线性系统状态空间分析报告与运动解
[计算机软件及应用]2 线性系统运动分析
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1 0 2t e 0
1 1 2 1 0 2
1 (1 e 2t ) 2 e 2t
方法三
由于
s sI A 0 0 0 s 0 1 s 2 0
1 1 1
0 1 2
0 1 2
方法四：化eAt为A的有限项法(Caley-Hamilton定理法) 利用凯莱-哈密尔顿定理，化为A的有限项，然后 通过求待定时间函数获得的方法。 必须指出，这种方法相当系统，而且计算过程简单。 设A的最小多项式阶数为m。可以证明，采用赛尔维斯特 内插公式，通过求解行列式 1 e
2.1 状态方程的齐次解 所谓系统的自由解,是指系统输入为零时,由初始 状态X(0)引起的自由运动.即零输入响应.
x(t ) Ax(t )
若
x(t 0 ) x 0
则
x(t ) (t; t 0 , x 0 ,0) e A(t t 0 ) , t t 0
x(0) x 0 若 则 x(t ) (t;0, x 0 ,0) e At , t 0 证明: 当 x(0) x 0 时,对矩阵方程进行拉氏变换,得
方法一：直接计算法(矩阵指数函数)
e
At
A2t 2 A3 t 3 I At 2! 3!
1 k k A t k 0 k!
(2.9)
可以证明，对所有常数矩阵A和有限的t值来说， 这个无穷级数都是收敛的。
方法二：对角线标准形与Jordan标准形法 1)若可将矩阵A变换为对角线标准形，
s sI A 0
( sI A)1
(t ) e At L1[(sI A) 1 ]
线性系统理论3线性系统的运动分析
THANKS
伯德图判据
通过观察系统开环伯德图（对数幅频特性和相频特性曲线）来判断系统的稳定性。若开环伯 德图在穿越频率处的相位裕度大于0，则系统是稳定的。
不稳定系统的分析与处理
不稳定原因分析
不稳定系统可能由于系统内部参数摄动、外部扰动或控 制器设计不当等原因导致。需要对系统进行详细分析， 找出不稳定的原因。
不稳定系统处理
线性微分方程
01
描述线性系统动态行为的数学工具，通过求解微分方程可以得
到系统的输出响应。
传递函数
02
在频域中描述线性系统输入输出关系的数学表达式，常用于控
制系统的分析和设计。
状态空间方程
03
描述线性系统状态变量和输入输出关系的数学方程组，适用于
多输入多输出系统和时变系统。
线性系统的建模方法
1 2
机理建模
运动方程的物理意义
描述系统运动状态
运动方程描述了线性系统的运动状态，包括位置、速度和 加速度等物理量。通过求解运动方程，可以得到这些物理 量的时域解和频域解。
预测系统响应
根据已知输入和初始条件，通过求解运动方程可以预测线 性系统的响应。这对于控制系统的设计和分析具有重要意 义。
分析系统稳定性
通过分析运动方程的解的性质，可以判断线性系统的稳定 性。例如，如果解是收敛的，则系统是稳定的；如果解是 发散的，则系统是不稳定的。
对求解结果进行可视化展示和数据分 析，研究电路系统的动态响应特性， 如谐振频率、阻尼振荡等。
建立模型
运动方程
求解方法
结果分析
根据电路元件的连接方式和电气特性， 建立电路系统的数学模型，如RLC串 联或并联电路。
采用解析法或数值法求解运动方程， 得到电路中各元件的电压、电流等电 气参数。
第三章线性系统的运动分析
Chapter 3 Analysis of Linear System3.1 INTRODUCTION运动分析的数学实质：从数学的角度，运动分析的实质就是求解系统的状态方程。
以解析形式或数值分析形式，建立系统状态随输入和初始状态的演化规律。
(Solving the time-invariant state equation)3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析SOLVING THE TIME-INVARIANT STATE EQUATION系统响应=系统的零输入响应+系统的零状态响应System response=a term consisting of the transition of the initial state +a term arising from the input vector零输入响应：自由运动，由系统矩阵决定，不受外输入影响。
零状态响应：强迫运动，响应稳态时具有和输入相同的函数形态。
