第八章按位移求解空间问题
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第8章空间问题的解答201205231
s （3） u 上的位移边界条件(d) 。
这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。
在空间问题中，按位移求解方法尤为重要： ➢ 能适用于各种边界条件。 ➢ 未知函数及方程的数目少。而按应力求解时，没有普遍性的
应力函数存在。 ➢ 近似解法中，按位移法求解得到广泛的应用。
弹性力学
空间问题的解答
6
一 按位移求解空间问题
二 半空间体受重力及均布压力
设有半空间体，受自重体力 fz 及ρg
边界的均布压力q。 解：按位移求解：
位移u,v,w应满足平衡微分方程及边 界条件。
考虑对称性，本题的任何x面和y面 均为对称面，可设
u0 ,v0 ,w w (z) (a)
uvww
x y z z
x
0,y0,z 2zw 2
弹性力学
空间问题的解答
当 0时，正应力不引起侧向变形，说明物体的刚度极
大，接近于刚体。
弹性力学
空间问题的解答
14
第八章 空间问题的解答
内容提要
徐芝纶院士(1911-1999)
一、按位移求解空间问题 二、半空间体受重力及均布压力 三、半空间体在边界上受法向集中力 四、按应力求解空间问题
弹性力学
弹性力学简明教程(第三版)
三 半空间体在边界上受法向集中力
按位移求解空间轴对称问题:
在柱坐标 (,中,，z)可以相似地导出位移
（1）V内的平衡微分方程，
应u满ρ ,足uz：
2211EE111122z
2u u2
2uz fz
f 0
0
(8-4)
－按位移求解空间轴对称问题时的基本微分方程。
弹性力学
空间问题的解答
7
一 按位移求解空间问题
这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。
在空间问题中，按位移求解方法尤为重要： ➢ 能适用于各种边界条件。 ➢ 未知函数及方程的数目少。而按应力求解时，没有普遍性的
应力函数存在。 ➢ 近似解法中，按位移法求解得到广泛的应用。
弹性力学
空间问题的解答
6
一 按位移求解空间问题
二 半空间体受重力及均布压力
设有半空间体，受自重体力 fz 及ρg
边界的均布压力q。 解：按位移求解：
位移u,v,w应满足平衡微分方程及边 界条件。
考虑对称性，本题的任何x面和y面 均为对称面，可设
u0 ,v0 ,w w (z) (a)
uvww
x y z z
x
0,y0,z 2zw 2
弹性力学
空间问题的解答
当 0时，正应力不引起侧向变形，说明物体的刚度极
大，接近于刚体。
弹性力学
空间问题的解答
14
第八章 空间问题的解答
内容提要
徐芝纶院士(1911-1999)
一、按位移求解空间问题 二、半空间体受重力及均布压力 三、半空间体在边界上受法向集中力 四、按应力求解空间问题
弹性力学
弹性力学简明教程(第三版)
三 半空间体在边界上受法向集中力
按位移求解空间轴对称问题:
在柱坐标 (,中,，z)可以相似地导出位移
（1）V内的平衡微分方程，
应u满ρ ,足uz：
2211EE111122z
2u u2
2uz fz
f 0
0
(8-4)
－按位移求解空间轴对称问题时的基本微分方程。
弹性力学
空间问题的解答
7
一 按位移求解空间问题
第八章按位移求解空间问题
第七章 空间问题
概述 第一节 第二节 第三节 例 题 例 题
空间球对称问题的基本方程 空间轴对称问题 半空间体在边界上受法向集中力 7.1 7.2
第七章 空间问题
空间问题的解析解一般只能在特殊边 界条件下才可以得到。可分为空间球对称 问题和空间轴对称问题。如果弹性体的几 何形状、约束条件以及外载荷都对称于某 一点（过这一点的任一平面都是对称面）， 这时应力、位移等都对称于这一点，称为 球对称问题，球对称问题的弹性体的形状 只能是圆球或空心球。如果弹性体的几何 形状、约束条件以及外载荷都对称与某一 轴（过该轴的任一平面都是对称面），这 时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴 对称问题，轴对称问题的弹性体的形状一 般为是圆柱或半空间。 在球对称问题中，应力、应变、位移 等分量都只是径向坐标ρ的函数。
这时有
