状态和状态空间表达式
控制系统的状态空间表达式
第一章 控制系统的状态空间表达式Chapter 1 State space representation of control systems本章内容• 状态变量及状态空间表达式 • 状态空间表达式的模拟结构图 • 状态空间表达式的建立(1) • 状态空间表达式的建立(2) • 状态矢量的线性变换 • 由传递函数求状态方程• 由状态空间表达式求传递函数阵 • 离散系统的状态空间表达式• 时变系统和非线性系统的状态空间表达式系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。
1.1 状态变量及状态空间表达式1.1 State space representation of control systems 状态变量 (State variables)状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量x 1(t ), x 2(t ), …, x n (t ) 状态向量(State vectors)由状态变量构成的向量 x (t )T 123()(),(),()...()n x t x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦状态空间 (State space) • 以各状态变量x 1(t ),x 2(t ),…… x n (t )为坐标轴组的几维空间。
•状态轨迹：在特定时刻t ，状态向量可用状态空间的一个点来表示，随着时间的推移，x (t )将在状态空间描绘出一条轨迹线。
状态方程 (State equations)• 由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。
例1.1 设有一质量弹簧阻尼系统。
试确定其状态变量和状态方程。
解：系统动态方程2()().()().()()()d yF t ky t f yt m dt my t f yt ky t F t ⎧--=⎪⎨⎪++=⎩ 设1()()y t x t =，2()()yt x t = 12()()............................................(1)1()()()()........(2)x t y t f k x t y t y t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩12212()()1()()()()xt x t k f x t x t x t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩1122010()()()1()()xt x t F t f k x t x t m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ＝ 状态方程的标准形式：()()()xt Ax t Bu t =+ （A ：系统矩阵 B ：输入矩阵） 输出方程 (O u t p u t e q u a t i o n )系统的输出量与状态变量之间的关系[]112()()()10 ()x t y t x t x t ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦()()y t Cx t =(C:输出矩阵）状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。
状态空间表达式
y x1 x2
2014-2-16
电信学院 苗荣霞
(4)
1 a11 x1 a12 x 2 b11u1 b12u2 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 b21u1 b22u2 x y1 c11 x1 c12 x 2 y2 c21 x1 c22 x 2
现代控制理论
第一章：控制系统的 状态空间表达式
2007年度
主要内容：
状态的概念、状态方程的建立、由状态空 间表达式求传递函数(阵)、线性变换、离 散系统的状态空间表示等。
§ 1-1 状态变量及状态空间表达式
一、 状态
首先看一力学系统
一质量为m物体与弹簧、阻尼器相连。如图示：在u的作用下求物质运动 的过程？ 设y表示物体的位移,由牛顿定律：f =ma 有：
