基于Broyden改进算法的航空发动机性能模拟研究

。
] －1 F (
则牛顿迭代法的迭代公式如下 X k +1 = X k － [ F' ( X k ) xk ) ， k = 0， 1， …， ^ ( 3)
k 式( 3 ) 中 F' ( X ) =
[ f(xx) ]
i j
称为 Jacobi 矩阵。
n ×n
2
收敛性分析
以上两种 方 法在 数 学理 论 上只具有 严格 的 局
第 12 卷 第 21 期 2012 年 7 月 1671 — 1815 ( 2012 ) 21-5231-05
科
学
技
术
与
工
程
ห้องสมุดไป่ตู้
Science Technology and Engineering
Vol. 12 No. 21 Jul． 2012 2012 Sci. Tech. Engrg.
基 于 Broyden 改进算 法的 航 空发 动 机 性 能 模 拟 研究
［6 ， 7 ］
部收敛 性， 但在实际应用中还是存在不收敛的情 况
［9 ］
。考虑到 发 动 机 气 动 热 力 模型本 身 的一 些 特 独立变量初值不合理
性导致不收敛的原因有以下几点。 2. 1 导致非线性方程 组 没 有 意 义 的 主 要 因素有: 给 定的初值使得工作 点 位 于 特 性 图 以外， 燃烧 室 出 口 总温小于 进 口 总 温 以 及 混 排 发 动 机的 混 合 室 进 口
: 参数循环法、 平衡循环法 和 牛
［3 － 5 ］
。 传 统的“平 衡 技术 ” 采用牛顿
迭代法求解发动机 共 同 工作的 非线性 方程 组， 从而 得出发动 机的 所 有 参数。 但这 种 方 法有 它 的 不 足 之处: 每一步迭代都 需要 通 过 差 商 法 求 得 雅 可 比 矩 阵， 这就需要 多 次 计算 整 机 气 动 热 力 过 程， 尤其是 在大量计算的情况下， 计算速度明显降低。 本文采用 基于 Broyden 原 理的 改 进 算 法， 可以 避免大量整机气动 热 力 计算， 从而 提 高 发 动 机 性 能 计算的计算速度， 同时改进了计算的收敛性。
( k +1) － x ( k) ， q k = F ( x ( k +1) ) － 式 ( 4 ) 中 pk = x
F( x
( k)
)， 一般 B0 可取为 F ( x) 在在初始点 x
( 0)
的雅
可比矩阵。直到 q k ≤ ε ( ε 为收敛误差) ， 即认为满 足求解条件。 为构造具有高阶收敛速率 的算 法，可以对已 知 的迭代过程采用一 些 约束， 尝 试 使 迭 代过 程 更 多 的 朝着真 实 解 的 方 向 进 行。 这 是 就 要 选 择 一 种 方 法
黄 旭 王占学 张晓博
( 西北工业大学动力与能源学院， 西安 710072 )
摘
要
航空发动机特性计算的核心问题之一就是 求 解 描述 发 动 机 部 件 共 同 工 作 的 非 线 性方 程 组。 目 前， 最 常 用的 求 解 非
Raphson 方法， Raphson 方法， 线性方程组的方法是 Newton但是 Newton在迭代次数很多的情 况 下 需要 大 量 发 动 机气 动 热 力过 Raphson 方法还存在不收敛的 问题。 为 了 克服 NewtonRaphson 方法的 缺陷， 程计算， 计算速度明显下降。同时 Newton详细 分 析了航空发动机部件共同工作的非线性方程组的求解收敛性问题。分析了不收敛的机理， 并发展了基 于 Broyden 方法 求 解 发 动机非线性方程组的改进算法。利用基于 Broyden 方法的改进算法对某型发动机进行一系列验 证计 算。 通 过 分 析 计 算 结 果， 证明了采用 Broyden 方法可以提高发动机特性计算的计算速度， 并且改善发动机特性计算的收敛性。 关键词 航空发动机性能模拟 V373 ; 非线性方程组 文献标志码 A 收敛性 Broyden 方法 中图法分类号
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黄
旭， 等: 基于 Broyden 改进算法的航空发动机性能模拟研究
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燃烧室出口总温小于进口总温等; 3 ) 对部件特 性 数 据进行 平 滑 处理 以 保 证 其 各 工况点非奇异; 也可以在特性图中增 加 辅 助 线， 如β 插值法; 4 ) 设置合理的收敛精度， 如 E i ≤ 1. 0 × 10 本上满足工程计算要求; 5 ) 尽量避免矩阵求逆和除零现象， 可通 过 一 化 可降低矩阵条件数， 也 可以 施 加 微扰 动 来 去除 矩 阵 的奇异性。
{
为: = x
( k)
x
( k +1)
－ B F( x
－1 k
( k)
) p ， k = 0， 1， …， ^ pT k pk ( 4)
T k
B k +1 = B k + ( q k － B k p k )
马赫数大于 1. 0 等 “合理” ， 在许多情况下， 即便初值 能够完成第一 步计算， 但第二步仍然会出现计算没有意义的现象。 2. 2 部件奇异性 导致这 一 类问题出 现的 原 因 是 发 动 机 某个 部 :一 件特性在该工况对应的工作 点 附 近 出 现“奇 异 ” 般表现为 部 件 特 性 在该 点 出 现 突 然的 转 折 或 跳跃 ( 函数不可导) 。 2. 3 收敛精度不合理 给定的收敛精 度要求 太 高 时， 无论采用何种方 法， 发动机 特 性 计算 都 不 会 收 敛， 这 是由于计算机 的精度不够所引起。 在实际 应用 中采取 以 下 几 个 方 面 的 措施 来 保 证其全局收敛性: 1 ) 相对合理的初猜值可以由试验提 供， 也 可以 由全局收敛算法计算获得; 2 ) 对参加迭 代 计算的物理 量 施 加 约束 来控制 无物理意义 点 出 现， 如 工作 点 超 出 部 件 特 性 图、 主
