第二章_状态空间表达式的解
第2章(4)-控制系统的状态空间表达式
2-5 系统状态方程的线性变换2-5-1 系统状态空间表达式的非唯一性系统动态方程建立，无论是从实际物理系统出发，还是从系统方块图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性，因而求得的系统的状态方程也有很大的人为因素，很大的随意性，因此会得出不同的系统状态方程。
实际物理系统虽然结构不可能变化，但不同的状态变量取法就产生不同的动态方程；系统方块图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生，因而也肯定产生不同的动态方程。
所以说系统动态方程是非唯一的。
虽然同一实际物理系统，或者同一方块图，或同一传递函数所产生的动态方程各种各样，其独立的状态变量的个数是相同的，而且各种不同动态方程间也是有一定联系的，这种联系就是变量间的线性变换关系。
设给定的系统为：作线性变换：Tz x = 即x T z 1-=T --为非奇异矩阵（变换矩阵）则：Bu T ATz T z11--+= ， ()()01100x T x T z --== 因为T 为任意非奇异矩阵，所以状态空间表达式为非唯一的。
2-5-2系统特征值的不变性及系统的不变量 1． 系统特征值 特征方程：0=-A I λ系统特征值即为特征方程的根。
2． 系统的不变量与特征值的不变性 系统经非奇异变换后，其特征值是不变的。
证明：系统经非奇异变换后，得 其特征方程为：()AI A I T T T A I TTA I T AT T T T AT T T T AT T I -=-=-=-=-=-=---------λλλλλλλ11111111所以，特征值是不变的。
因为 00111=++++=---a a a A I n n n λλλλ所以，1210,,,--n n a a a a 是不变的，为系统的不变量。
现代控制理论知识点汇总
现代控制理论知识点汇总Revised at 2 pm on December 25, 2020.第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
第二章 状态空间表达式
⎧ y1 = x = x1 ⎪ & = x2 ⎨ y2 = x ⎪ y = && ⎩ 3 x
⎛ ⎛ y1 ⎞ ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ y = 0 ⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜y ⎟ ⎜ k ⎝ 3 ⎠ ⎜− ⎝ m
⎞ ⎛ ⎜ 0 0 ⎟ ⎟ ⎛ x1 ⎞ ⎜ 1 ⎟⎜ ⎟ + ⎜ 0 x 2⎠ ⎜ ⎝ ⎟ f 1 − ⎟ ⎜− m⎠ ⎝ m
外部描述：微分方程、传递函数 数学模型
{
u
R(s) ( )
G (s )
C(s) ( )
内部描述：状态空间表达式
x(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) y (t ) = Cx(t ) + Du(t )
y
•
动力学部件
输入引起内部状态 的变化，用一阶微 分方程组表示----状 态方程
x
输出部件
内部状态和输入引 起输出的变化，用 代数方程表示----输 出方程
统的输入量，质量的位移y(t)为输出量，试列写该系统的状 态方程和输出方程。
k u(t) m f y (t )
1.选择状态变量： x1 (t ) = y (t ) 、 x 2 (t ) = y(t )
2.列写状态方程
•
x1 (t ) = x 2 (t )
1 x 2 (t ) = − m
• • ⎤ ⎡ 1 u (t ) ⎢ ky (t ) + f y (t )⎥ + ⎣ ⎦ m k f 1 =− x 1 (t ) − x 2 (t ) + u (t ) m m m
⎞ 0⎟ ⎟⎛ F ⎞ 0 ⎟⎜ ⎟ V ⎝ ⎠ ⎟ f ⎟ m⎠
状态空间表达式的解
2020/6/4
***状态转移矩阵的基本性质**** 性质1：组合性质
e A e A t e A ( t ) ( t) () ( t )
性质2： e A ( t t) e 0 I ( t t ) ( t ) ( t ) I
性质3： 转移矩阵的逆意味着时间的逆转
e A 1 t e A t ( t) 1 ( t)
【例2－8】求下列状态方程在单位阶跃函数作用下的输出：
解：根据上面的式子
其中
， K=1
2020/6/4
在例2－6中已求的：
2020/6/4
其状态轨迹图可以MABLAB方便地绘出，如图所示： %Example Example 2-8 grid; xlabel('时间轴'); ylabel('x代表x1，----*代表x2'); t=0:0.1:10; x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t); x2=exp(-t)-exp(-2*t); plot(t,x1,'x',t,x2,'*') end
两边同时在
区间积分，得：
两边同时左乘 即：
并整理得：
2020/6/4
当初始时刻为t0=0时,初始状态x(t0)=x(0)时,其解为:
x (t) (t)x (0 ) 0 t (t )B() u d ，
当初始时刻为t0时,初始状态x(t0)时,其解为:
t
x (t) (t t0)x (t0 )t0 (t)B ()u d
1 t
1 t 2 ... 2!