01!k k ∞−+=∑0k k b t ∞=+=∑2012Ab Ab t Ab t +=+++b k 0)b +Equating the coefficients of the equal powers of t, we obtain By substituting this assumed solution in to Equation (1)解的说明：1.零输入响应是状态空间中由初始状态经线性变换矩阵所导出的一个变换点。
2.自由运动3.自由运动的轨迹由唯一决定。
4.当自由运动轨迹趋于平衡状态时，则系统是渐近稳定的。
At e0x Ate 0=x若初始时间取为t 0≠0则0)(,)(0t t x e t x t t A ou ≥=−00)(x t x =01!k k ∞−+=∑+232322332323332)()2!3!F F I Ft t t F t A t A Ft AF t F t ++++++0+=0,1,2,))AtAt Ae A e A ++=+=利用性质+λ)neλ)n t0000i i λλ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦12)l J t J tJ t e e 0i i t t e e e λλ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦系统状态运动规律的基本表达式设系统的状态空间描述为有表达式⎰⎰≥−+=+=−t A Att t A At t d t Bu e x e d Bu e x e t x 000)(00,)(,)()(ττττττ⎰≥+=−−t t t A t t A t t d Bu e x e t x 000)(0)(,)()(τττ对初始时刻t 0=0 情形有表达式注意：物理意义解的讨论:(1)卷积特征；(2)零初始响应的几何特征；(3)可达性；(4)任意时刻的表达式00≥,=)(),(+=t t x t x t Bu Ax x3.3连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵State-Transition Matrix设连续时间线性时不变系统，状态方程为：as To verify this, note thatWe thus confirm that Equation (2) is the solution of Equation (1))2()0()()(x t t x Φ=where )(Φt is n n ⨯Matrix and is the unique solution of)0()0()0()0(x x x =Φ=Ate t =)(Φ)(=)0()(Φ=)0()(Φ=)(t Ax x t A x t t xI t A t =)0(Φ)(Φ=)(Φ )1(=Ax x and状态转移矩阵的形式为()()()0000,0000t t e t t t t e t t t t A At ≥=−Φ≠≥=Φ=−时，时，基于状态转移矩阵的系统响应表达式()()()()()()()()()⎰⎰−Φ+−Φ=≥−Φ=−Φ=tt t t ox ou d Bu t x t t t x t t d Bu t t x x t t t x 0000000ττττττ。
第1章线性系统的状态空间描述
x&(t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t) Du(t)
• 情况1：输入u不含导数
y(n) an1y(n1) L a1y& a0 y bu
自主技术与智能控制研究中心
二、状态空间模型的建立
输入u不含导数 y(n) an1y(n1) L a1y& a0 y bu
选取状态变量 x1 y x2 y x3 y
I ml2 ml
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ml M m
二、状态空间模型的建立
用一阶微分方程组表示系统模型！
&x& 1m2l2 g 1(I ml2 )u && 1(M m)mgl 1mlu
引入新的变量
x1 x x2 x&
x3 x4 &
x&1 x2
x&2 x&3
{1m2l x4
x&% Ax% Bu%
y%
Cx%
Du%
f1
A
f x
|x0
,u0
x1
M
fn x1
L O L
f1 xn
M
fn xn
B
f u
|x0 ,u0
,C
g x
|x0
,u0
,
D
g u
|x0 ,u0
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二、状态空间模型的建立 例3：质量-弹簧-阻力器系统
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u
线性化 0 V mg
m
d2 dt 2
(x
