考研高数笔记
考研高数二每日知识点总结
考研高数二每日知识点总结一、数列和数学归纳法1.1 数列的概念数列是按照一定规律排列的一组数，常用字母表示为：${a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n}$，其中$a_n$表示数列的第n个元素。
1.2 等差数列若数列${a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n}$中任意两项之差为一个常数d，则称该数列为等差数列，常用公式表示为：$a_n = a_1 + (n-1)d$。
1.3 等比数列若数列${a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n}$中任意两项之比为一个常数q，则称该数列为等比数列，常用公式表示为：$a_n = a_1 \times q^{n-1}$。
1.4 数学归纳法数学归纳法是证明数学命题的一种重要方法，分为三个步骤：基础情形的证实、归纳假设和递推步骤。
使用数学归纳法可以证明等差数列和等比数列的常用公式。
二、向量与空间解析几何2.1 向量的概念向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，在空间中的坐标表示为：$\vec{a} = (x,y,z)$。
2.2 向量的运算向量的加法满足三角形法则，即$\vec{a}+\vec{b} = \vec{b}+\vec{a}$，同时满足分配律和结合律。
向量的数量积满足交换律和分配律，且数量积的模长为 $\sqrt{\vec{a} \cdot\vec{a}}$。
2.3 空间解析几何空间内点的坐标表示为$(x,y,z)$，直线的参数方程表示为$\begin{cases} x=x_0+at\\y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end{cases}$，平面的一般方程表示为$Ax+By+Cz+D=0$。
三、微分中值定理与导数的应用3.1 平面曲线的切线与法线平面曲线上一点P处的切线方程为$y=f(x)+f'(x_0)(x-x_0)$，切线的斜率为导数f'(x)在点(x0, f(x0))处的值。
切线的垂直方向斜率为$-\frac{1}{f'(x_0)}$。
考研高数精品笔记
第一章函數、極限、連續第1 节函數a)反函數和原函數關於y=x 對稱。
b)只有定義域關於原點對稱の函數才能討論奇偶性。
c)多個奇函數之和為奇函數；多個偶函數之和為偶函數。
d)2k 個奇函數の乘積是偶函數；2k+1 個奇函數の乘積是偶函數；任意個偶函數の乘積還是偶函數。
(k=0,1,2 ..... )。
e)如果f(x)是周期函數，周期為T，則f(ax+b)也是周期函數，周期為|T/a|。
f)基本初等函數包括：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數。
初等函數即上述五大類函數，以及它們有限次の四則運算與複合而成の函數。
g)一切初等函數在其定義域內都是連續の。
第2 节極限a)左右極限存在且相等極限存在。
b)如果函數在X0極限為A，則可以將函數改寫為f(X)=A+ɑ(x)，其中lim ɑ(x) = 0 。
x x 0（等價無窮小）c)極限存在極限唯一。
（極限唯一性）d)lim f (x) A ，且A>0，則在x の鄰域內，f(x)>0。
（保號性）x x 0e)函數f(x)在點x=x0存在極限，則存在該點の一個去心鄰域U，在U 內f(x)有界。
（有界性）f)當limf(x)=A，limg(x)=B，那麼lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+Blim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-Blim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*Blim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等於0lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A nlim(f(x)^g(x))=A b（極限の四則運算）g)有限個無窮小之和仍然是無窮小。
有限個無窮小之積仍然是無窮小。
無窮小和有界量乘積仍然是無窮小。
h)lim f ( x ) =lg ( x )i. l=0，f(x)=o(g(x)).ii. l=∞，f(x) 是 g(x) 低階 .iii.0<l<∞或-∞<l<0，l≠1，同階.iv. l=1，等價無窮小，記作f(x) g(x).f (x)特別の，如果lim =l(l≠0)，則稱f(x)是g(x)のk 階無窮小。
