电子工程数学方法-复变函数论绪论及第1章
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《复变函数》第1章
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第3页
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
2
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2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第8页
, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
2
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2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第8页
, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4
复变函数论
复变函数产生于十八世纪，主要由欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等数学家创建。
到上九世纪，由于柯西、维尔斯特拉斯、黎曼等数学家的工作，使得复变函数理论得到全面发展并变成十分热C ]的新数学分支。
二土世纪初，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等作了大量的研究工作，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域。
到今天复变函数已有三百多年的历史，被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学、自动控制学.信号理、电子工程、量子信息与量子计算等领域。
复变函数论以其完美的理论体系与独特的技巧方法成为数学学科的一个重要组成部分，推动了许多学科的发展，成为解决某些理论与实际问题的强有力工具。
目录引言第一章复数与复变函数§1.复数1.复数域2.复平面3.复数的模与辐角4.复数的乘幂与方根5.共轭复数6.复数在几何上的应用举例§2.复平面上的点集1.平面点集的几个基本概念2.区域与若尔当(Jordan)曲线§3.复变函数1.复变函数的概念2.复变函数的极限与连续性§4.复球面与无穷远点1.复球面2.扩充复平面上的几个概念第一章习题第二章解析函数§1.解析函数的概念与柯西-黎曼方程1.复变函数的导数与微分2.解析函数及其简单性质3.柯西-黎曼方程§2.初等解析函数1.指数函数2.三角函数与双曲函数§3.初等多值函数1.根式函数2.对数函数3.一般幂函数与一般指数函数4.具有多个有限支点的情形5.反三角函数与反双曲函数第二章习题第三章复变函数的积分§1.复积分的概念及其简单性质1.复变函数积分的定义2.复变函数积分的计算问题3.复变函数积分的基本性质§2.柯西积分定理1.柯西积分定理2.柯西积分定理的古莎证明3.不定积分4.柯西积分定理的推广5.柯西积分定理推广到复周线的情形§3.柯西积分公式及其推论1.柯西积分公式2.解析函数的无穷可微性3.柯西不等式与刘维尔(Liouville)定理4.摩勒拉(Morera)定理5.柯西型积分§4.解析函数与调和函数的关系§5.平面向量场——解析函数的应用(一)1.流量与环量2.无源、漏的无旋流动3.复势第三章习题第四章解析函数的幂级数表示法§1.复级数的基本性质1.复数项级数2.一致收敛的复函数项级数3.解析函数项级数§2.幂级数1.幂级数的敛散性2.收敛半径R的求法、柯西-阿达马(Hadamard)公式3.幂级数和的解析性§3.解析函数的泰勒(Taylor)展式1.泰勒定理2.幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况3.一些初等函数的泰勒展式§4.解析函数零点的孤立性及惟一性定理1.解析函数零点的孤立性2.惟一性定理3.最大模原理第四章习题第五章解析函数的洛朗(Laurent)展式与孤立奇点§1.解析函数的洛朗展式1.双边幂级数2.解析函数的洛朗展式3.洛朗级数与泰勒级数的关系4.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式§2.解析函数的孤立奇点1.孤立奇点的三种类型2.可去奇点3.施瓦茨(Schwarz)引理4.极点5.本质奇点6.皮卡(Picard)定理§3.解析函数在无穷远点的性质§4.整函数与亚纯函数的概念1.整函数2.亚纯函数§5.平面向量场——解析函数的应用(二)1.奇点的流体力学意义2.在电场中的应用举例第五章习题第六章留数理论及其应用第七章共形映射第八章解析延拓第九章调和函数。
复变函数课件-复变函数1绪论
02
复变函数
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03
微分与积分
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的量度，表示函数在该点附近的小范围内变化的 情况。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的法则、链式法则等， 这些性质在研究函数的单调性、极值、曲线的切线等方面有广泛应用。
柯西-黎曼方程
柯西-黎曼方程是由法国数学家 柯西和挪威数学家黎曼分别独 立发现的，是复变函数中解析 函数的必要条件。
柯西-黎曼方程是由两个偏微分 方程构成的方程组，描述了复 平面上的可微函数在任意一点 处的导数关系。
柯西-黎曼方程是复变函数中解 析函数的充要条件，即如果一 个复函数在某区域内的全纯导 数存在且满足柯西-黎曼方程， 则该函数在该区域内是解析的 。
单连通区域
一个区域如果不能被分成两个分离的子区域，则称该区域为单连通区域。
单连通区域的共形映射
对于单连通区域，存在唯一的共形映射将该区域映射到单位圆。这个映射可以通过一些特定的函数（如幂函数和 指数函数）来构造。
多连通区域的共形映射
多连通区域
一个区域如果有多个连通的子区域，则称该区域为多连通区域。
复数的几何意义
总结词
复数可以用平面坐标系中的点或向量表示，实部为x轴上的坐 标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以用几何图形来表示。在平面坐标系中，每一个复数 z=a+bi可以对应一个点(a,b)或向量从原点O(0,0)指向点(a,b) 。实部a是横轴上的坐标，虚部b是纵轴上的坐标。这种表示 方法有助于理解复数的几何意义和性质。
06
共形映射共形映射的定义 Nhomakorabea共形映射
复变函数论第1章第1节
也可用向量 oz 表示.
