悬臂梁系统的脉冲控制

第３２卷第２期　、，ｏｌ－３２　Ｎｏ．２　辽宁工程技术大学学报（自然科学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｌｉａｏｎｉｎｇ　Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　２０１３年２月　

Ｆｅｂ．　２０ｌ３　文章编号：１００８．０５６２ｆ２ｏ１３）ｏ２．０２４１—０４　

悬臂梁系统的脉冲控制　

李红武，李鑫　（南阳师范学院数学与统计学院，河南南阳４７３０６１）　摘要：为解决悬臂梁碰撞系统的混沌控制问题，利用脉冲微分系统理论和数值模拟技术，对悬臂粱系统的混沌　控制进行了研究．结果表明：当悬臂梁碰撞系统出现混沌现象时，若在满足一定条件的时间点上对该系统施加脉　冲信号，系统的混沌状态将会得到有效控制．利用龙格一库塔方法对施加了脉冲信号的系统进行了数值模拟，模拟　结果表明：在固定时间点处系统的混沌状态得到了有效控制，验证了脉冲控制方法的可行性与有效性．该方法对　研究建筑物的动力学行为具有一定的参考价值．　关键词：混沌控制；悬臂梁系统；非光滑系统；分岔；脉冲微分系统；脉冲控制；龙格一库塔方法；数值模拟　中图分类号：Ｏ　２２１　文献标志码：Ａ　

Ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒ　ｂｅａｍ　ｓｙｓｔｅｍ　ＬＩ　Ｈｏｎｇｗｕ．Ｌｉ　Ｘｉｎ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｎａｎｙａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｙａｎｇ　４７３０６１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｔｈｅ　ｃｈａｏｓ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｎ　ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒ　ｂｅａｍ　ｓｙｓｔｅｍ，ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａ１　ｓｙｓｔｅｍ　ａｎｄ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｍｅｔｈｏｄ．ｔｈｅ　ｃｈａｏｓ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｎ　ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒ　ｂｅａｍ　ｓｙｓｔｅｍ　ｉＳ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｓｔｕｄｙ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｃｈａｏｓ　ｏｃｃｕｒｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒ　ｂｅａｍ　ｓｙｓｔｅｍ．ａｔ　ｔｈｅ　ｔｉｍｅ　ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ　ｓｏｍｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｉｆ　ｔｈｅ　ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ　ｓｉｇｎａｌｓ　ａｒｅ　ｉｎｐｕｔ　ｉｎｔｏ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ，ｔｈｅ　ｃｈａｏｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｃａｎ　ｂｅ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ．Ｉｎ　ａｄｄｉｔｉｏｎ，　ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｉｓ　ｃｏｎｄｕｃｔｅｄ　ｕｓｉｎｇ　Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｌｓｏ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｃｈａｏｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｉｓ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ　ｏｎ　ａ　ｃｅｒｔａｉｎ　ｔｉｍｅ．ｗｈｉｃｈ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｓ　ｔｈｅ　ｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙ　ａｎｄ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｕｓｅｆｕｌ　ｆｏｒ　ｆｕｔｕｒｅ　ｓｔｕｄｙ　ｏｎ　ｂｕｉｌｄｉｎｇｓ’ｄｙｎａｍｉｃ　ｂｅｈａｖｉｏｒ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｃｈａｏｓ　ｃｏｎｔｒｏｌ；ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒ　ｂｅａｍ　ｓｙｓｔｅｍ；ｎｏｎ－ｓｍｏｏｔｈ　ｓｙｓｔｅｍ；ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ；ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｓｙｓｔｅｍ；　ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ；Ｒｕｎｇｅ．Ｋｕｔｔａ　ｍｅｔｈｏｄ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　

混沌控制与混沌同步是动力学研究的热点和　难点问题．混沌控制与混沌同步的方法很多：周期激　励控制法、常数激励控制法、随机噪声控制法、延　迟反馈控制法［１】、自适应控制法【２　４。、连续变量反馈　法、脉冲变量反馈法等．脉冲控制法以其控制所需能　量少，响应速度快，较强的抗噪声能力和鲁棒稳定　性，特别适用于经不起长期外部信号作用或外部信　号昂贵的项目．脉冲控制是在某些时间点上给系统　以外部控制信号，使得系统在极短时间内出现突然　的改变或干扰，从而使系统的运动状态发生改变．　脉冲信号作用下的动力系统总体上来说属于　一种非光滑系统，它会使系统的运动方程发生突然　的跳跃．冯进钤【５Ｊ利用Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ多项式研究了带有　约束的随机Ｄｕｆｆｉｎｇ系统的倍周期分岔问题，王林　

