5.2菱形(2)
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5．2菱形(二)1．下列命题中，是真命题的是(B)A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直的四边形是菱形(第2题) 2．如图，有下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.添加一个条件，能使▱ABCD是菱形的有(A)A．①或③B．②或③C．③或④D．①或②或③(第3题)3．如图，小红在作线段AB 的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的线段长为半径画弧，分别交于点C ，D ，则直线CD 即为所求．连结AC ，BC ，AD ，BD ，根据她的作图方法可知，四边形ADBC 一定是(B )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形4．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF .若AB ＝3，则BC 的长为．(第4题)(第5题)5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分腰AB .若AC ＝CD ，AB ∥CD ，则∠A 的度数为__120°__．【解】 提示：连结AD ，BD .6．在矩形ABCD 中，AD ＝3AB ，点G ，H 分别在AD ，BC 上，连结BG ，DH .若BG ∥DH ，则当AGAD 为何值时，四边形BHDG 为菱形？(第6题)【解】 ∵四边形BHDG 为菱形， ∴BG ＝DG .设AB ＝x ，则AD ＝3x . 设AG ＝y ，则BG ＝GD ＝3x －y . 在Rt △AGB 中， ∵AG 2＋AB 2＝BG 2，∴y 2＋x 2＝(3x －y )2，解得y ＝43x .∴AG AD ＝y 3x ＝43x3x ＝49. 7．在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，G ，H 分别是BD ，AC 的中点，当AB ，CD 满足什么条件时，四边形EGFH 是菱形？请证明你的结论．(第7题)【解】 当AB ＝CD 时，四边形EGFH 是菱形． 证明如下：∵E ，G 分别是AD ，BD 的中点， ∴EG 平行且等于12AB .同理，HF 平行且等于12AB ，EH 平行且等于12CD .∴EG 平行且等于HF .∴四边形EGFH 是平行四边形． ∵EG ＝12AB ，EH ＝12CD ，AB ＝CD ，∴EG ＝EH ，∴▱EGFH 是菱形．(第8题)8．如图，E ，F ，G ，H 分别是BD ，BC ，AC ，AD 的中点，且AB ＝CD .有下列结论：①EG ⊥FH ；②四边形EFGH 是矩形；③HF 平分∠EHG ；④EG ＝12(BC －AD )；⑤四边形EFGH 是菱形．其中正确的个数是(C )A. 1B. 2C. 3D. 4【解】 ∵E ，F ，G ，H 分别是BD ，BC ，AC ，AD 的中点， ∴EF ＝12CD ，FG ＝12AB ，GH ＝12CD ，HE ＝12AB .∵AB ＝CD ，∴EF ＝FG ＝GH ＝HE ， ∴四边形EFGH 是菱形，故⑤正确． ∴EG ⊥FH ，HF 平分∠EHG ，故①③正确． ②④无法证明．综上所述，正确的个数是3.(第9题)9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥AB于点D，与BF交于点G，GE∥AC.求证：CE与FG互相垂直平分．【解】∵BF平分∠ABC，∴∠CBF＝∠ABF.∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠CBF＋∠BFC＝90°，∠ABF＋∠BGD＝90°，∴∠BGD＝∠BFC.∵∠BGD＝∠CGF，∴∠BFC＝∠CGF，∴CG＝CF.∵GE∥AC，∴∠BFC＝∠EGF，∴∠CGF＝∠EGF，∴∠BGC＝∠BGE.又∵BG＝BG，∠CBF＝∠ABF，∴△BGC≌△BGE(ASA)．∴CG＝EG.∴CF＝GE.又∵GE∥CF，∴四边形CGEF是平行四边形．又∵CG＝EG，∴四边形CGEF是菱形，∴CE与FG互相垂直平分．(第10题)10．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，过点A 作AF ∥BC 交DE 的延长线于点F ，取AF 的中点G ，连结DG .若BC ＝2AB ，求证：(1)四边形ABDF 是菱形． (2)AC ＝2DG .【解】 (1)∵D ，E 分别是边BC ，AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB ，DE ＝12AB .∵AF ∥BC ，∴四边形ABDF 是平行四边形． ∵BC ＝2AB ，BC ＝2BD ， ∴AB ＝BD .∴▱ABDF 是菱形． (2)∵四边形ABDF 是菱形， ∴AF ＝AB ＝DF .∵DE ＝12AB ，∴EF ＝12AF .∵G 是AF 的中点． ∴GF ＝12AF ，∴GF ＝EF .又∵∠F ＝∠F ，∴△FGD ≌△FEA (SAS )．∴DG ＝AE . ∵AC ＝2AE ，∴AC ＝2DG .11．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12 cm，点P从点A出发沿AB以2 cm/s 的速度向点B运动，同时点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点A运动，设运动时间为t(s)(0＜t＜6)．(1)直接写出线段AP，AQ的长：AP＝__2t__，AQ＝6－t(用含t的代数式表示)．(2)设△APQ的面积为S，写出S与t的关系式．