专题01 方程(组)型应用题(解析版)
专题01 线性回归方程(解析版)
【解析】解： x 0 1 2 3 3 ， y m 3 5.5 7 m 15.5 ，
4
2
4
4
这组数据的样本中心点是 ( 3 , m 15.5) ， 24
关于 y 与 x 的线性回归方程 yˆ 2.1x 0.85 ，
m 15.5 2.1 3 0.85 ，解得 m 0.5 ，
x （次数 / 分
20
30
40
50
60
钟）
y( C)
25
27.5
29
32.5
36
A． 33 C
B． 34 C
C． 35 C
【解析】解：由题意，得 x 20 30 40 50 60 40 ， 5
y 25 27.5 29 32.5 36 30 ， 5
则 k y 0.25x 30 0.25 40 20 ；
故答案为：10．
例 7．已知一组数据点：
x
x1
x2
x8
y
y1
y2
y8
8
用最小二乘法得到其线性回归方程为 yˆ 2x 4 ，若数据 x1 ， x2 ， ， x8 的平均数为 1，则 yi i 1
16 ．
3
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【解析】解：由题意， x 1 ，设样本点的中心为 (1, y) ， 又线性回归方程为 yˆ 2x 4 ，则 y 2 1 4 2 ，
购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用 Y （单位：万元）的分布列为：
Y
30
20
70
120
P
0.3
0.4
0.2
0.1
E(Y ) 30 0.3 20 0.4 70 0.2 120 0.1 25 （万元）
一元一次方程的应用题及答案讲解
一元一次方程的应用题及答案讲解简介一元一次方程是数学中常见的基础概念，通过一些实际生活中的问题，我们可以理解和应用一元一次方程的解题方法，从而更好地掌握代数知识。
应用题示例题目1小明有一些水果，其中苹果的数量是梨的3倍，如果把苹果的数量加上5，恰好等于梨的数量。
求苹果和梨的数量各是多少？题目2某班同学一共150人，男女比例为3:2，男同学人数比女同学人数多30人，求男女同学各有多少人？解题步骤解题步骤1首先设定未知数和建立方程：设苹果的数量为A，梨的数量为P。
根据题目可得： 1. A = 3P 2. A + 5 = P解题步骤2根据建立的方程进行求解：将第一个方程代入第二个方程中得： 3P + 5 = P 得：2P = 5 解得：P = 2.5 将P的值代回第一个方程中得：A = 3 * 2.5 = 7.5 因为水果的数量是整数，所以苹果和梨的数量分别为7和2。
解题步骤3对于第二个题目：设男同学的数量为M，女同学的数量为F。
根据题目可得：1. M + F = 150 2. M = 1.5F 3. M - F = 30解题步骤4进一步计算：将第二个和第三个方程代入第一个方程中得： 1.5F + F = 150 得：2.5F = 150 解得：F = 60 再将F的的值代入第二个方程得：M = 1.5 * 60 = 90因此男同学和女同学的数量分别为90和60。
结论通过以上两个应用题的解析，我们可以看到一元一次方程的应用范围非常广泛，涉及到实际生活中的很多问题，通过建立方程和解方程的方法，可以有效地解决这些问题。
同时，我们也需要注意理解题目的意思，正确建立方程，才能得到准确的答案。
希望通过这些实例的讲解，读者对一元一次方程的应用有了更深入的了解，能够在实际生活中灵活运用代数知识解决问题。
专题01 分式和分式方程(1)解析版
专题01 分式和分式方程（1）考点1：分式的定义1．下列各式是分式的是（）A．B．C．2y D．【答案】A【解析】A、是分式，故本选项符合题意；B、是多项式，故本选项不符合题意；C、是单项式，故本选项不符合题意；D、是单项式，故本选项不符合题意．故选：A．2．下列各式x+y，，，，中，是分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】，是分式，共2个，故选：A．3．下列式子中是分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A、它的分母中不含有字母，是整式，故本选项不符合题意；B、它的分母中不含有字母，是整式，故本选项不符合题意；C、它是分式，故本选项符合题意；D、它是分数，故本选项不符合题意；故选：C．4．下列各式中，是分式的是（）A．x B．C．D．+1【答案】B【解析】的分母中含有字母，属于分式，x、、+1的分母中不含有字母，属于整式．故选：B．5．下列各式：，，，其中分式有_______．【答案】3个．【解析】，，的分母中含有字母，属于分式．共有3个分式．6．在有理式﹣π，中，分式有_______个．【答案】3．【解析】分式有，，，共3个，7．在代数式中，分式有2个．【答案】2．【解析】，的分母中含有字母，是分式．8．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如＝＝+＝1+，＝＝a﹣1+，则和都是“和谐分式”．（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是：_______（填序号）；①；②；③；④（2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝．（3）应用：已知方程组有正整数解，求整数m的值．【答案】见解析【解析】（1）①＝，故是和谐分式；②＝，故不是和谐分式；③＝，故是和谐分式；④＝，故是和谐分式；故答案为①③④；（2）＝＝＝，故答案为；（3）解方程组得，∵方程组有正整数解，∴m＝﹣1或﹣7．考点2：分式有意义的条件1．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≤3B．x＜3C．x＜3且x≠0D．x≠3【答案】D【解析】由题意得：3﹣x≠0，解得：x≠3，故选：D．2．代数式中的x取值范围是（）A．x B．x C．x D．x【答案】C【解析】由题意得，2x﹣1≠0，解得，x≠，故选：C．3．若分式有意义，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a＝2C．a≠﹣2D．a＝﹣2【答案】C【解析】由题意得：a+2≠0，解得：a≠﹣2，故选：C．4．要使分式有意义，x的取值是（）A．x≠2B．x≠﹣2C．x≠±2D．x≠±2且x≠﹣1【答案】B【解析】由题意可知：x+2≠0∴x≠﹣2故选：B．5．若分式有意义，则x的取值范围是_______．【答案】x≠3．【解析】要使分式有意义，必须x﹣3≠0，解得：x≠3，6．若分式在实数范围内有意义，则x满足的条件是_______．【答案】x≠2．【解析】由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，7．若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．【答案】x≠5．【解析】由题意得，x﹣5≠0，解得，x≠5，8．若式子无意义，求代数式（y+x）（y﹣x）+x2的值．【答案】见解析【解析】∵式子无意义，∴3y﹣1＝0，解得y＝，原式＝y2﹣x2+x2＝y2＝（）2＝．考点3：分式的值为零的条件1．若分式的值为0，则x的值是（）A．±2B．﹣2C．0D．2【答案】D【解析】∵分式的值为0，∴x2﹣4＝0，2x+4≠0，解得，x＝2，故选：D．2．若分式的值为0，则x的值是（）A．0B．1C．2D．﹣1【答案】B【解析】分式的值为0，则x﹣1＝0，且2x≠0，解得：x＝1．故选：B．3．若分式的值为0，则x的值为（）A．0B．﹣2C．4D．4或﹣2【答案】C【解析】由分式的值为零的条件得x﹣4＝0且x+2≠0，解得：x＝4，故选：C．4．分式的值为0，则x的值为（）A．﹣1或2B．2C．﹣1D．﹣2【答案】B【解析】依题意，得x2﹣x﹣2＝（x﹣2）（x+1）＝0且|x|﹣1≠0．解得x＝2或x＝﹣1且x≠±1．所以x＝2符合题意．故选：B．5．分式的值等于0，则x＝_______．【答案】﹣2．【解析】根据题意，得x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）＝0且x﹣2≠0．所以x+2＝0．所以x＝﹣2．6．当x＝﹣3时，分式的值为零．当x≠时，分式有意义．【答案】﹣3；．【解析】分式的值为零，则，解得x＝﹣3；分式有意义，则1﹣2x≠0，解得x≠．7．分式的值为0时，x＝2．【答案】2．【解析】∵分式的值为0，∴2x2﹣8＝0，x+2≠0，解得，x＝2，8．若a，b为实数，且＝0，求3a﹣b的值．【答案】见解析【解析】∵＝0，∴，解得，∴3a﹣b＝6﹣4＝2．故3a﹣b的值是2．考点4：分式的值1．若分式的值为正数，则x的取值范围是（）A．x＞B．x＜C．x≥D．