泽［　利用外加正弦驱动抑制了一类分段光滑系统的　混沌，Ｅｍａｎｓ［　考察了图１中一类带悬臂梁的碰振　

．．　季　＜　７—　图１悬臂梁碰撞系统　Ｆｉｇ．１　ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒ　ｂｅａｍ　ｓｙｓｔｅｍ　

收稿日期：２０１２．０８．２０　基金项目：河南省自然科学基金资助项目（１０２３００４１０２１９）；河南省教育厅自然科学基金资助项目（２０１０Ｂ１１００１８）　作者简介：李红武（１９７８－），男，河南淅川人，讲师，主要从事系统分析与应用数学方面研究．　本文编校：曾繁慧　

ｇ　

，ｌ１一口　２４２　辽宁工程技术大学学报（自然科学版）　第３２卷　系统的分岔与混沌，用非线性和线性两种不同的方　法来描述系统的恢复力．脉冲控制方法以其独特的　优点，受到了众多学者的青睐：Ｙａｎｇ　ｌｊＪ等通过建　立脉冲系统的稳定性比较定理来判断系统是否是　稳定的，从而断定系统能否利用脉冲方法实现稳定　控制或者实现同步，为脉冲控制及同步理论奠定了　基础，大大推动了脉冲微分系统的发展．本文在此基　础上考察见图１悬臂梁碰撞系统的混沌控制问题．　见图１：长方体的质量为　悬臂梁的长度为　，　悬臂粱的弯曲弹性系数为　，弹簧的弹性系数为ｋ．Ｍ　受到大小为Ｆ（ｔ＇）＝　ＣＯＳ（６０ｔ１的激励，　的位移为　Ｘ，Ｍ与弹性支撑面的距离为ｇ．该系统广泛存在于现　实生活中，最常见的，该系统可作为建筑物的模拟，　用于研究建筑物的动力学行为．文献［７，１４］考察了参　数变化对系统动力学行为的影响，并发现了该系统　的混沌吸引子．本文将在上述文献基础上，考察该悬　臂梁系统的脉冲控制问题，在满足Ｘ≥ｇ时，对系　统施加外部脉冲控制信号，将系统由混沌状态控制　到周期运动状态．　１　悬臂梁系统的分岔与混沌　悬臂梁｛亚瑾系统满足如卜刀程　＾　＋ｃ文＋　（　）＋　Ｈ（　）（　—ｇ）＝Ｆ０　ｃｏｓ（ｃｏｔ），（１）　式中，ｃ是内部弹性系数，　）是Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ步函数，　）＝　．　恢复力Ｓ（ｘ１描述为非线性形式，　厂（　）＝丁１２ＥＩ　＋　４３２　ＥＩ　３・　于是，式（１）可描述为一阶微分方程组　Ｉ　＝ｚ，　ｃｏｓ（　一（　＋　刮　）　２　

式中，　＝　ｘ，　：　ｃ，

６＝　，　＝　ｋ

Ｙ　，　＝　，季＝寺・’ｇ　‘　

文献［７，１４］发现了系统的混沌吸引子，当参数取　ａ＝０．０３８，季＝０．６，ｅ＝２０．０，　＝０．４２，０．５≤ｄ≤１．５　时，画出关于参数ｄ的分岔图，见图２．　

图２式（２）的分岔　Ｆｉｇ．２　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ｄｉａｇｒａｍ　ｏｆ　ｓｙｓｔｅｍ（２）　取ｄ＝１．３，画出相应的相图和时间历程图，见图３，　系统处于混沌运动状态．　由于混沌及其复杂性和特有的“蝴蝶效应”，　往往会导致系统运动状态的不可预测性，可能导致　系统失控，甚至是彻底崩溃．在这种情况下，抑制混　沌，使系统运行到各种正常的有序状态，这就是混　沌控制的最初设想．下面将采用脉冲控制方法，将系　统由混沌运动状态控制到规律的周期运动状态．　

．２　—１．５　．１　．０．５　０　０．５　１　ＪＵＵ　ｊ）　Ｘ　ｆａ１相图　图３式（２）在　１．３时的相图和相应的时间历程　Ｆｉｇ．３　ｐｈａｓｅ　ｐｏｒｔｒａｉｔ　ａｎｄ　ｔｉｍｅ　ｈｉｓｔｏｒｙ　ａｓ　ｄ＝－Ｉ．３　４００　４５０　５００　ｆ　（ｂ）时间历程　