(n
1 - 1)!
t
n1
0
1
t
...
(n
1 - 2)!
线性控制理论 第2章 状态空间表达式的求解
12t 2 0 2 2 2 t 1 2! 0 2 2 n t
1 2 2 1 t t 0 1 1 2! 1 2 2 1 2 t 2 t 2! 1 2 2 0 1 n t n t 2!
1
1 2 1 m 1 t t 2! (m 1)! t （2-21） 1 2 1 t 2! t 1 mm
证明 因
12 1 1 0 1 2 ,A A 0 1 1 1 mm 21
x(t ) Φ(t ) x(0),t 0
上式表明齐次状态方程的解，在初始状 态确定情况下，由状态转移矩阵惟一确定，
即状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部
信息，完全表征了系统的动态特性。
定义2.1
线性定常系统状态转移矩阵 Φ(t t0 ) 是
满足矩阵微分方程和初始条件
(t t ) AΦ (t t ), t t Φ 0 0 0 Φ (t0 t0 ) I
(2-3)
(t ) b1 2b2t kbk t x
( k 1)
k
Ax (t ) A(b0 b1t b2t bk t )
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
比较上式两边t的同次幂可得
现代控制系统课件第2章
2021/1/4
5
2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.2.1 状态转移矩阵
齐次微分方程的自由解为： x(t) eAt x0
或
x(t) e A(tt0 ) x0
从这个解的表达式可知，初始时刻的状态矢量x0， 到任意t>0或t>t0时刻的状态矢量x(t)的一种矢量变换 关系，变换矩阵就是矩阵指数函数 eAt 。
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27
例
x1 x2
0 2
1 3
x1 x2
0 1u
求 u(t) 为单位阶跃函数时,系统状态方程的解 (设
初始状态为零).
解:
(t)
e At
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t
et
2e2t
x(t) e At x(0) 0te A(t ) Bu( )d
0 1
例:已知 A 2 3 ，求eAt
解： s 1
sI A 2 s 3
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(sI A) 1
1 sI A
adj (sI
A)
(s
1 1)(s
2)
s 3
2
1 s
s3
(
s
1)( s 2
2)
(s 1)( s 2)
1
(s
1)( s s
2)
(s 1)( s 2)
x(t) eAt x0 , t 0
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2
证明： 和标量微分方程求解类似，先假设式齐次状 态方程的解x(t)为t的矢量幂级数形式，即:
x(t) 0 1t 2t 2 iti
**
代入齐次状态方程中, 得
1 22t iit i1
现代控制理论基础第二章习题答案
第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。
（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A （5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1） （2） （3） （4）特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：（5）为结构四重根的约旦标准型。
（6）虽然特征值相同，但对应着两个约当块。
或}0100010000{])[()(1111----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。
【解】：（1） （2）特征方程为： 特征值为：2,1321===λλλ。
由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。
求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得：对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得： 所以变换阵为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110010001321P P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为：（3）特征值为：2,1321===λλλ。
状态空间表达式的解
第2章 状态空间表达式的解第1节 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程0(0)x Ax x x ==& 的解为0()Atx t e x = (0)t >式中，22()2!!kAt k t At e I At A k ∞∆==+++=∑L 证明：用拉普拉斯变换法。