x取任意实数【答案】A【解析】∵分式的值为正数，∴x2+5＞0，2x﹣1＞0，解得：x＞．故选：A．2．已知的值等于0，则x的大小为（）A．1B．2C．±2D．﹣2【答案】D【解析】∵的值等于0，∴x2﹣4＝0且（x﹣2）（x﹣1）≠0，解得：x＝﹣2．故选：D．3．若分式的值为整数，则整数m可能值的个数为（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】分式的值为整数，∴m﹣1＝±1，±2，±4，解得：m＝2，0，3，﹣1，5，﹣3，则整数m可取的值的个数是6个．故选：C．4．已知a＝2016，则代数式的值为（）A．2016B．2015C．D．【答案】C【解析】＝＝，当a＝2016时，原式＝，故选：C．5．若分式的值是负整数，则整数m的值是_______．【答案】3．【解析】原式＝＝﹣1+，由题意可知：m﹣4＝﹣1，∴m＝3，6．若分式的值为正数，x的取值范围是_______．【答案】x＞．【解析】∵分式的值为正数，∴，解得x＞．7．已知x，y，z都不为0，且，则式子的值为_______．【答案】．【解析】①﹣②，得2x﹣4z＝0，∴x＝2z．把x＝2z代入①，得8z﹣3y﹣3z＝0．解得y＝z．把x＝2z，y＝z代入式子＝＝．8．若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值之和．【答案】见解析【解析】＝＝，∵x为整数，且的值也为整数，∴x﹣2的值为﹣4，﹣2，﹣1，1，2或4．∴x的值为：﹣2，0，1，3，4或6，经检验，当x＝﹣2时，原式分母为0，不符合题意，故舍去．∴0+1+3+4+6＝14．∴所有符合条件的x的值之和为14．考点5：分式的基本性质1．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A．不变B．缩小3倍C．扩大3倍D．扩大9倍【答案】C【解析】＝＝3×，即如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值扩大3倍，故选：C．2．下列化简正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】A.＝＝，故本选项符合题意；B.≠，故本选项不符合题意；C.＝﹣，故本选项不符合题意；D.＝＝﹣，故本选项不符合题意；故选：A．3．若把分式中的x，y都缩小2倍，则分式的值（）A．扩大2倍B．不变C．缩小2倍D．缩小4倍【答案】B【解析】根据题意，得x和y的值都缩小2倍，即＝＝，显然分式的值不变．故选：B．4．若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大3倍B．扩大9倍C．不变D．缩小3倍【答案】C【解析】把分式中的x和y都扩大3倍，则分式变为，而＝，所以把分式中的x和y都扩大3倍，分式的值不变．故选：C．5．若分式的值为5，则x、y扩大2倍后，这个分式的值为_______．【答案】5．【解析】根据题意，得新的分式为＝＝5．6．把分式的x和y都扩大3倍，分式的值_______．【答案】扩大3倍．【解析】＝＝，即分式的值扩大3倍，7．若把分式中的x和y都扩大两倍，则分式的值_______．【答案】不变．【解析】分式中的x，y都扩大两倍，那么分式的值不变，即＝，8．填空：＝＝（a≠0，b≠0）．【答案】见解析【解析】＝＝（a≠0，b≠0）．故答案为：a，ab2．考点6：约分1．分式可化简为（）A．x﹣y B．C．x+y D．【答案】C【解析】原式＝＝x+y．故选：C．2．计算的结果为（）A．﹣a2B．﹣a C．a D．a2【答案】B【解析】原式＝﹣＝﹣a，故选：B．3．下列约分正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A、＝x4，故原题计算错误；B、＝1，故原题计算错误；C、＝，故原题计算错误；D、＝，故原题计算正确；故选：D．4．已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（）A．a﹣b﹣1B．a+b﹣1C．﹣a+b+1D．﹣a﹣b+1【答案】C【解析】原式＝||＝||＝|a﹣b﹣1|，由数轴可得，a﹣b＜0，原式＝﹣（a﹣b﹣1）＝﹣a+b+1．故选：C．5．小丽在化简分式＝时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的代数式应该是x2﹣2x+1．【答案】x2﹣2x+1．【解析】∵＝＝，∴*部分为：（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，6．化简：＝_______．【答案】．【解析】＝．7．化简：＝_______．【答案】【解析】原式＝＝．8．约分：（1）；（2）．【答案】见解析【解析】（1）原式＝＝；（2）原式＝＝．。
专题01 一元二次方程的解法重难点题型专训(解析版)
专题01一元二次方程的解法重难点题型专训【题型目录】题型一用直接开方法解一元二次方程题型二用配方法解一元二次方程题型三用公式法解一元二次方程题型四用因式分解法解一元二次方程题型五用换元法解一元二次方程题型六根据判别式判断一元二次方程根的情况题型七根据一元二次方程根的情况求参数题型八配方法的应用【经典例题一用直接开方法解一元二次方程】【解题技巧】开平方法：对于形如n x 2或)0()(2 a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如n x 2的方程的解法：当0 n 时，n x ;当0 n 时，021 x x ;当0 n 时，方程无实数根。
【例1】（2023春·安徽·八年级淮北一中校联考阶段练习）若一元二次方程 20ax b ab 的两根分别是1m 和23m ，则ba的值为（）A ．16B ．259C ．25D ．259或25【答案】B【分析】直接开平方得到：bx a，得到方程的两个根互为相反数，所以1230m m ，解得23m ，则方程的两个根分别是153x ，253x ，则有53b a ，然后两边平方即可得出答案．【详解】解：∵一元二次方程2ax b 的两个根分别是1m 与213m ，且bx a，∴1230m m ，解得：23m ，即方程的根是：153x ，253x ，∴2259b b a a，故选：B ．【点睛】题目主要考查了解一元二次方程及一元一次方程，灵活运用一元二次方程2(0)ax b ab ＝的两根互为相反数是解题关键．【变式训练】1．（2022春·八年级单元测试）下列哪个是一元二次方程22(1)3x 的解（）A ．12x ，23x B ．132x ，232x C ．1612x，612x D ．1612x，2612x 【答案】C【分析】两边同时除以2，再两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解： 2213x ，2312x，612x，解得，1612x ，2612x ，故选：C【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，类型有： 20x a a ；2ax b （a b，同号且0a ）； 20x a b b ； 2( a x b c a c ，同号且0)a ．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解．2．（2023·安徽·校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x b 分别与x 的正半轴、y 的负半轴相交于A B ，两点，已知AOB 的面积等于16，则b 的值为______．【答案】8【分析】依据题目求出1,02A b， 0,B b ，再根据AOB 的面积等于16，即可得出答案．【详解】当0y 时，02x b∴12x b ，∴1,02A b，当0x 时，y b ∴ 0,B b ，∵直线2y x b 分别与x 的正半轴、y 的负半轴相交于A B ，两点，∴12OA b ，OB b∵AOB 的面积等于16，∴ 111622b b，解得：8b ，8b （不合题意，舍去）．故答案为：8 ．【点睛】此题考查了一次函数与x 轴、y 轴的交点问题，以及三角形面积问题，一元二次方程的解，掌握一次函数与x 轴、y 轴的交点的求法是解题的关键．3．（2023·上海·八年级假期作业）解关于x 的方程： 2222x a a ab b ．【答案】12x a b ，2x b ．【分析】根据直接开平方法解一元二次方程即可．【详解】解： 22x a a b ，∴ x a a b ，∴x a a b 或 x a a b ，解得：12x a b ，2x b ．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用直接开平方法解一元二次方程．【经典例题二用配方法解一元二次方程】【解题技巧】配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x 2)(的方程，再运用开平方法求解。