注意：时变：比例器变为时变 放大器 系统方框图表明了系统输入、状态、输出的关系，既表示了系统的 外部特性，也反映了系统的内部关系。 非线性：比例器－非线性函数发生器
2014-2-16
电信学院 苗荣霞
2．状态变量图：又模拟结构图 描述出了系统的详细结构，反映了系统各个变量之间的信息传递关 系，来源于模拟计算机的模拟结构图。 由积分器、加法器和比例器组成。 上面的串联电路系统的状态变量图：
2014-2-16
电信学院 苗荣霞
习题: 多输入多输出系统（MIMO） 如图25所示机械系统,质量m1，m2各受到f1，f2的 作用，其相对静平衡位置的位移分别为x1， x2。
2014-2-16
电信学院 苗荣霞
根据牛顿定律，分别对m1，m2进行受力分 析，我们有：
第二章 状态空间表达式
⎧ y1 = x = x1 ⎪ & = x2 ⎨ y2 = x ⎪ y = && ⎩ 3 x
⎛ ⎛ y1 ⎞ ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ y = 0 ⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜y ⎟ ⎜ k ⎝ 3 ⎠ ⎜− ⎝ m
⎞ ⎛ ⎜ 0 0 ⎟ ⎟ ⎛ x1 ⎞ ⎜ 1 ⎟⎜ ⎟ + ⎜ 0 x 2⎠ ⎜ ⎝ ⎟ f 1 − ⎟ ⎜− m⎠ ⎝ m
外部描述：微分方程、传递函数 数学模型
{
u
R(s) ( )
G (s )
C(s) ( )
内部描述：状态空间表达式
x(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) y (t ) = Cx(t ) + Du(t )
y
•
动力学部件
输入引起内部状态 的变化，用一阶微 分方程组表示----状 态方程
x
输出部件
内部状态和输入引 起输出的变化，用 代数方程表示----输 出方程
统的输入量，质量的位移y(t)为输出量，试列写该系统的状 态方程和输出方程。
k u(t) m f y (t )
1.选择状态变量： x1 (t ) = y (t ) 、 x 2 (t ) = y(t )
2.列写状态方程
•
x1 (t ) = x 2 (t )
1 x 2 (t ) = − m
• • ⎤ ⎡ 1 u (t ) ⎢ ky (t ) + f y (t )⎥ + ⎣ ⎦ m k f 1 =− x 1 (t ) − x 2 (t ) + u (t ) m m m
⎞ 0⎟ ⎟⎛ F ⎞ 0 ⎟⎜ ⎟ V ⎝ ⎠ ⎟ f ⎟ m⎠
状态和状态空间表达式
补偿器解耦(7/7)
基于所求解的补偿器Gc(s),可实现如图4-3示的解耦控制系统。 例4-8求得的解耦补偿器Gc(s)的传递函数阵的某个元素 出现分子多项式阶次高于分母多项式阶次,这会带来该解 耦控制器工程上物理实现的困难,一般工程上只能做到近 似实现。
状态反馈解耦(1/16)
4.4.2 状态反馈解耦
状态反馈解耦(14/16)
由于E是非奇异阵,所以系统可以解耦。 因此,状态反馈解耦矩阵为
0 0 1 K E F 1 2 3 1 0 1 H E 0 1
1
状态反馈解耦(15/16)
此时闭环系统状态方程和输出方程为：
0 x (t ) 0 0 1 y (t ) 0
为实现系统解耦,要求为W(s)对角线矩阵，因此, I-W(s)也为 对角线矩阵。 故，得出Gp(s)Gc(s)也需为对角线矩阵。 即为实现如图6-3所示结构的系统的解耦,应取合适补偿 器Gc(s)使Gp(s)Gc(s)是非奇异对角线矩阵。
补偿器解耦(4/7)—例6-8
例4-8 已知系统如图4-4所示,
1 s l2 1
状态反馈解耦(9/16)
可以看出W(s)是对角线矩阵,所以其闭环系统是一个完全解 耦系统。 另外,传递函数对角元素均是积分环节,故称这样的系统 为具有积分型的解耦系统。 下面通过例子来说明如何借助状态反馈实现解耦。
状态反馈解耦(10/14)
例4-9 设系统的状态空间模型为：
s 2 3s 1 s ( s 1)( s 2) 1 G ( s) C ( sI A) B 1 ( s 1)( s 2)
因此,系统存在耦合现象。 系统的状态图如图4-6所示。
状态空间表达式
（28） 状态空间方程实现非唯一，书p28, 图1.16b求得其对应的传递函数为： （29）
为求得 令式（29）与式（26）相等，通过对 多项式系数的比较得： 故得： （30）
