排列(优限法、捆绑法、插空法的运用_)
排列组合插板法
排列组合插板法求解排列应用题的主要方法：直接法：把符合条件的排列数直接列式计算;优先法：优先精心安排特定元素或特定边线捆绑法：把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法：对不能相连问题，先考量不受限制的元素的排序，再将不相连的元素挂在前面元素排序的空档中定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列。
间接法：正容易则反华，等价转变的方法。
例1：有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：(1) 全体排列成一行，其中甲就可以在中间或者两边边线;(2) 全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边;(3) 全体排列成一行，其中男生必须排在在一起;(4) 全体排成一行，男生不能排在一起;(5) 全体排列成一行，男、女各不相连;(6) 全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变;(7) 全体排列成一行，甲、乙两人中间必须存有3人;(8) 若排成二排，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法。
某班存有54十一位同学，正、副班长各1名，现选派6名同学出席某科课外小组，在以下各种情况中，各存有多少种相同的选法?(1)无任何限制条件;(2)正、副班长必须入围;(3)正、副班长只有一人入选;(4)正、副班长都不入围;(5)正、副班长至少有一人入选;(5)正、副班长至多存有一人入围;6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)让给甲、乙、丙三人，每人2本;(2)分为三份，每份2本;(3)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本;(4)分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本;(5)让给甲、乙、丙三人，每人至少1本例2、(1)10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少一个，共计多少种相同的分配方法?(2)10个优秀指标分配到1、2、 3三个班，若名额数不少于班级序号数，共计多少种相同的分配方法?.(1)四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共存有多少种相同的放法?(2)四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法存有多少种?解决排列组合应用题的基础是：正确应用两个计数原理，分清排列和组合的区别。
排列组合常用方法
排列组合1.捆绑法：主要处理相邻元素问题.例1：6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法有种.2.插空法：相离问题.例2：要排一张有6个歌唱节目和四个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不能相邻，一共有种排列方法.3.缩倍法：定序问题.例3：①今有2个红球、3个黄球、4个白球，同种颜色不加区分，将这九个球排成一列，有种不同的排法.②若把good的字母顺序写错了，有种不同的错误写法.③四张卡片上分别标有“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数是4.优限法：定位问题.例4.计划展出10幅画，其中1幅水彩画、4张油画、5张国画，排成一列成列，要求同一品种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的成列方式有种.5.间接法：至多至少问题.例5：从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，至少要甲型与乙型电视机各一台，则一共有种不同的选法.6.先选后排:选排问题.例6：①四个不同的球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则恰好有一个空盒子的方法有种②(2009重庆理)将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种(用数字作答)．7.分类讨论法：例7：(2009重庆理)锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。
从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的不同方法有种.8.插板法：名额分配问题.例8：某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班级的学生组成，每班至少一个，名额分配的方法有种.9.平均分配问题：例9：将12个学生平均分成四组，一共有种不同的方法.10.圆排：例10：将从10个不同的学生中选出8个，将他们分配到一个圆座上，则不同的方法有种.11.错排：例11：四个同学做了四张不同的贺卡，每个人的贺卡必须送给别人，一共有种不同送法.- 1 -。
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用捆绑法：当要求某几个元素必须相邻（挨着）时，先将这几个元素看做一个整体，（比如：原来3个元素，整体考虑之后看成1个元素）然后将这个整体和其它元素进行考虑。
这时要注意：一般整体内部各元素如果在前后顺序上有区别的还需进行一定的顺序考虑。
插空法：当要求某几个元素必须不相邻（挨着）时，可先将其它元素排好，然后再将要求不相邻的元素根据题目要求插入到已排好的元素的空隙或两端位置。
插隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比分组数目少1的隔板插入到元素中的一种解题策略。
