七年级第十六讲之 角

B O A ① ② O
C A 1 第十六讲 角
【知识清单】 角的概念
（1）由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的 ，这两条射线叫做 。

（2）由一条射线绕着它的端点，从一个位置转到另一个位置所形成的图形叫做角. 2、角的表示法
（1）用角的顶点和两边上各一点的三个 表示，如图①中的角，记 作∠AOB ；（注：顶点字母写在中间。

）
（2）在角的顶点处只有一个角时，用一个字母表示，如∠AOB 也可记作 ； （3）用希腊字母加弧线表示，如图②，∠ABC 记作 ； （4）用数字加弧线表示，如图②，∠ACB 记作 。

3、角的单位
（1）角的度量单位是 ，把一个平
角180等分，每1份就是1度的角，记作 ； 把1°的角60等分，每份就是1分的角，记作 ；又把'1的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作 。

（2）换算：六十进制 1°='
60，'
1=''
60。

4、方位角
方位角是表示方向的角，这种表示方向的方法在实际 问题中出现较多，具体表示时南北在前，再写偏东或偏 西多少度，如图所示，OA 表示为“ ”。

5、角的计数:由一个顶点引出n 条射线共有 个角 (小于或等于平角)。

6、从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线,叫这个角的角平分线。

【基本概念】
【例1】 下列说法正确的是（ ）
A 、 两条射线组成的图形叫做角
B 、 角是由一条线段绕着它的端点旋转组成的图形叫做角
C 、 有公共端点的两条线段组成的图形叫做角
D 、 角是由一条射线绕着它的端点旋转面组成的图形。

[练一练]
1、 下列说法正确的是 A 、 平角是一条直线 B 、 一条射线是一个周角
C 、 两边成一条直线时组成的角是平角
D 、 两个锐角的和一定是钝角。

东
南
西
北 30°
A
O
2、.①已知,αβ都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算
1()6
αβ+的结果依次为28°， 48°，
88°，60°.其中只有一个结果正确，那么算得正确结果的是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁
3、船的航向从正北按顺时针方向转到东南方向，它转了（ ）。

A 、135° B 、225° C 、180° D 、90° 【例2】 把38.43°化成度、分、秒,把3324'36''。

转化成用度表示的形式
[练一练]
1、48.26°= ° ′ ″， 84°37′12″= °； 32.48°= ° ′ ″， 75.5°= ° ′ ″ ，
2、计算：32°16′×5= ， 15°20′÷6= ；
82°-57°14′22″= ， 13°39′5″+ 61°48′59″
3、如图所示，在∠AOB 的内角部有两条射线OC ，OD ， （1） 请问图中有几个角？
（2） 若画出3条射线共有几个角？
（3） 若连OA 、OB 在内，从O 点引出的射线一共有n
【角的计算】
【例3】 如图，∠AOB= 90。

,∠AOC 是锐角，OE 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ，求∠EOF 的度数。

[练一练]
①如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线，∠COB=50°，∠DOC=30°，那么∠AOE=（ ）
C
B
A E
D
D
C
B
A
① ② ③
②、如图，CO ⊥AO ，DO ⊥BO ，∠BOC=30°，则∠AOD 的度数 。

③、如图，已知直线AB ，C D 相交于点O ，O A 平分EO C ∠，70EOC = ∠，则BO D ∠的度数等于_______．
D
④如右图，若∠3∶∠2 = 2∶5，且∠2-∠1=12o
，∠3等于______________
⑤、如图，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD ，若∠MON=50o
，∠BOC=10o
，则∠AOD= 【方程思想的运用】
【例4】 如图，AB 为直线，OC 是∠AOD 的平分线，OE 在∠BOD 内，
∠DOE= 1
3∠BOD ，∠COE=72°，求∠EOB 的度数．
[练一练]
1、如图：∠AOB ：∠BOC ：∠COD=2：3：4，射线OM 、ON 分别平分∠AOB 与∠COD ，又∠MON=90°，则∠AOB 为（ ）
2、 如图，OM 是∠AOB 的平分线，射线OC 在∠BOM 内部，ON 是∠BOC 的平分线，已
知∠AOC=80°，求∠MON 的度数．
3
、如图所示，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD ，∠MON=90°，∠BOC=26°，求∠AOD 的度数．
3
2
1
O
D
B
C
A
N
M
【余角与补角】
【例5】一个角是另一个角的3倍，且小有的余角与大角的余角之差为20°，求这两个角的度数。

2、已知∠1和∠2互补，∠3和∠2互余，求证∠3= 1
2
(∠l一∠2)
【动态问题】
1、如图1，射线OC、OD在∠AOB的内部，且∠AOB=150°，∠COD=30°，射线OM、ON分别平分∠AOD、∠BOC，
（1）求∠MON的大小，并说明理由；
（2）如图2，若∠AOC=15°，将∠COD绕点O以每秒x°的速度逆时针旋转10秒钟，此时∠AOM：∠BON=7：11，如图3所示，求x的值．
2、如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为_________秒（直接写出结果）；（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM 与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
3、如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为_______（直接写出结果）．
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，求∠AOM-∠NOC的度数．。