自动控制原理 第八章 线性系统的状态空间分析与综合习题及解答
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第八章 线性系统的状态空间分析与综合
习题及解答
8-1 已知电枢控制的直流伺服电机的微分方程组及传递函数 b a
a
a a a E dt
di L i R U ++=+ dt
d K E m
b
b θ= a m m i C M =
dt d f dt d J M m
m
m m m θθ+=2
2 )
()([)()(2m b m a a m m a m a m
a m C K f R s R J f L s J L s C s U s ++++=Θ
⑴设状态变量m m x θ=1，m x θ =2，θ =3x 及输出量m y θ=，试建立其动态方程; ⑵设状态变量m m a x x i x θθ ===321,,及 m
y θ=,试建立其动态方程。 解：
（1）由题意可知： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=======123121x
y x
x x x x m m m
m
θθθθ ，
由已知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===++=m m m m m
a m m
m
b b
a a a a a f J M i C M K E E i L i R U θθθ
可推导出 ⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=++-+-===1
233
3221x y U J L C x J L C K f R x J L R J L f x x x x x
a m
a m
m a m b m a m a a m a m 由上式，可列动态方程如下
=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+-
+-
m a a m m a m a m b m a J L R J f L J L C K f R 01
00010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x +⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡m a m J L C 00
a U y =[]001⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x
（2）由题意可知：,1a i x =m
m m y x x θθθ===,,32 可推导出 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎨⎧==-=-====+--=+--==2
3133
231111x y x J f x J C J f i J C x x x U L x L K x L R U L L K i L R i x m m m m m m m m a m m m m a a
a b a a a a m a b a a a a
θθθθθ
可列动态方程如下
[]⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321010x x x y
由 ⎪⎩⎪⎨⎧===m
m m
x x x θθθ 321和 ⎪⎩⎪
⎨⎧===m
m a x x i x θθ 321
得 ⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
-=-======3
133221x J f x J C J f i J C x x x x x m m m m m m m a m m m m m θθθθ
由上式可得变换矩阵为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
-=m m m m J f J C T 0100
010
8-2 设系统微分方程为 u y y y y 66116=+++
。式中，u 和y 分别为系统输入和输出量。试列写可控标准型（即矩阵A 为友矩阵）及可观测标准型(即矩阵A 为友矩阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。
解： 由题意可得：
10110010220330R K a b x L L L x a a a x x U a
C f x x m
m J J m m ⎡⎤
⎡⎤--⎢⎥⎢⎥
⎡⎤⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
32
6
6
116
=
+++
y
u s s s
可控标准型
[]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
-
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3
2
1
3
2
1
3
2
1
6
1
6
11
6
1
1
x
x
x
y
u
x
x
x
x
x
x
状态变量图如下：
由方程得可观测标准型
[]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
-
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3
2
1
3
2
1
3
2
1
1
6
6
1
11
1
6
x
x
x
y
u
x
x
x
x
x
x
状态变量图如下：
8-3已知系统结构图如图8-29所示，其状态变量为
3
2
1
,
,x
x
x。试求动态方程，并画出状态变量图。