专题01 一元二次方程(解析版)-2020-2021学年九年级数学上册期末综合复习专题提优训练
2020-2021学年九年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题01 一元二次方程【典型例题】1．（2020·青浦区实验中学期中）下列方程中，关于x 的一元二次方程是( )A ．3(x ＋1)2＝2(x ＋1)B ．21x ＋1x－2＝0 C ．ax 2＋bx ＋c ＝0 D ．x 2＋2x ＝x 2－1 【答案】A2．（2020·山东泗水初三期中）若()11620m m x mx +++-=是关于x 的一元二次方程，则m =________．【答案】1【专题训练】一、选择题1．（2020·湖南湘潭初三期末）已知关于x 的一元二次方程2240x ax -+=的一个根是2，则a 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．2 【答案】D2．（2020·山东东平期末）下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）A ．22731x y -=+B ．25620x y --= C ．22x x x x -=+ D ．()2320ax b x c +-++=【答案】C3．（2020·安徽安庆期末）若x =2是关于x 的一元二次方程x 2-mx +8=0的一个解．则m 的值是( )A ．6B ．5C ．2D ．-6【答案】A4．（2019·四川雁江初三期末）如果关于x 的方程27(3)30m m x x ---+=是一元二次方程，那么m 的值为：（ ） A ．3± B ．3 C ．-3 D ．都不是【答案】C5．（2020·安徽蚌埠期末）一元二次方程4x 2﹣1=5x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．4，﹣1，5 B ．4，﹣5，﹣1 C ．4，5，﹣1 D ．4，﹣1，﹣5【答案】B6．（2020·四川米易初三期末）已知a 是方程22430x x --=的一个根，则代数式224a a -的值等于（ ）A ．3B ．2C ．0D ．1 【答案】A7．（2020·安徽铜陵初三期末）已知关于 x 的方程20x ax b ++=有一个根是(0)b b ≠，则a b +的值是（ ） A ．－1 B ．0 C ．12 D ．1 【答案】A8．（2020·全国初三课时练习）已知m 是方程23220x x --=的值（ ）A ．2BC D【答案】C9．（2019·贵州印江初三期末）将一元二次方程22(1)1(1)2x x x +-=+-写成一般形式_____．【答案】2330x x ++=10．（2020·湖南雨花期末）已知方程ax 2+bx +c ＝0的一个根是﹣1，则a ﹣b +c ＝_____．【答案】011．（2020·银川市第十五中学初三一模）关于x 的一元二次方程(m －1)x 2+6x +m 2－m =0的一个根x =0，则m 的值是_____．【答案】012．（2020·贵州印江初三期末）若关于x 的方程||(m 2)m 20m x x --+=为一元二次方程，则m =__________．【答案】－213．（2020·全国初三课时练习）下列方程中，①7x 2+6＝3x ；②212x ＝7；③x 2﹣x ＝0；④2x 2﹣5y ＝0；⑤﹣x 2＝0中是一元二次方程的有_____． 【答案】①③⑤．14．（2020·全国初三课时练习）把一元二次方程（x ﹣2）2﹣x ＝7x +6化为一般形式是_____，二次项系数是_____，一次项是_____，常数项是_____．【答案】x 2﹣12x ﹣2＝0 1 ﹣12x ﹣215．（2020·河北初三二模）若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则6m 2﹣9m +2020的值为_____．【答案】202316．（2020·南宁市新民中学初三期中）若关于x 的一元二次方程22(1)410a x x a --+-=的一根是0，则a ＝___________． 【答案】-117．（2019·全国初二单元测试）把关于x 的方程()()()23x x x -=化成一元二次方程的一般形式，并写出方程中各项与各项的系数. 【答案】解：原方程整理得226918x x x -+=-∴22690x x∴各项与各项的系数分别为：二次项22x ，二次项系数2；一次项-6x ，一次项系数-6；常数项-9.18．（2020·安徽天长龙集九年制学校期中）关于x 的方程27(3)5m m x x ---=是一元二次方程，求m 的值．【答案】解：关于x 的方程27(3)5m m x x ---=是一元二次方程，依题意有，27230m m ⎧-=⎨-≠⎩∴m =-3∴当m =-3时方程27(3)5m m x x ---=是一元二次方程．19．（2018·陕西洛南）如果关于x 的方程（m ﹣3）x |m ﹣1|﹣x +3＝0是一元二次方程，求m 的值．【答案】由题意，得|m ﹣1|＝2且m ﹣3≠0．解得m ＝﹣3．即m 的值是﹣3．20．（2020·全国初三课时练习）已知m 是方程x 2-x -2=0的一个实数根，求代数式()221m m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值． 【答案】解：∵m 是方程x 2-x -2=0的根，∴m 2-m -2=0，即m 2-m =2,m 2-2=m .∴()()222221121224m m m m m m m m m m ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫--+=-+=+=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21．（2020·全国初三课时练习）若m 是一元二次方程||120a x x ---=的一个实数根． （1）求a 的值；（2）不解方程，求代数式()221m m m m ⎛⎫-⋅-+ ⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）由于||120a x x ---=是关于x 的一元二次方程， 所以||12a -=，解得3a =±；（2）由（1）知，该方程为220x x --=， 把x =m 代入，得220m m --=，所以22m m -=，①由220m m --=，得210m m --=， 所以21m m-=，② 把①和②代入()221m m m m ⎛⎫-⋅-+ ⎪⎝⎭， 得()2212(11)4m m m m ⎛⎫-⋅-+=⨯+= ⎪⎝⎭， 即()2214m m m m ⎛⎫-⋅-+= ⎪⎝⎭．。
专题01 应用大全压轴真题训练(解析版)-2023年中考数学解答题压轴真题汇编
挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题01应用大全压轴真题训练一．一元一次方程的应用1．（2022•南充）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价﹣进价）种类真丝衬衣真丝围巾进价（元/件）a80售价（元/件）300100（1）求真丝衬衣进价a的值．（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？【解答】解：（1）依题意得：50a+80×25＝15000，解得：a＝260．答：a的值为260．（2）设购进真丝衬衣x件，则购进真丝围巾（300﹣x）件，依题意得：300﹣x≥2x，解得：x≤100．设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000．∵20＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝100时，w取得最大值，最大值＝20×100+6000＝8000，此时300﹣x ＝300﹣100＝200．答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．（3）设每件真丝围巾降价y元，依题意得：（300﹣260）×100+（100﹣80）××200+（100﹣y﹣80）××200≥8000×90%，解得：y≤8．答：每件真丝围巾最多降价8元．二．二元一次方程组的应用（共1小题）2．（2022•广元）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？【解答】解：（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，依题意得：，解得：．