可以取C = 0，这时应力函 数调和函数
u u w 1 2 z G
0
2
第三节
半空间体在边界上受法向集中力 根据位移分量和应力分量与位移 函数的关系：
1 2 1 2 u , 2(1 ) 2 2 2G z 2G z 2 2 2 z
化简后得到
Fb 0 z
z
第二节 dφ
ρ φ
空间轴对称问题
φ
ρ φ
根据z方向的平衡，可得
z z d ( d ) d d z z d d z z z d z d d z d d Fb z d d d z 0 z
球对称问题
ρ
轴对称问题
第一节
概述 第一节 第二节 第三节 例 题 例 题
空间球对称问题的基本方程 空间轴对称问题 半空间体在边界上受法向集中力 7.1 7.2
第七章 空间问题
空间问题的解析解一般只能在特殊边 界条件下才可以得到。可分为空间球对称 问题和空间轴对称问题。如果弹性体的几 何形状、约束条件以及外载荷都对称于某 一点（过这一点的任一平面都是对称面）， 这时应力、位移等都对称于这一点，称为 球对称问题，球对称问题的弹性体的形状 只能是圆球或空心球。如果弹性体的几何 形状、约束条件以及外载荷都对称与某一 轴（过该轴的任一平面都是对称面），这 时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴 对称问题，轴对称问题的弹性体的形状一 般为是圆柱或半空间。 在球对称问题中，应力、应变、位移 等分量都只是径向坐标ρ的函数。
这时有
可以取C = 0，这时应力函 数调和函数
u u w 1 2 z G
0
2
第三节
半空间体在边界上受法向集中力 根据位移分量和应力分量与位移 函数的关系：
1 2 1 2 u , 2(1 ) 2 2 2G z 2G z 2 2 2 z
化简后得到
Fb 0 z
z
第二节 dφ
ρ φ
空间轴对称问题
φ
ρ φ
根据z方向的平衡，可得
z z d ( d ) d d z z d d z z z d z d d z d d Fb z d d d z 0 z
球对称问题
ρ
轴对称问题
第一节
第八章 空间问题的解答
● 第八章 空间问题的解答● 学习指导● 本章介绍空间问题按位移求解的方法和按应力求解的方法，其思路和步骤与平面问题相似。
读者可对照平面问题来学习和理解。
● 空间问题的位移法比应力法尤为重要。
一是因为位移法可以适用于各种边界条件的问题；二是位移法的未知函数数目比应力法少，而在空间问题中，又没有如平面问题那样，有普遍性的应力函数存在。
在近似解法中，位移法得到广泛的应用。
● 为了便于空间问题的求解，力学家和数学家提出了一些应力函数、位移势函数和位移函数等来表示应力或位移，使相应的微分方程得到简化，并从而得出了一些解答。
但读者应注意，这些函数都是人为假定的和有局限性的，并不能作为问题的一般解，因为并不能保证这些函数在任何情况下都存在。
● 扭转问题是空间问题中的一个专门问题。
扭转问题的理论，是从空间问题的基本方程出发，考虑扭转问题的特性而建立起来的。
扭转问题的应力函数Φ（x ，y ），是x ，y 坐标变量的函数，所以仍然是二维问题。
● §8-1 按位移求解空间问题⏹ 对于直角坐标系（x ，y ，z ）中的一般空间问题，按位移求解的方法与平面问题相似，即● 取u ，v ，w 为基本未知函数。
● 将应变用位移来表示。
可以引用几何方程（7-11）。
⏹ 将应力用位移来表示。
可以通过物理方程(7-14)，将应力先用应变来表示；再代入几何方程，从而得出()()()(),112,,,,81,21x yz E u x x y z u v w E w v y z μσθμμτμ⎫⎛⎫∂=+⎪ ⎪+-∂⎝⎭⎪-⎬⎛⎫∂∂⎪=+ ⎪⎪+∂∂⎝⎭⎭ ⏹ 其中x y z u v w x y θεεε∂∂∂=++=++∂∂∂。
● 将式（8-1）代入区域内的平衡微分方程（7-1），得到求解位移的基本方程， ()()()()210,,,,,822112x E u f x y z u v w x θμμ⎛⎫∂+∇+=- ⎪+-∂⎝⎭ ⏹ 其中▽2是空间问题的拉普拉斯算子，()222222283x y z ∂∂∂∇=++-∂∂∂。
弹性力学-空间问题的解答
E
21
μ 12
μ
μ
w y
u x
v z
,,
(x, y,z;u,v,w)
(a)
其中体积应变 u v w。
x y z
