2.2-根据系统机理建立状态空间表达式

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控制系统的状态空间表达式

160
0
x2
x3
状态空间表达式求传递函数矩阵
单入-单出线性定常系统的状态空间表达式为
x Ax bu
y Cx du
在初始松弛时（即：初始条件为零），求Laplace变换，并且化简
状态变量对输入量(输入到状态)的传递函数
Gxu (s)
sI
A 1b
adjsI detsI
A A
b
输出量对输入量(输入到输出)的传递函数（即：传递函数）
状态图如图：
状态空间表达式的建立
由系统高阶微分方程或传递函数演化推理
微分方程中不含有输入信号导数项
考察三阶系统，其微分方程为： y a2 y a1 y a0 y b0u
选取状态变量
则有 x1 x2
写成矩阵形式
x1 y
x2 x3
x1 0
x2
0
x3 a0
x2 y
x3 y
0
0
0 1 an1
x1 x2
xn
0 u 0
1
x1
y b0
b1
bn1
xn
注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。
Y (s) R(s)
bn s n an s n
b1s b0 a1s a0
d
bn1sn1 b1s b0 ansn a1s a0
B
bn1 anr nr
d11 d1r
D
dm1 dmr mr
基本概念
如果矩阵A, B, C, D中的所有元素都是实常数时，则称这样的系统为线性定常（LTI，即：Linear Time-Invariant）系统。
如果这些元素中有些是时间 t 的函数，则称系统为线性时变系统。

现代控制理论控制系统的状态空间模型

方程 x：小车的水平位移
x l sin : 摆心瞬时位置
m
x l
在水平方向，利用牛顿第二定律，得到
2024/6/22
9
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
设： x1 i(t) x2 uC (t)
x
x1
x2
A -1RL
-
1 L
0
C
1
b
L 0
C 0 1
x Ax bu
则可以写成状态空间表达式：
y Cx
内部描述
2024/6/22
10
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
uc
u
传函表示形式：
图 R-L-C网络
Uc (s)
1
U (s) LCS 2 RCS 1
外部描述
2024/6/22
7
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
一阶微分方程表示形式：
C
d uc dt
i
L
di dt
Ri
uc
u
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
x1 x2
ub
x
x
a
18
1.1 状态空间模型
1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常多变量系统
状态变量图：
输入向量
r×1 维
u
+ B
Bu
输入矩阵 +
n ×r维
传递矩阵 m×r维
x Ax Bu
y
Cx
Du
D
状态向量
+
x
∫
nx×1
维

状态空间描述

系数 c i 为待定系数，其中i1,2,..n. ，采用留数定理计算：
当 i q 1 ,q 2 ,. n 时 ..c i , s l ， i iG m ( s )s (i)
当 j 1 ,2 ,.q 时 ..,C 1 ， j ( 1 q )s L 1 (i j 1 1 m )d d ! jj 1 1 s W ( s ) ( s 1 ) q
第二节线性定常系统状态空间表达式的建立
D
X(t)
u(t)
B
X ∫
C
Y(t)
A
系统的状态变量个数，仅等于系统包含的独立储能元件的个数，因此，一个n 阶系统仅有n 个状态变量可以选择。
获得状态空间表达式有三个途径： ①根据物理化学机理用解析的方法进行建立；
② 根据传递函数或高阶微分方程演化求得； ③ 由传递函数的实极点建立；
y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) . .a 1 y . a 0 y b 0 u
系统的传递函数为：形式1：
W (s)snan 1sn 1b 0a 1sa0
若已知y (0 )y ,(0 ),y( .n 1 .)(.0 )及t＞0时的输入,则系统的行为就可唯一被确定。因此可选取x1=y,x2=y(1)…xn=y(n-1)作为状态变量, 则微分方程可表示为
0
xn
0 0
1 1
q1 q2 0
x1 0
x2
0
xq x q 1
1
1
u
0 xq2 1
n x n 1
对角线阵
x1
y [ c 1q
c 1 ( q 1 ) c 12
c 11
c q1
c
n
]

