大学物理学 6.1简谐振动及其表述
简谐振动的特性与公式
简谐振动的特性与公式简谐振动是指物体在回复力的作用下，以一个固定的角频率在平衡位置周围做往复运动的现象。
它是力学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学以及其他领域。
本文将探讨简谐振动的特性以及相关的公式。
一、简谐振动的特性1. 平衡位置与位移：简谐振动的平衡位置是物体在无外力作用下所处的位置，位移是物体相对于平衡位置的偏移量。
在简谐振动中，物体在平衡位置附近做往复运动，位移大小与方向随时间变化。
位移可以用矢量表示，方向与偏离平衡位置的方向相反。
2. 振动的周期与频率：简谐振动的周期是完成一次完整往复运动所需的时间，用符号T表示。
频率是单位时间内完成的往复运动次数，用符号f表示。
周期和频率之间存在以下关系：f=1/T。
3. 振幅与最大速度：简谐振动的振幅是位移的最大值，表示振动的幅度大小。
最大速度是物体在振动过程中达到的最大速度，与振幅相关。
振幅越大，最大速度越大。
4. 角频率与周期：角频率是简谐振动中角度随时间变化的快慢程度，用符号ω表示。
角频率与周期之间存在以下关系：ω=2πf=2π/T。
二、简谐振动的公式1. 位移与时间的关系：简谐振动的位移随时间的变化可以用正弦函数来描述。
当物体从平衡位置出发向一个方向运动时，位移的函数关系可以表示为：x(t) = A * sin(ωt)，其中x(t)为时间t时刻的位移，A为振幅，ω为角频率。
2. 速度与时间的关系：简谐振动的速度随时间的变化也可以用正弦函数来描述。
速度的函数关系可以表示为：v(t) = A * ω * cos(ωt)，其中v(t)为时间t时刻的速度。
3. 加速度与时间的关系：简谐振动的加速度随时间的变化同样可以用正弦函数来描述。
加速度的函数关系可以表示为：a(t) = -A * ω^2 *sin(ωt)，其中a(t)为时间t时刻的加速度。
以上公式是简谐振动中最基本的公式，通过它们可以计算出简谐振动过程中任意时刻的位移、速度和加速度。
三、应用举例简谐振动的特性与公式在实际应用中有着广泛的应用。
简谐振动的特征和表示方法
简谐振动的特征和表示方法简谐振动是物理学中一种重要的振动现象，广泛应用于各个领域。
本文将论述简谐振动的特征和表示方法，以帮助读者更好地理解和应用简谐振动。
一、简谐振动的特征简谐振动是指受力恢复力与物体偏离平衡位置成正比的振动过程。
简谐振动具有以下主要特征：1. 平衡位置：简谐振动存在一个平衡位置，该位置处物体不受力作用，相对于该位置发生振动。
2. 振动频率：简谐振动的频率是指单位时间内完成的振动周期数。
频率与弹性系数、质量有关，表征了振动快慢。
3. 振幅：简谐振动的振幅是指物体在振动过程中偏离平衡位置的最大距离，振幅与振动能量相关。
4. 相位：简谐振动的相位是指物体在振动过程中的状态，用来描述物体与平衡位置的关系。
相位角随时间变化而变化。
二、简谐振动的表示方法简谐振动可以用多种方式表示，常见的表示方法包括：1. 位移-时间表示：用物体的位移随时间的变化来描述简谐振动。
位移随时间变化呈正弦或余弦函数关系，可表示为x(t) = Acos(ωt + φ)，其中A为振幅，ω为角速度，φ为相位角。
2. 速度-时间表示：用物体的速度随时间的变化来描述简谐振动。
速度随时间变化呈正弦或余弦函数关系，可表示为v(t) = -Aωsin(ωt + φ)。
3. 加速度-时间表示：用物体的加速度随时间的变化来描述简谐振动。
加速度随时间变化呈正弦或余弦函数关系，可表示为a(t) = -Aω^2cos(ωt + φ)。
4. 质点运动轨迹表示：简谐振动的质点运动轨迹可以用二维坐标系中的曲线来表示。
常见的简谐振动运动轨迹有直线、椭圆和圆周等形状。
5. 动能-势能图表示：简谐振动的动能-势能图是一种图形表示方法，用来描述振动系统的能量变化。
动能-势能图呈现周期性交替变化的特点，体现了能量从动能到势能再到动能的转换。
三、简谐振动的应用简谐振动在物理学、工程学和生物学等领域有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 力学系统中的弹性振动：弹簧振子、单摆等力学系统中的振动往往可以近似看作简谐振动，通过振动频率和振幅等参数来描述振动特性。
简谐振动的基本概念与公式
简谐振动的基本概念与公式简谐振动是物理学中的一个重要概念，它广泛应用于多个领域，如机械振动、电磁振动等。
本文将介绍简谐振动的基本概念，探讨简谐振动的公式，并阐述其在实际应用中的重要性。
一、简谐振动的概念简谐振动是一种基本振动形式，它的特点是系统在平衡位置附近以一定频率围绕平衡位置作一定幅度的振动。
简谐振动可以通过一定的数学模型进行描述和分析。
