隔板法”解决排列组合问题.docx
巧用隔板法解排列组合题
巧用隔板法解排列组合题徐帮利 临沂市第二中学解决排列组合问题的方法很多,从解题形式来看,可分为直接法和间接法两种;根据具体问题情景又有：相邻问题“捆绑法”;不相邻问题“插空法”;特殊定位“优限法”(优先排列受限制的位置或元素);同元问题“隔板法”等.这里我们重点看一下“隔板法”.“隔板法”适用于相同元素的分配问题,如投球进盒、名额或指标的分配、部分不定方程的整数解的组数等,解决时通常设计一个问题情景,构造一个隔板模型,将复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,从而实现解题的目的.下举例述之.例1.某运输公司有7个车队,每个车队的车多于4辆,现从这7个车队中抽出10辆车,且每个车队至少抽1辆,组成一个运输队,则不同的抽法有（ ）种.A.84B.120C.63D.301解析:此题若使用其它方法,则需要分类,都比较麻烦,若用“隔板法”,则就轻而易举了.首先将10辆车排好,这样形成9个空,从这9个空中选6个,插入隔板,即将这10辆车分成7份,每一种插法对应一种抽法,故共有6984C =种不同的抽法.所以选A.例2.方程123410x x x x +++=共有多少组正整数解?解析:此题乍看上去,好象思路不太好找,那就只好列举了(麻烦啊！).殊不知,巧构隔板模型,即可化繁为简.将10个完全相同的小球排成一列,形成9个空,从中选3个,插入隔板,将球分成4份,每一种插法所得4份球的各份的数目,分别对应1234x x x x 、、、,即为原方程的一组正整数解.故原方程组共有3984C =组不同的整数解.例3．将10个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中所放的球数不少于其编号数,问不同的放法有多少种?解析:由于条件要求每个盒子中所放的球数不少于其编号数,我们不妨先“找平了”,即先在第1,2,3个盒中各放0,1,2个球.问题即转化为求:将7个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒中至少1个球的不同放法.将7个小球排成一排,形成6个空,从中选2个,插入隔板,把球分成三组,放入对应的盒子里,每一种插法,对应一种放法,故共有2615C =种不同的放法.强化训练:1.将10本完全相同的书,分给4名同学,每人至少一本,共有多少种不同的分法?答案: 3984C=种.2.方程1220100x x x++⋅⋅⋅+=共有多少组正整数解？答案:1999C组.。
专题十一：隔板法在解排列组合问题中的应用(同元分组问题)
隔板法在解排列组合问题中的应用隔板法又称隔墙法、插板法是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要方法，本文将将通过例题将这种方法作以介绍，供同学们学习时参考.一、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法.解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，将20个小球及两块隔板排成一排，两块隔板将小球分成三块，从左到右看成三个盒子应放的球数，每一种隔板与球的排法对应一种分法.将20个小球和2块隔板排成一排有22个位置，先从这22个位置中取出两个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有222C 种不同的放法，再将小球放入其他位置，由于小球与隔板都无差别，故小球之间无序，只有1种放法，根据分步计数原理，共有222C ×1=231种不同的方法.点评：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n 件物品分成m 组，允许若干组为空的问题.将n 件物品分成m 组，需要1m -块隔板，将这n 件物品和1m -块隔板排成一排，占1n m +-位置，从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有11m n m C -+-种不同的方法，再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有11m n m C -+-×1=11m n m C -+-种排法,因1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法.二、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每人（或位置）必须有物品问题例2将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少1个名额，有多少种不同的分配方法？分析：本题是名额分配问题，用隔板法.解析：将20个名额分配给18个班，每班至少1个名额，相当于将20个相同的小球分成18组，每组至少1个，将20个相同的小球分成18组，需要17块隔板，先将20个小球排成一排，因小球相同，故小球之间无顺序，是组合，只有1种排法，再在20个小球之间的19个空档中，选取17个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有1719C 种不同的放法，根据分步计数原理，共有1719C 种不同的方法，因17块隔板将20个小球分成18组，从左到右可以看成每班所得的名额数，每一种隔板与小球的排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法.点评：：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每个人（或位置）必须有物品问题,可以看成将这n 件物品分成m 组，每组不空的问题.将n 件物品分成m 组，需要1m -块隔板，将这n 件物品排成一排，因物品无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种排法，再在这n 件物品之间的1n -空档中选取1m -个位置放隔板，占1n m +-位置，从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有11m n C --种不同的放法，根据分步计数原理，共有1×11m n C --=11m n C --种不同排法,因1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的排法对应于一种分法，故有11m n C --种分法.对相同物品分配问题，注意某若干组能否为空，能为空和不能为不空，方法不同，要体会和掌握.。