答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．（2）设科技类图书的购买数量为m本，购买这两种图书的总金额为w元，则文学类图书的购买数量为（100﹣m）本．①当30≤m≤40时，w＝38m+26（100﹣m）＝12m+2600，∵12＞0，∴w随m的增大而增大，∴2960≤w≤3080；②当40＜m≤50时，w＝[38﹣（m﹣40）]m+26（100﹣m）＝﹣（m﹣26）2+3276，∵﹣1＜0，∴当m＞26时，w随m的增大而减小，∴2700≤w＜3080；③当50＜m≤60时，w＝[38﹣（50﹣40）]m+26（100﹣m）＝2m+2600，∵2＞0，∴w随m的增大而增大，∴2700＜w≤2720．综上，当30≤m≤60时，w的最小值为2700．答：社区至少要准备2700元购书款．三．分式方程的应用（共1小题）3．（2022•锦州）2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A、B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9900元购买的A款套装数量比用7500元购买的B款套装数量多5套．求A、B两款套装的单价分别是多少元．【解答】解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元，依题意得：﹣＝5，解得：x＝150，经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝1.2×150＝180．答：A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元．4．（2022•益阳）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．（1）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？【解答】解：（1）设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B 型号收割机每小时收割（1﹣40%）x亩水稻，依题意得：﹣＝0.4，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴（1﹣40%）x＝（1﹣40%）×10＝6．答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻．（2）设安排甲收割y小时，则安排乙收割小时，依题意得：3%×10y+2%×6×≤2.4%×100，解得：y≤4．答：最多安排甲收割4小时．5．（2022•河南）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B 两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【解答】解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据题意得：＝+3，解得x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100﹣m）捆，∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，∴m≤100﹣m，解得m≤50，设本次购买花费w元，∴w＝20×0.9m+30×0.9（100﹣m）＝﹣9m+2700，∵﹣9＜0，∴w随m的增大而减小，∴m＝50时，w取最小值，最小值为﹣9×50+2700＝2250（元），答：本次购买最少花费2250元．四．一次函数的应用（共1小题）6．（2022•湖州）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．【解答】解：（1）设轿车出发后x小时追上大巴，依题意得：40（x+1）＝60x，解得x＝2．∴轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距60×2＝120（千米），答：轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米；（2）∵轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米，∴大巴行驶了3小时，∴B（3，120），由图象得A（1，0），设AB所在直线的解析式为s＝kt+b，∴，解得，∴AB所在直线的解析式为s＝60t﹣60；（3）依题意得：40（a+1.5）＝60×1.5，解得a＝．∴a的值为．7．（2022•内蒙古）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B 种纪念品3件，需要550元．（1）求购进A、B两种纪念品的单价；（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．【解答】解：（1）设该商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，由题意，得，解得，∴该商店购进A种纪念品每件需50元，购进B种纪念品每件需100元；（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，根据题意，得50x+100y＝10000，由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，∵y≥20，∴20≤y≤25且为正整数，∴y可取得的正整数值是20，21，22，23，24，25，与y相对应的x可取得的正整数值是160，158，156，154，152，150，∴共有6种进货方案；（3）设总利润为W元，则W＝20x+30y＝﹣10y+4000，∵﹣10＜0，∴W随y的增大而减小，∴当y＝20时，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．8．（2022•东营）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【解答】解：（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，由题意得：，解得：x＝5，经检验：x＝5是原方程的解，且符合题意，则5×（1﹣20%）＝4，答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m）千克，利润为w元，由题意得：w＝（6﹣4）m+（8﹣5）（150﹣m）＝﹣m+450，∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，∴m≥2（150﹣m），解得：m≥100，∵﹣1＜0，则w随m的增大而减小，∴当m＝100时，w最大，最大值＝﹣100+450＝350，则150﹣m＝50，答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．9．（2022•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．【解答】解：（1）当0≤x≤2000时，设y＝k′x，根据题意可得，2000k′＝30000，解得k′＝15，∴y＝15x；当x＞2000时，设y＝kx+b，根据题意可得，，解得，∴y＝13x+4000．∴y＝．（2）根据题意可知，购进甲种产品（6000﹣x）千克，∵1600≤x≤4000，当1600≤x≤2000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+（18﹣15）•x＝﹣x+24000，∵﹣1＜0，∴当x＝1600时，w的最大值为﹣1×1600+24000＝22400（元）；当2000＜x≤4000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+18x﹣（13x+4000）＝x+20000，∵1＞0，∴当x＝4000时，w的最大值为4000+20000＝24000（元），综上，w＝；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．（3）根据题意可知，降价后，w＝（12﹣8﹣a）×（6000﹣x）+（18﹣2a）x ﹣（13x+4000）＝（1﹣a）x+20000﹣6000a，当x＝4000时，w取得最大值，∴（1﹣a）×4000+20000﹣6000a≥15000，解得a≤0.9．∴a的最大值为0.9．五．二次函数的应用（共2小题）10．（2022•淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B 品牌粽子120袋，总费用为8100元．