也可将式(30)写成式(31)的形式，以便记忆。 （31）
将上图a的每个积分器输出选作状念变最，如图所示，得这种结构下的 状态空间表达式：
解：
→
→
u
y
－
＋
例： 解： 比例积分环节： → → u y ＋
例：
解：
综合惯性环节、积分环节模拟结构图得：
u
y
－
＋
u
y
解：选积分器的输出为状态变量得：
u
y
状态方程：
输出方程：
状态空间表达式
1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式
一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动 液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守 恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系 统的输出方程。
同一系统，经非奇异变换后，得：
其特征方程为：
（44）
1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量
1.系统特征值
式(43)与式(44)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：
将特征方程写成多项式形式 由于特征 值全由特征多项式的系数 唯一确定，而特征值 经非奇异变换是不变的，那么这些系统 也是不变 的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。
(3)有共轭复根时，以四阶系统其中有一对共轭复根为例，即 此时
1.6 从状态空间表达式求传递函数阵
1.6.1 传递函数(阵)
第一章状态空间表达式第2讲
2021/2/22
2
1.状态变量及状态空间表达式
状态空间描述常用的基本概念：
1. 状态变量 足以完全表征运动状态的最小个数的一组变量。
2. 状态矢量 如果n个状态变量 x 1 (t)、 x2(t)、 ...、 xn(t)表示，并把这 些状态变量看作是矢量 x ( t )的分量，则 就称为状态矢量。
3
1.1 控制系统的状态空间表达式
状态变量应该是相互独立的，且其个数应等于微分方 程的阶数。 一般的，状态变量的个数等于系统储能元件的个数。
例题1-1，用图1-1所示的R-L-C网络电路，说明如何用
状态空间表达是来描述这一系统。
L
R
根据电路定律可列写如下方程：
u
i
C
uc
RiLddtiC 1idtu
y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) . . . a 1 y a 0 y b m u ( m ) b m 1 u ( m 1 ) . . . b 1 u b 0 u 相应的传递函数为
W (s)U Y ((s s))b m y u (n ()m ) a n b m 1 y 1 u (n ( m 1 ) 1 ) .... .. a 1 b y 1 u a 0 b y 0 u 实现问题就是根据以上两个式子求出系统状态空间表达式。
y x2
x2C 1iR1C(x1x2)
其向量-矩阵形式为：
x1 x2
R1CRL 1
RC 2021/2/22
RR11C Cxx12RL0u
y 0
1
x1 x2
6
由上可见，系统的状态空间表达式不具有唯一性。 选取不同的状态变量，便会有不同的状态空间表达式， 但它们都描述了同一系统。可以推断，描述同一系统 的不同状态空间表达式之间一定存在着某种线性变换 关系。
状态空间表达式
2.5 控制系统的状态空间表达式2.5 控制系统的状态空间表达式随着科学技术的发展，被控制的对象越来越复杂，对自动控制的要求也越来越高。
面对时变系统，多输入多输出系统、非线性系统等被控量和对控制系统高精度、高性能的严格要求，传统的控制理论已不能适用。
同时，计算机技术的发展也要求控制系统地分析，设计中采用计算机技术并在控制系统的组成中使用计算机。
因此，适用这些要求的控制系统的另一种数学描述方法----状态空间就应运而生。
2.5.1 状态变量在对系统动态特性描述中，足以表征系统全部运动状态的最少一组变量，称之为状态变量。
只要确定了这组变量在t=时刻的值以及时的输入函数，则系统在任何时刻的运动状态就会全部确定。
状态变量互相间是独立的，但对同一个系统，状态变量的选取并不是唯一的。