3. 将式 (a)代入平衡微分方程，得在 V内求解位移的基本方程：
第八章 空间问题的解答
V内基本方程
E
21
μ
1 12μ
x
2u
fx
0,
(x,y,z;u,v,w) (b)
其中拉普拉斯算子
zx
Φ y
,
zy
Φ 。 x
(d )
第八章 空间问题的解答
相容方程
2. 将式（d）代入6个相容方程，前三式和 第六式自然满足，其余两式为
2 zx 0,
代入（d），得
2 zy 0。
2Φ 0, x
2Φ 0, y
由此得出扭转应力函数Φ应满足的方程：
2Φ C,
第八章 空间问题的解答
扭转问题的提出: （1）等截面柱体；
（2）无体力作用， fx f y fz 0;
（3）柱体侧面无面力作用，fx fy fz 0, 柱体上下端面的面力，合成一对力 矩 M。
第八章 空间问题的解答
按应力求解
引用按应力求解空间问题的方法—应 力应满足3个平衡微分方程，6个相容方程 及 S Sσ 上的应力边界条件。
体不保持连续。 所以相容方程是位移的连续性条件。
第八章 空间问题的解答
（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可
参见有关书籍。
（4）相容方程必须为六个。相容方程和平
衡微分方程的数目大于未知函数的数
目，是由于微分方程提高阶数所需要
的。
例如：
弹性力学第八章 空间问题的解答
§8－3 半空间体在边界上受法向集中力
问题描述：
F
半空间体，体力不计，在水平面上受法
向集中力 F ，建立如图所示坐标系。
0
z
R
•
z 图：8－3
因为要用到位移势函数，不讲了，具体的推导过程见《弹性力学》 第三版，许芝伦。
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§8－4 按应力求解空间问题
z
xy z
yz x
xz y
2
2 z xy
（8－11）
弹性力学简明教程
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§8－4 按应力求解空间问题
将物理方程（7－12）带入相容方程（8－10）和（8－11）
1
2 y z2
2 z y2
2
z2
2 y2
2 1
2
yz
yz
（c）
A zy
dxdy
z0
Afydxdy0
（d）
A
yzx xzy
dxdy
z0
A yfx xfy dxdyM （e）
（c），（d），（e）在任意横截面上都满足。
把（8－15）代入（c）
AzxdxdyAydxdy dxydysBAdx0
弹性力学简明教程
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fz z
1 2 y
2 y2
1 1
2
fy
y
fz z
fx x
1
2 z
2 z2
1 1
2
fz
z
fx x
fy
y
1
2
yz
问题描述：
F
半空间体，体力不计，在水平面上受法
向集中力 F ，建立如图所示坐标系。
0
z
R
•
z 图：8－3
因为要用到位移势函数，不讲了，具体的推导过程见《弹性力学》 第三版，许芝伦。
弹性力学简明教程
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§8－4 按应力求解空间问题
z
xy z
yz x
xz y
2
2 z xy
（8－11）
弹性力学简明教程
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§8－4 按应力求解空间问题
将物理方程（7－12）带入相容方程（8－10）和（8－11）
1
2 y z2
2 z y2
2
z2
2 y2
2 1
2
yz
yz
（c）
A zy
dxdy
z0
Afydxdy0
（d）
A
yzx xzy
dxdy
z0
A yfx xfy dxdyM （e）
（c），（d），（e）在任意横截面上都满足。
把（8－15）代入（c）
AzxdxdyAydxdy dxydysBAdx0
弹性力学简明教程
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fz z
1 2 y
2 y2
1 1
2
fy
y
fz z
fx x
1
2 z
2 z2
1 1
2
fz
z
fx x
fy
y
1
2
yz
8-空间问题解答.