对 x A x =& 作拉氏变换，得0()()sX s x AX s -=10()()X s sI A x -=-110()[()]x t L sI A x --=-因为 223111()()sI A I A A I s s s -+++=L故 1223111()sI A I A A s s s --=+++L12023111()[]x t L I A A x s s s -=+++L 2201()2!I At A t x =+++L 0Ate x =顺便可知])[(11---=A sI L eAt第2节 矩阵指数函数Ate1、Ate 的定义和性质（1）定义22()2!!kAtk t At e I At A k ∞==+++=∑L 式中 A —线性定常系统系统矩阵，n n ⨯阶；Ate —矩阵指数函数，n n ⨯阶时变矩阵。
若A 中各元素均小于某定值，Ate 必收敛；若A 为实矩阵，Ate 绝对收敛。
（2）基本性质：◆组合性质：)(2121t t A At At ee e += 其中21,t t 为相衔接的两时间段。
推论1：I eeee A t t A t A At ===--0)()(推论2：)(1][t A At ee --=◆微分性质：A e Ae e tAt At At ==d d ◆当A 、B 两阵可交换，即 BA AB =，则tB A BtAt ee e )(+=◆若1-P 存在，则P e P eAAPP 11-=-2、Ate 的计算 （1）级数计算法()!kAtk At e k ∞==∑ （2）拉氏变换法])[(11---=A sI L eAt当A 阵维数较高时，预解矩阵可采用递推法计算。
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（3）斜坡 u(t) K t 1(t) 输入下的解为：(使用条件A的逆存在)
x(t) eAt x(0) [A2 (eAt I ) A1t]BK
注意：线性系统的输出输入特性。
返回
四.线性时变系统状态方程的解
，则
(t)
e At
et
cost sin t
sin t cos t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 0 0
[举例1]： 若
A
0 0
0
1 0 0
0 3 0
0
0
4
e te 1t
1t
0
0
则
e At
0
0
e 1t
0
其中:
1 1 0 0
0
初始状态引起的解： x(t) (t)x(0)
输入作用引起的解：
t
x(t) (t )Bu( )d
0
由输出方程可以求出系统的输出解。
Laplae变换求解
状态方程两边同时求拉氏变换得：
X (s) (sI A)1 x(0) (sI A)1 BU (s)
x(t) L1[(sI A)1 x(0) (sI A)1 BU (s)] L1[(sI A)1 x(0)] L1[(sI A)1 BU (s)]
2!
i!
返回
2. 齐次方程解的物理意义
由初始条件引起的运动规律为齐次方程的
解 x(t) eAt x(0) 确定的，状态向量在任意时
刻t1的取值可由
x(t ) eAt1 x(0) 1
获得。并可以
在以x（t）向量为坐标系的n维状态空间里绘
制系统状态随时间运动的轨迹，称为状态轨迹。
返回
3. 状态转移矩阵的引出 系统由初始条件引起的运动的规律及特性主
y[kT] Cx(kT) Du (kT)
[例8]：P89 例2-12。
例题
（3） 近似离散化
连续系统状态方程：
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
当T足够小时，有
x(t) x[(k 1)T ] x(kT ) T
代入连续系统状态方程中得：
x(t) x[(k 1)T ] x(kT) T
(4) (t t ) (t )(t )
1
2
1
2
(5) 1 (t) (t) 状态转移矩阵的逆为时间的逆转。
(6)
(t t )(t t ) (t t )
2
1
1
0
2
0
(7) (t)k (kt)
e e e (8) 若 A B B A ，则有 ( AB)t
e4t
返回
3.一般状态转移矩阵的求法
(1) 利用定义计算
eAt (I At 1 A2t 2 1 Aiti )
2!
i!
(2) 利用Laplace变换计算 eAt L1 (sI A)1
推导
(3) 化A阵为对角型或约旦标准型计算 （利用状态转移矩阵的性质计算）
系统的状态与输出的形式取决与系统结构 初始条件和输入信号的形式，所以在系统为 典型输入信号作用时的状态解和输出解的形 式可以依据上述通式导出。
返回
2． 典型输入下非齐次方程的解
（1） 脉冲 u(t) K (t) 输入下的解为：
x(t) eAt x(0) eAt BK
（2） 阶跃 u(t) K 1(t) 输入下的解为：(使用条件A的逆存在)
1k
0
0
2 k
0
0
0 0 3
0
0
3k
G为约旦型
(k) Gk
0
1 k k
0
kk 1
k
G可化对角型（变换阵为P）
(k)
Gk
k
P
1
0
0
k 2
0 0
G可化约旦型（变换阵为P）
(k)
nn nn
nn nn
At Bt
注：上述性质由定义导出。 p59
返回
x(t) (I At 1 A2t 2 1 Aiti )x(0) eAt x(0)
2!
i!