题目特点：“若干相同元素分组”、“ 每组至少一个元素”。
例1：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？ A.20 B.12 C.6 D.4分两种情况考虑C=8种1、这两个新节目挨着，那么三个节目有4个空，又考虑到这两个节目的先后顺序共有2×14P=12种2、这两个节目不挨着，那么三个节目有4个空，这就相当于考虑两个数在4个位置的排列，由24综上得，共8+12=20种此题中使用了捆绑法和插空法。
例2：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（）种站法。
A.120B.72C.48D.24插空法:我们来这样考虑，因A、B两人不站一起，故可考虑的位置C、D、E，C、D、E三个人站在那有P=12。
一共留出4个空，将A、B分别放入这4个空的不同的空中，那就是4个空中取2个空的全排列，即24P=6，综上，共有6*12=72种这样考虑了之后，还有一点就是C、D、E三个人也存在一个排列问题，即23例3：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站一起，共有（）种站法。
A.120B.72C.48D.24捆绑法：此题和上一题实质是一样的，我们来这样考虑，A、B两人既然必须站在一起，那么索性我们就把他P=24，又因为A、B两人虽然是站们看成一个人，那么我们就要考虑其和C、D、E共4个人的全排列，即44P=2，综上，共有48种。
排列组合插板法插空法捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有n个相同的元素，要求分到不同的m组中，且每组至少有一个元素，问有多少种分法？图中“”表示相同的名额，“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10 个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10 个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】需满足条件：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有种不同方法。
注意：这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。
但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板,可以把n个元素分成（b+1）组的方法.应用插板法必须满足三个条件：（1）这n个元素必须互不相异（2）所分成的每一组至少分得一个元素(3) 分成的组别彼此相异举个很普通的例子来说明把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况?问题的题干满足条件（1）（2）,适用插板法,c9 2=36下面通过几道题目介绍下插板法的应用e 二次插板法例8 ：在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对次序不变,再添加3个节目,共有几种情况?-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc可以用一个节目去插7个空位,再用第二个节目去插8个空位,用最后个节目去插9个空位所以一共是c7 1×c8 1×c9 1=504种【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、…．），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。
排列组合--插板法、插空法、捆绑法
排列组合问题——插板法(分组)、插空法（不相邻）、捆绑法（相邻）插板法（m为空的数量）【基本题型】有“”表示名额间形成的空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板”，则将这10个名额分割成七个部分，将第一、二、三、……七个部分所包含的名额数分给第一、二、三……七所学校，则“挡板”的一种插法恰好对应了10个名额的一种分配方法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，【总结】n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可3个条件的问题，这样将）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个3“档板?【例1】共有10完全相同的球分到7解析：我们可以将10个相同的球排成一行，10隙中，就“把10个球隔成有序的73个、4个），这样，借助于虚拟“档板”就可以把10????【基本题型的变形（一）】每组都填上1个，这样所要元素总数就m个，问题也就是转变成将（n+m）个元素分到m组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。
??【例2】有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法.A．35B．28C．21D．45解答：题目允许盒子有空，则需要每个组添加1个，则球的总数为8+3×1=11，此题就有C（10，2）=45（种）分法了，选项D为正确答案。
【基本题型的变形（二）】题型：有n个相同的元素，要求分到m组，要求各组中分到的元素至少某个确定值S（s＞1，且每组的s值可以不同），问有多少种不同的分法？解题思路：这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值s，各组分到的不是至少为一个了。
对于这样的题，我们就首先将各组都填满，即各组就填上对应的确定值s那么多个，这样就满足了题目中要求的最起码的条件，之后我们再分剩下的球。
这样这个问题就转变为上面我们提到的变形（一）的问题了，我们也就可以用插板法来解决。