（2）最大位移发生在边界上：
wmax
w z0
1 1 E 1
2
qh
1 2
gh2
（3）侧压系数
x y z z 1
2019/5/10
土木工程与力学学院 蒋一萱
13
半无限体受法向集中力——位移解法 布希涅斯克解答
半无限体受法向分布力——位移解法 布希涅斯克解答推广
yz
1
2 z x2
2 x z 2
2 x2
2
z 2
2 1
2 zx zx
1
2 x y 2
2 y x2
2 y 2
1 2
w y
v z
,
zx
1 2
u z
w x
,
xy
1 2
v x
u y
利用上面三个红色的式子，消去位移
2 y
z2
2 z
y2
3v yz2
3w zy2
2 yz
v z
E
1
1 2
x
;
y
E
1
1 2
y
;
弹性力学-空间问题的解答
o。
边界面上任一点的沉陷，
uz
z0
F
1 E
2
。
(f)
第八章 空间问题的解答
分布力
若单位力均匀分布在a b 的矩形面积上，
其沉陷解为：
将F代之为
d
F
1 ba
d
d
y，对
, y
积分，便得到书上公式。
第八章 空间问题的解答
思考题
1. 试由位移函数的表达式(8-11)，导出式 (8-12)。（参见“弹性力学简明教程学 习指导”）
侧压力系数
侧面压力与铅直压力之比，称为侧压 力系数。即
σx σz
σy σz
1
。
(g)
第八章 空间问题的解答
讨论：
当 μ 1 时，侧向变形最大，侧向压力
2
也最大，
σx
σy
σ
。说明物体的刚度极小，
z
接近于流体。
当 0时，正应力不引起侧向变形。
说明物体的刚度极大，接近于刚体。
第八章 空间问题的解答
Fz 0,
0
σ z
zz
2 d
F
0;
(c)
第八章 空间问题的解答
由于轴对称，其余的5个平衡条件均为 自然满足。
布西内斯克得出满足上述全部条件的 解答为
u
1 F
2ER
z
R 2
1 2
Rz
,
(d )
uz
1 F
2ER
21
z2 R2
;
第八章 空间问题的解答
σ
F
2R2
1 2R
R z
第八章 空间问题的解答
扭转问题的提出: （1）等截面柱体；
弹性力学第八章 空间问题的解答
将（8－15）代入
20, 20
x
y
2 C
（8－16）
弹性力学简明教程
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§8－5等截面直杆的扭转
考虑边界条件 主要边界（杆的侧面），应力边界条件（7－5）的前两式自
动满足，第三式为：
l
xy
smyz
0
s
将表达式（8－15）代入
l
y
s
m
x
s
（8－12）
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§8－4 按应力求解空间问题
在体力为零时，方程（8－12）简化成贝尔特拉米相容方程
1
2
x
2 x2
0
1
2
y
2 y2
0
1
2
z
2 z2
0
1
2
yz
2 yz
0
1
2 zx
2 zx
0
1
2 xy
s 0
（8－17）
考虑次要边界条件
z 0 的上端，lm0,n1应力边界条件（7－5）的第三
式自动满足，前两式为：
z xz 0 fx , z yz 0 fy
（b）
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§8－5等截面直杆的扭转
利用圣维南原理给出次要边的边界条件
Azxz0dxdy Afxdxdy0
zz0 q
将边界条件代入（e）
A q g
（6）结果整理与讨论
应力：
xy1 qgz, zgqgz
yz zxxy0
（f）
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u 1 2 E w z 1 1 2 z E 1 E u w z z 2(1 )