微专题 隔板法解排列组合问题
微专题 “隔板法”模型的构建与应用隔板法隔板法是将n 个相同元素分成m 组（每组的任务不同），求不同分法种数的一种解题方法。
利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题.(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有11--m n C 种，即给n 个元素中间的（1-n ）个空隙中插入（1-m ）个隔板.(2)任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有11--+m m n C 种，即将n 个相同元素与（1-m ）个相同隔板进行排序，在（1-+m n ）个位置中选（1-m ）个安排隔板.典例解析题型一：每盒非空例1.将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（即每盒至少放入1个小球），有 种不同的装法.解析：将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空位中任意取两个划上竖线，这样就将10个小球分成了3组.图1－1所示的是其中一种装法.图11-将每组小球按顺序装入3个盒子中，则划竖线的方法数等于题中所求的装法数，装法共有3629=C （种）.例2.求方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.解析：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示未知数1x 、2x 、…、5x ，要得到方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.可分以下两步完成:第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法； 第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有46C 种放法.由分步计数原理知，共有46C 种不同放法.我们把标有i x （i=1,2,…,5）的每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈+），记作：i x =i k .这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程1x +2x +…+5x =7的每一组解（1k ，2k ，…，5k ）.46C =26C =1256⨯⨯=15（个） 所以，方程1x +2x +…+5x =7的正整数解共有15个.点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程1x +2x +…+5x =7的非负（或正）整数解的个数的理论依据.题型二：每盒至少有n 个例3.将20本练习本分给4名学生，要求每名学生至少得3本，有 种不同的分法.解析：首先分给每人2本练习本，然后将剩下的12本练习本按例1中划竖线的方法分给4名学生，这样每人就至少得3本练习本，所以不同的分法共有（种）165311=C .题型三：每盒分别有m n n n ,,,21 个例4.将20个相同的小球全部放入编号为3,4,5的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不少于它的编号数，则不同的放法有 种.解析：首先在三个盒子中依次放入2,3,4个球，再将剩余的11个球按例1中划线的方法分到三个盒子中，这样就能满足“每个盒内的球数不少于它的编号数”的要求.于是不同的放法共有（种）45210=C题型四：每盒可空例5.把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置.由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 311种排法.311C =12391011⨯⨯⨯⨯=165(种) 所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法.点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法.隔板的块数要比盒子数少1.例6.求10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、…、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x （i=1,2,…,5）每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈），记作i x 的i k 次方.这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项.由隔板法知，这样的放法共有414C 种，故10521)(x x x +⋅⋅⋅++的展开式中共有414C 项。
利用隔板法巧解排列组合问题四个方面
利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）隔板法就是在n 个元素间，插入()1b -个板，把n 个元素分成b 组的方法。
一、放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。
由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有311C 种排法。
所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有311165C =种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。
隔板的块数要比盒子数少1。
二、指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。
分两步。
第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。