假设一个质点在某个固定轴上振动，当它距离平衡位置的位移与时间的关系满足正弦函数或余弦函数规律时，就称这种振动为简谐振动。
简谐振动的特点在于系统的振动是周期性的，即经过一段时间后，质点会回到初始状态并重复振动。
这个时间段称为振动的周期，用符号T表示。
另外，简谐振动的频率f是指单位时间内振动的次数，其倒数与周期T之间存在关系：f=1/T。
频率的单位是赫兹（Hz），周期的单位是秒（s）。
二、简谐振动的公式对于简谐振动，可以通过数学公式来描述其位移、速度和加速度与时间的关系。
1. 位移的公式简谐振动的位移公式一般采用正弦函数或余弦函数形式表示。
对于给定的简谐振动，其位移y与时间t之间的关系可以表示为：y = A * sin(ωt + φ)其中，A为振幅，表示质点离开平衡位置的最大位移；ω为角速度，表征振动的频率；φ为初相位，反映振动的起始状态。
2. 速度的公式简谐振动的速度与位移之间存在一定的关系。
对于给定的简谐振动，其速度v与时间t之间的关系可以表示为：v = Aω * cos(ωt + φ)3. 加速度的公式简谐振动的加速度与位移之间也存在特定的数学关系。
对于给定的简谐振动，其加速度a与时间t之间的关系可以表示为：a = -Aω² * sin(ωt + φ)其中，负号表示加速度的方向与位移相反。
三、简谐振动的应用简谐振动在多个领域都有重要的应用。
以下列举了几个常见的实际应用场景：1. 机械振动简谐振动广泛应用于机械工程中，如弹簧振子、摆锤等。
利用简谐振动的特性，可以设计和控制机械系统的振动，改善其运行稳定性，提高效率和精度。
简谐振动理论概述
简谐振动理论概述简谐振动是物理学中一种基本的振动形式，广泛应用于机械、电子、光学等领域。
本文将概述简谐振动的理论基础及相关特性。
一、简谐振动的定义与基本特性简谐振动是指在恢复力作用下，物体围绕平衡位置做往复振动的一种运动形式。
它具有以下几个基本特性：1. 平衡位置：简谐振动的平衡位置是物体受到恢复力时的位置，也是物体运动的稳定状态。
2. 往复运动：物体在简谐振动中以一定的频率围绕平衡位置做往复运动，即向远离平衡位置的方向运动，然后再回到平衡位置。
3. 振幅：振幅是简谐振动的最大偏离平衡位置的距离，它决定了振动的强度。
4. 周期与频率：简谐振动的周期是物体完成一次完整振动所需的时间，频率是单位时间内振动的次数。
它们之间存在着倒数关系，即周期等于频率的倒数。
二、简谐振动的数学表示简谐振动可以通过数学函数来描述。
其中，最常用的是正弦函数和余弦函数。
简谐振动的数学表示形式如下：x(t) = A * sin(ωt + φ)其中，x(t)表示时间t时物体离平衡位置的距离；A表示振幅；ω表示角频率，与振动的周期和频率有关；φ表示相位，描述振动的初始时刻。
三、简谐振动的力学模型简谐振动的力学模型通常可以使用弹簧振子来描述。
弹簧振子由弹簧和质点组成，在无阻尼情况下可以实现简谐振动。
根据胡克定律，弹簧振子的恢复力与质点的位移成正比，可以通过以下公式表示：F = -kx其中，F表示恢复力的大小；k表示弹簧的劲度系数；x表示质点相对平衡位置的位移。
四、简谐振动的能量在简谐振动中，系统的总能量保持不变，由动能和势能组成。
质点的动能和势能在振动过程中相互转换。
动能和势能可以通过以下公式表示：动能 K = 1/2 * m * v^2势能 U = 1/2 * k * x^2其中，m表示质点的质量；v表示质点的速度；k表示弹簧的劲度系数；x表示质点相对平衡位置的位移。
五、简谐振动的应用简谐振动在各个领域都有重要的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 机械振动：简谐振动广泛应用于机械系统中，如弹簧振子、钟摆等。
大学物理：简谐振动及其表述
简谐振动的运动学方程
证明一个运动是简谐振动的三个判据。
f kx
d x dt
2 2
x 0
2
x A co s t
2
第六章
机械振动
大学 物理
6-1 简谐振动 振幅A： 即振子偏离平衡位置的最大值。 x A co s t
速度：
v dx dt A sin t ;
当物体运动至某点x时，
l
v0
mg k x l m
d x dt
2
2
m m
o
x
整理可得
d x dt
2
2
k m
x0
由此可知物体作简谐振动。
第六章 机械振动
X
11
大学 物理
6-1 简谐振动
d x dt
2 2
k m
x0
k m
10(rad s
1
)
振动方程为
x A co s t ， 速 度 方 程 为
T 2
T
2
1 T
2
2
角频率
3
第六章
机械振动
大学 物理
相位:
t
位相或周相
6-1 简谐振动 x A co s t
v A sin t
确定质点在任一时刻运动状态的物理量 初相位：
为 t 0时 的 相 位 , 称 为 初 相 .
