，曲线C 的端点为A，B，设F 是曲线C 的焦点，且S △AFB =14，求P 的值.22.已知椭圆222y x +=1及点B(0，-2)，过点B 作直线BD，与椭圆的左半部分交于C、D 两点，又过椭圆的右焦点F 2作平行于BD 的直线，交椭圆于G，H 两点.(1)试判断满足│BC│·│BD│=3│GF 2│·│F 2H│成立的直线BD 是否存在?并说明理由.(2)若点M 为弦CD 的中点，S △BMF2=2，试求直线BD 的方程.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 3sec 48(θ为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为49，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.24.A，B 为椭圆2222by a x +=1，(a＞b＞0)上的两点，且OA⊥OB，求△AOB 的面积的最大值和最小值.25.已知椭圆162422y x +=1，直线l∶812yx +=1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R，又点Q 在OP 上且满足│OQ│·│OP│=│OR│2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.参考答案(一)1.B 2.D3.C4.C5.B6.A7.A8.C9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D(二)16.-4；17.y ２=-2(x-21),(x≤21);18.抛物线；19.135°,|32t|(三)20.(5154,558)；21.;33222.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.51(27-341)；24.Smax=2ab ，s max=2222b a b a +;25.25)1(25)1(22-+-y x =1(x,y)不同时为零)。
高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件
-1-
2.1
直线的参数方程
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首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
圆锥曲线的参数方程全解
将y=
b
a x代入①，解得点A的横坐标为
a
①
xA = a2（sec tan）.
解： 同理可得，点B的横坐标为xB = a2（sec tan）.
设AOx=,则tan b . 所以MAOB的面积为
a
S MAOB =|OA||OB|sin2 =
xA
cos
xB
cos
sin2
过点A作圆C1的切线AA '与x轴交于点A ' ,
过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB'与直线OA交于点B'. 过点A ' ,B'分别作y轴,x轴的平行线A' M,B' M交于点M.
双曲线的参数方程
y
设M (x, y) 则A' (x, 0), B'(b, y).
a
B'
A
•M
点A在圆C1上 A(acos,asin).
又OA AA',OA AA'=0
o B A' x
b
AA' =(x-acos,-asin )
a cos(x a cos) (a sin)2 0 解得：x a
又 点B'在角的终边上，记 由三角函数定义有：tan y .
co1sy消saxbe去22cta参n数by22得：x1
2
2
说明：⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM
的倾斜角不同. ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程
x2 a2
y2 b2
1
与三角
恒等式sec2 1 tan2 相比较而得到，所以双曲
线的参数方程的实质是三角代换.
高中数学参数方程知识点详解(讲义+过关检测+详细答案)
5．【答案】D
【解析】 x2 t, y2 1 t 1 x2, x2 y2 1,而t 0, 0 1 t 1,得0 y 2 .
4
4
6.【答案】D
【解析】圆
x=2 cos，
的圆心为原点，半径为
y =2 sin
2，
则圆心到直线 3x-4y-9=0 的距离为 9 ，小于半径 2，故直线与圆相交. 5
D．(1, 3)
2.已知某曲线的参数方程为 xy==ccooss2， +1，则该曲线是（
）
A．直线
B．圆
C．双曲线
3.若一直线的参数方程为
x
x0
1 2
t
（t 为参数），则此直线的倾斜Байду номын сангаас为（
y
y0
3t 2
A．30º
B. 60º
C．120º
4．若点
P(4，a)在曲线
x＝
t 2
(t 为参数)上，点 F(2，0)，则|PF|等于(
)
y＝2 t
A．4
B．5
C．6
D．抛物线 ） D．150º
D．7
5．与参数方程为
x
t
(t为参数) 等价的普通方程为（ ）
y 2 1 t
A． x2 y2 1 4
B． x2 y2 1(0 x 1) 4
C. x2 y2 1(0 y 2) 4
D． x2 y2 1(0 x 1, 0 y 2) 4
y2 b2
1（ a
0 , b 0 ）的参数方程为：
x a sec
y
b
tan
（
为参数，
[0, 2 ) 且
, 2
3 2
直线参数方程
人教版高二数学2-2第二章参数方程
4-4第二章 参数方程【知识点梳理】一、参数方程的概念：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )①，并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称 参数 . 相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程.说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
二、几种常见的参数方程1．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 0≤α<π．2．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．3．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝btan θ(θ为参数，0≤θ≤2π且2π3θ，2πθ≠≠)．，则{，有sec 2θ-tan 2θ=1(3)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．三、参数方程与普通方程的互化将参数方程化成普通方程的常用方法有： (1)代数法消去参数①代入法：从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.②代数运算法：通过乘、除、乘方等运算把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程. (2)利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，得到曲线的普通方程. (3)注意事项① 互化中必须使,x y 的取值范围保持一致. ② 同一个普通方程可以有不同形式的参数方程.几种常见的参数方程例1：(1)过点(0,0)且倾斜角为60°的直线的参数方程是________.【答案】 (1)⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝t sin 60°，即⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数).(2)过点P (－4,0)，倾斜角为5π6的直线的参数方程为________.【答案】 ⎩⎨⎧x ＝－4－32t ，y ＝t2【解析】∵直线l 过点P (－4,0)，倾斜角α＝5π6，所以直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋t cos 5π6，y ＝0＋t sin 5π6，即(t 为参数)⎩⎨⎧x ＝－4－32t ，y ＝t2.(3)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 20°，y ＝2＋t sin 20°(t 为参数)表示的直线的倾斜角是________. 【解析】方程符合直线参数方程的标准形式，易知倾斜角为20°.(4)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 50°，y ＝3－t sin 40°(t 为参数)的倾斜角α等于( ) A.40° B.50° C.－45° D.135°【答案】 D 【解析】 根据tan α＝－sin 40°cos 50°＝－1，因此倾斜角为135°.例2：(1)圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )A.(0,2)B.(0，－2)C.(－2,0)D.