【例3】15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？解析：编号1：至少1个，符合要求。
排列(优限法、捆绑法、插空法的运用)
插空法案例
总结词
插空法适用于在排列组合问题中，当需要将 一个元素插入到已经排好的元素序列中时， 可以采用插空法。
详细描述
插空法是一种实用的排列组合解题方法，它 通过将需要插入的元素插入到已经排好的元 素序列中的空位中，简化问题，提高解题效 率。在插空法中，我们首先找到已经排好的 元素序列中的空位，再将需要插入的元素插 入到合适的空位中。
排列(优限法、捆绑法 、插空法的运用)
目录 CONTENT
• 优限法 • 捆绑法 • 插空法 • 三种方法的比较与选择 • 实际应用案例分析
01
优限法
定义与特点
定义
优限法是指在排列组合问题中，先对 元素进行优先级排序，再根据优先级 进行排列的方法。
特点
优限法主要关注元素的优先级，根据 优先级的高低进行排列，可以快速确 定最优解或近似最优解。
捆绑法案例
总结词
捆绑法适用于在排列组合问题中，当需要将若干个元素 捆绑在一起作为一个整体来处理时，可以采用捆绑法。
详细描述
捆绑法是一种有效的排列组合解题方法，它通过将若干 个元素捆绑在一起作为一个整体来处理，简化问题，提 高解题效率。在捆绑法中，我们首先将需要捆绑的元素 视为一个整体，再与其他元素进行排列组合。
04
三种方法的比较与选择
适用条件比时。
捆绑法
适用于排列组合问题中，当某些元素必须作为一 个整体进行排列时。
插空法
适用于排列组合问题中，当需要将某些元素插入 到其他元素之间或两端时。
优缺点比较
优限法
优点是简单易懂，易于操作；缺点是可能存在多种分组方式，需要 仔细考虑。
优限法的应用场景
任务调度
在任务调度中，可以根据任务的紧急程度、优先级等因素， 使用优限法进行排列，确保任务按照优先级顺序执行。
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用 (1)
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用捆绑法：当要求某几个元素必须相邻（挨着）时，先将这几个元素看做一个整体，（比如：原来3个元素，整体考虑之后看成1个元素）然后将这个整体和其它元素进行考虑。
这时要注意：一般整体内部各元素如果在前后顺序上有区别的还需进行一定的顺序考虑。
插空法：当要求某几个元素必须不相邻（挨着）时，可先将其它元素排好，然后再将要求不相邻的元素根据题目要求插入到已排好的元素的空隙或两端位置。
插隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比分组数目少1的隔板插入到元素中的一种解题策略。
题目特点：“若干相同元素分组”、“ 每组至少一个元素”。
例1：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？ A.20 B.12 C.6 D.4分两种情况考虑C=8种1、这两个新节目挨着，那么三个节目有4个空，又考虑到这两个节目的先后顺序共有2×14P=12种2、这两个节目不挨着，那么三个节目有4个空，这就相当于考虑两个数在4个位置的排列，由24综上得，共8+12=20种此题中使用了捆绑法和插空法。
例2：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（）种站法。
A.120B.72C.48D.24插空法:我们来这样考虑，因A、B两人不站一起，故可考虑的位置C、D、E，C、D、E三个人站在那有P=12。
一共留出4个空，将A、B分别放入这4个空的不同的空中，那就是4个空中取2个空的全排列，即24P=6，综上，共有6*12=72种这样考虑了之后，还有一点就是C、D、E三个人也存在一个排列问题，即23例3：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站一起，共有（）种站法。
A.120B.72C.48D.24捆绑法：此题和上一题实质是一样的，我们来这样考虑，A、B两人既然必须站在一起，那么索性我们就把他P=24，又因为A、B两人虽然是站们看成一个人，那么我们就要考虑其和C、D、E共4个人的全排列，即44P=2，综上，共有48种。
排列组合常用四种方法-周丽红
排列组合常用四种方法中公教育研究与辅导专家 周丽红排列组合是行测数量关系里面比较常见的一种题型，通常用来解决求方法数情况数这一类计数问题。
而这种题型在计算和解题思维上与其他题型差异很大，很多同学对于排列组合问题不知如何下手，在这里，中公教育辅导专家给大家整理出排列组合常考的四种方法，希望对各位考生有所帮助。
例题：用 1、2、3、4、5 这 5 个数字组成一个无重复数字的五位数。
一、优限法：优先安排有绝对限制的元素或者位置，再去解决其他元素或者位置。
1、若数字1只能在首位或者是末尾的五位数，有多少种情况？解析：先安排1，在首位或者末尾，有12C ，再将剩下的数字全排列有44A ，我们相当于分成了两步才将这个五位数排好，故将两步的结果数相乘。
12C 44A =2×24=48。
二、捆绑法：元素要求相邻、连续时，我们可以先将相邻元素看成一个大整体与其他元素进行相应排列，再考虑大整体内部元素的顺序问题。
2、若组成的这个数中，所有奇数都相邻、所有偶数也都相邻，有多少种情况？解析：奇数看成整体，偶数看成整体，两个整体排序22A ，奇数整体内部3个元素，偶数整体内部元素2个，并且内部元素换了位置对结果有影响，故两个整体内部排序为33A 22A 。
最终结果表示为：22A 33A 22A =2×6×2=24。
三、插空法：先将其他元素排好，再将要求不相邻的元素放其空隙或者两端的位置。
3、若组成的这个数中，所有偶数都不相邻，有多少种情况？解析：我们先将3个奇数排好33A ，形成的空隙包含两端共有4个，再从4个空隙中选2个空隙放两个偶数24A 。
最终结果表示为：33A 24A =6×12=72四、间接法：有些题目直接考虑起来情况数比较多，会比较麻烦，而其对立面却只能一两种情况，很好计算，这时我们就会先算出总的情况数减去对立面的情况数即可。
