第二章--控制系统状态空间表达式的解
第2章(1) 控制系统的状态空间表达式
第二章 控制系统的状态空间表达式2-1 状态、状态变量、状态空间、状态方程、动态方程任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组（一个或多个）独立的状态变量来描述。
设系统有n 个状态变量n x x x ,,21，它们都是时间t 的函数，控制系统的每一个状态都可以在一个由n x x x ,,21为轴的n 维状态空间上的一点来表示，用向量形式表示就是:()()()()[]T=t x t x t x t x n 21()t x 称作系统的状态向(矢)量。
设系统的控制输入为：r u u u ,,,21 ，它们也是时间t 的函数。
记：()()()()[]T=t u t u t u t u r 21那么表示系统状态变量x(t)随系统输入u(t)以及时间t 变化的规律的方程就是控制系统的状态方程:()()()[]t t u t x f t x,,= 其中()()()[]T=t f t f t f f n 21 是一个函数矢量。
设系统的输出变量为m y y y ,,,21 ，则()Tm y y y y ,,,21 =称为系统的输出向量。
表示输出变量y(t)与系统状态变量x(t)、系统输入u(t)以及时间t 的关系的方程就称作系统的输出方程:()()()[]t t u t x g t y ,,=其中()Tm g g g g ,,,21 = 是一个函数矢量。
在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程合起来称作系统的状态空间表达式或称动态方程。
根据函数向量F 和G 的不同情况，一般控制系统可以分为如下四种：∙ 线性定常(时不变)系统(LTI-Linear Time-Invariant)； ∙ 线性不定常(时变)系统(Linear Time-Variant)； ∙ 非线性定常系统(Nonlinear Time-Invariant)； ∙非线性时变系统(Nonlinear Time-Variant)。
第二章 状态空间表达式
⎧ y1 = x = x1 ⎪ & = x2 ⎨ y2 = x ⎪ y = && ⎩ 3 x
⎛ ⎛ y1 ⎞ ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ y = 0 ⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜y ⎟ ⎜ k ⎝ 3 ⎠ ⎜− ⎝ m
⎞ ⎛ ⎜ 0 0 ⎟ ⎟ ⎛ x1 ⎞ ⎜ 1 ⎟⎜ ⎟ + ⎜ 0 x 2⎠ ⎜ ⎝ ⎟ f 1 − ⎟ ⎜− m⎠ ⎝ m
外部描述：微分方程、传递函数 数学模型
{
u
R(s) ( )
G (s )
C(s) ( )
内部描述：状态空间表达式
x(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) y (t ) = Cx(t ) + Du(t )
y
•
动力学部件
输入引起内部状态 的变化，用一阶微 分方程组表示----状 态方程
x
输出部件
内部状态和输入引 起输出的变化，用 代数方程表示----输 出方程
统的输入量，质量的位移y(t)为输出量，试列写该系统的状 态方程和输出方程。
k u(t) m f y (t )
1.选择状态变量： x1 (t ) = y (t ) 、 x 2 (t ) = y(t )
2.列写状态方程
•
x1 (t ) = x 2 (t )
1 x 2 (t ) = − m
• • ⎤ ⎡ 1 u (t ) ⎢ ky (t ) + f y (t )⎥ + ⎣ ⎦ m k f 1 =− x 1 (t ) − x 2 (t ) + u (t ) m m m
⎞ 0⎟ ⎟⎛ F ⎞ 0 ⎟⎜ ⎟ V ⎝ ⎠ ⎟ f ⎟ m⎠
现代控制理论课后题及答案
第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。
图P2.1解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。
也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。
这里采样机理分析法。
设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则212221c c c du u C R u u dt++= (1) 112121c c c du u duC C dt R dt+= (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：1121121121212111c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为：12111211212121212122222221111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +⎧=--+⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪==-⎪⎩即: 12121121211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]11210x y u x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。
1图P2.2解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。
令()f t 为输入量，即u f =，1M ，2M 的位移量1y ，2y 为输出量， 选择状态变量1x =1y ，2x = 2y ，3x =1dy dt，24dyx dt =。
线性控制理论 第2章 状态空间表达式的求解
12t 2 0 2 2 2 t 1 2! 0 2 2 n t
1 2 2 1 t t 0 1 1 2! 1 2 2 1 2 t 2 t 2! 1 2 2 0 1 n t n t 2!