５５０　

２　５　．　第２期　李红武，等：悬臂梁系统的脉冲控制　２４３　２　悬臂梁系统的脉冲控制　式中，ｋ为控制参数　

脉冲微分系统［１５－１８］一般可以表示为微分方程　Ｊ　＝厂（　，　），　（ｆ，　）芒Ｍ，　（３）　Ｉ　（　）＝Ｆ（ｆ，　（ｆ）），（ｆ，　（ｆ））　

式中，，’：Ｒ×　Ｒ　，　ｃＲ　为一开集．ＭｃＲｘ．Ｑ，　Ｆ：Ｍ－－）　．定义脉冲发生时刻的跳跃量为　（ｆ）＝　（　）一　（　），其中　（　）　姆　（ｆ＋　），　

（　）＝　（　＋　）・从而有　（　）＝　（ｆ，　（　））　（　）＋　（ｆ），设集合Ｍ可以表示为Ｒｘ．Ｑ中的　

＝｛（ｆ，　）ｌｆ＝　（　），　），　Ｍ＝　，　其中　（　）＜　（　）＜…＜　（　）＜…，　（　）表示脉冲发生的时　刻，对任意　∈　，有ｌｉｍ　（　）：　，则式（３）可　表示为　ｊＸ＝厂（ｆ，　）　（辟　（Ｘ），ｋ＝１，２，…），（４）　【　（　）＝　（　）＋　（ｆ）　（　），Ｊｉ｝：１，２，…）　

式（４）第一个方程描述了系统连续渐变过程，称　作连续部分，是用微分方程描述的；第二个式子刻　画了系统的脉冲效应，称为脉冲部分，是用差分方　程描述的．ｆ　（　１决定了脉冲发生的时间，称作脉冲　时刻；ＡＸ（ｔ１描述了脉冲跳跃的强度，称为脉冲函　数．其中的　ｆ　１如果是　的函数，则称式（４）为　变时刻脉冲微分系统；若其中的　ｆ　１是随机发生　的，则称式（４）为随机时刻脉冲微分系统．特别地，　如果ｆｆ（Ｘ）三ｒｉ，　是一常数，则式（４）表示为　ｊ　＝厂（ｆ，Ｘ）　（ｆ≠　，ｋ＝１　２一），　（５）　Ｉ　（　）＝　（，一）＋　（ｆ）（ｆ　ｋ＝１　２。‘）　

称式（５）为固定时刻脉冲微分系统．目前讨论得较　充分的结果主要集中在固定脉冲时刻的脉冲微分　式（５），对变脉冲时刻的脉冲微分系统和随机时刻　脉冲微分系统的结果并不多见，研究方法上仍然缺　乏有效手段．为此，采用脉冲控制方法，对悬臂梁式　（２）进行脉冲控制，具体如下：　当Ｙ＜季时，　ｆ　一　：　（６）　ｏｓ（ｃｏｔ）一　］　

当Ｙ≥季时，　ｆ＝ｚ　，一　｛　：　ｃ。ｓ（　）一　一　（　＋　３６　３）一　（　一季）。　

Ｊ　ｚ＝（１一ｋ）ｚ　

３　系统脉冲控制的数值模拟　为验证上述脉冲方法的混沌控制效果，利用四　阶龙格一库塔方法对施加脉冲信号的悬臂梁式（７）　进行动力学行为数值模拟．在上述参数取值　

＝０．０３８，季＝０．６，ｅ＝２０．０，ＣＯ＝０．４２，ｄ＝１．３相同的条　件下，取０≤ｋ≤０．１，画出Ｙ随ｋ变化图形见图４．　

０　０．０２　Ｏ．０４　０．０６　０．０８　０．１　ｋ　图４　Ｙ随ｋ变化　

（ａ）相图　３００　３１０　３２０　３３０　３４０　３５０　３６０　３７０　３８０　３９０　４００　ｆ　（ｂ）时间历程　图５　ｋ＝Ｏ．０５时的相图和时间历程　Ｆｉｇ．５　ｐｈａｓｅ　ｐｏｒｔｒａｉｔ　ａｎｄ　ｔｉｍｅ　ｈｉｓｔｏｒｙ　ａｓ七＝０．０５