（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据题意得，，解得，答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，利润为w元，根据题意得，w＝（54﹣a﹣30）（20+5a）＝﹣5a2+100a+480＝﹣5（a﹣10）2+980，∵﹣5＜0，∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．11．（2022•湖北）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．【解答】解：（1）当0＜x≤40时，y＝30；当40＜x≤100时，设函数关系式为y＝kx+b，∵线段过点（40，30），（100，15），∴，∴，∴y＝﹣x+40，即y＝；（2）∵甲种花卉种植面积不少于30m2，∴x≥30，∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，∴360﹣x≥3x，∴x≤90，即30≤x≤90；①当30≤x≤40时，由（1）知，y＝30，∵乙种花卉种植费用为15元/m2．∴w＝yx+15（360﹣x）＝30x+15（360﹣x）＝15x+5400，当x＝30时，w min＝5850；当40＜x≤90时，由（1）知，y＝﹣x+40，∴w＝yx+15（360﹣x）＝﹣（x﹣50）2+6025，∴当x＝90时，w min＝﹣（90﹣50）2+6025＝5625，∵5850＞5625，∴种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元；②当30≤x≤40时，由①知，w＝15x+5400，∵种植总费用不超过6000元，∴15x+5400≤6000，∴x≤40，即满足条件的x的范围为30≤x≤40，当40＜x≤90时，由①知，w＝﹣（x﹣50）2+6025，∵种植总费用不超过6000元，∴﹣（x﹣50）2+6025≤6000，∴x≤40（不符合题意，舍去）或x≥60，即满足条件的x的范围为60≤x≤90，综上，满足条件的x的范围为30≤x≤40或60≤x≤90．12．（2022•攀枝花）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角θ＝37°的跳台A点以速度v0沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，AB ＝150m．且sin37°＝0.6．忽略空气阻力，请回答下列问题：（1）求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？（2）以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；（3）若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？【解答】解：（1）如图，以A为原点，建立平面直角坐标系．过点B作BD⊥y轴于点D．在Rt△OBD中，OD＝AB•sin37°＝150×0.6＝90（m），答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m；（2）在Rt△OBD中，BD＝＝＝120（m），∴B（﹣120，﹣90），由题意抛物线顶点为（0，0），经过（﹣120，﹣90）．设抛物线的解析式为y＝ax2，则有﹣90＝a×（﹣120）2，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x2．（3）当x＝﹣60时，y＝﹣22.5，∴他飞行2s后，垂直下降了22.5m．13．（2022•黄石）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y ＝，数据如表．时间x（分钟）0123…8x＞8累计人数y（人）0150280390 (640640)（1）求a，b，c的值；（2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数＝累计人数﹣已检测人数）；（3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？【解答】解：（1）由题意，，解得，；（2）设第x分钟时的排队人数为W，根据题意得：W＝y﹣20x，∴W＝，当0≤x≤8时，W＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490，＝490，∴当x＝7时，W最大当x＞8时，W＝640﹣20x，∵k＝﹣20＜0，∴W随x的增大而减小，∴W＜480，故排队人数最多时有490人；（3）要全部学生都完成核酸检测，根据题意得：640﹣20x＝0，解得：x＝32，所以全部学生都完成核酸检测要32分钟；开始就应该至少增加m个检测点，根据题意得：5×20（m+4）≥640，解得：m≥2.4，∵m为整数，∴m＝3，答：从一开始就应该至少增加3个检测点．14．（2022•宁夏）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即＝）．求：（1）点A的坐标；（2）该抛物线的函数表达式；（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）（参考数据：≈1.73）【解答】解：（1）∵OA＝4，且点A在y轴正半轴，∴A（0，4）．（2）∵抛物线最高点B的坐标为（4，12），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+12，∵A（0，4），∴a（0﹣4）2+12＝4，解得a＝﹣．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+12．（3）在Rt△CDE中，＝，CD＝2.5，∴CE＝1.5，DE＝2．∴点D的纵坐标为﹣1.5，令﹣（x﹣4）2+12＝﹣1.5，解得，x＝4+3≈9.19或x＝4﹣3≈﹣1.19（不合题意，舍去），∴D（9.19，﹣1.5）．∴OC＝9.19﹣2＝7.19≈7.2（m）．∴OC的长约为7.2米．15．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．（2）当a＝时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：≈1.73，≈2.24）【解答】解：（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），设CE：y＝kx+b（k≠0），将C（8，16），E（40，0）代入得：，解得，∴线段CE的函数表达式为（8≤x≤40）．（2）当时，，由题意得，解得x1＝0（舍去），x2＝22.5．∴P的横坐标为22.5．∵22.5＜32，∴成绩未达标．（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．∴设，将（100，0.250）代入得，解得m＝25，∴．将（150，0.167）代入验证：，∴能相当精确地反映a与v2的关系，即为所求的函数表达式．②由K在线段上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得．由得v2＝320，又∵v＞0，∴．∴当v≈18m/s时，运动员的成绩恰能达标．16．（2022•朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）函数关系式为：y＝kx+b，由题意可知：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+150；（2）（﹣5x+150）（x﹣8）＝425，解得：x1＝13，x2＝25（舍去），∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；（3）w＝y（x﹣8），＝（﹣5x+150）（x﹣8），w＝﹣5x2+190x﹣1200，＝﹣5（x﹣19）2+605，∵8≤x≤15，且x为整数，当x＜19时，w随x的增大而增大，∴当x＝15时，w有最大值，最大值为525．答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．．