2.2 根据系统机理建立状态空间表达式

1 0 0 0
0 mg M 0
( M m) g Ml
0 x1 1 1 0 x2 M u ; 1 x3 0 1 0 x4 Ml
x1 x y 1 0 0 0 2 x3 x4
根据系统机理建立状态空间模型(2/5)
在实际工程系统中,许多过程和元件都具有储存和传递能量 (或信息)的能力。例如, 机械动力学系统中的弹簧和运动中的质量体都储存有能量并能通过某种形式传递; 化工热力学系统中的物质中的热量的储存与传递; 化工反应系统中的反应物质的物料传递和平衡的信息. 对这些系统,根据其物理和化学变化的机理,由相应描述这些变化的物理和化学的定理、定律和规律等,可得系统各物理量之间所满足的动静态关系式.因此,在选择适宜的状态变量后,可建立系统的状态空间表达式.
将上述方程的中间变量Q1和Qo消去,则有 h1 -h 2 dh1 A1 dt Qi R1 dh h1 -h 2 h 2 2 A2 dt R1 R2
流体动力学系统(4/5)
2. 选择状态变量. 由于只有两个独立的微分方程,故可选择两个状态变量.
原方程展开得：
ml cos ml 2 sin u ( M m) y cos ml (cos ) 2 ml 2 sin cos mg sin my
线性化：当和较小时，有 sin 化简后，得
u
m
y
f
k
图2-7 弹簧-质量体-阻尼器系统
刚体动力学系统(2/4)
解对许多实际系统,由于对系统的各种物理量的初始值或绝对值难于了解,一般将对物理量仅考虑在其相对于初始状况之后的相对值。对本例的刚体力学系统,一般先假设在外力u(t)作用于小车之前,小车已处于平衡态。

现代控制理论课后题及答案

第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。

图P2.1解此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。

也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。

这里采样机理分析法。

设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则212221c c c du u C R u u dt++= (1) 112121c c c du u duC C dt R dt+= (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：1121121121212111c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为：12111211212121212122222221111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +⎧=--+⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪==-⎪⎩即: 12121121211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]11210x y u x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。

1图P2.2解这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。

令()f t 为输入量，即u f =，1M ，2M 的位移量1y ，2y 为输出量，选择状态变量1x =1y ，2x = 2y ，3x =1dy dt，24dyx dt =。

线性系统理论第2章线性系统的状态空间描述

D(k )
u(k )
H (k )

x(k 1)

x(k )
单位延迟

C (k )

y(k )
G (k )
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x, u, t ) y g ( x, u, t )
向量函数
g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) ，g ( x, u, t ) 2 f ( x, u , t ) 2 g q ( x, u , t ) f n ( x, u , t )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u1 (t ),u2 t ,, u p (t ) 那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定
3/4,3/50
(2).状态变量组最小性的物理特征：少一个不行，多一个没用 (3). 状态变量组最小性的数学特征：极大线性无关变量组 (4). 状态变量组的不唯一性：任意
1/18,14/50
结论1
给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,
y ( n) an1 y ( n1) a1 y (1) a0 y bmu ( m) bm1u ( m1) b1u (1) b0u
Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s1 b0 g ( s) U ( s) s n an1 s n1 a1 s a0
时变系统和时不变系统
f f ( x, u ) 若向量f,g不显含时间变量t,即 g g ( x, u )

2.2状态空间表达式的建立

bn1s n1 b1s b0 Y ( s) g ( s) n U ( s) s an1s n1 a1s a0 Y ( s) U ( s) s n an1s n1 a1s a0
n
输出为：
bn1s
n 1
b1s b0
(2) 并联分解法
①极点两两相异时
N s g s N s Ds s p1 s p2 s pn c1 c2 cn s pn s p1 s p2
状态方程为：
dx1 R1 x2 uC 1 R1 R2 ( ) x1 dt L R1 R2 R1 R2 L L
dx2 R1 1 x1 x2 dt C R1 R2 C R1 R2
输出方程为：
y uC x2
写成矩阵形式
1 R1 R2 x1 L R1 R2 R x2 C(R R ) 1 2
3完全描述一个动态系统所需状态变量的个数有系统的4一般来说状态变量不一定是具有实际物理意义或可的阶次决定状态变量必须是相互独立的
2.2 状态空间表达式的建立
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
解：选择状态变量：x1 根据基尔霍夫定律：
iL , x2 uC ,
0 bn 1 bn 1 an 10 2 bn 2 an 11 an 20 n b0 an 1 n 1 an 2 n 2 a11 a00
Step1计算
step 2 定义状态变量:

现代控制理论知识点汇总

１．状态空间表达式n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯:r n B ⨯:n m C ⨯:rm D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。