(3)如图②，连结PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．(第11题)【解】(1)∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°.又∵AB＝12 cm，∴AC＝6 cm.由题意，得AP＝2t，AQ＝6－t.(2)过点P作PH⊥AC于点H.在Rt△APH中，∵∠A＝60°，∴∠HP A＝30°.∵AP＝2t，∴AH＝t.∴PH＝3t.∴S ＝12AQ ·PH ＝12(6－t )×3t ＝－32t 2＋33t (0<t <6)．(3)存在．过点P 作PM ⊥AC 于点M . 由(2)可知，AM ＝12AP ＝t ，∴QC ＝AM ，∴AQ ＝CM .当四边形PQP ′C 为菱形时，PC ＝PQ ，此时CM ＝MQ ，∴AQ ＝CM ＝MQ ＝13AC ＝2 cm ，此时6－t ＝2，解得t ＝4，即当t ＝4时，四边形PQP ′C 是菱形．初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
浙教初中数学八年级下册《5.2 菱形》word教案 (2)
6.2 菱形(1)【教学目标】1.经历菱形的概念、性质的发现过程2.掌握菱形的概念3.掌握菱形的性质定理“菱形的四条边都相等”4.掌握菱形的性质定理“菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角”5.探索菱形的对称性【教学重点、难点】重点：菱形的性质．难点：菱形的轴对称需要用折叠和推理相结合的方法,是本节的教学难点．【教学过程】一. 引入: 用多媒体显示下面的图形观察以下由火柴棒摆成的图形议一议: (1)三个图形都是平行四边形吗?(2) 与图一相比,图二与图三有什么共同的特点?目的是让学生经历菱形的概念,性质的发现过程,并让学生注意以下几点:(1)要使学生明确图二、图三都为平行四边形(2)引导学生找出图二、图三与图一在边方面的差异二. 新课: 把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.再用多媒体教科书中有关菱形的美丽图案,让学生感受菱形具有工整,匀称,美观等许多优点.菱形也是特殊的平行四边形,所以它具有一般平行四边形的性质外还具有一些特殊的性质.定理1:菱形的四条边都相等这个定理要求学生自己完成证明,可以根据菱形的定义推出,课堂上只需让学生说说理由就可以了,不必写证明过程.定理2: 菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.已知:在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。
求证:AC ⊥ BD ,AC平分∠BAD 和∠BCD ，BD平分∠ABC和∠ADC分析：由菱形的定义得△ABD是什么三角形？BO与OD有什么关系？根据什么？由此可得AO与BD有何关系？∠BAD有何关系？根据什么？证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD（菱形的定义）ODCBABO=OD （平行四边形的对角线互相平分）∴AC ⊥BD ， AC 平分∠BAD （等腰三角形三线合一的性质）同理，AC 平分∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC∴对角线AC 和BD 分别平分一组对角由定理2可以得出菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴。
浙教版数学八年级下册《5.2 菱形》教学设计2
浙教版数学八年级下册《5.2 菱形》教学设计2一. 教材分析《5.2 菱形》是浙教版数学八年级下册第五章第二节的内容。
本节内容主要介绍菱形的定义、性质及判定方法。
菱形是几何学习中一个重要的概念，它不仅在日常生活中有广泛的应用，而且是学习其他几何图形的基础。
通过学习菱形，学生可以加深对平行四边形性质的理解，为后续学习正方形和矩形打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了平行四边形的性质，具有一定的几何思维能力和观察能力。
但部分学生对抽象的几何概念理解不够深入，尤其是对菱形的判定方法，需要老师在教学中加以引导和启发。
三. 教学目标1.理解菱形的定义和性质，能熟练运用菱形的性质解决实际问题。
2.掌握菱形的判定方法，能运用判定方法判断一个四边形是否为菱形。
3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力，提高学生解决几何问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：菱形的定义、性质和判定方法。
2.教学难点：菱形判定方法的灵活运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究菱形的性质和判定方法。
2.运用直观演示法，让学生通过观察和动手操作，加深对菱形性质的理解。
3.采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备多媒体教学课件，包括菱形的图片、动画和实例。
2.准备实物模型，如菱形纸片、剪刀等。
3.准备练习题和测试题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的菱形物体，如蜂巢、骰子等，引导学生关注菱形在生活中的应用。
提问：“你们对这些菱形物体有什么观察和思考？”从而引出本节课的主题——菱形。
2.呈现（10分钟）介绍菱形的定义和性质，通过动画演示和实物模型展示，让学生直观地理解菱形的特征。