当残差 E ( x k ) ≤ ε 时， 则认为迭代收敛。 1. 3 Broyden 改进算法介绍 Broyden 方 法 是 结 合 牛 顿 法 的 稳 定 性 和 N + 1 点割线法的高效率特点构造的一种迭代计算方法。 对于非线性方程组 F ( x) = 0 。 拟 牛 顿 类 算 法 中 的 Broyden 秩 一 计 算 公 式
2012 年 4 月 13 日收到 第一作者简介: 黄 旭， 男。 西 北 工 业 大学 动 力 与 能 源 学院硕士研
mail: nwpu _ hx @ 究 生。 研 究 方 向: 航 空 航 天 推 进 理 论 与 工 程。 E126． com。
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P S25 分别表示混合室进口内、 的流量相似参数; P S55 、 W7 分别表示加 力 燃烧 室 出 口 流 量 和 外涵 静 压 ; W 8 、 err1 ～ err6 分别表示残差。 尾喷管喉道流量。 1. 2 牛顿迭代法简介 设有非线性方程组: F( x) = 0 x = ( x1 ， x2 ， · · · ， xn ) 式( 2 ) 中， f2 ( x ) ， · · · ， f n ( x) )
［1 ， 2 ］
1
1. 1
计算模型以及数值方法
航空发动机特性仿真数学模型 不同类型 的 发 动 机形 成 共 同 工作方程 组 的 参
数个数各 不 相 同， 对 于 双 轴 混 合 排 气 涡扇 发 动 机， 在给定控制规律后， 求 解 发 动 机 共 同 工作 点 的 非线 6 个 方程 即: 高 压 涡 轮 的 流 性方程组包含 6 个变量， 量平衡; 低压 涡 轮 的 流 量 平 衡; 高 压 涡 轮 的 功 率平 衡; 低压涡轮的功 率平 衡; 主流 喷 管 的 流 量 平 衡 ( 等 效为压力平 衡 ) ; 混 合 排 气 发 动 机的 混 合 器 进 口 内 外涵静压相等。 err1 err 2 err3 err4 err5 err6 = NTH ηmH － NCH = f1 ( x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 ， x6 ) = NTL ηmL － NCL = f2 ( x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 ， x6 ) = QHC － QHP = f3 ( x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 ， x6 ) = QLC － QLP = f4 ( x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 ， x6 ) = ( W8 － W7 ) / W7 = f5 ( x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 ， x6 ) = PS55 － PS25 = f6 ( x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 ， x6 ) N TH N TL η mH η mL 分 别 表 示 高 低 轴 功 率 和 机 械 效 率; Q HP Q HC 分别表示由高低压涡轮特性图插值计算 出的高、 低压涡 轮 的 流 量 相 似 参数; Q HC Q LC 分 别 表 示由发动机各部件 共 同 工作计算 出 的 高、 低压 涡 轮 ( 1)
航空 发 动 机 特 性 仿 真 关键是 求 解 描 述 航 空 燃 气涡轮发动机共同 工作的方程 组， 求 解该 方程 组 的 。 为了对 方程 组 进行 快 技术通常 称 为“平 衡 技术 ” 速、 准确 的 求 解， 必须 采 用 适当 的 求 解 方 法。 特 别 是在发动机控制方 面， 随着 对 发 动 机 模拟 实 时 性 要 求的提高， 提高发动机平衡计算的速度非常重要。 航空发 动 机 特 性 仿 真 中 对 非线性 方程 组 的 求 解方法分为三种 顿 － 莱普 森 法
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NewtonRaphson 方 法在 飞 行 包 线内 势。对 比两 图， 存在不收敛的现象， 而 Broyden 改 进 算 法 全 部 收 敛。 NewtonRaphson 方 法 是 平 对比两种 算 法 的收 敛 阶， 方收敛， 而 Broyden 方法是超 线性 收 敛， 但 实 际 应用 基 Raphson 方法在计算 Jacobi 矩阵时， 中， 由于 Newton要进行多次气动热 力 计算， 这 样 可能 会 引 入 新 的 误 差， 而且 Broyden 改进算法使用了 回溯 的机 制， 保证 Broyden 改 进 算 计算能够向 着 解 的方向 进行， 所 以， Raphson 方法。 法的收敛性要优于 Newton表 1 和表 2 给出了在高度为 1 000 m 时 一 部 分 计算结果， 对 比两种 算 法得 到的 结 果， 得 到的 迭 代 终值是基本相同 的， 满 足 工程计算 需要。 表 3 给 出 了两种算 法在 计算 不同 高 度 速 度 的 特 性 参数 时 气 NewtonRaphson 动热 力 计算的 次 数。 由 表 3 可得， 方法所需要的气动热力 计算 次 数要比 Broyden 改 进 算法多出 40% ， 尤 其在 需要 计算大 量 非 设 计 点 时， NewtonRaphson 方 法 在 计 算 速 度 上 的 缺 点 将 更 加 明显。