第二节
空间轴对称问题
将应力分量代入平衡方程，得到位移形式的 平衡方程，这就是轴对称问题的基本方程：
代入平衡方程得基本微分方程∶
E (1 ) d2 u 2 d u 2 ( u ) Fb 0 (1 )(1 2 ) d 2 d 2
不计体力时，上述方程简化为
d2 u 2 d u 2 2 u0 2 d d
空心圆球受均布压力
空心圆球内半径为a，外半 径为b，内压为qa，外压为qb，体 力不计，基本微分方程为
d2 u 2 d u 2 2 u0 2 d d
其解为
u A
B
2
边界条件是 ( ) a qa ,
( ) b qb
得应力分量
E 2E B A 1 2 1 3 E E B A 1 2 1 3
代入（*）式，得
0
4
也就是说位移函数ζ应为 重调和函数。
第二节
空间轴对称问题 代入（*）式，得
2 0 2 0 z 2 C
我们也可以假设位移是 有势的，也就是说，位移分 量可以用位移势函数表示为
1 u 2G 1 w 2G z
2
1 2 2 z
第二节
空间轴对称问题 如假设
1 2 u 2G z 1 2 2(1 ) 2 2 2G z
u 2 u 2 0 1 2 （*） 2 w 0 1 2 位移法求解轴对称问题，就 是寻求满足上述方程组，并且根 据他们求出的应力和位移满足边 界条件的位移分量。上述方程组 的直接求解比平面问题更为困难， 通常采用的是位移函数法。其方 法和应力函数法类似，先假设某 种形式的位移函数，代入上述方 程组，得到他们应满足的条件。
A2 3 , R( R z ) R
A2 , R( R z ) Az A z 23 , z 2 3 , R R
0
(2 d ) z F 0
第三节
半空间体在边界上受法向集中力
F (1 2 ) R 3 2 z 3 2 2R R z R (1 2 ) F z R 2R 2 R R z
这时有
可以取C = 0，这时应力函 数调和函数
u u w 1 2 z G
0
2
第三节
半空间体在边界上受法向集中力 根据位移分量和应力分量与位移 函数的关系：
1 2 1 2 u , 2(1 ) 2 2 2G z 2G z 2 2 2 z
化简后得到
z Fb z 0 z
z
第二节
空间轴对称问题 迭加得到几何方程
这样，空间轴对称问题的平 衡方程为 z Fb 0 z z z z Fb z 0 z
边界条件是
z
(a) (b)
(1 2 ) 3 z 2 A1 5 3 R R
( z ) z 0, 0 0 ( z ) z 0, 0 0
根据圣维南原理，有
0
(2 d ) z F 0
第三节
半空间体在边界上受法向集中力 上述应力解，式（a)是满足的， 式(b)
( z ) z 0, 0
迭加上面两个解
2
A2
这时得到位移和应力分量为
u A2 A , 2 , 2GR ( R z ) 2GR z 1
A1 (1 2 ) A2 2 0 2 得到：
(1 2 ) A1 A2 0
将应力表达式代入
半空间体，体力不计， 坐标系如图。通过量纲分 析，位移函数应是F乘以R、 z、ρ等长度坐标的正一次 幂，试算后，取设位移函 数为
A1 R A1 2 z 2
2 1 z 2 z (2 ) 2 2 z z z
u u , w u w z , z z z
w w z , z z
z z
1 [ z ( )] E 2(1 ) z E
第二节
空间轴对称问题
应力用应变表示为
E u 2u 2 Fb 0 2(1 ) 1 2 E 2 1 2 w Fb z 0 2(1 )
在体力为零时，简化为 u 2 u 2 0 1 2 2 w 0 1 2 其中 2 2
化简后得到
Fb 0 z
z
第二节 dφ