考研数学高数章节重点
第一章第一节：函数 函数的四个性质：1，有界性；无穷大、无界、无穷小之间的运算。
（重点） 2，单调性；利用导数求单调性。
3，周期性，一般用定义来求；存在一个常数T ，使得()()f x f x T =+。
称T 为一个周期。
4，奇偶性。
一般用定义或者化为已知的周期函数来求；奇函数()()f x f x -=-，偶函数()()f x f x -=第二节：极限1，数列{}n a 极限的几种求法，第一种方法是：定理——单调有界必有极限；证明分两步，1，证明单调性，如果是增函数，则证明有上界；如果是减函数，则证明有下界。
第二种方法是：夹逼准则。
证明中要找到数列{}n b ，{}n c ，满足两条：1，n n n b a c ≤≤；2，lim lim n n n n b c a →∞→∞==，那么lim n n a a →∞=。
2,，函数的极限的定义及求法，理解左右极限。
几个常用的极限 （1）：lim 1n n n →∞=；（2）：0||1lim ||1||1||1n n q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪∞>⎩；（3）1101100lim m m m m mn n x n n n m n b x b x bx b b m n a x b x ax a a m n---→∞-⎧<⎪++++⎪==⎨++++⎪⎪∞>⎩ ：无穷小与无穷大1，理解无穷大与无穷小之间的转换。
● 有限个无穷小之和、乘积都是无穷小。
● 有界量乘以无穷小是无穷小。
● 无穷大相乘是无穷大。
● 无穷大与无界相乘或相加都是无界。
第四节：极限的运算法则 设lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，则lim()n n n a b a b →∞+=+；lim()n n n a b ab →∞=；limn n na ab b →∞=，其中0,0n b b ≠≠。
一定要分清楚什么时候求极限和的时候可以用求和的极限的区别。
考研高数知识点总结
考研高数知识点总结一、函数、极限与连续1. 函数的概念与性质- 有界性- 奇偶性- 单调性- 周期性- 复合函数- 反函数2. 极限的定义与性质- 数列极限- 函数极限- 极限的四则运算- 极限存在的条件- 无穷小与无穷大的比较3. 连续函数- 连续性的定义- 间断点的类型- 连续函数的性质- 闭区间上连续函数的性质（确界存在定理、零点定理、介值定理）二、导数与微分1. 导数的定义- 概念与几何意义- 左导数与右导数- 高阶导数2. 导数的计算- 基本初等函数的导数 - 导数的四则运算- 链式法则- 隐函数求导- 参数方程求导3. 微分- 微分的定义- 微分的几何意义- 微分形式的变换三、中值定理与导数的应用1. 中值定理- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理2. 导数的应用- 函数的单调性- 函数的极值问题- 最值问题- 曲线的凹凸性与拐点 - 函数的渐近线四、积分1. 不定积分- 基本积分表- 换元积分法- 分部积分法- 有理函数的积分2. 定积分- 定义与性质- 微积分基本定理- 定积分的计算- 定积分的应用（面积、体积、弧长、工作量等）3. 积分技巧- 特殊技巧（三角函数的积分、积分区间的变换等） - 积分证明五、多元函数微分学1. 多元函数的基本概念- 定义域- 偏导数- 全微分2. 多元函数的极值问题- 偏导数与极值- 拉格朗日乘数法六、重积分1. 二重积分- 直角坐标系下的二重积分- 极坐标系下的二重积分- 积分的换元法2. 三重积分- 直角坐标系下的三重积分- 柱坐标系与球坐标系下的三重积分七、级数1. 数项级数- 收敛性的判别- 无穷级数的性质- 级数的运算2. 幂级数- 幂级数的收敛半径- 泰勒级数- 函数展开成幂级数八、常微分方程1. 一阶微分方程- 可分离变量的微分方程- 齐次微分方程- 一阶线性微分方程2. 二阶微分方程- 二阶线性微分方程- 常系数线性微分方程- 变系数线性微分方程九、傅里叶级数与变换1. 傅里叶级数- 三角级数- 傅里叶级数的收敛性- 正弦级数与余弦级数2. 傅里叶变换- 傅里叶变换的定义- 傅里叶变换的性质- 快速傅里叶变换（FFT）以上是考研高数的主要知识点总结。
(完整版)高等数学笔记
(完整版)高等数学笔记第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1。