1
1 2 1 m 1 t t 2! (m 1)! t （2-21） 1 2 1 t 2! t 1 mm
证明 因
12 1 1 0 1 2 ,A A 0 1 1 1 mm 21
x(t ) Φ(t ) x(0),t 0
上式表明齐次状态方程的解，在初始状 态确定情况下，由状态转移矩阵惟一确定，
即状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部
信息，完全表征了系统的动态特性。
定义2.1
线性定常系统状态转移矩阵 Φ(t t0 ) 是
满足矩阵微分方程和初始条件
(t t ) AΦ (t t ), t t Φ 0 0 0 Φ (t0 t0 ) I
(2-3)
(t ) b1 2b2t kbk t x
( k 1)
k
Ax (t ) A(b0 b1t b2t bk t )
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
比较上式两边t的同次幂可得
现代控制理论基础第二章习题答案
第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。
（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A （5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1） （2） （3） （4）特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：（5）为结构四重根的约旦标准型。
（6）虽然特征值相同，但对应着两个约当块。
或}0100010000{])[()(1111----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。
【解】：（1） （2）特征方程为： 特征值为：2,1321===λλλ。
由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。
求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得：对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得： 所以变换阵为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110010001321P P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为：（3）特征值为：2,1321===λλλ。
现代控制理论 刘豹
0 2 2 A 1 3,..B 0
matlab的m文件文本如下： A=[0 -2 ;1 -3]; B=[2; 0]; fait02=expm(A*0.2) fait04=expm(A*0.4)
2-6 应用Matlab的系统运动分析
求下列系统在u=1(t)时的状态响应和输出响应
K---KT u(K)=constant
x(k 1) G(T )x(k) H (T )U (k) y(k) C(T )x(k) Du(k)
t
x(t) (t t0 )x0 (t )Bu( )d ...t t0
t0
t0 kT, t (k 1)T
( k 1)T
x(k 1) (T )x(kT) ((k 1)T )Bdu(k )
2-6 应用Matlab的系统运动分析
(1 e2T e2T
)
H
(T
)
1 2
(T 1
e 2T 2
e 2T
1
2
分析选择不同的采样周期T.的影响
2-4 连续时间状态方程的离散化
0.5
0.45 0.4
0.35
continous discrete 1 discrete 0.5
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.5
2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵
状态转移阵的计算
方法1
(t) eAt I At 1 At2 ... 1 Akt k ...
2
k!
方法2
eAt (t) L1[(sI A)1]
sX (s) x(0) AX (s) (sI A) X (s) x0 X (s) (sI A)1 x0 x(t) L1(sI A)1 x0
第2章 控制系统状态空间表达式的解
其必满足方程（2－1），将上式代入方程（2－1）可得 比较可得：
b1 2b2 t 3b3t 2 A( b0 b1t b2 t 2 )
1 1 2 1 1 3 1 k b1 Ab0，b2 Ab1 A b0，b3 Ab2 A b0， ，bk A b0， 2 2 3 3! k!
1 k k 1 t 1 k k k! e1t 1 t k 0 k! 1 T 1 1 T T T T ( )T k 0 1 k k ent 1 k k k! nt nt k 0 k!
1 2 2 1 3 3 At x( t ) ( I At A t A t )x0 e x0 2! 3!
线性定常系统零输入响应的几点说明： l如果t取某个固定值，零输入响应就是状态空间中由初始状态 x0 经线性 变换阵 e At 所导出的一个变换点。系统的自由运动就是由初始状态 x0 出 发，并由各个时刻的变换点 x0 所组成的一条轨线。
§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
而
e J it
1 k 1 J1 t k 1 k 0 k! k 0 k! i
i 1
tk
k
1 0 it e 0 0
1 2 1 t t t i 1 2! ( i 1)! 1 1 t t i 2 ( i 2)! 0 0 t 0 0 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 a 0 ( t ) a ( t ) 1 1 2 2 n 1 a n1 ( t ) 1 n n n
第2章(2) 控制系统的状态空间表达式
2-3 由控制系统的方块图求系统状态空间表达式系统方块图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。
要将系统方块图模型转化为状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤组成：第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s ）、比例器（k ）及其综合器（加法器）组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。
第二步：将上述调整过的方块图中的每个标准积分器（1/s ）的输出作为一个独立的状态变量i x ，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dtdx i。
第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。
根据需要指定输出变量，即可以从方块图写出系统的输出方程。
例2-5 某控制系统的方块图如图2-6所示，试求出其状态空间表达式。
解：该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。
对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。
图2-6所示方块图经等效变换后如下图所示。
我们取每个积分器的输出端信号为状态变量1x 和2x ，积分器的输入端即1x和2x 。
图2-6 系统方块图从图可得系统状态方程： ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=-+-==uT K x T x T K K x K u T K x T x x T K x 112111311311212222111 取y 为系统输出，输出方程为：1x y =写成矢量形式，我们得到系统的状态空间表达式：[]⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=x y u T K x K K T K x 010********例2-6 求如图2-7（a ）所示系统的动态方程。
解：图2-7(a)中第一个环节21++s s 可以分解为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-211s ，即分解为两个通道。
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由于系统没有输入向量，x(t)是由初始状态 x(t0 )激励的。因此，这
时的运动称为自由运动。x(t)的形态由 eA(tt0 ) 决定，即是由矩阵A
唯一决定的。
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
一、状态转移矩阵
已知：线性定常系统的齐次状态方程：x Ax
满足初始状态 x(t) |t0 的x(解0)是： 满足初始状态 x(t) |tt0 的x(解t0 )是：
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
3、形态 自由运动轨迹的形态，由且仅由系统的矩阵指数函数唯一
决定。不同的系统矩阵，导致不同形态的矩阵指数函数，从 而导致不同形态的轨迹。这表明，矩阵指数函数即系统矩阵 包含了自由运动形态的全部信息。
4、趋向平衡状态x=0属性 自由运动轨迹最终趋向于系统平衡状态，当且仅当矩阵指
x(t) e At x(0) , t 0
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
线性定常系统齐次状态方程为
x(t) Ax(t)
这时系统的输入为零 先考察标量齐次微分方程的幂级数解法
x ax
假设其解为一幂级数
x b0 b1t b2t 2 b3t3 bkt k
将（3）式代入（2）式
b1 2b2t 3b3t 2 kbkt k1
a(b0 b1t b2t 2 bkt k )
（1） （2） （3）
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
等式两边t 的同次幂的系数相等，因此有
b1 ab0
b2 bk
1 2
1 k
ab1
abk
1 2!