２．状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。

②状态方程和输出方程都是运动方程。

③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。

④状态变量的选择不唯一。

⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。

⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。

⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。

３．模拟结构图（积分器加法器比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。

４．状态空间表达式的建立1由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。

2由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。

通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。

利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。

③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。

实现是非唯一的。

方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式。

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根据系统机理建立状态空间模型(3/5)
建立动态系统数学模型的主要机理/依据有: 电网络系统中回路和节点的电压和电流平衡关系,电感和电容等储能元件的电压和电流之间的动态关系. 机械动力学系统中的牛顿第二定律,弹性体和阻尼体的力与位移、速度间的关系. 对旋转运动,则相应的为转矩、角位移和角速度. 化工热力学系统中的热量的传递与储存,化工反应工程系统中参加反应的物料的传递和平衡关系.
Ch.2 控制系统的状态空间表达式（模型）
目录(1/1)
目录
概述
2.1 状态和状态空间表达式 2.2 根据系统机理建立状态空间表达式
2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间表达式
2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型 2.5 传递函数阵
2.6 线性离散系统的状态空间描述
流体动力学系统(3/5)
1. 机理分析. 根据水槽中所盛的水量的平衡关系和流量与压力 (水面高度,液位差)的关系,有
dh1 R1Q1 h1 -h 2 A1 dt Qi - Q1 dh 2 A2 Q1 - Qo R2 QO h 2 dt 其中代表平衡工作点附近的变化量.
根据系统机理建立状态空间模型(5/5)
下面通过常见的刚体力学系统、
流体力学系统、
典型化工(热工)过程机电能量转换系统讨论如何建立状态空间表达式.
刚体动力学系统(1/4)
1. 刚体动力学系统的状态空间描述
图2-7表示由弹簧、质量体、阻尼器组成的刚体动力学系统的物理模型. 试建立以外力u(t)为系统输入,质量体位移y(t)为输出的状态空间表达式.
x2
v kx1 F
在水平方向，应用牛顿第二定律：
d2 y d2 M 2 m 2 ( y l sin ) u dt dt
对摆杆（不考虑其质量）与小球，运用达郎贝尔原理，以摆杆与小车铰接点为矩心，建立力矩平衡方程：
d2 l cos m 2 ( y l sin ) mg l sin dt
1 0 0 0
0 mg M 0
( M m) g Ml
0 x1 1 x 1 0 2 M u ; 1 x3 0 1 0 x4 Ml
x1 x y 1 0 0 0 2 x3 x4
其中V,ρ,CP分别为容器体积、比重和比热;k为反应速率常数; H为反应热。
典型化工(热工)过程 (4/5)
2. 选择状态变量. 显然,选择容器内的液体的温度θ(t)和浓度CA(t)为状态变量是合理的。因此,令 x1(t)=θ(t) x2(t)=CA(t) 3. 将状态变量代入上述微分方程,则有如下状态方程
状态变量图为
流体动力学系统(1/5)
2. 流体力学系统的状态空间描述
图2-8为串联的两个水槽,其截面积分别为A1和A2,当阀门的开度不变,在平衡工作点附近阀门阻力系数分别可视为常量R1和 R2.
Qi h1 R1 Q1 图2-8 两个水槽串联系统 R2 h2 Q0
图中Qi,Q1和Qo为流量; h1和h2为水槽的水面高度. 试求输入为Qi,输出为h2时的状态空间表达式.
解 1. 机理分析. 在化学反应中,一般应保持热量和物料的平衡关系。
因此,对整个反应器作热量和物料平衡,就有
2 (H )kC A (t ) d (t ) Q(t ) q(t ) [ f (t )] dt V VC P CP
dC A (t ) Q(t ) 2 [C Af C A (t )] kC A (t ) dt V
流体动力学系统(2/5)
下面在讨论本例的解之前,先简单总结一下如下流量与压力(压强)的关系. 压力电路电压流量电流压力/流量电阻