例 . 一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上，弹簧 伸长量l=9.8cm。如果给物体一个向下的瞬时冲击力，使它 具有 1m s 1 的向下的速度，它就上下振动起来。试证明物 体是作简谐振动，并写出其振动方程式。
简谐振动的图像和公式上课用
峰值位置
速度图像的峰值表示振动 物体在各个时刻的速度最 大值或最小值。
方向变化
速度图像可以反映振动物 体的速度方向变化，表明 物体在振Байду номын сангаас过程中有加速 度。
加速度图像
加速度图像
描述了振动物体在各个时刻的加速度 情况，呈现出一个正弦或余弦曲线。
峰值位置
方向变化
加速度图像可以反映振动物体的加速 度方向变化，表明物体在振动过程中 受力方向不断变化。
简谐振动的图像
02
振动位移图像
01
02
03
振动位移图像
描述了振动物体在各个时 刻的位移情况，呈现出一 个正弦或余弦曲线。
峰值位置
位移图像的峰值表示振动 物体偏离平衡位置的最大 距离，即振幅。
周期性
位移图像呈现周期性变化， 反映了振动物体的振动频 率。
速度图像
速度图像
描述了振动物体在各个时 刻的速度情况，呈现出一 个正弦或余弦曲线。
简谐振动的特性
周期性
简谐振动具有周期性，即物体 在每个周期内都会重复相同的
运动轨迹。
往复性
简谐振动是往复运动，物体在 平衡位置附近来回移动，而不 是单向移动。
能量守恒
简谐振动过程中，系统的能量 是守恒的，即动能和势能之和 保持不变。
初相
简谐振动的初相 $varphi$ 决定 了物体开始运动时的相位，决 定了运动轨迹的形状和方向。
概述
非线性振动是指振幅与位移之间不满足线性关系的振动。
特点
非线性振动的振幅和频率随时间变化，且系统对初始条件非常敏 感。
应用
非线性振动在物理学、工程学和生物学等领域有广泛应用，如心 脏跳动、电路中的振荡等。
分析简谐振动的几个概念
分析简谐振动的几个概念简谐振动是物理学中一个非常重要的概念，它在很多领域都有着广泛的应用，例如机械振动、电路振动、天体运动等。
通过对简谐振动的概念进行深入分析，我们可以更好地理解物体的振动规律，进而应用于实际问题的解决。
本文将从几个方面对简谐振动的概念进行分析，希望能够帮助读者更好地理解这一重要的物理现象。
简谐振动是指在没有外力作用的情况下，物体沿着某一方向作直线运动的振动。
这种振动的特点是运动轨迹呈正弦曲线，运动速度和加速度的大小与位置呈正弦关系。
简谐振动的运动方程一般表示为x=Acos(ωt+φ)，其中x表示位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
简谐振动的周期T和频率f分别与角频率ω的关系为T=2π/ω，f=1/T=ω/2π。
通过运动方程和周期频率的关系，我们可以更好地理解物体的振动规律。
简谐振动的能量是一个重要的概念。
在简谐振动过程中，物体的动能和势能随着时间的变化而变化，它们之间存在着一种平衡关系，即动能和势能的和保持不变。
在简谐振动的周期内，动能和势能的变化呈现出周期性，它们之间存在一种周期性的转换关系。
在简谐振动的周期内，物体的总能量保持不变，但动能和势能的大小会发生周期性的变化。
简谐振动的阻尼是影响振动特性的一个重要因素。
在实际情况下，简谐振动往往受到阻尼的影响，使得振动过程不再是周期性的。
阻尼可以分为强阻尼、临界阻尼和弱阻尼三种情况，分别对应着振动的过阻尼、临界振动和欠阻尼。