l
sin )
H
I&& Vl Hl
m d 2 (l cos) V mg
第三章线性系统状态方程的解
第三章 线性系统的运动分析§3-1线性连续定常齐次方程求解一、齐次方程和状态转移矩阵的定义１、齐次方程状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为：)()(t Ax t x= 线性定常连续系统：Ax x =２、状态转移矩阵的定义齐次状态方程Ax x = 有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。
其解为)0()(x e t x At ⋅=。
其中Ate 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：At e t =)(φ。
若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：)(00)(t t A e t t -=-Φ对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。
但它一般不能写成指数形式。
（１）幂级数法设Ax x= 的解是t 的向量幂级数 +++++=kk t b t b t b b t x 2210)(式中 ，，，，，k b b b b 210都是n 维向量，则+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x)(2210 +++++=kk t b t b t b b A故而有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧======00323021201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K2且有0)0(b x =。
故+++++=kk t b t b t b b t x 2210)(+++++=k k t b A k t b A t Ab b 020200!1!21 )0()!1!21(22x t A k t A At I kk +++++=定义：∑∞==+++++=022!1!1!21K k k k k Att A k t A k t A At I e则)0()(x e t x At ⋅=。
（２）拉氏变换解法将Ax x= 两端取拉氏变换，有 )()0()(s Ax x s sx =- )0()()(x s x A sI =- )0()()(1x A sI s x ⋅-=-拉氏反变换，有)0(])[()(11x A sI L t x ⋅-=-- 则])[()(11---==A sI L e t At φ【例3.1.1】 已知系统的状态方程为x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010 ，初始条件为)0(x ，试求状态转移矩阵和状态方程的解。
线性系统理论 第2章 线性系统的状态空间描述
u(k )
H (k )
x(k 1)
x(k )
单位延迟
C (k )
y(k )
G (k )
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x, u, t ) y g ( x, u, t )
向量函数
g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) ，g ( x, u, t ) 2 f ( x, u , t ) 2 g q ( x, u , t ) f n ( x, u , t )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u1 (t ),u2 t ,, u p (t ) 那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定
3/4,3/50
(2).状态变量组最小性的物理特征： 少一个不行，多一个没用 (3). 状态变量组最小性的数学特征：极大线性无关变量组 (4). 状态变量组的不唯一性 ：任意
1/18,14/50
结论1
给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,
y ( n) an1 y ( n1) a1 y (1) a0 y bmu ( m) bm1u ( m1) b1u (1) b0u
Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s1 b0 g ( s) U ( s) s n an1 s n1 a1 s a0