流体
气体
压力(液位差)
液体流量
阀门阻力系数
风阻力系数
气压差(压强) 气流量(风量)
解对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的水流体已处于平衡. 下面仅考虑流量Qi的变化量Qi引起的水槽水位的变化.
u Qi
典型化工(热工)过程 (1/5)
3. 典型化工(热工)过程的状态空间描述
图2-9为一化学反应器,它是一均匀、连续流动单元,其中发生如下二级吸热反应
2A→B
该化工反应生产过程为:
温度为f(常量),含A物质浓度为CAf(常量)的料液以Q(t)的流量进入反应器; 为保证单元内的液体体积不变,假定流出的流量亦为Q(t);
对本例,有
x1 (t ) y(t ) (t ) x2 (t ) y
刚体动力学系统(4/4)
3. 将状态变量代入运动方程
1 x2 x k f 1 x x x u 2 1 2 m m m
4. 建立输出方程 y=x 1
5. 经整理,可得如下矩阵形式的状态空间表达式
流体动力学系统(5/5)
4. 建立输出方程 y= x2 5. 经整理,可得如下矩阵形式的状态空间表达式
1 1 1 A R A1 R1 1 1 x A1 u x 1 R1 R2 0 A R A R R 2 1 2 1 2 y [ 0 1 ]x
1 0 0 x x u -k/m - f/m 1/m y [ 1 0 ]x
例设机械位移系统如图2-1所示。力F及阻尼器汽缸速度v为两种外作用，给定输出量为质量块的位移x及其速度 x 、加速 x 。图中m、k、f分别为质 x 度 x 量、弹簧刚度、阻尼系数。试求该双输入-三输出系统的动态方程。
将上述方程的中间变量Q1和Qo消去,则有 h1 -h 2 dh1 A1 Qi dt R1 dh h1 -h 2 h 2 2 A2 dt R1 R2
流体动力学系统(4/5)
2. 选择状态变量. 由于只有两个独立的微分方程,故可选择两个状态变量.
1 x2 x 2 x x y1 x1 y 2 x2 1 f x2 v kx1 F m 其矩阵形式的状态空间 x Ax Bu，y Cx Du 表达式 0 0 0 0 x F 1 k 1 f x u A B f v 式中 x 2 m m m m 1 0 0 0 y1 y y2 C 0 1 D0 0 k 1 f f y3 m m m m y3 1 f m
f
Q CAf
Q
CAf
图2-9 某化工(热工)过程
典型化工(热工)过程 (2/5)
为了使化学反应向右进行,用蒸汽对反应器内的溶液进行加热,蒸汽加热量为q(t)。
试以料液的流量Q(t)和蒸汽加热量q(t)为输入,容器内的液体的温度(t)和浓度CA(t)为输出,建立状态空间模型。
典型化工(热工)过程 (3/5)
对本例的流体动力学系统,可选水面高度的变化量h1和 h2为状态变量,即 x1(t)=h1(t), x2(t)=h2(t)
3. 将状态变量代入上述水面高度变化量的动态方程,则有如下状态方程
1 1 1 x1 - A R x1 A R x2 A u 1 1 1 1 1 R1 R2 1 x 2 x1 x2 A2 R1 A2 R1 R2
u k
y
m
f
图2-7 弹簧-质量体-阻尼器系统
刚体动力学系统(2/4)
解对许多实际系统,由于对系统的各种物理量的初始值或绝对值难于了解,一般将对物理量仅考虑在其相对于初始状况之后的相对值。对本例的刚体力学系统,一般先假设在外力u(t)作用于小车之前,小车已处于平衡态。
下面仅考虑外力加入后,对小车运动的影响.
原方程展开得：
cos ml 2 sin u ( M m) y ml (cos ) 2 ml 2 sin cos mg sin my cos ml
线性化：当和较小时，有 sin 化简后，得
解据牛顿力学，故有图2－1 双输入-三输出机械位移系统 f x v kx F mx
x x 显见为二阶系统，若已知质量块的初始位移及初始速度，该微作为状态分方程在输入作用下的解便唯一确定，故选 x 和 x ，y3 ，可由变量。设 x1 x，x2 x ，三个输出量为 y1 x，y2 x x 微分方程导出下列动态方程：
cos 1
2 0
u (M m) y ml mg ml my
u 为系统输入， y 为系统输出。
如果选择系统输出为：和 y
1 0 x x 2 0 x 3 0 4 0 x
而由：
d (sin ) (cos ) dt
d2 2 cos (sin ) ( sin ) 2 dt
d (cos ) ( sin ) dt
d2 2 ( sin ) (cos ) ( cos ) d t2
经济系统中的投入产出方程。
根据系统机理建立状态空间模型(4/5)
建立状态空间表达式的关键在于状态变量的选取，它是建立状态空间表达式的前提状态变量的主要选取办法系统储能元件的输出系统输出及其输出变量的各阶导数
上述状态变量的数学投影（使系统状态方程成为某种标准形式的变量）
根据系统机理建立状态空间模型(2/5)
在实际工程系统中,许多过程和元件都具有储存和传递能量 (或信息)的能力。例如, 机械动力学系统中的弹簧和运动中的质量体都储存有能量并能通过某种形式传递; 化工热力学系统中的物质中的热量的储存与传递; 化工反应系统中的反应物质的物料传递和平衡的信息. 对这些系统,根据其物理和化学变化的机理,由相应描述这些变化的物理和化学的定理、定律和规律等,可得系统各物理量之间所满足的动静态关系式.因此,在选择适宜的状态变量后,可建立系统的状态空间表达式.