在强阻尼情况下，振动会迅速衰减并停止，临界振动则是指振动过程收敛到一个恒定的振幅，欠阻尼则是指振动会有衰减但不会停止。
阻尼对简谐振动的影响是很复杂的，在实际问题中需要具体分析具体情况。
简谐振动的受迫振动是简谐振动的一个重要扩展。
在受迫振动中，外力的作用使物体不再按照自由振动的规律运动，而呈现出一种受迫振动的特征。
在受迫振动中，外力的频率与物体的固有频率相同或接近，会出现共振现象。
共振是一种非常重要的现象，在一些特定条件下会导致系统发生剧烈的振动，甚至引发破坏性的后果。
简谐振动的特点与描述
简谐振动的特点与描述简谐振动是指一个物体在固定位置附近做往复振动的运动，其特点是周期性、均衡运动和振幅恒定。
简谐振动广泛应用于物理、工程等领域，如弹簧振子、摆钟等，具有重要的理论和实际意义。
本文将从简谐振动的描述、特点和应用三个方面进行阐述。
一、简谐振动的描述简谐振动的描述通常使用正弦（sin）函数或余弦（cos）函数，根据时间t表示物体的位置x或速度v。
振动的位置可以表示为：x = A sin(ωt + φ)其中，x为位置，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
角频率ω与周期T的关系为：ω = 2π/T角频率反映了振动的频率，周期T表示振动从一个位置到达相同位置所需的时间。
初相位φ则是振动的起始点。
速度v可以表示为：v = Aωcos(ωt + φ)根据简谐振动的描述公式，我们可以确定物体的位置和速度随时间的变化规律。
二、简谐振动的特点1. 周期性：简谐振动具有明显的周期性，物体会在一个固定的时间间隔内完成一次完整的振动。
周期性的特征使得我们可以预测振动的未来状态，并对振动进行分析和研究。
2. 均衡运动：简谐振动的均衡位置是振动的中心位置，物体在均衡位置附近的振动是以均衡位置为基准的往复运动。
均衡位置是简谐振动的稳定状态，物体在外力作用下会向均衡位置回复。
3. 振幅恒定：简谐振动的振幅是指物体在振动过程中达到的最大位移，振幅决定了振动的幅度大小。
简谐振动的特点之一是振幅恒定，即振幅不受时间和频率的影响，保持不变。
4. 无摩擦和阻尼：简谐振动假设在振动过程中没有外界摩擦和阻尼的存在，即物体在振动中不受阻力影响。
这样的假设可以简化振动系统的分析，使得我们可以更好地研究其特性。
三、简谐振动的应用1. 物理实验：简谐振动广泛应用于物理实验中，可通过自由振动的系统来研究和验证振动的规律。
例如，利用弹簧振子实验可以研究简谐振动的周期和相位。
2. 工程应用：简谐振动的理论在工程中有重要的应用，例如建筑物的结构振动分析和振动控制。
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o
t
（4）当 2 1 0 时，振动2落后振动1 。 相位可以用来比较不同物理量变化的步调 x A cos(t ) v vm sin(t )
vm cos(t 2)
a am cos(t ) am cos(t )
v0 A sin 0 sin 0
2
物体的振动方程为：x 0.1cos10t m 2
第六章 机械振动
12
初始条件：t 0时，x0 0，v0 1m s 1
v0 1 2 A x0 0 0.1m 10 v0 1 tan 2 x0 10 0
2 2
注意：
（1）解题中O点 的确定原则：物 体保持平衡的位 置。 （2）解得的初 相要结合初始速 度作正确取舍。
金属丝
（刚体绕定轴转动定律）
x 0
2
y
D 0 JZ
D JZ 令
2
结论: 在扭转角不太大时，扭摆的运动是谐振动.