时变系统和时不变系统
f f ( x, u ) 若向量f,g不显含时间变量t,即 g g ( x, u )
第一章 线性定常系统的状态空间描述及运动分析
称 G ( s ) 为系统的传递函数矩阵。G ( s ) 为的一个有理分式 矩阵。当 g ij ( s ) 除严格真还包含真有理分式时，即 G ( s ) 的一个或一些元传递函数中分母和分子多项式具有相等 的最高幂次时，称为真有理分式矩阵。
7
§1.1-2 传递函数矩阵 当且仅当 G ( s )为真的或严格真的时，它才是物理上可实 现的。当且仅当 lim G ( s ) = 零阵 s →∞ G ( s ) 为严格真的， lim G ( s ) =非零常阵 s →∞ 传递函数矩阵为真的。
8
§1.2 线性定常系统的状态空间描述
§1.2-1 状态和状态空间 系统的状态空间描述是建立在状态和状态空间概念的基 础上的。 定义1.1 动力学系统的状态定义为完全的表征系统时间 域行为的一个最小内部变量组。组成这个变量组的变 xn (t ) 称为系统的状态变量，其中t ≥ t0， "， 量 x1 (t ), x2 (t )， t0 为初始时刻。由状态变量 ⎡ x1 (t ) ⎤ ⎥, t ≥ t 构成的列向量 x(t ) = ⎢ # 0 ⎢ ⎥ 称为系统的状态向量，简称为状态。状态空间则定义为 状态向量取值的一个向量空间。
15
§1.2-2 动态系统的状态空间描述 离散动态过程的状态空间的描述。离散动态过程的一个 重要特点是，系统的各个变量都被处理成为只在离散时 刻取值，其状态空间描述只反映离散时刻的变量组间的 因果关系和转换关系。用k=0,1,2来表示离散的时刻，则 离散时间系统（简称离散系统）的状态方程和输出方程 的最一般形式为：
2
§1.1-1 单变量情形回顾 已知由下列常系数微分方程描述的定常系统
y n + a n −1 y ( n −1) + " + a1 y (1) + a 0 y
线性系统状态空间分析和运动解
线性系统状态空间分析和运动解状态空间分析方法是一种用来描述线性系统的分析方法。
它将系统的动态特性用一组状态变量来表示，并通过矩阵形式的状态方程进行分析和求解。
状态空间方法是目前广泛应用于自动控制系统设计与分析的一种方法，它可以对系统的稳定性、可控性、可观性以及性能等进行定量分析。
在状态空间分析方法中，首先需要将系统的微分方程表示为矩阵形式的状态方程。
状态方程描述了各个状态变量和它们的变化率之间的关系。
假设系统有n个状态变量x1, x2, ..., xn和m个输入变量u1, u2, ..., um，状态方程可以表示为:dx/dt = Ax + Bu其中，dx/dt是状态变量的变化率，A是状态矩阵，描述状态变量之间的耦合关系，B是输入矩阵，描述输入变量对状态变量的影响。
状态空间分析方法的基本思想是将系统转化为状态空间表达式，然后通过对状态方程进行分析和求解来得到系统的特性和响应。
常见的分析方法包括对系统的稳定性、可控性和可观性进行评估。
稳定性是系统的基本性质之一，用来描述系统在受到扰动时是否能够恢复到平衡状态。
在状态空间方法中，通过研究系统的特征根（或特征值）可以判断系统的稳定性。
特征根是状态方程的解的根，系统的稳定性与特征根的实部有关。
如果特征根的实部都小于零，则系统是稳定的；如果特征根存在实部大于零的情况，则系统是不稳定的。
可控性是指系统是否可以通过输入变量来控制系统的状态变量。
在状态空间方法中，通过可控性矩阵来判断系统的可控性。
如果可控性矩阵的秩等于系统的状态变量个数，则系统是可控的；如果可控性矩阵的秩小于系统的状态变量个数，则系统是不可控的。
可观性是指系统的状态变量是否可以通过观测变量来测量得到。
在状态空间方法中，通过可观性矩阵来判断系统的可观性。
如果可观性矩阵的秩等于系统的状态变量个数，则系统是可观的；如果可观性矩阵的秩小于系统的状态变量个数，则系统是不可观的。
除了稳定性、可控性和可观性外，状态空间分析方法还可以用来分析系统的性能指标，如系统的响应时间、稳态误差和系统的最大误差等。
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【实验地点】课外(宿舍) 【实验目的】1、学会利用MATLAB 实现离散系统传递函数模型的生成2、学会利用MATLAB 将连续系统离散化 【实验设备与软件】1、MATLAB/Simulink 数值分析软件2、计算机一台 【实验原理】1、求矩阵特征值和特征向量命令格式[V J]=eig （A ） Cv=eig(A)说明：V 特征向量，J 是Jordan 型，cv 是特征值列向量 2、求运动的方法（1）利用Laplace 逆变换----适合于连续/离散线性系统采用ilaplace/iztrans 对传递函数求逆，这种方法一般是零输入情况下求响应。
