系统的状态空间表达式
第2章(4)-控制系统的状态空间表达式
2-5 系统状态方程的线性变换2-5-1 系统状态空间表达式的非唯一性系统动态方程建立，无论是从实际物理系统出发，还是从系统方块图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性，因而求得的系统的状态方程也有很大的人为因素，很大的随意性，因此会得出不同的系统状态方程。
实际物理系统虽然结构不可能变化，但不同的状态变量取法就产生不同的动态方程；系统方块图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生，因而也肯定产生不同的动态方程。
所以说系统动态方程是非唯一的。
虽然同一实际物理系统，或者同一方块图，或同一传递函数所产生的动态方程各种各样，其独立的状态变量的个数是相同的，而且各种不同动态方程间也是有一定联系的，这种联系就是变量间的线性变换关系。
设给定的系统为：作线性变换：Tz x = 即x T z 1-=T --为非奇异矩阵（变换矩阵）则：Bu T ATz T z11--+= ， ()()01100x T x T z --== 因为T 为任意非奇异矩阵，所以状态空间表达式为非唯一的。
2-5-2系统特征值的不变性及系统的不变量 1． 系统特征值 特征方程：0=-A I λ系统特征值即为特征方程的根。
2． 系统的不变量与特征值的不变性 系统经非奇异变换后，其特征值是不变的。
证明：系统经非奇异变换后，得 其特征方程为：()AI A I T T T A I TTA I T AT T T T AT T T T AT T I -=-=-=-=-=-=---------λλλλλλλ11111111所以，特征值是不变的。
因为 00111=++++=---a a a A I n n n λλλλ所以，1210,,,--n n a a a a 是不变的，为系统的不变量。
第一章系统的状态空间表达式
状态空间分析法举例一
u(t) K m
b
例1求图示机械系统的状态空间表达式
m y by k yu(t)
令 x1y x2y 得动态方程组
y(t)
x1 x2
x2
y
k m
y
b m
y
1 m
u
k m
x1
b m
x2
1 m
u
y x1
状态空间表达式为
x1 x2
0
k m
1 b
m
xx12
✓ 系统输入-输出描述
✓ 从系统“黑箱”的输 入-输出因果关系中 获悉系统特性
✓ 传递函数描述属系统 的外部描述
系统的内部描述
✓ 系统的完全描述
✓ 完整地表征了系统的 动力学特征
✓ 状态空间表达式属系 统的内部描述
基本概念
✓ 状态变量：足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量称 为状态变量
✓ 状态向量（矢量）：如果n个状态变量用x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表 示，并把这些状态变量看作是矢量的分量，则就称为状态向量 （简称状态）。记作： x [ x 1 ( t ) x 2 ( , t ) , , x n ( t ) T ,] t t 0
的导数等 ✓ 电系统：电压、电流、电荷、磁通及它们的导数等 ✓ 如果将储能元件的物理变量选为系统的状态变量，则状态变量的
个数等于系统中独立储能元件的个数
基本概念
状态方程：系统状态方程描述的结构图如下图所示
输入引起状态的变化是一个动态过程，每个状态变量的一阶导与 所有状态变量和输入变量的数学方程称为状态方程。非线性系统
线性系统输出方程为
y ( t ) C ( t ) x ( t ) D ( t ) u ( t )
离散系统的状态空间表达式
（1）连续系统：用微分方程来表示，采用拉 普拉斯变换传递函数进行分析。
离散系统：用差分方程来描述，用Z变 换脉冲传递函数进行分析。
因此，离散系统的状态空间表达式可通过差 分方程或脉冲传递函数。
（2）离散系统的信号采用数字形式，输入和 输出都是脉冲序列或数字序列。计算机控制 系统属离散系统。
试写出其状态方程和输出方程 。
解：
x1 (k 1) 0
1
0 x1(k) 0
x2
(k
1)
0
0
1
x
2
(k
)
0
u(k)
x3 (k 1) 6 5 2x3 (k) 1
x1(k)
y(k) x(k) 1
0
0x2 (k)
x3 (k )
例1.10 已知 y(k+3)+2y(k+2)+5y(k+1) +6y(k)=3u(k+2)+2u(k+1)+6u(k)
脉冲传递函数：
G(z)
Y (z) u(z)
bmzm bm1zm1 b1z b0 zn an1zn1 a1z a0
二 、状态方程的建立
1、由差分方程
设T=1 输入仅有(kT)项，b0=1 整个方程可以写为： y(k+n)+an-1y（k+n-1)+……+a0y（k）=u（k） 设x1(k)=y(k) x2(k)=y(k+1)=x1(k+1) x3(k)=y(k+2)=x2(k+1) ……
xn(k)=y(k+n-1)=xn-1(k+1) xn(k+1)=y(k+n)=-a0 x1(k)-a1 x2(k)-
多输入多输出系统的状态空间表达式
X AX bu
5、输出方程：系统输出与状态变量间的函数关系。例如， 前例中，若取 uc为输出，则有 y uc x1 写出矩阵形式：
x1 y [1 0] x2
若指定 i 为输出，则 若指定
y i x2
x1 y [0 1] x2
ur ( s ) u1 ( s ) I (s) R1 1 u ( s ) [ I ( s ) I ( s )] 2 1 sC1 I ( s ) u1 ( s ) uC ( s ) 2 R2 u ( s ) I ( s ) 1 C 2 sC2