由此可知， 复数的加(减)法
y y
oz
z x iy
与向量的加 (减)法运算相一致.
(因此可借助向量加法的平行 四边形法求复数的和差.)
o x x
例如， 设 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , 则
z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ) .
π i 2
1 1 (cos 0 i sin 0) e ,
2 2 (cosπ i sinπ )
0i
2e ,
πi
e 1 , e
πi
2 kπ i
1
( k 0, 1,) .
例4 把复数 z 1 cosα i sinα , (0 α π )化为 三角表示式与指数表示 式, 并求 z 的辐角的主值.
o
θ
r oz
z
z x iy
x
x
z x iy 时， 向量 oz的长度称为复数 z的模 或绝对
r z x2 y2 .
复数和差的模的性质
y
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z2 z1
(1.2)
（三角形两边之和大于 第三边）
o
x
z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 记作 d ( z1 , z2 ) y z2 z1 z2 即 d ( z1 , z2 ) | z1 z2 |, 于是有 z1 z2
4. 复数的三角表示式与指数表示式
利用直角坐标与极坐标的关系
x r cosθ ,
y r sinθ ,
非零复数 z 可以表示成
z r (cos i sin )
由此可知， 复数的加(减)法
y y
oz
z x iy
与向量的加 (减)法运算相一致.
(因此可借助向量加法的平行 四边形法求复数的和差.)
o x x
例如， 设 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , 则
z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ) .
π i 2
1 1 (cos 0 i sin 0) e ,
2 2 (cosπ i sinπ )
0i
2e ,
πi
e 1 , e
πi
2 kπ i
1
( k 0, 1,) .
例4 把复数 z 1 cosα i sinα , (0 α π )化为 三角表示式与指数表示 式, 并求 z 的辐角的主值.
o
θ
r oz
z
z x iy
x
x
z x iy 时， 向量 oz的长度称为复数 z的模 或绝对
r z x2 y2 .
复数和差的模的性质
y
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z2 z1
(1.2)
（三角形两边之和大于 第三边）
o
x
z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 记作 d ( z1 , z2 ) y z2 z1 z2 即 d ( z1 , z2 ) | z1 z2 |, 于是有 z1 z2
4. 复数的三角表示式与指数表示式
利用直角坐标与极坐标的关系
x r cosθ ,
y r sinθ ,
非零复数 z 可以表示成
z r (cos i sin )
复变函数ppt第一章
y
y
i
0
r
θ
z ．,=y)x + iy (x
x
x
x = r cos θ y = r sin θ
(3) 指数形式
z = r cos θ + ir sin θ
Euler eiθ = cos θ + i sin θ
iθ
28
z = re
常根据需要,三种形式相互转换.
例3 将下复数化为指数形式
z = 1 − cos ϕ + i sin ϕ
32
例6
求复数 z = −4e
参考解答
π
3
i
的模和辐角主值.
例7
已知正三角形的两个顶点为(0,0),(3,2), 求另一顶点.
参考解答
完
33
思考 已知正方形的两个对角顶点为(0,0),(1,1),求另 一对顶点. Ref：(0,1),(1,0) y
z2
z1(1,1)
0
z3
x
完
34
复数的幂与方根
(2) z = 3 + i
参考解答
(0 < ϕ ≤ π )
完
23
辐角
辐角 实轴正向到非零复数z所对应的向量oz 间的夹角 θ 满足 y tgθ = x 称为复数z 的辐角(Argument).
记作 θ = Argz ,任何非零复数都有无穷多个 的辐角.