取615-=块相同隔板，连同4个相同名额排成一排，共9个位置。
由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有59C 种排法。
由分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有59126C =种不同分法。
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。
三、求n 项展开式的项数。
例3、求()10125x x x +++L 展开式中共有多少项？解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、L 、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、L 、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x ()125i =L ，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N =∈L ，，，，，记作i x 的i k 次方。
这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。
取514-=块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共14个位置。
隔板法解决排列组合问题
隔板法解决排列组合问题Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有311C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有315455C =种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C +=种。
隔板法在排列组合中的应用技巧
二 、 空 问 题 — — 第 二 隔 板 法 有
即空位数恰 ￣／ 球数少一个 。ｎ 隔板将小球 ＬＪ ＇ 块
分 成 ｎ ｌ ， 以 隔板 数 恰 比小 盒 数 少 一 个 。 ＋ 份 所
例 ５将 ５个 相 同小 球放 到 ４个 不 同盒子 解 ： ５个 隔 板 插 入 １ 指 标 中 的 ９个 空 隙 ， 用 ０个
每组 至 少 一 个 元 素 可 用 第 一 隔板 法 ， 果 没 有 如
由第一隔板法知共有：：８ 。 Ｃ＝ ４ 又若无 “ 要求可用第二 隔板法 。插空法与隔板法貌似 神 每
象 这 种 解 决 非 空 问 题 的 隔 板 法 ， 为 第 一 称
步至多跨 ３级 ”的要求 ， 则还 有ｆ 仅有 ） 一步跨 离 ， 用 时 应 准 确 把 握 。 应
里ｆ 盒子 可空 ） 共 有多少种 放法？ ： ４个盒 即有 Ｃ＝２ 种分法。 ， 解 将 ：１６ 例 ２某 公 司向西 部希 望 Ｔ程 捐 了 ９台相 子 与 ５个小球 看成 ９个相 同元素 ， 除去 两边形 ２１ 优 秀 指 标 名 额 分 配 到 一 、二 、三 ３ ． ０个 同 型 号 的 电脑 ， 赠 给 三 所 希 望 小 学 ， 校 至 分 每 成 ８ 空隙， 个 将这 ８个空 隙隔进 ３个板 ， 即有 ： 个班， 若名 额数 不少 于班 级序 号数 ， 有多少 共 少一台 ， 有多少种方案． 共 Ｃ ：６ ） ：５ （ 放法 。 种 种不 同的分配方法？ 解： 令分赠 给三所 希望小学 的 电脑 台数依
评 价 进 行 师 生 情 感 交 流 ， 评 价 成 为 师 生 问 情 让
调 查 问卷 结 果 的对 比 ：
２８ 成绩优 良的学生 ， ２ ． ％； 由 ０人增加到 ２ ６人 ，
“隔板法”
“隔板法”解决排列组合问题排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
所谓隔板法，就是把隔板当成元素，再从元素里选隔板就行例1、（1）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问不同放法有多少种？（2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1）本题需要3个隔板，把3个隔板当成3个元素，共15个元素，再从15个元素里选取3个隔板，共有C 153 =455 种（2）首先一个盒子放一小球，还剩8个小球，把8个小球放4个盒子需3个隔板，把3个隔板当成3个元素共11个元素，最后从11个元素里选3个隔板就行了，共有C113 =165 种。
（3）先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2 个小球，2个小球装在4个盒子里需3个隔板，3个隔板看成3个元素，共5个元素，最后从5个元素里选出3个隔板就行了，共有C53=10种913111例 2、（ 1）方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的正整数解有多少组？(2) 方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的非负整数解有多少组？（ 3）方程2x 1 x 2 x 3x 10 3 的非负整数整数解有多少组？解：（ 1）转化为 10 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C 384 种，所以该方程有 84 组正整数解。
（ 2）转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子， 可以有空盒， 先给每个小盒装一个，进而转化为 14 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C3286 种， 所以该方程有 286 组非负整数整数解。
巧用隔板法解相同元素组合问题
巧用隔板法解相同元素组合问题巧用隔板法解相同元素的组合问题广东省深圳市建文中学高中数学老师欧阳文丰在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入方法数的问题，常用隔板法。
隔板法：又称剪截法。
解题思路：n 个相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球排列成一排从间隙里插入m-1个隔板形成m 段.因此放法数为: 。
注意事项：隔板法的应用条件有二。