uc ur 1 1 u u 1 1 C R C R C1R2 C1R1 1 1 1 2 1 1 uc u1 uc C2 R2 C2 R2 y uc
1 1 uc 1 1 1 x1 C1 R1 C1 R2 C1 R2 C1 R1 C1 R2 x x C1 R1 ur 1 1 x2 0 C2 R2 C2 R2 y x2 0 1 x
du1 (t ) C1 dt i (t ) i2 (t ) C duc (t ) i (t ) 2 2 dt u (t ) uc (t ) i2 (t ) 1 R2 u (t ) u1 (t ) i (t ) r R1 y uc
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定义不同的状态变量 可以得到不同的状态 方程。但传递函数具 有唯一性。
uc ur 1 1 1 1 u1 uc (u1 uc ) uc C1R1 C1 R1 C1 R2 C1 R2 C1R1 C1R2 1 1 uc u1 uc C2 R2 C2 R2 y uc 定义： x1 u1 uc , x2 uc
状态空间表达式
（28） 状态空间方程实现非唯一，书p28, 图1.16b求得其对应的传递函数为： （29）
为求得 令式（29）与式（26）相等，通过对 多项式系数的比较得： 故得： （30）
也可将式(30)写成式(31)的形式，以便记忆。 （31）
将上图a的每个积分器输出选作状念变最，如图所示，得这种结构下的 状态空间表达式：
解：
→
→
u
y
－
＋
例： 解： 比例积分环节： → → u y ＋
例：
解：
综合惯性环节、积分环节模拟结构图得：
u
y
－
＋
u
y
解：选积分器的输出为状态变量得：
u
y
状态方程：
输出方程：
状态空间表达式
1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式
一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动 液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守 恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系 统的输出方程。
同一系统，经非奇异变换后，得：
其特征方程为：
（44）
1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量
1.系统特征值
式(43)与式(44)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：
将特征方程写成多项式形式 由于特征 值全由特征多项式的系数 唯一确定，而特征值 经非奇异变换是不变的，那么这些系统 也是不变 的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。
(3)有共轭复根时，以四阶系统其中有一对共轭复根为例，即 此时
1.6 从状态空间表达式求传递函数阵
1.6.1 传递函数(阵)
第2章(1)-控制系统的状态空间表达式
第二章 控制系统的状态空间表达式2-1 状态、状态变量、状态空间、状态方程、动态方程任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组（一个或多个）独立的状态变量来描述。
设系统有n 个状态变量n x x x ,,21，它们都是时间t 的函数，控制系统的每一个状态都可以在一个由n x x x ,,21为轴的n 维状态空间上的一点来表示，用向量形式表示就是:()t x 称作系统的状态向(矢)量。
设系统的控制输入为：r u u u ,,,21 ，它们也是时间t 的函数。
记：那么表示系统状态变量x(t)随系统输入u(t)以及时间t 变化的规律的方程就是控制系统的状态方程:其中()()()[]T=t f t f t f f n 21 是一个函数矢量。
设系统的输出变量为m y y y ,,,21 ，则()Tm y y y y ,,,21 = 称为系统的输出向量。
表示输出变量y(t)与系统状态变量x(t)、系统输入u(t)以及时间t 的关系的方程就称作系统的输出方程: 其中()Tm g g g g ,,,21 = 是一个函数矢量。
在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程合起来称作系统的状态空间表达式或称动态方程。
根据函数向量F 和G 的不同情况，一般控制系统可以分为如下四种： ∙线性定常(时不变)系统(LTI-Linear Time-Invariant)； ∙ 线性不定常(时变)系统(Linear Time-Variant)； ∙ 非线性定常系统(Nonlinear Time-Invariant)； ∙ 非线性时变系统(Nonlinear Time-Variant)。
在本课程中，我们主要考虑线性定常系统(LTI)。