（2022•温州）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm 长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m ；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【解答】解：任务1：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为（0，0），且过点B （10，﹣5），设抛物线的解析式为：y ＝ax 2，把点B （10，﹣5）代入得：100a ＝﹣5，∴a ＝﹣，∴抛物线的函数表达式为：y ＝﹣x 2；任务2：∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m，当y＝﹣1.8时，﹣x2＝﹣1.8，∴x＝±6，∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤6；任务3：方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，∵﹣6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6，若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6，∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼，∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣1.6×3＝﹣4.8；方案二：如图3，∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×（5﹣1）＞6，若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×（4﹣1）＜6，∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼，∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6．18．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为66；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为b＞；（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．【解答】解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案为：66；（2）①∵a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y＝﹣×752+×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a＝﹣，∴y＝﹣x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴x＝75时，y＞21，即﹣×752+75b+66＞21，解得b＞，故答案为：b＞；（3）他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．。
中考《一次方程(组)》经典例题及解析
一次方程（组）一、方程和方程的解的概念1．等式的性质（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．2．方程:含有未知数的等式叫做方程．3．方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．二、一元一次方程及其解法1．一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 注意：x 前面的系数不为0．2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．3．一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．三、二元一次方程（组）及解的概念1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．3．二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩． 4．解二元一次方程组的基本思想解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．5．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．四、一次方程（组）的应用1．列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．2．一次方程（组）常见的应用题型（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量． （2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．经典例题 一元一次方程的定义1．关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】C【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．【解析】解：因为关于x 的一元一次方程2x a -2+m =4的解为x =1， 可得：a -2=1，2+m =4，解得：a =3，m =2，所以a +m =3+2=5，故选C ．【点睛】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．1．关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程，则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．211m ∴﹣＝，即1m ＝或0m ＝，方程为20x ﹣＝或20x --＝，解得：2x ＝或2x =-，当2m -1=0，即m =12时，方程为112022x --=解得：x =-3， 故答案为x =2或x =-2或x =-3．【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．经典例题 解一元一次方程 1．解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x = 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．【解析】解：221123x x x ---=- ()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x ＝a 形式转化． 2．以下是圆圆解方程1323+--x x ＝1的解答过程． 解：去分母，得3（x +1）﹣2（x ﹣3）＝1．去括号，得3x +1﹣2x +3＝1．移项，合并同类项，得x ＝﹣3．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．【答案】圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程见解析【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．【解析】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：3（x +1）﹣2（x ﹣3）＝6．去括号，得3x +3﹣2x +6＝6．移项，合并同类项，得x ＝﹣3．【点睛】此题主要考查一元一次方程的求解，解题的关键是熟知一元一次方程的求解方法．3．把19-这9个数填入33⨯方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x 的值为：（ ）【答案】A【分析】根据题意求出“九宫格”中的y ，【解析】如图，依题意可得2+5+8=2+7+y【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用1．关于x 的方程38x x -=的解为x ___【答案】4【分析】方程移项、合并同类项、把x 系数【解析】解：方程38x x -=，移项,【点睛】方程移项，把x 系数化为1，即可2．有一列数，按一定的规律排列成1个数中第一个数是______．【答案】81-【分析】题中数列的绝对值的比是-3，由三解．【解析】题中数列的绝对值的比是-3，由三题意：()n 3n 9n 567+-+=-，解得：【点睛】此题主要考查数列的规律探索与运列出方程是解题的关键．3． 在实数范围内定义运算“☆”：a，再求出x 即可求解． +7+y 解得y=6∴8+x+6=2+5+8解得x=1故选A ． 