(2,0)【答案】 D 【解析】 由圆的参数方程知，圆心为(2,0). (2)圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π) C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<π) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π) 【答案】 D 圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π)).故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π).例3：(1)椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ的长轴长和短轴长分别为( )A.3 2B.6 2C.3 4D.6 4【答案】 D 【解析】 由方程可知a ＝3，b ＝2，∴2a ＝6,2b ＝4.(2)曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为________.【答案】 23 【解析】由曲线C 的参数方程可以看出a ＝3，b ＝5，得a 2＝9，b 2＝5，⇒c 2＝4，所以e＝c a ＝23. 例4：双曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的焦点坐标为________.【答案】 (－5,0)，(5,0)【解析】 曲线C 的普通方程为x 29－y 216＝1，得焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)参数方程与普通方程的互化例1：(1)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t(t 为参数)化为普通方程是________.【解析】 把t ＝x 代入②得y ＝2x 即普通方程为y ＝2x .(2)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 2，y ＝t ＋1(t 为参数)化为普通方程是________.【解析】由②得t ＝y －1，代入①得x ＝2(y －1)2.(3)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)化为普通方程是________.【解析】由sin 2 θ＋cos 2 θ＝1得x 2＋y 2＝1.(4)将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是________【解析】由y ＝－1＋cos 2θ，可得y ＝－2sin 2θ， 把sin 2θ＝x －2代入y ＝－2sin 2θ，可得y ＝－2(x －2)， 即2x ＋y －4＝0. 又∵2≤x ＝2＋sin 2θ≤3，∴所求的方程是2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)，它表示的是一条线段. (5)将(x －2)2＋y 2＝1化为参数方程是 【解析】令x －2＝cos α，y ＝sin α，∴C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数，α∈R )．【练一练】1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)的一条对称轴的方程为( )A.y ＝0B.x ＋y ＝0C.x －y ＝0D.2x ＋y ＝0【答案】 D 【解析】 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)的普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心C的坐标为(－1,2)，过圆心的直线都是圆的对称轴，故选D.2.与普通方程x 2＋y －1＝0等价的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t ，y ＝cos 2t (t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos t ，y ＝sin 2t (t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝1－t ，y ＝t(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－tan 2t (t 为参数) 【答案】 D【解析】 A 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]. B 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]. C 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[0，＋∞)，y ∈(－∞，1]. D 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈R ，y ∈(－∞，1].参数方程的应用【例1】(1)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________. 【答案】 (1,1) 【解析】 C 1的普通方程为y 2＝x (x ≥0，y ≥0)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，(x ≥0，y ≥0)，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(1,1).(2)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a ，(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________.【答案】 3 【解析】 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3.【例2】已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上.(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程.【解】 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1. (2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝⎛⎭⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求.【例3】已知直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(θ为参数)． (1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．解：(1)消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1；ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)．两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， 消去参数θ，得圆C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2，所以直线l 和圆C 相交．【例4】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C 2：ρ＝34sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，θ∈[0,2π]．(1)求曲线C 1的一个参数方程；(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 解 (1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0，可得x 2＋y 2－4x ＋3＝0. ∴(x －2)2＋y 2＝1.令x －2＝cos α，y ＝sin α，∴C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数，α∈R )．(2)C 2：4ρ⎝⎛⎭⎫sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3， ∴4⎝⎛⎭⎫12x －32y ＝3，即2x －23y －3＝0.∵直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且圆心到直线的距离d ＝14，∴|AB |＝2× 1－⎝⎛⎭⎫142＝2×154＝152.。
圆锥曲线的参数方程 课件
椭圆的参数方程及应用
将参数方程yx＝＝35scionsθθ (θ 为参数)化为普通方 程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．
【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参 数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．
【自主解答】
由yx＝＝35scionsθθ
得csionsθθ＝＝3y5x，，
两式平方相加，得x522＋3y22＝1.