24
辐角主值
常以a rg z表示一个特定值
−π < a rg z ≤ π
参考解答
(0 < ϕ ≤ π )
例4 求-4-3i 的辐角
参考解答
例5 已知z=x+iy(z=0),证明Argz=-Argz, 并讨论argz 和 argz 的关系.
y
i
0
r
θ
z ．,=y)x + iy (x
x
x
x = r cos θ y = r sin θ
(3) 指数形式
z = r cos θ + ir sin θ
Euler eiθ = cos θ + i sin θ
iθ
28
z = re
常根据需要,三种形式相互转换.
例3 将下复数化为指数形式
z = 1 − cos ϕ + i sin ϕ
32
例6
求复数 z = −4e
参考解答
π
3
i
的模和辐角主值.
例7
已知正三角形的两个顶点为(0,0),(3,2), 求另一顶点.
参考解答
完
33
思考 已知正方形的两个对角顶点为(0,0),(1,1),求另 一对顶点. Ref：(0,1),(1,0) y
z2
z1(1,1)
0
z3
x
完
34
复数的幂与方根
(2) z = 3 + i
参考解答
(0 < ϕ ≤ π )
完
23
辐角
辐角 实轴正向到非零复数z所对应的向量oz 间的夹角 θ 满足 y tgθ = x 称为复数z 的辐角(Argument).
记作 θ = Argz ,任何非零复数都有无穷多个 的辐角.
24
辐角主值
常以a rg z表示一个特定值
−π < a rg z ≤ π
参考解答
(0 < ϕ ≤ π )
例4 求-4-3i 的辐角
参考解答
例5 已知z=x+iy(z=0),证明Argz=-Argz, 并讨论argz 和 argz 的关系.
复变函数论第三版钟玉泉PPT第一章资料
13
两个共轭复数z, z 的积是一个实数 .
2019/3/2
复变函数
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5. 复数域: 全体复数在四则运算这个代数结构下构 成一个复数域,记作C.实数域和复数域都是代数学 中所研究的域的概念的实例. 6. 共轭复数的性质: z z (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; 1 1 ; z2 2 2 z2 ( 2) z z; ( 3) z z Re( z ) Im( z ) ; (4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ). z1 z1 例1 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求 与 . z2 z2 解 z1 (5 5i )( 3 4i ) 5 5i z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i ) ( 15 20) (15 20)i 7 1 z1 i. 7 1 i. 25 5 5 z2 5 5
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复变函数
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背景
复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。 为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实 数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复 数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又 得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数 看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪， J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(17071783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义， 澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究 了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛 承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。
复变函数论课件1.1
1 3 1 3 即0 1, 1 i , 2 i. 2 2 2 2
五.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数. •共轭复数的性质
(1) ( z1 z2 ) z1 z2
( z1 z2 ) z1 z2
( 2) z z
(4) z z 2 Re (z ) z z 2i Im (z )
2、复数运算：
(a1 ib1 )(a2 ib2 ) (a1a2 b1b2 ) i(a1b2 a2b1 )
(a1 ib1 ) (a2 ib2 ) (a1 a2 ) i(b1 b2 )
(1) 复数的相等:它们的实部与虚部分别相等。 (2) 复数的四则运算定义为：
三、复数的模与辐角:
1、复数的模：向量的长度称为复数的模，定义 为：
| z | x y
2
2
( x, y )
复数的模满足如下不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 || (3) | z1 z2 || z1 | | z2 |
第一章、复数与复变函数
第一节、复数
一、复数域
1、复数定义 ：每个复数具有 z=x+iy 的形状，其中 x
和y是实数，i是虚数单位(-1的平方根）。 x和y分别称为的实部和虚部，分别记作：
x Re z, y Im z
如果 Imz=0 ，则 z 可以看成一个实数；如果 Imz不等于零，那么称z为一个虚数；如果Imz 不等于零，而Rez=0，则称z为一个纯虚数。
(4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 || (5) | Re z || z |, | Im z || z |
复变函数论第1章第3节
z → z0 z∈E
( x , y ) → ( x 0 , y0 ) ( x , y )∈E
lim
u( x , y ) = a ,
( x , y )→ ( x 0 , y 0 ) ( x , y )∈E
lim
v( x, y ) = b ,
说明
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
π 3
w
2π 3
o
2
x
o
4
u
3 复变函数的极限与连续性
上有定义， 定义1.15 定义1.15 设函数 w = f ( z ) 于点集 E 上有定义， z0 为 E 的聚点 . 若存在一复数 w0 使对任给的 ε > 0, 有 δ > 0 , 只要 0 <| z − z0 |< δ , z ∈ E , 就有
π
3
的直线 ；
( 3) 双曲线 x 2 − y 2 = 4 .