4、若组成的这个数不能被 4 整除，有多少种情况？解析：一个五位数不能被4整除要求的是后两位不满足4的倍数，显然题干中组成的五位数后两位不满足的情况很多。
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a
b 甲c
d 乙e
练习：甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有 多少种？
解：先将其余四个同学排好有P44种方法，此时他们留 下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这 五个“空”有P53种方法，所以一共有P44P53＝1440种 不同的方法．
小 结 三 ： 对于 元 素 不相邻问题 ,先将其余元素全排列,再将这 些不相邻的元素插入空挡中, 这种方法称为插空法.（特殊元 素后考虑）．
三、【巩固练习】： 三名女生和五名男生排成一排:
⑴如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ P66P33=4320
⑵如果女生全分开，有多少种不同排法？
P55P63=14400 ⑶如果两端都不能排女生，有多少种不同排法？
方法1、P52P66=14400 方法2、P63P55=14400
四、【课堂小结】：
个位置上,有P52种方法；第二步:其余剩下的同学全排 列有P55种方法；所以一共有P52P55=2400种排列方法．
小结一：对于“在”与“不在”等有特殊 限 制的元素或位置的排列问题，通常是优先处 理受特殊限制的元素（或位置），这种方法 称为优限法.
例：7位同学站成一排．
⑶甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ 解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素 与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有P66种方法； 再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有P22种方法．所 以这样的排法一共有P66P22 ＝1440种．
③④
⑤
甲
dБайду номын сангаас
e
a
b
⑥
⑦
c
乙
例：7位同学站成一排． ⑵甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
解法一:(特殊位置法) 第一步:从其余5位同学中找2人站排头和排尾,有P52种方 法；第二步:剩下同学的全排列,有P55种方法；所以一共 有P52P55＝2400种排列方法．
解法二:(特殊元素法) 第一步:将甲、乙安排在除排头和排尾的5个位置中的两
1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置； ⑵某些元素要求连排（即必须相邻）； ⑶某些元素要求分离（即不能相邻）.
2．基本的解题方法： ⑴ 有特殊限制的元素或位置的排列问题，通常是优先排 特殊限制的元素或位置，这种方法称为“优限法”；
⑵ 某些元素要求必须相邻排列时，可以先将这些元素看 作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部 排列，这种方法称为“捆绑法”；
方法1、P61P66=4320 方法2、P77-P66=4320
二、【典例讲解】：
例：7位同学站成一排． ⑴甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
解：根据分步计数原理，第一步:甲、乙站在两端有P22种 方法；第二步:余下的5名同学进行全排列有P55种方法，则 共有P22P55=240种排列方法.
①②
排列的简单应用
优限法 捆绑法 插空法
一、【复习引入】： 1．排列、排列数的定义，理解排列、排列数的
定义需要注意的几点问题： 从n个不同元素中，任取m(m ≤ n )个元素（这
里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元
素的排列数.记作：Pnm .
2.排列数的计算公式:
P n mn (n 1 )(nm 1 )
Pnm
(n
n! m)!
3．练习：
⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？
P77＝5040
⑵ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多 少种不同的排法？
P66=720 ⑶ 7位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多少种 不同的排法？
例：7位同学站成一排．
⑷甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
解法一：（排除法） P77-P66P22=3600
解法二：（插空法）先将 除 去 甲 、 乙 外 的 其余五个同 学排好有P55种方法，此时他们留下六个位置（就称为 “ 空”），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空
）有P62种方法，所以一共有P55P62=3600种方法．
⑶ 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这 些不相邻元素插入空挡中，这种方法称为“插空法”.
2012/5/21
练习： ( 1 ) 甲、乙两同学必须相邻，而且丙 只 能站在排头 的 排 法有多少种？
P55P22＝240 (2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
P55P33＝720
小结二：对于元素相邻问题,常常先将要相邻 的元素捆绑在一起,视作为一个元素,与其余元 素全排列,再考虑相邻元素的内部排列.这种方 法称为捆绑法.（先捆后松）．