ρ φ
空间轴对称问题
φ
ρ φ
根据z方向的平衡，可得
z z d ( d ) d d z z d d z z z d z d d z d d Fb z d d d z 0 z
第一节
ρ
空间球对称问题的基本方程
dφ dφ
1 ( 2 ) E 1 [(1 ) ] E
ρ
d
dρ
E [(1 ) 2 ] (1 )(1 2 ) E ( ) (1 )(1 2 )
由于对称，各点环向位移为零， 这里的物理方程是 由径向位移产生的应变为 1 u u u [ ( z )] , , z E z 1 [ ( z )] E 由轴向位移w产生的应变为
2 2 (1 ) 2 z
第三节
半空间体在边界上受法向集中力 可以求得位移分量和应力分量：
A1 z u , 3 2GR A1 3 4 z 2 3 , 2G R R
(1 2 ) z 3 3 z A1 (1 2 ) z A1 5 , 3 R R R3 (1 2 ) z 3 z 3 z A1 5 3 R R
3
1
1
第二节
空间轴对称问题
φ
ρ
dρ
dφ
ρ φ
dφ
Fbz, Fbρ为体力分量
从轴对称物体中取出图 示的单元体。 由于对称性，
φ
0 z z 0
ρ φ
并且环向体力分量为零。ຫໍສະໝຸດ 第二节 dφρ φ
空间轴对称问题
φ
ρ φ
根据ρ方向的平衡，可得
d d ( d ) d d z d d z 2 d d z 2 z z d z d d z d d Fb d d d z 0 z
E 1 1 2 E 1 1 2 E z z 1 1 2 E z r 2(1 )
上式应变分量用位移分量 表示， E u 1 2 1
空心圆球受均布压力
根据此边界条件，可求 得系数A, B，得到位移解和 应力解 b3 a3
R R3 q 3 qa b b a3 1 1 3 3 a b b3 a3 1 1 3 3 R q R3 qa b b a3 1 1 3 a3 b b 3 1 2 a 3 1 2 (1 ) 2 3 1 2 3 1 u qa qb 3 3 b a E 1 1 3 a3 b
球对称问题
ρ
轴对称问题
第一节
空间球对称问题的基本方程
dφ微小，sinφ可用dφ代替，简 化上式，得
2
dφ dφ
ρ
ρ
d
( ) Fb 0
dρ
径向正应变
u
取图示的微元体，由于对称， u 各面上不存在切应力和切向体力。 切向正应变 根据径向平衡条件，可得平衡方 由于对称，只可能发生径向 程： ( d )[ d ) d ]2 ( d ) 2 位移，不可能得到切向位移， 由此得到根据应力应变的关 d 4 d ( d ) sin Fb ( d ) 2 d 0 系，将应力用应变表示: 2
可求得:
3Fz 3 3 F z 2 z , z z 5 2R 2R 5
F (1 2 ) A1 , A2 F 2 2
第七章 空间问题
概述 第一节 第二节 第三节 例 题 例 题
空间球对称问题的基本方程 空间轴对称问题 半空间体在边界上受法向集中力 7.1 7.2
第七章 空间问题
空间问题的解析解一般只能在特殊边 界条件下才可以得到。可分为空间球对称 问题和空间轴对称问题。如果弹性体的几 何形状、约束条件以及外载荷都对称于某 一点（过这一点的任一平面都是对称面）， 这时应力、位移等都对称于这一点，称为 球对称问题，球对称问题的弹性体的形状 只能是圆球或空心球。如果弹性体的几何 形状、约束条件以及外载荷都对称与某一 轴（过该轴的任一平面都是对称面），这 时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴 对称问题，轴对称问题的弹性体的形状一 般为是圆柱或半空间。 在球对称问题中，应力、应变、位移 等分量都只是径向坐标ρ的函数。