的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解．=________．系数化为1，即可求出解． 得3x-x=8，合并同类项，得2x=8.解得x=4．故答案为即可求出解．3，1-，3，9-，27，－81，…．若其中某三个相邻由三个相邻数的和是567-，可设三个数为n ，-由三个相邻数的和是567-，可设第一个数是n ，：n=-81，故答案为：-81．索与运用，一元一次方程与数字的应用，熟悉并会用1b a b =+-☆，例如：232314=+-=☆．如果2☆答案为：x=4．个相邻数的和是567-，则这三-3n ，9n ，据题意列式即可求，则三个数为n ，-3 n ，9n 由并会用代数式表示常见的数列，1x =，则x 的值是（ ）．【答案】C【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．【解析】解：由题意知：2211☆=+-=+x x x ，又21x =☆，∴11x +=，∴0x =．故选：C ．【点睛】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解即可． 经典例题 一元一次方程的应用1．我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x 天可以追上慢马，根据题意，可列方程为______．【答案】（240-150）x=150×12【分析】根据两马的速度之差×快马出发的时间=慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x 的一元一次方程．【解析】解：题中已设快马x 天可以追上慢马，则根据题意得：（240-150）x=150×12．故答案为：（240-150）x=150×12．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用问题，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折．【答案】八【分析】打折销售后要保证打折后利率为20%，因而可以得到不等关系为：利润率=20%，设可以打x 折，根据不等关系列出不等式求解即可.【解析】解：设应打x 折，则根据题意得：（180×x×10%-120）÷120=20%，解得：x=8．故商店应打八折．故答案为：八．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系式，同时要注意掌握利润率的计算方法．1．篮球联赛中，每玚比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了_________场．【答案】9【分析】设该对胜x 场，则负14-x 场，然后根据题意列一元一次方程解答即可．【解析】解：设该对胜x 场 由题意得：2x+（14-x ）=23，解得x=9．故答案为9．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意、设出未知数、找准等量关系、列出方程是解答本题的关键．有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x 人，可列方程（ ）A ．2932x x +=-B ．9232x x -+=C ．9232xx +-= D ．2932x x -=+ 【答案】B【分析】设有x 人，根据车的辆数不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【解析】解：设有x 人，根据车的辆数不变列出等量关系，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：23x +， 每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：92x -， ∴列出方程为：9232x x -+=．故选：B ． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 经典例题 二元一次方程（组）的定义1. 下列方程中，是二元一次方程组的是A ．4237x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．23225412a b x c -=⎧⎨-=⎩C ．245x x y ⎧=⎨+=⎩D ．75x y xy +=⎧⎨=⎩ 【答案】A 【解析】根据定义可以判断：A 、4237x y x y +=⎧⎨+=⎩，满足要求；B 、23225412a b x c -=⎧⎨-=⎩中含有a ，b ，c ，是三元方程； C 、245x x y ⎧=⎨+=⎩中含有2x ，是二次方程；D 、275x y x y +=⎧⎨-=⎩中含xy ，是二次方程．故选A ．【点评】二元一次方程组的三个必需条件：（1）含有两个未知数；（2）每个含未知数的项次数为1；（3）每个方程都是整式方程．1．若关于x ，y 的二元一次方程组20x y A +=⎧⎨=⎩的解为11x y =⎧⎨=⎩，则多项式A 可以是_____（写出一个即可）． 【答案】答案不唯一，如x ﹣y ． 【分析】根据方程组的解的定义，11x y =⎧⎨=⎩应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕11x y =⎧⎨=⎩列一组算式，【解析】∵关于x ，y 的二元一次方程组20x y A +=⎧⎨=⎩的解为11x y =⎧⎨=⎩，而1﹣1＝0， ∴多项式A 可以是答案不唯一，如x ﹣y ．故答案为：答案不唯一，如x ﹣y .【点睛】此题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解，正确理解方程组的解与每个方程的关系是解题的关键. 经典例题 解二元一次方程组1．解方程组2451x y x y +=⎧⎨=-⎩． 【答案】1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 【分析】根据题意选择用代入法解答即可．【解析】解：2451x y x y +=⎧⎨=-⎩①②，将②代入①中得2(1)45y y -+=．解得32y =． 将32y =代入②，得12x =-．所以原方程组的解为1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解答关键是根据题目特点选择代入法或加减法解答问题．2．已知关于x 、y 的方程221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足3x y +=-，则a 的值为__________________． 【答案】5【分析】①+②可得x+y=2-a ，然后列出关于a 的方程求解即可．【解析】解：221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②，①+②，得3x+3y=6-3a ，∴x+y=2-a ， ∵3x y +=-，∴2-a=-3，∴a=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．3．若21a b =⎧⎨=⎩是二元一次方程组3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，则x ＋2y 的算术平方根为（ ） A ．3B ．3，－3 CD【分析】将21a b =⎧⎨=⎩代入二元一次方程组中解出x 和y 的值，再计算x ＋2y 的算术平方根即可． 【解析】解：将21a b =⎧⎨=⎩代入二元一次方程3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩中， 得到：3522+=⎧⎨-=⎩x y x y ，解这个关于x 和y 的二元一次方程组， 两式相加，解75x =得，将75x =回代方程中，解得45y =， ∴7415223555+=+⨯==x y ，∴x ＋2yC ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，算术平方根的概念等，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．1．方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是_________． 【答案】22x y =⎧⎨=⎩【分析】直接利用加减消元法求解．【解析】422x y x y +=⎧⎨-=⎩①②由①+②得：3x=6，解得x=2， 把x=2代入①中得，y=2，所以方程组的解为22x y =⎧⎨=⎩．故答案为：22x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】考查了解二元一次方程组，解题关键是利用加减消元法实现消元．