函数的定义: y=f(x ）， x ∈D定义域： D(f ）, 值域: Z(f ）。
2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3。
隐函数： F(x,y ）= 04。
反函数： y=f （x) → x=φ(y ）=f —1(y ）y=f -1(x)定理:如果函数: y=f （x), D （f ）=X ， Z （f ）=Y 是严格单调增加（或减少）的； 则它必定存在反函数：y=f —1（x)， D （f —1）=Y, Z （f —1)=X 且也是严格单调增加（或减少）的。
㈡ 函数的几何特性1。
函数的单调性： y=f （x ），x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2)，则称f(x ）在D 内单调增加（ )；若f （x 1)≥f(x 2），则称f(x)在D 内单调减少( );若f(x 1）＜f （x 2)，则称f （x)在D 内严格单调增加( ）；若f(x 1)＞f （x 2)，则称f(x)在D 内严格单调减少（ ).2。
函数的奇偶性：D(f ）关于原点对称 偶函数：f(—x ）=f （x) 奇函数：f （-x ）=-f （x ） 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x ）, x ∈(-∞，+∞) 周期：T-—最小的正数4。
函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1。
常数函数： y=c ， (c 为常数）2.幂函数： y=x n， （n 为实数）3.指数函数: y=a x， （a ＞0、a ≠1） 4.对数函数： y=log a x ,（a ＞0、a ≠1） 5。
三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6。
反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x ， y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1。
考研数学高数知识点归纳
考研数学高数知识点归纳考研数学是众多考研科目中的重要一环，高等数学作为数学基础课程，其知识点广泛且深入。
以下是对考研数学高数知识点的归纳：一、函数、极限与连续性- 函数的概念、性质和分类- 极限的定义、性质和求法- 无穷小的比较和等价无穷小替换- 函数的连续性、间断点及其分类- 连续函数的性质和应用二、导数与微分- 导数的定义、几何意义和物理意义- 基本初等函数的导数公式- 高阶导数和隐函数的求导法则- 微分的概念、几何意义和应用- 导数的四则运算和复合函数的求导法则三、微分中值定理与导数的应用- 罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理- 泰勒公式和麦克劳林公式- 导数在几何上的应用，如曲线的切线、法线和弧长- 导数在物理上的应用，如速度、加速度和变力做功四、不定积分与定积分- 不定积分的定义和基本计算方法- 定积分的定义、性质和计算- 牛顿-莱布尼茨公式- 定积分在几何和物理上的应用，如面积、体积和功五、多元函数微分学- 多元函数的概念和极限- 偏导数和全微分- 多元函数的极值问题- 多元函数的泰勒展开六、重积分与曲线积分、曲面积分- 二重积分和三重积分的定义和计算方法- 曲线积分和曲面积分的计算- 格林公式、高斯公式和斯托克斯定理七、无穷级数- 常数项级数的收敛性判别- 幂级数和函数的泰勒级数展开- 函数项级数的一致收敛性- 傅里叶级数和傅里叶变换八、常微分方程- 一阶微分方程的求解方法，如分离变量法、变量替换法等- 高阶微分方程的求解，如常系数线性微分方程- 微分方程的物理背景和应用结束语：考研数学高数部分要求考生不仅要掌握基础概念和计算方法，还要能够灵活运用这些知识解决实际问题。
通过对上述知识点的系统学习和深入理解，考生可以为考研数学的高数部分打下坚实的基础。
希望每位考生都能在考研数学的征途上取得优异的成绩。
高等数学笔记(含数一内容)
隐函数求导
参数方程确定的函数求导
分段函数求导
先讨论关键点是否连续，确定连续后再判断函数各个部分是否可导。
求函数高阶导
一般使用数学归纳法解决。
微分
可微
定义：设y=f(x) (x∈D)，x₀∈D。若∆y=A∆x+৹(∆x)，则称f(x)在x=x₀处可微。
性质
可微一定可导，可导一定可微（充要条件）
若∆y=A∆x+৹(∆x)，则A=f'(x₀)，即dy∣₍x=x₀₎=f'(x₀)dx