2. 几个典型形式的状态转移矩阵
（1）若 1
为对角阵，则
e 1t
A
2
得系统状态的迭代计算式为：x(k ) Gk x(0) Gk j1Hu ( j) j0 注：计算结果为逐点形式，便于计算机运算，但有累积误差。
与连续状态方程的求解公式在形式上类似
（2） z 变换法
x(k 1) Gx(k) Hu(k) zx(z) zx(0) Gx(z) Hu(z) (zI G)x(z) zx(0) Hu(z) x(z) [(zI G)1 z]x(0) (zI G)1 Hu(z) x(k) Z 1[(zI G)1 z]x(0) Z 1[(zI G)1 Hu(z)]
要取决与eAt，eAt是由系统矩阵A唯一确定的。系
统由输入引起的运动规律除了和输入信号的大小
形式有关与系统的结构及eAt的形式也密切相关，
定义 (t) [eAt ] 为系统状态转移矩阵。显然， nn
状态空间表达式的求解关键在于求取系统的状态 转移矩阵。 x(t) Ax(t) x(t) eAt x(0)
n
(t) eAt
e2t
e
n
t
（2）若 T-1AT=
1
2
为对角阵，则
n
e 1t (t) eAt T
e2t
T 1
e
nt
（3）A=
求特征值和特征向量
由变换阵P化A为对角阵或约旦标准型
求对角阵或约旦标准型所对应的状态转移矩阵
求原矩阵A的状态转移矩阵。
返回
三.线性定常非齐次状态方程的解
1、非齐次方程解的通式
直接求解
Laplace变换求解
2、典型输入下非齐次方程解 脉冲输入 阶跃输入 斜坡输入
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五.离散系统状态方程的解
1、差分方程组的求解方法
迭代法 Z变换法
2、引入状态转移矩阵，简化离散 系统状态方程的求解
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1. 差分方程组的求解方法（1）
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
（1） 迭代法
k 0, x(1) Gx(0) Hu(0) k 1, x(2) Gx(1) Hu(1)
3. 线性定常系统状态方程的离散化方法
(1) 化连续状态方程为离散状态方程
连续系统状态方程： x(t) Ax(t) Bu(t)
理论推导可得：取
G(T ) e AT ,
T
H (T ) e At Bdt
为采样周期，
0
时，T
则离散化以后的状态空间表达式为：
x[(k 1)T ] G(T )x(kT) H (T )u(kT)
Gk
k
P 0
0
0
P
1
3
k
kk k
1
P
1
（3）状态转移矩阵的性质
(k 1) Gk1 (k)G
(0) G0 I
返回
六. 连续系统的离散化
1. 连续系统离散化的意义 意义 2. 连续系统离散化的假设条件
(1) 离散化按等采样周期处理； (2) 采样脉冲为理想脉冲信号； (3) 输入向量u（t）只在采样点变化，两相邻采样点 之间的输入由零阶保持器保持不变； (4) 采样周期的选择满足香农定理。
G2 x(0) GHu(0) Hu(1) k k 1, x(k) Gx(k 1) Hu(k 1)
Gk x(0) Gk1Hu(0) GHu(k 2) Hu(k 1)
k 1
Gk x(0) Gk j1Hu( j) j0
k 1
返回
二. 状态转移矩阵
(t) [eAt ] nn
1、状态转移矩阵的性质 2、几个典型形式的状态转移矩阵 3、 一般状态转移矩阵的求法
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1. 状态转移矩阵的性质
(1) (0) I
(2) (t) A(t) AeAt
(t) [eAt ] nn
(3) (0) A(0) A
x[(k 1)T ] G(T )x(kT ) H (T )u(kT )
y[kT ] Cx(kT ) Du(kT )
（注：近似计算方法的采样周期越小系统近似的精度越高）
[例11]：P92 例2-14（2）。
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4、线性时变系统状态方程的离散化
（自学）
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单元练习2
1. 设系统状态空间表达式为 x(t) Ax(t) 。Bu(t) y(t) Cx(t)
0
0
0
1 0 0
0 1 0
0 0
为约旦阵，则
1