这时，系统的状态空间表达式可以表示如下： 写成矢量形式为：其中：n n nn n n n n a a a a a a a a a A ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211 ， r n nr n n r r b b b b b bb b b B ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211n m mn m m n n c c c c c c c c c C ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211 ， rm mr m m r r a a a a a aa a d D ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211n n A ⨯----称为系统矩阵，由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性；r n B ⨯----称为输入(或控制)矩阵，主要体现了系统输入的施加情况；n m C ⨯----称为输出矩阵，它表达了输出变量与状态变量之间的关系，r m D ⨯----称为直接传递（转移）矩阵，表示了控制向量U 直接转移到输出变量Y 的转移关系。
状态空间法
状态空间法对于下列的单自由度系统，其相关参数如下：1kg m =，100N/m k =，0.2N.s/m c =系统的运动方程：[M]X +[C]X +[K]X =[P]对于单自由度系统，其运动方程为：mx cx kx p ++=0.2100x x x p ++=对于多自由度系统，其状态空间方程为：x =Ax +Bu y =Cx +Du式中，A —状态矩阵；B —输入形状矩阵；C —输出形状矩阵；其具体表达式如下：-1-122-n n⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0I A -[M][K][M][C] -12n n⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0B -[M] []2n n ⨯=C I 0[]n n ⨯=D 0对于上述单自由度系统，其状态矩阵为：011000.2x x x x ⎧⎫⎡⎤⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎢⎥--⎩⎭⎣⎦⎩⎭011000.2⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦A 求解状态矩阵的特征值与特征向量：0λ-=A I{}{}φλφ=A得到的特征值为：10.110j λ≈-+，20.110j λ≈--11{}0.110j φ⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦，21{}0.110j φ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦同时可以看出：{}{}(2)11(1)1=0.110j φλφ=-+，{}{}(2)22(1)2=0.110j φλφ=-- 取虚部为正的特征值求系统的特征参数。
系统的固有频率：110/n rad s ωλ===≈阻尼比：11Re()0.01λξλ-==≈根据其阵型图可以看出，其位于左半平面（即负半平面），因此系统是稳定的。
系统阻尼是正值，阻尼起到耗能效果；若阻尼为负值，将位于右半平面，系统将变得不稳定，此时阻尼起到吸收能量的作用。
第一章 状态空间表达式(2013)
Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 W ( s) n U ( s) s a n 1 s n 1 a1 s a 0
cm sm cm1sm1 c1s c0 W (s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
K1 T 1s 1
K2 T 2s 1
K3 T 3s 1
y
K4
3 状态空间表达式的建立 3.1 从系统方块图出发 变换成模拟结构图； 每个积分器的输出选作一个状态变量； 写出系统的状态方程和输出方程。
u +
K1 T 1s 1
+
K2 T 2s 1
K3 T 3s
y
K4
K1 T1 +
开环和闭环、反馈
控制的性能指标：稳定性、快速、精度。最优控制
控制理论概述
学控制理论做什么？ 系统分析—分析系统的性能
系统设计—设计控制器
所谓系统分析就是在规定的条件下，对数学模型已 知系统的性能进行分析； 所谓系统设计，就是构造一个能够完成给定任务的系统， 这个系统具有希望的瞬态、稳态性能以及抗干扰性能。
f (s) f (t )e dt
0
f (s) sf (s) f (0)
传递函数：线性动态系统零初值条件下输出量的Laplace变 换像函数与输入量的Laplace变换像函数之比。 *线性系统：满足叠加和一致性， 如用线性方程或线性微分方程描述的系统 可以用于分解复杂系统 *定常系统：参数不随时间变化
J u i
x1 i
B
x2
R x1 L x K 2 a J
Kb 1 L x1 L u B x2 0 J
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系统的分类
➢ 线性系统和非线性系统 ➢ 时变系统和时不变系统（定常系统） ➢ 连续系统和离散系统 ➢ 确定性系统和随机系统
线性系统和非线性系统
线性系统状态空间表达式
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
y(t) C(t)x(t) D(t)u(t)
个数等于系统中独立储能元件的个数
基本概念
状态方程：系统状态方程描述的结构图如下图所示
输入引起状态的变化是一个动态过程，每个状态变量的一阶导与
所有状态变量和输入变量的数学方程称为状态方程。非线性系统
状态方程为
xБайду номын сангаас
f (x1, x2,
, xn,u1,u2,
, um , t )
线性系统状态方程为
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