抛物线的参数方程
设抛物线 y2＝2px 的准线为 l，焦点为 F，顶点 为 O，P 为抛物线上任一点，PQ⊥l 于 Q，求 QF 与 OP 的交 点 M 的轨迹方程．
【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方 程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．
【自主解答】 设 P 点的坐标为(2pt2,2pt)(t 为参数)， 当 t≠0 时，直线 OP 的方程为 y＝1t x， QF 的方程为 y＝－2t(x－p2)， 它们的交点 M(x，y)由方程组
∴a＝5，b＝3，c＝4.
因此方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，焦点坐标为 F1(4,0)
和 F2(－4,0)．
椭圆的参数方程yx＝＝bacsionsθθ，， (θ 为参数，a，b 为常数， 且 a>b>0)中，常数 a、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长， 焦点在长轴上．
若本例的参数方程为yx＝＝53scionsθθ ，(θ 为参数)，则如何求 椭圆的普通方程和焦点坐标？
它到两渐近线的距离分别是 d1 和 d2，
则
d1·d2＝|absec
φ＋abtan b2＋a2
φ| ·
|absec φ－abtan φ| b2＋－a2
＝|a2b2seac22＋φ－b2tan2 φ|＝aa2＋2b2b2(定值)．
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2.2 直线参数方程及其应用
一、直线参数方程建立
课本在P 55“向量与直线”阅读材料中，介绍了利用向量法建立直线方程的
参数式：⎩⎨⎧ x ＝x 0＋at
y ＝y 0＋bt
(t 为参数) （*）,其中(x 0,y 0)是直线上的一点，(a,b)
是直线的一个方向向量,P(x,y)是直线上任意一点，实数t 是对应点P 的参数.这种直线的参数式方程可直线称为直线参数方程.
事实上，我们还可以这样来建立直线的参数方程：因过定点P(x 0,y 0)且倾斜角为α的直线方程为：y －y 0＝sin αcos α(x －x 0)(0＜α＜π,且α≠π
2),则有：y －y 0sin α＝x －x 0cos α
.令其比值为t,于是
得：y －y 0sin α＝t,x －x 0
cos α＝t,即有⎩⎨⎧ x ＝x 0＋tcos αy ＝y 0＋tsin α
(t 为参数) （**）,这也是直线的参数方程.
很显然其中参数t 还有很好的几何性质，即|t|＝|－→P 0P |.
为区别于其它形式的参数方程，参数方程（**）我们称为直线的标准参数方程.M 0（x 0，
y 0）为定点点，而t 表示有向线段M 0P 的数量，我们规定：当P 在M 的上方时，t ＞0；而P
在M 的下方时，t ＜0.通常，当我们将（*）代入二次曲线C 的方程能得到：at 2
＋bt ＋c ＝0（***）
如果 a ≠0，且△＝b 2
－4ac ＞0时，则（**）所表示的直线 L 与C 相交于A 、B 两点，且有向线段→M 0A ，→M 0B 的数量是方程（***）的二根t 1，t 2，即t 1＝M 0A ，t 2＝M 0B. 下面的几个结论是经常用到的：
（1）|AB |＝| t 1－t 2|＝(t 2+t 1)2
-4t 2t 1； （2）AB 的中点P 对应的参数为 t ＝
t 1＋t 2
2
；
（3）设P 分有向线段AB 的比为 λ，则P 对应的参数为
t 1＋λt 2
1＋λ
.
（4）当 t 1，t 2满足关系 t 1＝λt 2时，则(t 1＋t 2)2＝λ＋1λ＋2·t 1t 2
二﹑直线参数方程应用
例1(1)已知直线过点A(－2,3),B(1,－5),求直线AB 的参数方程；(2)直线l 过点A(1,5),倾斜角为π
3
,求直线l 的参数方程.
解：(1)直线AB 的方向向量为v ＝(1,－5)－(－2,3)＝(3,－8),
又因其过点A(－2,3)，∴直线AB 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－2＋3t
y ＝3－8t
.
(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋tcos π
3
y ＝5＋tsin π3,即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t y ＝5＋32
t
.
例2若直线参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋tsin70︒
y ＝2－tcos70︒
(t 为参数)，求直线的倾斜角.
