第九章 线性系统的状态空间分析法

e(t)
1
e0(t) C
idt
1 C
x2
0
1 C
x1 x 2
e(t) 1/L
+
x1
x x 1
1/C 2
x2 e0(t)
-R/L -1/LC
解法3.选取
x
1
i
1
x2 C idt
则有
x1
R L
x1
1 L
x2
1 L
e(t)
x2
1 C
x1
x1
x2
1RL
C
1 L 0
x1 u x2 x1 x2 x3 x2 2 x2 8 x3 x1 x2 8 x3 y x3 2 x3 x1 x2 6 x3
则 选 取 的 状 态 变 量 为:
x1 y
x2
x1
u
x3 x2 5u
即：
x1 x2 u
x2
x3
5u
x3
8
x2
9
x3
38u
x1 0
x2
0
x3 0
y 1 0
1 0 x1 1
0
1
x
2
5u
- 8 - 9 x3 38
x1
0
x
2
x 3
例2. 写出下图所示系统的状态空间表达式，
R(S) +
1
Y(S)
_
s(s1)(s2)
1
解: Y(s) s(s 1)(s 2)
1
R(s) 1
1
s3 3s2 2s 1
s(s 1)(s 2)则Biblioteka y(3) 3y (2) 2y y r
取 所以
x
1
x 2
y x1
y
x
3
x2
y (2)
x1 x2 x2 x3 x3 x1 2x2 3x3 r
x2
0u
x3 0 8 9 x3 1
x1
y 4
4
1
x2
x3
（2）并联程序法 parallel program method
由传递函数化为部分分式后画出状态变量图， 再由状态变量图写出状态空间表达式。
部分分式的基本单元为
X(s) 1 U(s) s a 利 用 直 接 程 序 法 ， 将 此单 元 画 为
由传递函数直接画出状态变量图，再由状态 变量图直接写出状态空间表达式
Y(s) s2 4s 4 G(s) U(s) s3 9s2 8s
Y (s) s1 4s2 4s3
U(s)
1 9s1 8s2
U(s) E(s) 1 9s1 8s2 E(s) U(s) 9s1E(s) 8s2E(s)
b0 0 b1 1 b2 4 b3 1
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x
2
0u
x3 0 8 9x3 1
x1
y 1
4
1
x2
x3
4
x3
u
x2
1
x1
y
-9
-8
四.由传递函数建立空间表达式
Z(s)
1
U(s) s n a1 s n1 an1 s an
x1(s) z(s)
第九章 线性系统的状态空间分析法
$1 线性定常系统的状态空间描述
一.基本概念 1.状态: 系统的运动状态。 2.状态变量: 决定控制系统状态的变量。 3.状态向量: 4.状态空间:
二.状态变量的选取
设 在时 间间 隔[t0 , T]作 用到 被控 过程p 的 作用 函数 向量U为 已知,为 该被 控过 程选 取 向量X(t0 ),如 果向 量X(t)(t t0 )唯 一地 由 向量X(t0 )及U(t0 , T)所 确定 则向 量X(t)便 可 以选 作被 控过 程P的 状态 向量.它 的各 个 分 量X1(t ), X 2(t), , X n (t)便 是 状 态 向 量 。
画出状态变量图。
r
+
-
s 6 11
s6
11 s2
y
解:
Y(s) R(s)
s 6 11
s6
11 s2
6
1
s 11
s6
11 s2
s3
11s 6 6s2 11s
6
y 6y 11y 6y 11r 6r a1 6 a2 11 a3 6 b0 b1 0 b2 11 b3 6
选取 则有
x1 y - b0r x2 x1 h1r x3 x2 h2r
X (s) 1 bs1
U(s)
U (s) 1 as1 E(s) 1 as1
E(s) U(s) - as-1E(s)
X (s) E(s) bs1E(s)
x x
b
u
y
-a
Y(s) s2 4s 4
(s 2)2
U (s) s3 9s2 8s s(s 1)(s 8)
1• s2• s2 s s1 s8
U(s)
1 sn a1sn1 an1s an
Z(s)
Y(s)
b0sn b1sn1 bn1s bn
Z(s)
1
U(s) sn a1sn1 an1s an
(1)
Y(s) Z(s)
b0
s
n
b1sn1
bn1s bn
(2)
由以上二式得
snz(s) a1sn-1z(s) a2sn-2z(s) an-1sz(s) anz(s) u(s)
X AX BU
x1 y b0u
y
CX
DU
x 2 x1 h1u
x1 x 2 h1u x2 x 3 h 2u
x n xn1 h n1u xn x n1 h n u
即 X AX Bu
其中
0 1 A - 2 - 3
0
B
1
y
e0
1
0xx
1 2
而 y CX
C 1 0
Y (s) (s1 4s2 4s3 )E(s)
u( s )
x3
E(s)
s 1 E ( s )
9
x2
s2 E(s)
4 x1 4
s3 E(s)
y(s)
8
x1 x2 x2 x3 x3 8 x2 9 x3 u y 4 x1 4 x2 x3
x1 0 1
x2
0
0
0 x1 0
1
解: 选取 x1 y
x2 x1 y
则有 x1 x 2
x2 2x1 3x2 u
x1
x2
-
0 2
-
1 x1
3
x
2
0
1
u
即 X AX Bu
其中
A
0 - 2
1
-
3
B
0
1
y
CX
1
0
x x
1 2
C 1 0
例2.设某控制系统的方框图如下,
试写出该系统的状态空间表达式。
三.由微分议程建立状态空间表达式.
1.作用函数不含导数项时的n纪念阶线性系 统的状态空间表达式
.
y(n) a1y (n1) an1 y an y u
选取
x1 y x 2 y x1 x n y (n1) xn1
.
则有
x Ax Bu 状态方程
y cx
输出方程
0 1 0 0
A 0 0 1 0
z(n) a1z(n-1) an-1z anz u
(3)
y(s) b0snz(s) b1sn-1z(s) bn-1sz(s) bnz(s)
y b0z(n) b1z(n-1) bn-1z bnz
(4)
x1 z
x2 x1 z
对(3)选取
(5)
xn-1 xn-2 z(n2)
0
B
1
y
e0
1
0
x x
1 2
而 y CX
C 1 0
e(t)
1/L
x1
x1 x2
x2
e0 (t )
1/C
-R/L -1/LC
解法2.
选取 则有
x1 i
x2 idt
x1
R L
x1
1 LC
x2
1 L
e(t)
x2 x1
x1 x2
1RL
1
LC 0
x1 x 2
1
L 0
X AX Br
0
其中
A
0
-1
1 0 0 1 - 2 - 3
0 B 0
1
C 1 0 0
x1
y
CX
1
0x
2
x 3
例3.设有一RLC网络, 试写出该网络的状态
方程及输出方程。在e(t )的作用下，网络的 回路方程为：
e(t )
Ri
L
di dt
1 c
i(t )dt
R
L
e(t)
C e0 (t)
h1 b1 - a1b0 0 h2 (b2 - a2b0 ) - a1h1 11 0 11 h3 (b3 - a3b0 ) - a2h1 - a1h2 -60
xx12
x2 x3
h1r h2r
x3
6
x1
11x2
6x3
h3r
因此选
x1 y
x2
x1
h1r
x3
x2
h2r
x1 0 1 0 x1 0
xn xn-1 z(n1)
x1
x2