同时，引导学生发现菱形与平行四边形的联系和区别。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用菱形的性质和判定方法，判断给出的四边形是否为菱形。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
【最新】浙教版八年级数学下册第五章《5.2 菱形(第二课时)》精品课件.ppt
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确 地剪出一个菱形的纸片？
将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线 剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
（1）剪出的这个图形是哪一种四边形？ 一定是菱形吗？为什么？
（2）根据折叠、裁剪的过程，这个四边形的边 有什么性质，对角线有什么性质？
H
F
A
E
B
如图， ABCD中的两条对角线AC，BD
相交于点O，AB= 5 ，AO=2，DB=1。
（1）AC与BD垂直吗？为什么？
（2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
D
A
C
O
B
返回
求证：有一条对角线平分一个内角的 平行四边形是菱形
D
A1
C
2
B
返回
如果DF、EF是△ABC的两条中位线，我们探究的 问题是：这两条中位线和三角形的两条边所围成的 四边形的形状与原三角形的形状有什么关系， 建议按以下步骤探索：
B
A
A’
C
画一个菱形，使它的两条对角线的长 分别为4cm和6cm。
D
4cm
A
o 6cm
C
B
例2 如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直 平分线与边AD，BC分别交于点E，F。 求证：四边形AFCE是菱形。
A
E
D
1
o
2
B
F
C
菱形的判定：
文字语言
图形语言
判定
四边相等的
A
D
法一 四边形是菱形 B
C
❖
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/16
浙教版八年级数学下册：5.2菱形(第2课时)
分析：（1）从菱形的判定方法入手思考； （2）计算各方案的面积时，方案一：矩形的面 积减去4个直角三角形的面积；方案二：先求出 边长BE，利用勾股定理列式求解.
解：（1）小颖的理由：依次连结矩形各边的中 点所得到的四边形是菱形. 小芳的理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，则∠DAC=∠ACB. 又∵∠CAE=∠CAD， ∠ACF=∠ACB，∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB， ∴AE=EC=CF=FA，∴四边形AECF是菱形.
正答：四边形ABCD、BFDE是矩形， ∴BM∥DN，DM∥BN， ∴四边形BNDM是平行四边形. 又∵AB=BF=ED，∠A=∠E=90°，∠AMB=∠EMD， ∴△ABM≌△EDM， ∴BM=DM， ∴四边形BNDM是菱形. 错因：误以为有一组邻边相等的四边形就 是菱形. 根据菱形的判定方法，有一组邻边相 等的平行四边形才是菱形. 因此还须证明四边 形BNDM是一个平行四边形.
解：（1）B （2）根据题意可知△CDE≌△C′DE，则CD=C′D， ∠CDE=∠C′DE，CE=C′E. ∵AD∥BC， ∴∠C′DE=∠CED. ∴∠CDE=∠CED，∴CD=CE， ∴CD=C′D=C′E=CE， ∴四边形CDC′E为菱形. 注意点：在判定一个四边形是菱形时，思路一是 先证明四边形是平行四边形，再说明有一组邻边 相等或者说明对角线垂直；思路二是证明四条边 相等或对角线互相垂直平分.
折出来的菱形 例3 动手操作：在一张长12cm，宽5cm的矩形纸 片内，要折出一个菱形，小颖同学按照取两组对 边中点的方法折出菱形EFGH（方案一），小芳同 学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD， ∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二）. （1）你能说出小颖、小芳所折出的菱形的理由 吗？ （2）请你通过计算，比较小颖和小芳同学的折 法中，哪种菱形面积较大？
八年级数学下册 5.2 菱形课件2 (新版)浙教版
第一页，共18页。
(qíngjǐng)
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，
创 情 因此平行四边形除具有四边形的性质外， 设 景 还有它的特殊性质，同样对于平行四边形
来说有特殊情况即特殊的平行四边形，我 们已经研究了一种特殊的平行四边形—— 矩形 ；这堂课还要研究另一种特殊的平
行四边形——菱形
两组对边
平行
分别(fēnbié)平四行边形
矩形 (jǔxín g)
菱形
第二页，共18页。
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变 (gǎibiàn)边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中， 哪些关系没变？哪些关系变了？
平行四边形
邻边相等 (xiāngděng)
菱形 (línɡ xínɡ)
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这
2.菱形(línɡ xínɡ)ABCD中
∠ABC＝60度6，0度则∠BAC＝
D
_3、__菱__形_的_.两条对角线长分别为6cm和8cm， 3
则菱形的边长是（ ） C
A4O C
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
B
第十二页，共18页。
D
A
O
C
怎样判断一个(yī ɡè)四边形是菱形B呢?