一个用n 阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，这n个独立变量就是该系统的状态变量。
若用表示这n个状态变量，则可以把这n个状态变量看作是向量x(t)的分量。
我们称x(t)为状态变量，它是一个n维向量，记为分别以状态变量作为坐标而构成的n维空间，称为状态空间。
系统在t时刻的状态，就是状态空间的一点。
系统在时刻的状态称为初始点，随着时间的变化，x(t)从初始点出发在状态空间描述出一条轨迹，称为状态轨迹。
状态魁及表征了系统状态的变化过程。
2.5.2 状态空间表达式1. 状态方程由系统的状态变量和输入函数构成的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。
对于线性系统，可以写成如下形式(2.59)记为(2.60)式中x(t)是n维列向量u(t)是r维输入向量A是n*n维矩阵，称为系数矩阵B是n*r矩阵，称为输入矩阵或控制矩阵若矩阵A和B的元素都是常数，则状态方程是线性定常的。
若A和B中有随时间变化的元素，状态方程就是线性时变的。
状态方程中不能含有x(t)的高于一阶导数的项和输入函数的导数项。
对于非线性系统，状态方程可以写成如下形式(2.61)记为(2.62)式中f为向量函数。
第一章 状态空间表达式(2013)
Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 W ( s) n U ( s) s a n 1 s n 1 a1 s a 0
cm sm cm1sm1 c1s c0 W (s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
K1 T 1s 1
K2 T 2s 1
K3 T 3s 1
y
K4
3 状态空间表达式的建立 3.1 从系统方块图出发 变换成模拟结构图； 每个积分器的输出选作一个状态变量； 写出系统的状态方程和输出方程。
u +
K1 T 1s 1
+
K2 T 2s 1
K3 T 3s
y
K4
K1 T1 +
开环和闭环、反馈
控制的性能指标：稳定性、快速、精度。最优控制
控制理论概述
学控制理论做什么？ 系统分析—分析系统的性能
系统设计—设计控制器
所谓系统分析就是在规定的条件下，对数学模型已 知系统的性能进行分析； 所谓系统设计，就是构造一个能够完成给定任务的系统， 这个系统具有希望的瞬态、稳态性能以及抗干扰性能。
f (s) f (t )e dt
0
f (s) sf (s) f (0)
传递函数：线性动态系统零初值条件下输出量的Laplace变 换像函数与输入量的Laplace变换像函数之比。 *线性系统：满足叠加和一致性， 如用线性方程或线性微分方程描述的系统 可以用于分解复杂系统 *定常系统：参数不随时间变化
J u i
x1 i
B
x2
R x1 L x K 2 a J
Kb 1 L x1 L u B x2 0 J
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❖状态反馈状解态耦条反件馈解耦(5/14) 对被控系统和状态反馈解耦控制律,状态反馈解耦 系统实现输入输出间完全解耦的充分必要条件为 如下定义的矩阵E是非奇异矩阵。
其中 量,
是系统输出矩阵C中第i行向
是从0到n-1之间的某一正整
数,且li 应该满足不等式
有在着许重多要工的程系意问义题统。中解,特别耦是(过2程/3控)制中,解耦控制
❖目前许多在航天,发电,化工等方面的控制系统难于投入 运行,不少是因耦合的原因造成,因此解耦问题的研究十 分重要。
❖若一个m维输入u和一个m维输出y的动力学 系统,其传递函数矩阵是一个对角线有理多项 式矩阵
❖实现解耦有两系种统方解法:耦(3/3) 补偿器解耦 状态反馈解耦。
❖例4-8补已偿知系器统解如耦图4(-44所/7示)—, 例6-8
u1 -
Gc11 (s) Gc12 (s)
r1
1
对象
y1
2s 1
1
u2
-
Gc 21 ( s) Gc22 (s)
r2
1
s 1
-
y2
补偿器解耦(5/7) 试设计一补偿器Gc(s),
使闭环系统的传递
u1 -
Gc11 (s)
函数矩阵为:
Gc12 (s)
另外,传递函数对角元素均是积分环节,故称这样 的系统为具有积分型的解耦系统。
下面通过例子来说明如何借助状态反馈实现解 耦。
状态反馈解耦(10/14)
❖ 例4-9 设系统的状态空间模型为：
试用状态反馈把系统变成积分型解耦系统。