（2）用连续（离散）状态转移矩阵表示系统解析解----适合于线性定常系统 对连续定常系统有：假设初始时刻为零，LTI 系统的解析解为dt Bu ee x e t x tAtAtAt⎰⎰+=0)()0()(τ。
若u （t ）是单位阶跃输入，则上述解可写成dtBu ee x e t x tAtAt At ⎰⎰+=0)()0()(τ。
进一步简化为：Bu A Bu A x e t x At 11))0(()(---+=对离散线性定常系统有：∑---+=11)()0()(k i kki Hu G x G k x（3）状态方程的数值分析方法----适合于连续线性系统和非线性系统采用直接数值积分很容易的处理各种定常/时变和线性/非线性系统。
有很多数值积分方法，其中有一类预测-修正数值积分方法+自适应步长调整的算法比较有效。
在MATLAB/Simulink 中包含的多种有效的、适用于不同类型的ODE 求解算法，典型的是Runge-Ktuta 算法，其通常使用如下的函数格式：[t,x]=ode45(odefun,[ti,tf],x0,options)----采用四阶、五阶Runge-Ktuta 算法 [t,x]=ode23(odefun,[ti,tf],x0,options)----采用二阶、三阶Runge-Ktuta 算法 说明：a.这两个函数是求解非刚性常微分方程的函数。
b.参数options 为积分的误差设置，取值为相对误差‘reltol ’和绝对误差‘abstol ’;[ti,tf]求解的时间围；x0是初值是初值向量；[t,x]是解。
（4）利用CotrolToolBox 的离散化求解函数----适合于TLI 系统 用step （）/impulse()函数求取阶跃输入/冲激输入时系统的状态响应： 当系统G 是连续的情况下：调用[y,t,x]=step/impulse(G )会自动对连续系统G 选取采样时间围和周期；调用[y,t,x]=step/impulse(G ，ti:Ts:tf)由用户自己定义对连续系统G 的样时间围和周期； 当系统G 是离散的情况下:调用[y,t,x]=step/impulse(G )会按离散系统G 给出的采样周期计算；调用[y,t,x]=step/impulse(G ，ti:Ts:tf)是Ts 必须与离散系统G 的采样时间围和周期一致。
另外lsim()函数调用格式：[y,x,t]=lsim(G,u,ti,TS,tf,x0) 零输入响应调用函数initial （）,格式：[y,x,t]=(G,x0) (5)利用simulink 环境求取响应----适用于所有系统求取响应 使用simulink 求取线性或非线性系统的响应，调用格式如下：[t,x,y]=sim(‘XX.mdl ’,ti:Ts:tf,options,u)【实验容】已知线性系统：])(201)()(210)(404040202119201921)(t x t y t u t x t x +-----•已知线性系统1、利用Matlab 求零状态下的阶跃响应（包括状态和输出），生成两幅图：第一幅绘制各状态响应曲线并标注；第二幅绘制输出响应曲线。
状态响应曲线：A=[-21 19 -20;19 -21 20;40 -40 -40]; B=[0;1;2]; C=[1 0 2];D=[0]; %输入状态空间模型各矩阵,若没有相应值,可赋空矩阵 X0=[0;0;0]; % 输入初始状态 sys=ss(A,B,C,D); %构造传递函数[y,x,t]=step(sys); % 绘以时间为横坐标的状态响应曲线图 plot(t,x); grid;title('状态响应曲线') 输出响应程序：A=[-21 19 -20;19 -21 20;40 -40 -40]; B=[0;1;2]; C=[1 0 2]; D=0; X0=[0;0;0][num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1); sys=tf(num,den); step(sys) gridtitle('输出响应曲线')图一（状态响应曲线）图二（输出响应曲线）2、利用Matlab 求零状态下的冲激响应（包括状态和输出），生成两幅图：第一幅绘制各状态响应曲线并标注；第二幅绘制输出响应曲线。