JZ 周期和角频率为： T 2 D
第六章 机械振动
D JZ
10
大学 物理
6-1 简谐振动
例 . 一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上，弹簧 伸长量l=9.8cm。如果给物体一个向下的瞬时冲击力，使它 具有 1m s 1 的向下的速度，它就上下振动起来。试证明物 体是作简谐振动，并写出其振动方程式。 取物体的平衡位置为原点o，
6-1 简谐振动 振幅A： 即振子偏离平衡位置的最大值。 x A cos t
2 x
周期：物体完成一次全振动所用的时间。 频率：单位时间内完成全振动的次数。 一个周期后，振子振动状态完全相同
x Acos t A cos (t T )
T 2
T 2
1 T 2
第六章 机械振动
2 角频率
3
大学 物理
相位:
t
位相或周相
6-1 简谐振动 x A cos t
v Asin t
确定质点在任一时刻运动状态的物理量 初相位：
为t 0时的相位, 称为初相.
f kx
d x 2 x0 2 dt
第六章
2
x A cos t
2
机械振动
大学 物理
dx A sin t ; 速度： v vm A 为速度振幅。 dt d2x 2 2 a A 为加速度振幅。 a A cos t 加速度： m 2 dt
6.1.1 弹簧振子
6-1 简谐振动
o
x
弹簧原长时小球m所在位置为坐标原点O.对小球进行受力分析：
A
X
d 2x k d 2x f kx ma m 2 x0 2 dt m dt 2 k d x 2 2 令 简谐振动的动力学方程 x 0 m dt 2
其解为： x A cos t 简谐振动的运动学方程 证明一个运动是简谐振动的三个判据。
(t 2 ) (t 1 ) 2 1
（） 1 2k (k 0, 1, 2 )
x
o
t
4
则两质点振动的步调完全相同。二者同相。
第六章 机械振动
大学 物理
（2） (2k 1) (k 0, 1, 2 )
6-1 简谐振动
x
则两质点振动的步调完全相反。二者反相。 （3）当 2 1 0 时， 振动2超前振动1 ；
π A sin 0 取 2 o π x A cos( t ) A 2
第六章
π 2 v0 A sin 0
0 A cos
v
x
x
T 2
o
T
t
7
机械振动
大学 物理
单摆
l
m
f mg
6-1 简谐振动 规定逆时针方向为正 M mgl sin
P
（C点为质心）
mgl 2π J T 2π J mgl
第六章
m cos( t )
机械振动
9
大学 物理
扭 摆
以圆盘为研究对象 在 （扭转角）不太大时， 圆盘受到的力矩为
6-1 简谐振动
z
M z D
J Z D
（D为金属丝的扭转系数）
0 cos t
第六章 机械振动
8
大学 物理
复摆
( 5 ) M l F
2
6-1 简谐振动
转动正ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ O
d 2 M mgl sin J J 2 dt
d mgl J 2 dt
mgl J
2
l
*C
令
d 2 2 0 2 dt
x1 A1 cos(1t 1 ) x2 A2 cos(2t 2 )
x2 A2 cos t 2
相位差：两个振动的相位之差；
(2t 2 ) (1t 1 )
设有两个简谐振动： x1 A1 cos t 1 它们的相位差为：
解:
向下为x轴正方向，则有
mg kl 0
k
l
当物体运动至某点x时， d 2x v0 mg k x l m 2 dt d 2x k 整理可得 x0 2 m dt 由此可知物体作简谐振动。
第六章 机械振动
m m
o
x
X
11
大学 物理
6-1 简谐振动
d 2x k k x 0 10(rad s 1 ) 2 dt m m 振动方程为 x A cos t ，速度方程为 v Asin t ,
根据转动定律
d 2 g sin l 2 dt
2 d 2 mgl sin ml dt 2
当 角很小时， sin
d 2 g 2 0 l dt
d 2 g l 2 dt
2 g / l
其解为：
d 2 2 0 2 dt
大学 物理
6-1 简谐振动 振动： 任何一个物理量随时间的周期性变化
机械振动：物体在某一中心位置附近来回往复运动。
例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动
任何复杂的振动都可以 看做是由若干个简单而 又基本的振动的合成。 这种简单而又基本的振 动形式称为简谐运动。
第六章 机械振动
1
大学 物理
速度的相位比位移的相位超前 2 ，加速度的相位比位移 的相位超前 。
第六章 机械振动
5
大学 物理
6-1 简谐振动
6.2.4由初始条件确定简谐振动的振幅和初相
设t 0时，x x0，v v0
x0 A cos (1) 则有 v0 A sin (2) 2 v0 2 A x0 (3) v0 (4) arctan x 0
注:
x A cos t
v Asin t
由(4)确定的值在0 ~ 2 范围内有两个值, 将这两个
值代入(1)、（2）式，一定有一个与初始条件不符，舍去！
第六章 机械振动
6
大学 物理
6-1 简谐振动
讨论
已知 t
0, x 0, v 0 求