解： 设 z = x + iy = r (cosθ + i sinθ ) ,
w = u + iv = R(cosφ + i sinφ ) .
则
R = r 2 , φ = 2θ .
因此， 因此，
w = z2 R = r 2 ,φ = 2θ .
w 平面
F
u
与点 z 对应的点 w = f ( z ) 称为点 z 的像点， 像点， 而 z 称为点 w = f (z ) 的原像.
为讨论问题方便， 以后不再区分函数、映射 为讨论问题方便， 以后不再区分函数、 和变换. 和变换
( x , y ) → ( x 0 , y0 ) ( x , y )∈E
lim
u( x , y ) = a ,
( x , y )→ ( x 0 , y 0 ) ( x , y )∈E
lim
v( x, y ) = b ,
说明
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
π 3
w
2π 3
o
2
x
o
4
u
3 复变函数的极限与连续性
上有定义， 定义1.15 定义1.15 设函数 w = f ( z ) 于点集 E 上有定义， z0 为 E 的聚点 . 若存在一复数 w0 使对任给的 ε > 0, 有 δ > 0 , 只要 0 <| z − z0 |< δ , z ∈ E , 就有
π
3
的直线 ；
( 3) 双曲线 x 2 − y 2 = 4 .
解： 设 z = x + iy = r (cosθ + i sinθ ) ,
w = u + iv = R(cosφ + i sinφ ) .
则
R = r 2 , φ = 2θ .
因此， 因此，
w = z2 R = r 2 ,φ = 2θ .
w 平面
F
u
与点 z 对应的点 w = f ( z ) 称为点 z 的像点， 像点， 而 z 称为点 w = f (z ) 的原像.
为讨论问题方便， 以后不再区分函数、映射 为讨论问题方便， 以后不再区分函数、 和变换. 和变换
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其中，满足 arg z 或 0 arg z 2
arg z 的幅角称为主幅角，记做：
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电子工程数学方法
第一部分
复变函数论
§1.1 复数与复数运算 （一） 复数的概念 3、复数的指数表示 欧拉公式：ei 则： z
cos i sin
z ei —复数的
7
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电子工程数学方法
第一部分
复变函数论
复变函数核心内容
复变函数的路径积分方法
e dz f ( z) l z ( z 2 1)
z
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第一部分
复变函数论
学习方法
复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函
数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似 之处，但又有不同之处。 在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数 域上特有的那些性质与结果。
2、复数的模与幅角
复数几何意义： 注： 实部与虚部可与平面坐标内 的点建立一一对应关系，所有复 数表征的点构成复平面。
z x yi
y
A( x, y )
x
复平面
复数的模:
z x 2 y 2
x cos
y sin
复数的辐角: arctg ( y / x) 复数的三角表示：z cos i sin
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第一部分
复变函数论
复变函数论发展历程
复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分 别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann(1826-1866) 研究复变函数的映射性质。他们是这一时期的三位代表人物。 经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗 透到了数学的许多分支，同时，它在热力学、流体力学和电磁 学等方面也得到了很多的应用。 二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹 性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密 切。
复变函数论
§1.2 复变函数 实变函数复习： 实变函数中关于函数的定义：
设X、Y是两个非空实数集合，f为X到Y的一个映
射，则称f为定义在数集X上的函数，记做：
f : x y, y f ( x)
其中x称为自变量，y称为因变量，X称为函数f的定义 域。
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电子工程数学方法
第一部分
复变函数论
§1.1 复数与复数运算 （一） 复数的概念 4、 复数的共轭 共轭复数：
i e z (cos i sin ) (cos i sin ) * *
z (cos i sin ) e
i
注：
e cos i sin e
复变函数论发展历程
复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。
为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩 大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了 解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史 上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。 到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707 -1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复 数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的 一些问题，复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利 建立和发展。
1 i n
故 w= n z 的主幅角有n个，即对应有n个值：
(0 k <n)
它们在以坐标原点为中心，半径为 n 的圆周上均 匀分布——多值函数。
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电子工程数学方法
第一部分
复变函数论
§1.1 复数与复数运算 例：讨论式子 Re(1 / z ) 2 在复平面上的意义 解： 令
第一部分
复变函数论
§1.2 复变函数 1、几个基本定义
（一）区域的概念
邻域： 由
邻域。
z z0 确定的平面点集，称为定点z0的
z0
内点： 若z0及其邻域全含于点集E内，称z0为点集E的 内点 外点： 若z0及其邻域不含于点集E内，称z0为点集E的 外点
边界点: 若z0及其邻域既有含于E内，又有不含于E 内的点，称z0为点集E的边界点。
§1.1 复数与复数运算 例：求方程sinz=2 解：设 z x iy