状态变量的个数与选择
✓ n阶微分方程描述的系统，有n个独立的状态变量。 ✓ 同一个系统状态变量的选择不唯一，但状态变量的个数总是相等，
通常选择容易测量的量。 ✓ 例如： ✓ 机械和液压系统：流量、压力、速度、加速度、位移、力及它们
的导数等 ✓ 电系统：电压、电流、电荷、磁通及它们的导数等 ✓ 如果将储能元件的物理变量选为系统的状态变量，则状态变量的
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
y(t) C(t)x(t) D(t)u(t)
定常系统状态空间表达式
x
f (x1, x2,
, xn,u1,u2,
, um )
y
g ( x1 ,
x2 ,
,
xn , u1, u2 ,
,um )
x(t) Ax(t) Bu(t)
y(t) Cx(t) Du(t)
x(k 1) Gx(k) Hu (k) y(k) Cx(k) Du (k)
建立状态方程的步骤
①选择状态变量 ②根据物理或其它机理、定律列写运动微分方程 ③化为状态变量的一阶微分方程组 ④用向量矩阵形式表示
状态空间分析法举例一
u(t) K m
b
例1求图示机械系统的状态空间表达式
my by ky u(t)
非线性系统状态空间表达式
x
f (x1, x2,
, xn,u1,u2,
, um , t )
y g(x1, x2 , , xn , u1, u2 , , um , t)
时变系统和定常系统
时变系统状态空间表达式
x
f (x1, x2,
, xn,u1,u2,
, um , t )
y g(x1, x2 , , xn , u1, u2 , , um , t)
基本概念
输出方程：描述状态与输入一起引起输出的变化是一个代数方程 称为输出方程。非线性系统输出方程为
y g(x1, x2 , , xn , u1, u2 , , um , t)
线性系统输出方程为
y(t) C(t)x(t) D(t)u(t)
状态空间表达式：状态方程和输出方程合在一起，构成对一个系 统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。线性系统状态 空间表达式可写成 x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
令 x1 y x2 y 得动态方程组
y(t)
x1 x2
x2
y
k m
y
b m
y
1 m
u
kb 1 m x1 m x2 m u
y
x1
状态空间表达式为
x1
x2
0
k m
1 b
m
x1 x2
0 1
m
u
y 1
0
x1 x2
状态空间分析法举例二
R +
u(t) i(t)
✓ 状态向量（矢量）：如果n个状态变量用x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表 示，并把这些状态变量看作是矢量的分量，则就称为状态向量
（简称状态）。记作：
x [ x1(t), x2 (t),
, xn (t)]T ,
t t0
✓ 状态空间：状态向量取值的空间，即以状态变量 x1 、x2、…、xn 为坐标轴所构成的n维空间称为状态空间
0 1
L
u
L
y 1
0
x1 x2
状态空间表达式状态变量图
D
u
•
x
x
y
B
×
∫
C
×
状态空间表达式
A
x(t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t) Du(t)
状态变量图的绘制步骤
①绘制积分器 ②画出加法器和放大器 ③用线连接各元件，并用箭头示出信号传递的方向。
例 设三阶系统状态空间表达式为
•
x1 x2
•
x2 x3
•
x3 6x1 3x2 2x3 u y x1 x3
其状态图为
u
x3
x2
x1
y
∫
∫
∫
- --
2
3 6
根据方块图求状态空间表达式
思路： （1） 将方块图细化到显示出积分，积分之后为状态变量，积分之前为 状态变量的一次微分。 （2）按细化后的方块图逻辑关系，直接写出状态空间表达式。
输入
_
L +
+ uc(t) _
y
输出
_
例2求图示RLC回路的状态空间表达式
L
di dt
Ri uc
u
C duc i dt
令 x1 uc x2 i
duc 1 i dt C di 1 R 1 dt L uc L i L u
状态空间表达式为
x1
x2
0
1
L
1
C R
x1 x2
连续系统和离散系统
连续系统状态空间表达式
x
f (x1, x2,
, xn,u1,u2,
, um )
y g(x1, x2 , , xn , u1, u2 , , um )
x(t) Ax(t) Bu(t)
y(t) Cx(t) Du(t)
离散系统状态空间表达式
x(k 1) G(k)x(k) H (k)u(k) y(k) C(k)x(k) D(k)u(k)
1896
1920
1987
2006
第1章 控制系统的 状态空间表达式
本章内容
➢ 状态变量和状态空间表达式 ➢ 化输入-输出方程为状态空间表达式 ➢ 状态方程的对角线和约旦标准型（状态向量的
线性变换） ➢ 由状态空间表达式导出传递函数阵 ➢ 离散时间系统的状态空间表达式 ➢ 时变系统的状态空间表达式
状态变量和状态空间表达式
系统的外部描述
✓ 系统输入-输出描述
✓ 从系统“黑箱”的输 入-输出因果关系中 获悉系统特性
✓ 传递函数描述属系统 的外部描述
系统的内部描述
✓ 系统的完全描述
✓ 完整地表征了系统的 动力学特征
✓ 状态空间表达式属系 统的内部描述
基本概念
✓ 状态变量：足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量称 为状态变量