四边形AEDF是菱形吗?为什么?
A
E 12
B
第十五页，共18页。
3
D
F C
课堂(kètáng)反 1思.你的收获(shōuhuò)是什么？你的困惑是什么？
第十六页，共18页。
四边形集合 平行四边形集合 菱形集合 矩形集合
第十七页，共18页。
第十八页，共18页。
(角xi：āngděn∠gA)的OB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
浙教版数学八年级下册5.2《菱形》教学设计2
浙教版数学八年级下册5.2《菱形》教学设计2一. 教材分析《菱形》是浙教版数学八年级下册第五章第二节的内容，这一节主要介绍菱形的性质和判定方法。
学生在学习这一节之前，已经掌握了平行四边形的性质和判定方法，为本节内容的学习打下了基础。
菱形既是平行四边形的一种特殊形式，也是后续学习正多边形和圆的基础。
因此，本节内容在教材中起到了承上启下的作用。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于平行四边形的性质和判定方法有一定的了解。
但是，对于菱形的性质和判定方法，他们可能还需要进一步的引导和探究。
此外，学生可能对于菱形的实际应用场景有所欠缺，需要教师在教学中进行补充。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握菱形的性质和判定方法，能够识别和应用菱形。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们的合作精神和探索精神。
四. 教学重难点1.重点：菱形的性质和判定方法。
2.难点：菱形性质的证明和应用。
五. 教学方法1.引导探究法：教师引导学生通过观察、操作、猜想、验证等方法，自主探究菱形的性质和判定方法。
2.案例分析法：教师通过具体的案例，引导学生理解和应用菱形的性质。
3.合作交流法：学生分组进行合作，分享学习心得和经验，共同解决问题。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、菱形模型、直尺、圆规等。
2.学具：学生手册、笔记本、笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过多媒体课件，展示一些生活中的菱形图形，如蜂巢、骰子等，引导学生关注菱形的存在。
然后提出问题：“什么是菱形？它有哪些性质和判定方法？”从而引出本节课的主题。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示范，介绍菱形的性质和判定方法。
引导学生观察菱形的对角线、四条边等特征，总结出菱形的性质。
同时，给出菱形的判定方法，让学生理解并掌握。
3.操练（10分钟）学生分组进行合作，利用菱形模型和工具，自己动手操作，验证菱形的性质。
5.2 第2课时 菱形的判定
全效学习 学案导学设计
填要点 ·记疑点
探要点 ·究所然
当堂测 ·查遗缺
填要点·记疑点
1．菱形的判定定理 四边形 是菱形． 定理1：四条边都相等的__________ 注意：运用时只需要将“四边形”加上“四条边都相等”
即可，不需要“平行四边形”作为条件．
2．菱形的判定定理 互相垂直 的平行四边形是菱形． 定理2：对角线___________ 注意：此定理的运用条件是“平行四边形”加上“对角 线互相垂直”． 说明：菱形的定义也可作为菱形判定的方法．
∴△BOE≌△DOF；
(2)当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形． 证明： 如答图，连结AF，EC. ∵四边形ABCD是矩形，
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例2答图
填要点 ·记疑点
探要点 ·究所然
当堂测 ·查遗缺
∴OA＝OC. ∵△BOE≌△DOF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形． 又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．
填要点 ·记疑点
探要点 ·究所然
当堂测 ·查遗缺
第2课时 菱形的判定
全效学习
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学案导学设计
填要点 ·记疑点
探要点 ·究所然
当堂测 ·查遗缺
【明目标、知重点】1.能根据菱形的定义判定菱形；2.掌 握菱形判定定理“四条边都相等的四边形是菱形”；3.掌握 菱形判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”．
全效学习 学案导学设计
填要点 ·记疑点
探要点 ·究所然
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【点悟】(1)根据平行四边形、矩形、菱形等性质挖掘全 等条件是证明三角形全等的关键；(2)判定菱形的方法之 一：先证明是平行四边形，再证明对角线垂直．