1 iz iz 1 [ei ( x yi ) ei ( x yi ) ] sin z (e e ) 2i 2i 1 y ix y ix [e e e e ] 2i 1 y y [(cos x i sin x)e (cos x i sin x)e ] 2i 1 y y [(e e )sin x i(e y e y ) cos x] 2 2
指数表示
(cos i sin )
注：1） 1 e2 k i ( 2 k ) i 2）1 e
3） i e
14
(2 k / 2) i (2 k 3 / 2) i
(k 0, 1, )
4） i e
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其中： x称为复数的实部， x Re( z )
y称为复数的虚部，y Im( z )
i 1 ,称为虚单位。
全体复数在引入复数运算法则后，构成复数域。 注： 在复数域中，复数没有大小的概念。
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第一部分
复变函数论
§1.1 复数与复数运算 （一） 复数的概念
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第一部分
复变函数论
第一章
复变函数
§1.1 复数与复数运算 §1.2 复变函数
§1.3 复变函数的导数
§1.4 解析函数 §1.5 单值函数与多值函数
10
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第一部分
复变函数论
§1.1 复数与复数运算 （一） 复数的概念 1、复数定义 对于任意两个实数x、y，称 为复数。
电子工程数学方法
任课教师：陈其科
联系方式： E_mail ：qkchen@ 办公电话：61830311
总 学 时: 48课时（3学分）
教
材：梁昆淼，《数学物理方程》（第四版）
成绩构成：课堂测验(4次)40%
+ 课程设计10% + 平时（出勤，作业）10% + 期末考试40%
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第一部分
复变函数论
§1.1 复数与复数运算 （一） 复数的概念
2、复数的模与幅角
z cos i sin
注： 关于复数幅角 的几点说明：
1）当z=0时，幅角无意义； 2）根据三角函数周期性，一个复数有无限多个幅角
Arg ( z ) 2k (k 0, 1, 2 )
第一部分
复变函数论
§1.1 复数与复数运算 例：若 wn =z ，求w。
n n w = z 解： = cos +i sin = n e n n 而 = arg z +2k (k =0, 1, 2, )
wk = n z = n e
i argz+2 k n
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第一部分
复变函数论
§1.1 复数与复数运算 （二）复数的运算 3、复数的除法
z1 x1 y1i x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 2 2 2 2 z2 x2 y2i x2 y2 x2 y2
i1 e z 指数式： 1 1 i 1 ei (1 2 ) 2 e 2 2 z2
或 e 2 y 4e y 1 0
y ln( 2 3 )
或 y ln( 2 3 )
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第一部分
复变函数论
§1.1 复数与复数运算
思考题
z z0 R在复平面上的意义？
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第一部分
15
i
i
cos i sin
1 i i cos (e e ) 2 1 i i sin (e e ) 2i
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复变函数论
§1.1 复数与复数运算
（二）复数的运算
1、复数的加减法
z1 z2 ( x1 y1i) ( x2 y2i) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i
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第一部分
复变函数论
§1.2 复变函数
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第一部分
复变函数论
§1.1 复数与复数运算 （续上例）
1 y y (e e ) sin x 2 2 1 y y (e e ) cos x 0 2 x 2k cos x 0 2 y y 2y y e e 4 e 4e 1 0
z1 z 1 注： z2 z2
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z1 arg arg z1 arg z2 z2
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arg z 的幅角称为主幅角，记做：
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复变函数论
§1.1 复数与复数运算 （一） 复数的概念 3、复数的指数表示 欧拉公式：ei 则： z
cos i sin
z ei —复数的
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复变函数论
复变函数核心内容
复变函数的路径积分方法
e dz f ( z) l z ( z 2 1)
z
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复变函数论
学习方法
复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函
数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似 之处，但又有不同之处。 在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数 域上特有的那些性质与结果。
2、复数的模与幅角
复数几何意义： 注： 实部与虚部可与平面坐标内 的点建立一一对应关系，所有复 数表征的点构成复平面。
z x yi
y
A( x, y )
x
复平面
复数的模:
z x 2 y 2
x cos
y sin
复数的辐角: arctg ( y / x) 复数的三角表示：z cos i sin
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第一部分
复变函数论
复变函数论发展历程
复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分 别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann(1826-1866) 研究复变函数的映射性质。他们是这一时期的三位代表人物。 经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗 透到了数学的许多分支，同时，它在热力学、流体力学和电磁 学等方面也得到了很多的应用。 二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹 性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密 切。
复变函数论
§1.2 复变函数 实变函数复习： 实变函数中关于函数的定义：