二阶线性微分方程解的结构 齐+齐=齐 齐 + 非齐 = 非齐 非齐 + 非齐 = 齐 （拆解性质）对于方程**，若f(x)=f1(x)+f2(x)（即可拆成两部分），则分别构造两个二阶非齐次线性微分方程，且φ1(x)，φ2(x)分别为它们的特解，则 有原方程特解为：
y=φ1(x)+φ2(x) （系数和的特点）设φ1(x)，φ2(x)，...，φn(x)，为方程**的解，则通解的组合形式为y=k1φ1(x)+k2φ2(x)+...+knφn(x) 若y为方程*的通解，则k1+k2+...+kn=0（系数和为0） 若y为方程**的通解，则k1+k2+...+kn=1（系数和为1） （二阶常系数线性微分方程通解形式推导定理）
函数f(x)∈ c【a，b】的性质（函数在区间内恒连续）
性质1：∃最大值 M 和最小值 m （最值）； 性质2：∃M₀>0，使得∣f(x)∣≤M₀（有界）；
性质3： ∀η ∈【m，M】，∃ξ∈【a，b】，使得f(ξ)=η（介值定理）；
性质4：若 f(a)*f(b)<0，则∃c∈(a，b)，使得f(c)=0（零点定理）。 连续函数的运算
考研高数二全部知识点总结
考研高数二全部知识点总结一、多元函数微分学1. 多元函数的概念多元函数是指自变量有两个以上的函数。
在多元函数微分学中，需要掌握多元函数的定义、取值范围、图像等知识。
2. 偏导数偏导数是多元函数微分学的基础，偏导数的概念、性质、计算方法是高数二中的重点内容。
在复习过程中，需要重点掌握偏导数的计算方法，包括利用定义求偏导数、隐函数求导、高阶偏导数等内容。
3. 方向导数和梯度方向导数是用来表示函数在某一点沿着某一方向的变化率，梯度是方向导数的一种特殊情况，是多元函数在某一点的变化率最大的方向。
复习时需要掌握方向导数和梯度的定义、性质、计算方法等知识点。
4. 隐函数与参数方程在高数二中，隐函数与参数方程是重要的内容，需要掌握隐函数的存在性与偏导数求法、参数方程的导数、相关方程的结论等知识点。
5. 全微分全微分是多元函数微分学中的重要概念，包括全微分的定义、性质、计算方法等内容，需要在复习过程中重点掌握。
6. 泰勒公式泰勒公式是多元函数微分学中的重要内容，需要掌握泰勒公式的一阶、二阶、多元泰勒公式等内容。
二、多元函数积分学1. 重积分重积分是多元函数积分学的重要内容，包括重积分的定义、性质、计算方法等内容。
复习时需要重点掌握二重积分、三重积分的计算方法，包括直角坐标系下的积分、极坐标系下的积分、柱坐标系下的积分等内容。
2. 曲线、曲面积分曲线积分和曲面积分是高数二中的难点内容，需要复习时掌握曲线积分和曲面积分的定义、性质、计算方法等知识。
3. 格林公式格林公式是多元函数积分学中的重要内容，复习时需要掌握格林公式的定义、性质、应用等知识点。
4. 散度和旋度在多元函数积分学中，散度和旋度是重要的内容，需要掌握散度和旋度的定义、性质、计算方法等知识。
5. 曲线积分公式和斯托克斯定理曲线积分公式和斯托克斯定理是多元函数积分学中的重要内容，需要复习时掌握曲线积分公式和斯托克斯定理的定义、性质、应用等知识点。
总结：多元函数微分学和多元函数积分学是高数二的重要内容，在复习高数二的过程中，需要掌握多元函数微分学和多元函数积分学的全部知识点，包括偏导数、方向导数、梯度、全微分、泰勒公式、重积分、曲线、曲面积分、格林公式、散度和旋度、曲线积分公式和斯托克斯定理等内容。
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第一章函数、极限、连续第1节 函数a) 反函数和原函数关于y=x 对称。
b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。
c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。
d)2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘积还是偶函数。
(k=0,1,2......)。
e)如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|。
f)基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。
g)一切初等函数在其定义域内都是连续的。
第2节 极限a) 左右极限存在且相等⇔极限存在。
b)如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中0=(x)ɑlim 0x x →。
（等价无穷小）c)极限存在⇔极限唯一。
（极限唯一性）d) A x =→)(f lim 0x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。