首先, n 个相同小球放入m(m ≤n)个不同盒子里, 这是最重要的条件, 否则不能运用隔板法。
其次, 每个对象至少分得一个, 这样就可以在n 个相同小球串成一串从间隙里插入m-1个隔板, 依此将这些元素分给不同的对象。
例1 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种.例2：某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料，问一共有多少种不同的发放方法?A.7B.9C.10D.12解析：选C 。
分析题意, 将30份相同的学习材料分给不同的部门, 满足隔板法应用的条件, 棘手的在于每个部门至少9份, 如何转化11--m n C 6984C =为每个部门至少1份呢?这时我们就可以每个部门先发8份, 再将剩下的6份发给三个部门, 每个部门至少发1份, 这样就满足题意了, 所以这道题的答案是 , 10种方法。
例3：将7个大小形状相同的小球放进三个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，问共有多少方法?A.12B.24C.36D.48解:将7个小球分成三组需要两块隔板, 因为允许有盒子为空，不符合隔板法的原理。
那就人为的再加上3个小球, 保证每个盒子都至少分到一个小球, 这样就符合隔板法的要求了, 等到分完后再把3个小球拿走就可以了。
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“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）
排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”
可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（ 1） 12 个相同的小球放入编号为 1， 2， 3， 4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有
多少种？
（ 2） 12 个相同的小球放入编号为1， 2， 3， 4 的盒子中，问不同放法有多少种？
（ 3） 12 个相同的小球放入编号为 1， 2， 3， 4 的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于
其编号数，问不同的方法有多少种？
解：（ 1）将 12 个小球排成一排，中间有11 个间隔，在这11 个间隔中选出 3 个，放上“隔板”，若把“ 1”，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11 个间隔中选出 3 个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有C113=165 种。
（ 2）法 1：（分类）①装入一个盒子有C41 4 种；②装入两个盒子，即12 个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有C42C11166 种;③装入三个盒子，即12 个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至
少装一个有 C43C112=220 种 ;④装入四个盒子，即12 个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有
C113165 种;由加法原理得共有4+66+220+165=455 种。
法 2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12 个小球任意装，即16 个小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有C153455 种。
（ 3）法 1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩 2 个小球，则这两个小球可以装在 1 个盒子或两个盒子，共有 C41C4210 种。
法 2：先给每个盒子装上比编号小 1 的小球，还剩 6 个小球，则转化为将 6 个相同的小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有C5310
由上面的例题可以看出法 2 要比法 1 简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。
例 2、（ 1）方程x1x2x3x410 的正整数解有多少组？
(2)方程 x1 x2x3x410 的非负整数解有多少组？
（ 3）方程2x1x2x3L x
103的非负整数整数解有多少组？
解：（ 1）转化为10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个，有C9384 种，所以该方程有
84组正整数解。
（ 2）转化为10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子，可以有空盒，先给每个小盒装一个，进而转化为14 个相同的小球装入 4 个不同的盒子，每盒至少装一个，有C133286 种，所以该方程有286 组非负整数整数解。
（ 3）当x10时，转化为 3 个相同的小球装入9 个不同的盒子，可以有空盒，有C113165 种。
当 x1 1 时，转化为 1 个小球装入 9 个不同的盒子，可以有空盒，有C91=9 种；所以该方程有165+9=174 组非负整数整数解。
例 3、已知集合，选择的两个非空子集A, B ，且A中最大的元素比 B 中最小的元素小，
则选择方法有多少种？
解：由题意知 A, B 的交集是空集，且A, B 的并集是的子集 C ，所以 C 至少含有两个元素，将 C 中元素按从小到大的顺序排列，然后分为两部分，前边的给 A ，后边的给 B ，A, B至少含有1个元素，设 C 中有n个元素，则转化为n 个相同的小球装入 2 个不同的盒子，则有C n1种装法，故本题有
C52C53C21C54 C31C55C4149种选择方法。
总之，凡是处理与“相同元素有序分组”模型时，我们都可采用“隔板法”。
若每组元素数目至少一个
时，可用插“隔板”，若出现每组元素数目为0 个时，向每组元素数目至少一个的模型转化，然后用“隔板”
法加以解决。