设X、Y是两个非空实数集合，f为X到Y的一个映
射，则称f为定义在数集X上的函数，记做：
f : x y, y f ( x)
其中x称为自变量，y称为因变量，X称为函数f的定义 域。
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复变函数论
§1.1 复数与复数运算 （一） 复数的概念 4、 复数的共轭 共轭复数：
i e z (cos i sin ) (cos i sin ) * *
z (cos i sin ) e
i
注：
e cos i sin e
复变函数论发展历程
复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。
为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩 大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了 解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史 上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。 到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707 -1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复 数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的 一些问题，复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利 建立和发展。
1 i n
故 w= n z 的主幅角有n个，即对应有n个值：
(0 k <n)
它们在以坐标原点为中心，半径为 n 的圆周上均 匀分布——多值函数。
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复变函数论
§1.1 复数与复数运算 例：讨论式子 Re(1 / z ) 2 在复平面上的意义 解： 令
第一部分
复变函数论
§1.2 复变函数 1、几个基本定义
（一）区域的概念
邻域： 由
邻域。
z z0 确定的平面点集，称为定点z0的
z0
内点： 若z0及其邻域全含于点集E内，称z0为点集E的 内点 外点： 若z0及其邻域不含于点集E内，称z0为点集E的 外点
边界点: 若z0及其邻域既有含于E内，又有不含于E 内的点，称z0为点集E的边界点。
§1.1 复数与复数运算 例：求方程sinz=2 解：设 z x iy
1 iz iz 1 [ei ( x yi ) ei ( x yi ) ] sin z (e e ) 2i 2i 1 y ix y ix [e e e e ] 2i 1 y y [(cos x i sin x)e (cos x i sin x)e ] 2i 1 y y [(e e )sin x i(e y e y ) cos x] 2 2
指数表示
(cos i sin )
注：1） 1 e2 k i ( 2 k ) i 2）1 e
3） i e
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(2 k / 2) i (2 k 3 / 2) i
(k 0, 1, )
4） i e
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其中： x称为复数的实部， x Re( z )
y称为复数的虚部，y Im( z )
i 1 ,称为虚单位。
全体复数在引入复数运算法则后，构成复数域。 注： 在复数域中，复数没有大小的概念。
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复变函数
§1.1 复数与复数运算 §1.2 复变函数
§1.3 复变函数的导数
§1.4 解析函数 §1.5 单值函数与多值函数
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§1.1 复数与复数运算 （一） 复数的概念 1、复数定义 对于任意两个实数x、y，称 为复数。
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总 学 时: 48课时（3学分）
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+ 课程设计10% + 平时（出勤，作业）10% + 期末考试40%
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§1.1 复数与复数运算 （一） 复数的概念
2、复数的模与幅角
z cos i sin
注： 关于复数幅角 的几点说明：
1）当z=0时，幅角无意义； 2）根据三角函数周期性，一个复数有无限多个幅角
Arg ( z ) 2k (k 0, 1, 2 )
第一部分
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§1.1 复数与复数运算 例：若 wn =z ，求w。
n n w = z 解： = cos +i sin = n e n n 而 = arg z +2k (k =0, 1, 2, )
wk = n z = n e
i argz+2 k n
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§1.1 复数与复数运算 （二）复数的运算 3、复数的除法
z1 x1 y1i x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 2 2 2 2 z2 x2 y2i x2 y2 x2 y2
i1 e z 指数式： 1 1 i 1 ei (1 2 ) 2 e 2 2 z2
或 e 2 y 4e y 1 0
y ln( 2 3 )
或 y ln( 2 3 )
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思考题
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i
i
cos i sin
1 i i cos (e e ) 2 1 i i sin (e e ) 2i
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§1.1 复数与复数运算
（二）复数的运算
1、复数的加减法
z1 z2 ( x1 y1i) ( x2 y2i) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i
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§1.2 复变函数
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§1.1 复数与复数运算 （续上例）
1 y y (e e ) sin x 2 2 1 y y (e e ) cos x 0 2 x 2k cos x 0 2 y y 2y y e e 4 e 4e 1 0
z1 z 1 注： z2 z2
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z1 arg arg z1 arg z2 z2
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