（保号性）e)函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U内f(x)有界。
（有界性）f)当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A nlim(f(x)^g(x))=A b（极限的四则运算）g)有限个无穷小之和仍然是无穷小。
有限个无穷小之积仍然是无穷小。
无穷小和有界量乘积仍然是无穷小。
h) )()(lim x g x f =li.l=0，f(x)=o(g(x)).ii. l=∞，f(x)是g(x)低阶.iii.0<l<∞或-∞<l<0，l ≠1，同阶.iv. l=1，等价无穷小，记作f(x)~g(x).特别的，如果kx g x f )]([)(lim=l(l ≠0)，则称f(x)是g(x)的k 阶无穷小。
i) 等价无穷小代换：x →0时，x ~sinx ~tanx ~arcsinx ~arctanx ~e x -1~ln(1+x)1-cosx ~21x 2 =》1-cos αx ~2αx 2x1+-1~21x =》α)x 1(+-1~αxtanx-x ~313xx-sinx ~613x特殊的，x →0时a x -1~xlnaj) 只有因子才能进行等价无穷小的代换。
k)要注重推广形式。
例如【x →0时，x ~sinx 】，如果当x →x 0时，f(x)→0，那么将原式中x 换成f(x)也成立。
l)求极限的方法：i.利用函数的连续性（极限值等于函数值）。
利用极限的四则运算性质。
ii. 抓头公式（处理多项式比值的极限）。
1. 抓小头公式。
（x →0）2.抓大头公式。
（x →∞）（分子分母同除最高次项）（极限为【最高次项的系数比】）iii.两个准则：1. 夹逼准则2.单调有界必有极限iv. 两个重要极限：1.xsinx limx →=1 （利用单位圆和夹逼准则进行证明）2.e xx=+∞→)11(lim xe =+→x10x )x 1(lim （利用单调有界准则进行证明） 口诀：倒倒抄。
（结合抓头公式）v.无穷小的运算性质、等价无穷小的代换1. 有限个无穷小之和为无穷小。
有限个无穷小之积为无穷小。
无穷小与有界量乘积为无穷小。
2. 12种等价无穷小的代换。
vi. 左右极限：求分段函数分段点的极限值。
vii.利用导数的定义求极限。
导数定义：增量比，取极限。
构造出“增量比”的形式，则极限就是导数。
viii. 定积分的定义求极限。
（处理多项求和的形式） ix. 泰勒公式1. 泰勒公式中系数表达式：f (f )(f 0)f !(f −f 0)f2.当f 0=0的时候，泰勒公式则称为麦克劳林公式。
常用的麦克劳林公式：e xsinx cosx ln(x+1)(1+x)mx.洛必达法则使用前提：（1）分子分母都趋向于0。
（2）分子分母的极限都存在。
（3）分子分母导数的比值为一个定值或为无穷。
第一层次00∞∞第二层次0*∞：转换成00或∞∞∞-∞：通分化为00（常用换元的方法求解） 第三层次1∞∞000使用f ff 进行转化。
第3节 连续与间断a)连续某点：极限值=函数值 函数在该点连续开区间：在该区间中每个点都是连续的，则在开区间连续。
闭区间：开区间连续切在端点连续b)间断第一类间断点（左右极限都存在） 可去间断点：左右极限相等跳跃间断点：左右极限不相等第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）无穷间断点：因趋于无穷而造成的不存在。
振荡间断点：因振荡而不存在。
c)初等函数的连续性i.基本初等函数在相应的定义域内连续。
ii.区间I上的连续函数做四则运算形成的新函数在I上仍然是连续函数。
iii.连续函数经过有限次的复合仍为连续函数。
iv.原函数连续且单调，反函数必为连续且单调。
v.一切初等函数在相应定义区间内连续。
d)闭区间连续函数的性质如果f(x)在[a,b]连续，则：1.f(x)在[a,b]有界。
2.有最大最小值3.介值定理4.零点定理：f(a)*f(b)<0，a、b之间必有零点。
第二章一元函数微分学第1节导数与微分1导数a)导数定义：增量比，取极限。
b)左导数和右导数存在且相等 导数存在c)函数在某点的导数值即函数在该点的切线的斜率。
d)导数的物理意义：对路程函数中的t求导为瞬时速度.etce)导数的经济意义：边际成本、边际收益、边际利润。
f)函数的相对变化率（弹性）：f f∗f′(f)g)可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。
h)偶函数的导数是奇函数。
2微分微分定义：自变量?x沿着切线方向的增量?y。