解：由参数方程得：x －1sin70︒＝y －2－cos70︒,∴y－2＝﹣cos70︒
sin70︒(x －1),
∴y－2＝tan160︒(x －1),由此普通方程可知其倾斜角为160︒.
例3(1)直线l 过点P(1,2),倾斜角为π
4，求l 上与P 的距离为22的点；(2)求直线⎩⎨
⎧
x ＝－2－2t y ＝3＋2t
(t 为参数)上的点到P(－2,3)距离为2的点的坐标.
解：(1)l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋2
2
t y ＝2＋22t ,令|t|＝22,
∴t＝±22,代加原参数方程得所求点为(3,4)或(－1,0).
(2)可化成普通方程处理，现仍将参数方程整理成标准形式，利用参数的几何意义求解. 即有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋(2t)(﹣2
2
)y ＝3＋(2t)·22,又直线过定点P 0(－2,3)，且直线上任一点P 对应参数为
2t,
则有|－→P 0P |＝|2t|＝2,
∴2t＝±2,当2t ＝2时，所求点为(－3,4)；当2t ＝－2时，所求点为(－1,2). 例4已知过点 P 0（－1，2）的直线ι的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝－1＋3t
y ＝2－4t
，求点P 0到另一直
线2x －y ＋1＝0 的交点P 的距离.
解：因为a 2
＋b 2
＝32
＋42
＝5≠1，所以此直线的参数方程不是标准线， 令t ＝1
5t '，化为标准式，得⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋3
5t 'y ＝2－45
t ',
将其代入方程2x －y ＋1＝0，解得交点P 对应的参数值 t 'P ＝32，故|P 0P |＝|t 'P |＝3
2.
例5过点M(2，1)作直线l ，交x,y 轴的正半轴于A ，B 两点.(1)求|MA|·|MB|的最小值；
(2)当(1)取最小值时，求直线l 的方程.
解析：(1)设直线l 的倾斜角为θ(0＜θ＜π)，则其方程为⎩⎨⎧ x=2+tcos θy=1+tsin θ
(θ为参数，π
2＜θ
＜π)…①,
x,y 轴方程为xy=0…②,
①代入②整理得t 2
sin θcos θ+t(2sin θ+cos θ)+2=0…③,MA=t 1，MB=t 2，即为③的两个根， ∴|MA|·|MB|=|t 1|·|t 2|=2|sin θcos θ|=4|sin2θ|,∴当θ=3π
4时|MA|·|MB|的最小值为4.
(2)∵A，B 为直线l 与x,y 轴正半轴的交点，∴θ=3π4，将θ=3π
4代入①得⎩⎪⎨⎪⎧ x=2+tcos 3π
4y=1+tsin 3π4,
即⎩
⎪⎨⎪⎧ x-2=﹣2
2t y-1=22
t ,消去t,得x+y-3=0即为所求的l 的直线方程.
例6在已知圆x 2＋y 2
＝4上有定点A （－1,－3）及动点P 、Q 且∠QAP ＝π3，求△APQ
面积的最大值.
解：设直线AP 的方程为⎩⎨⎧ x ＝－1＋tcos α
y ＝－3＋tsin α
(t 为参数)，
将其代入x 2＋y 2＝4，得t 2
－2（cos a ＋3sin a ）t ＝0， 由弦长公式|AP |＝|2（cos a ＋3sin a ）|＝4|sin （α＋π
6）|，
同理可得|AQ |＝4|sin （β＋π
6）|，
而β＝2＋π
3
，所以|AQ |＝4|cos a |，
故S △APQ ＝12|AP ||AQ |sin π3＝43|sin （α＋π6）|·|cos a |＝43|sin αcos π6＋cos αsin π
6）
|·|cos a |
＝43|(
32sin αcos α＋12cos 2
α)|＝23|32sin2α＋12cos2α＋1
2
|
＝23|sin(2α＋π6)＋1
2|
当a ＝π
6时，S max ＝3 3.
例7已知圆x 2
+y 2
=r 2
及圆内一点A(a ，b)(a ，b 不同时为零)，求被A 平分的弦所在直线方程．
解：设所求直线的方程为⎩⎨⎧ x ＝a ＋tcos θy ＝b ＋tsin θ
(t 为参数)①
②，
代入圆的方程x 2＋y 2＝r 2，整理得t 2＋2(acos θ＋bsin θ)t ＋a 2＋b 2－r 2
＝0
设t 1，t 2为方程两根，
∵A 是中点，∴t 1＋t 2＝0，即acos θ＋bsin θ＝0，
①×a＋②×b，得ax ＋by ＝a 2
＋b 2
＋t(acos θ＋bsin θ)＝a 2
＋b 2
， 故所求直线方程是ax ＋by ＝a 2
＋b 2
．。