a
2b0
1 k!
0
t1
x(t2 )
t
t2
x1
(t1 0)
(t2 t1 )
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
自由运动也即零输入响应的属性：
1、几何表征 为状态空间中由初始状态点出发和由各个时刻变换点构成
的一条轨迹；
2、运动属性 状态随着时间演化轨迹，属于由偏离系统平衡状态的初始
状态引起的自由运动；（典型例子：人造卫星在末级火箭脱 落后的运动轨迹属于以脱落时刻运动状态为初始状态的自由 运动。）
2）状态转移矩阵满足状态方程本身：(t t0 ) A (t t0 ) 说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指
数函数本身。 说明3：状态转移矩阵的物理意义： 从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断 作坐标变换，不断在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵。
x2
x(0) x(t1 )
数函数最终趋向于0；（渐近稳定）
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
二、状态转移矩微分阵性的和基交换本性性质
a
k
b0
而 b0 x(0)
则解为 x(t) (1 at 1 a2t 2 1 akt k )x(0) eat x(0) （4）
2!
k!
因为
eat 1 at 1 a2t 2 1 akt k
2!
k!
模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程
（1）的解为
x b0 b1t b2t 2 b3t 3 bkt k
（5）
将（5）式代入（1）式
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
b1 2b2t 3b3t 2 kbkt k 1
A(b0 b1t b2t 2 bkt k )
等式两边t 同次幂的系数相等，因此有
b1 Ab0
b2 bk
1 2
1 k
Ab1
Abk
1 2!
A2b0
x(t) e At x(0) x(t) e A(tt0 ) x(t0 )
令：
e e
At (t) A(tt0 )
(t
t0
)
x(t) (t)x(0)
则有：
x(
t
)
(
t
t0
)
x(t0
)
线性定常系统的状态转移矩阵
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵
说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件： 1）状态转移矩阵初始条件： (t0 t0 ) I
如果 t0 0 则 x(t) e A(tt0 ) x(t0 )
（8）
将（8）式代入（1）式验证
x(t)
d dt
x(t)
A e A(tt0 )
x(t0 )
Ax(t)
和
x(t) t t0
e A(t0 t0 )
x(t0 )
x(t0 )
矩阵指数函数 e A(tt0 ) 又称为状态转移矩阵，记作 (t t0 )
定常系统状态方程的求解方法 要求了解内容：
线性离散系统及时变系统状态方程的求解方法。 重点：
状态转移矩阵和状态方程的求解。
本章通过求解系统方程的解来研究系统性能。
由于系统的状态方程是矩阵微分方程，而输出 方程是矩阵代数方程。因此，只要求出状态方程的 解，就很容易地得到系统的输出，进而研究系统的 性能。
1 k!
Ak
b0
而 b0 x(0)
则线性定常系统齐次状态方程（1）的解为
x(t) (1 At 1 A2t 2 1 Akt k ) x(0)
记作
2!
k!
eAt 1 At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k!
则 x(t) eAt x(0)
（6） （7）
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
1、线性定常有控制作用，即u＝0时， 由初始状态引起的运动称自由运动。
u0
x
( A, B)
齐次状态方程的解： x Ax , x(t) |t0 x(0)
2）、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称
为强迫运动。
第2章 控制系统状态空间表达式的解
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解） 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.3 线性定常系统非齐次方程的解 2.4 线性时变系统的解 2.5 离散时间系统状态方程的解 2.6 连续时间状态空间表达式的离散化
本章要求
要求理解及掌握内容： 正确理解连续时间状态空间表达式的离散化。线性
u
x
( A, B)
非齐次状态方程的解： x Ax Bu, x(t) |tt0 x(t0 )
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
2、齐次状态方程：
x Ax
满足初始状态 x(t ) |tt0 的x解(t0是) ： x(t) e A(tt0 ) x(t0 ) , t t0
满足初始状态 x(t) |t0 的x解(0是) ：