3求导法则a)导数微分表（4组16个）。
b)导数的四则运算。
c)反函数的导数：原函数导数的倒数。
d)复合函数求导法则。
e)参数方程求导：dydx =dydt/fffff)隐函数求导：左右两侧同时求导，y当作x的函数处理。
g)对数求导法i.幂指函数：先将等式两边同时化为ln的真数，再运用隐函数求导法则。
ii.连乘函数：先将等式两边同事化为ln的真数，变成连加，再运用隐函数求导法则。
4 高阶导数a) 莱布尼茨公式：[u (x )v (x )](f )=∑f f f f f =0f (f )(f )f (f −f )(f ) b) 反函数的二阶导数：−f ′′(f )[f ′(f )]3c)参数方程的二阶导数：f ′′f ′−f ′f ′′(f ′)3第2节 微分中值定理1 罗尔中值定理条件：（1）f(x)在[a,b]连续。
（2）f(x)在(a,b)可导。
（3）f(a)=f(b)。
结论：在a 和b 之间必有一个值f 使得f ’(f )=0。
几何意义：在该条件下的函数，必可在在其区间内找到一点使得切线斜率为0。
引申---费马引理y=f(x)，若x 0为y=f(x)的极值点，则f ’(x 0)=0。
2 拉格朗日中值定理条件：（1）f(x)在[a,b]连续。
（2）f(x)在(a,b)可导。
结论：在a 和b 之间必有一个值f 使得f ’(f )=f (f )−f (f )f −f。
几何意义：在该条件下的函数，必可在其区间内找到一点使得切线斜率与端点连线斜率相等。
拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广。
证明：使用曲线减去两端点连线得出一个函数，再对该函数应用罗尔中值定理。
使用该定理的信号：要求证的式子中有一个端点处函数值之差。
3柯西中值定理条件：（1）f(x)、g(x)在[a,b]连续。
（2）f(x)、g(x)在(a,b)可导。
且g’(x)≠0结论：在a和b之间必有一个值f使得f′(f)f′(f)=f(f)−f(f)f(f)−f(f)。
柯西中值定理是拉格朗日中值定理推广。
证明：使用参数方程，将f(x)和g(x)作为参数表示。
证明过程与拉格朗日中值定理相同。
使用该定理的信号：要求证的式子中有两个端点处函数值之差。
4泰勒中值定理泰勒中值定理即带有拉格朗日余项的泰勒公式。
f(f)=∑f(f)(f0)f!(f−f0)f+f(f+1)(f)(f+1)!(f−f0)f+1∞f=0拉格朗日中值定理是带有拉格朗日余项的泰勒中值定理的特例。
使用该定理的信号：高阶导数。
使用方法：（1）确认n的取值，一般根据高阶导数的阶数选取。
（2）确认x0的取值，一般选取题中已知导数值的点。
（3）确认x的取值，一般为题中所给已知值的点或端点和极值点。
第3节微分学的应用1单调性、极值单调性：f’(x)>0的区间，f(x)单调增的区间；f’(x)<0的区间，f(x)单调减的区间。
极值：极值点和导数为零的点没有充要条件关系。
可导函数的极值点，对应的导数值为0。
（费马引理）驻点（导数为0的点）不一定是极值点。
第一判定法：若在f0的邻域内，f0左右导数异号，则f0是一个极值点。
第二判定法：f0为驻点，且在f0处，f(x)的二阶导数存在。
通过二阶导数的符号进行判定。
2最值（闭区间）最值可能出现在（1）极值点（2）区间端点。
3凹凸、拐点凹凸：视觉定位：俯视凹函数：f(f1+f22)≤f(f1)+f(f2)2凸函数：f(f1+f22)≥f(f1)+f(f2)2凹函数：f ’’(x)>0 凸函数：f ’’(x)<0拐点：可能出现在f ’’(x)=0或f ’’(x)不存在的点，但不一定是。
4 渐近线水平渐近线：当f(x)趋向于∞时，极限存在，则该极限为水平渐近线。
铅直渐近线：当f(x)趋向于f 0时，极限趋向于∞，则f 0为该函数的铅直渐近线。
斜渐近线：当f(x)趋向于∞时，f(x)-(kx+b)=0，则(kx+b)为该函数的斜渐近线。
其中，k=f (f )f ，b=lim f →∞[f (f )−ff ]。
5 函数图像的描绘利用极值点、拐点、与坐标轴交点、单调性、凹凸性、渐近线进行描绘。
6 曲率弧微分：ds=√1+[f ′(f )]2ff 曲率即：角度在单位弧长的变化。
曲率：K=ff ff =ff /ff ff /ff=|f ′′|[(1+(y ′)2]32曲率半径：ρ=1f曲率圆：从弧上某点出发，向凹侧沿法线方向移动ρ的长度，即得到曲率圆的圆心。
第三章一元函数积分学第1节不定积分(一)定义’(x)=f(x)，称F(x)为f(x)的原函数。
[F(x)+C]’=f(x)，称F(x)+C为f(x)的原函数组。
2.∫f(f)ff=f(f)+f为f(x)的不定积分。