状态反馈解耦(11/16)
因此,系统存在耦合现象。 系统的状态图如图4-6所示。
即
Gp(s)Gc(s)[I-W(s)]=W(s)
分别用 补偿， 器[I-W解(s)耦]-1左(乘3/与7右) 乘上式，有
❖为实现系统解耦,要求为W(s)对角线矩阵，因 此, I-W(s)也为对角线矩阵。
故，得出Gp(s)Gc(s)也需为对角线矩阵。 即为实现如图6-3所示结构的系统的解耦,应取合
适补偿器Gc(s)使Gp(s)Gc(s)是非奇异对角线矩阵。
❖ 此状时闭态环反系统馈状态解方程耦和输(1出5方/程1为6：)
其传状递函态数为反馈解耦(15/16)
则系统变成两个互相无耦合的子系统,如图4-7所示。
状态反馈解耦(16/16)
u1
y1
u2
y2
图4-7 解耦后的系统框图
❖另一方面,从式(4-34)可以看出,积分型解耦系 统的闭环极点全是零,显然系统是不稳定的,所 以这种解耦方法不令人满意。
Y (s)
Gp (s)
图4-3 串联解耦方框图
❖补根偿据器串后联前组补向合偿通系路统器的的解传传递耦递函函(2数数/7为公)式可知串接
G(s)= Gp(s)Gc(s)
其中反馈回路的的传递矩阵为G(s)=I,
那么系统的闭环传递函数为: W(s)=[I+Gp(s)Gc(s)]-1Gp(s)Gc(s)
用[I+Gp(s)Gc(s)]左乘上式，有 [I+Gp(s)Gc(s)]W(s)=Gp(s)Gc(s)
的一个最小j,
❖ 即状li的定态义反为: 馈解耦(6/16)
❖该解耦条件的证明思路为:
根据上述定义的li,定义
若选取状反态馈矩反阵K馈和解前馈耦矩阵(7H/如1下6)
至此,把所得的代入闭环系统状态空间模型,得:
则可以证状明态系统反闭环馈传解递函耦数(矩8阵/1为6)
❖是可一以个看完出状全W态(解s)耦是反系对馈统角解。线矩耦阵(9,所/1以6其) 闭环系统
不过可以对完全解耦的每个SISO子系统单独设 计一个状态反馈律将每个解耦的子系统的极点
状态反馈解耦(12/14)
u1
x1
y1
+
x2
1
2
u2 -
- x3
x3 x2
y2
-
3
图4-6 开环系统方框图
由 状态反馈解耦(13/16)
C1B=[1 0], C2B=[0 1] 知
此时有
l1=l2=0
由于状E是态非奇反异阵馈,所解以耦系统(1可4以/解16耦)。 ❖ 因此,状态反馈解耦矩阵为
❖如图4-5状所示态的反为用馈状解态耦反馈(3实/1现6解) 耦的系统。
v
H
u
-B
x
y
-
C
A
K
图4-5 用状态反馈实现解耦
❖上将,状可态得反状如馈下态解闭耦反环控控馈制制解律系作耦统用状(在4态/状1空态6间)空模间型模型
状态反馈解耦问题的目标是如何设计选取矩阵K 与H,从而使闭环系统是解耦的。
u2
-
Gc 21 ( s) Gc22 (s)
r1
1
2s 1
1
r2
1
s 1
对象
y1
-
y2
解 由图4-4可求得被控对象部分的传递函数矩阵为:
根据补偿器补G偿c(s)器的求解解耦公式(,6有/7)
❖的基解于耦所控求制解补系的偿统补。偿器器解Gc耦(s)(,可7/实7现) 如图4-3示
个例元4-8素求出得现的分解子耦多补项偿式器阶G次c(s高)的于传分递母函多数项阵式的阶某次, 这会带来该解耦控制器工程上物理实现的困难,一 般工程上只能做到近似实现。
对上述状系统态,构反造如馈下解状态耦反(馈2控/1制6律): u=-Kx+Hv 使得闭环系统的输入输出实现完全解耦。
❖这里K是一个m×n的非奇异的反馈矩阵,H是一个 m×m的实常数非奇异矩阵,v是m维的外部输入向量。
❖我们通常将v作为系统的输入,y作为系统输出 时,求使该系统解耦的K和H的问题称为借助于 状态反馈的解耦问题。
4.4.2 状态状反馈态解反耦馈解耦(1/16)
❖所谓状态反馈解耦,即通过对系统设计状态反 馈律,构造状态反馈闭环控制系统,使得闭环 系统的输入输出间实现解耦。
❖状态反馈解耦问题的模型描述为:
对给定的被控系统的状态空间模型为
其中u,y为m维向量,x为n维向量,A为n×n方阵,B 为n×m矩阵,C为m×n矩阵。
前者方法简单,但将使系统维数增加,
后者虽然不增加系统的维数,但利用它实现解耦的 条件比补偿器解耦相对苛刻。
4.4.1 补偿器补解耦偿器解耦(1/7)
❖图4-3所示的为前馈补偿器解耦框图。
图4-3中,Gp(s)为原系统的传递函数阵, Gc(s)为补 偿的传递函数矩阵,即解耦控制器。
U (s)
-
Gc (s)