状态响应曲线程序:A=[-21 19 -20;19 -21 20;40 -40 -40]; B=[0;1;2]; C=[1 0 2];D=[]; %输入状态空间模型各矩阵,若没有相应值,可赋空矩阵 x0=[0;0;0]; % 输入初始状态 sys=ss(A,B,C,D); %构造传递函数 [y,x,t]= impulse(sys); plot(t,x); grid;title('状态响应曲线') 输出响应曲线程序:A=[-21 19 -20;19 -21 20;40 -40 -40]; B=[0;1;2]; C=[1 0 2]; D=0; X0=[0;0;0][num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1); sys=tf(num,den); impulse(sys); grid; title('')图三（状态响应曲线'）图四（输出响应曲线）3、若控制输入为，且初始状态为，求系统的响应，要求a.在simulink只能够画出模型求响应，生成两幅图：第一幅绘制各状态响应曲线并标注；第二幅绘制输出响应曲线。
程序如下：t=[0:0.01:5];u=(1+exp(-t).*cos(5*t)).*(t<3)+1*(t>=3);t=t';u=u';ut=[t,u];[t1,x,y]=sim('shiyan5.mdl',t,[],ut);plot(t1,x)figure(2);plot(t1,y)创建的模型图如下：图五（模型图）b.编写.m文件求响应，生成两幅图：第一幅绘制各状态响应曲线并标注；第二幅绘制输出响应曲线。
状态响应曲线：t=[0:0.02:5];u=(1+exp(-t).*cos(5*t)).*(t<3)+1*(t>=3);t=t';u=u';A=[-21 19 -20;19 -21 20;40 -40 -40];B=[0;1;2];C=[1 0 2];D=[0]; %输入状态空间模型各矩阵,若没有相应值,可赋空矩阵 X0=[0.2;0.2;0.2]; % 输入初始状态u=(t==0); %就是个条件判断，只有t=0的时候，u才为“1”sys=ss(A,B,C,D); %构造传递函数plot(t,x);grid;title('状态响应曲线')输出响应曲线：plot(t,y);grid;title('输出响应曲线')图六（状态响应曲线）图七（输出响应曲线）4、以阶跃输入情况下的，分析各模块对响应有什么影响。
图八（阶跃输入时）阶跃输入的图像到答稳定时间快，曲线平滑5、求系统的传递函数在MATLAB软件Command Window窗口中输入以下程序A=[-21 19 -20;19 -21 20;40 -40 -40];B=[0;1;2];C=[1 0 2];D=0;[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1);printsys(num,den)程序运行结果为图七6、若采用K增益负反馈，绘制闭环根轨迹图，并对根轨迹加以描述说明。
A=[-21 19 -20;19 -21 20;40 -40 -40];B=[0;1;2];C=[1 0 2];D=0;[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1);rlocus(num,den);gridtitle('K增益负反馈闭环根轨迹图')图九（K增益负反馈闭环根轨迹图）采用K增益负反馈，画出如图所示的根轨迹图。
由图可知，共有3条根轨迹，第一条最终趋于原点；第二条收敛在20~60之间；第三条最终趋于无穷远处。
7、在Matlab中绘制Bode图和Nyquist图，并对图给予说明。
绘制Bode图：A=[-21 19 -20;19 -21 20;40 -40 -40];B=[0;1;2];C=[1 0 2];D=0;sys=tf(num,den) bode(num,den) gridtitle('Bode 图')汇出的波特图如图所示，由图可知，对复制响应分析可得，交越频率在转折频率之后，故复制的变化主要发生在低频段。
对相频特性进行分析，可知此系统的相频特性角度均为负值，并且最后的相角是趋于-90度的。
绘制Nyquist 图： nyquist(sys) title('Nyquist 图 ')图十（波特图）图十一（Nyquist 图）画出的奈奎斯特图如上所示，根据此图可知，此系统是稳定的系统，由奈奎斯特曲线可以分析出此系统的稳定性。
【实验结论与总结】经过本次试验我们了解了线性系统状态空间，知道如何在simulink 中用状态方程搭建系统仿真模型，以及调用模型。
不同输入对对系统有着一定的影响。
如何把方程转换成simulink 中的方块模型是非常重要的，在本次实验中，最困难的地方在于运用Simulink 生成图形，在这过程中由于要利用到sim 函数，不熟悉导致出错后来经过检查才改正错误。