2．已知1023a b +=，16343a b +=，则+a b 的值为_________． 【答案】1【分析】观察已知条件可得两式中a 与b 的系数的差相等，因此把两式相减即可得解．【解析】解：1023a b +=①，16343a b +=②，②-①得，2a+2b=2，解得：a+b=1,故答案为：1． 【点睛】此题主顾考查二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键．3．已知关于x ，y的方程组4ax x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩与215x y x by -=⎧⎨+=⎩的解相同． （1）求a ，b 的值；（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于x 的方程20x ax b ++=的解．试【答案】（1）-；12 （2）等腰直角三角形，理由见解析【分析】（1）关于x ，y 的方程组4ax x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩215x y x by -=⎧⎨+=⎩的解相同．实际就是方程组 42x y x y +=⎧⎨-=⎩的解，可求出方程组的解，进而确定a 、b 的值；（2）将a 、b 的值代入关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与形的形状．【解析】解：由题意列方程组：42x y x y +=⎧⎨-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩将3x =，1y =分别代入ax +=-和15x by +=解得a =-12b = ∴a =-，12b =（2）2120x -+= 解得x == 这个三角形是等腰直角三角形理由如下：∵222+=∴该三角形是等腰直角三角形．【点睛】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键． 经典例题 二元一次方程组的应用1．我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x 斛，1个小桶盛酒y 斛，下列方程组正确的是（ ）．A ．5352x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．5253x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．53125x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．35251x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】A【分析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可.【解析】∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，∴5x+y=3，∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，∴x+5y=2，∴得到方程组5352x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选：A. 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键.——进价（元/部） 售价（元/部） A3000 3400 B 3500 4000某营业厅购进A 、B 两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．（1）营业厅购进A 、B 两种型号手机各多少部？（2）若营业厅再次购进A 、B 两种型号手机共30部，其中B 型手机的数量不多于A 型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）营业厅购进A 、B 两种型号手机分别为6部、4部；（2）营业厅购进A 种型号的手机10部，B 种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A 、B 两种型号手机各多少部；（2）根据题意，可以得到利润与A 种型号手机数量的函数关系式，然后根据B 型手机的数量不多于A 型手机数量的2倍，可以求得A 种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．【解析】解：（1）设营业厅购进A 、B 两种型号手机分别为a 部、b 部，()()300035003200034003000400035004400a b a b +=⎧⎨-+-=⎩，解得，64a b =⎧⎨=⎩， 答：营业厅购进A 、B 两种型号手机分别为6部、4部；（2）设购进A 种型号的手机x 部，则购进B 种型号的手机(30﹣x )部，获得的利润为w 元，w ＝(3400﹣3000)x +(4000﹣3500)(30﹣x )＝﹣100x +15000，∵B 型手机的数量不多于A 型手机数量的2倍，∴30﹣x ≤2x ，解得，x ≥10，∵w ＝﹣100x +15000，k ＝﹣100，∴w 随x 的增大而减小，∴当x ＝10时，w 取得最大值，此时w ＝14000，30﹣x ＝20，答：营业厅购进A 种型号的手机10部，B 种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，以及一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．1．我市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x 米，乙工程队每天施工y 米，根据题意，所列方程组正确的是（ ）A ．2x y =-⎧⎨B ．2x y =-⎧⎨C ．2x y =+⎧⎨D ．2x y =+⎧⎨【答案】D【分析】根据“甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程”和“甲工程队每天比乙工程队多施工2米”可分别列出方程，联立即可．【解析】解：依据题意：“甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程”可列方程23()40050x x y ++=-，“甲工程队每天比乙工程队多施工2米”可列方程2x y =+，故可列方程组：223()40050x y x x y =+⎧⎨++=-⎩，故选：D ． 【点睛】本题考查列二元一次方程组．能仔细读题，找出描述等量关系的语句是解题关键．2．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x 只，兔有y 只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）A ．352494x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．354294x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．235494x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．435294x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】A 【分析】根据“上有三十五头”和“下有九十四足”两个等量关系列二元一次方程组即可．【解析】解：设鸡有x 只，兔有y 只 根据上有三十五头，可得x+y=35；下有九十四足，2x+4y=94 即352494x y x y +=⎧⎨+=⎩．故答案为A ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意、找准等量关系是解答本题的关键．。
专题01 一元二次方程章末重难点题型(举一反三)(解析版)
专题01 一元二次方程章末重难点题型【举一反三】 【考点1 一元二次方程的概念】【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
【例1】（2018秋•茂名期中）下面关于x 的方程中：①220ax x ++=；②223(9)(1)1x x --+=；③13x x+=；④22(1)0a a x a ++-=； ⑤11x x +=-．一元二次方程的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．【答案】解：①ax 2+x +2＝0，当a ＝0时，该方程属于一元一次方程，故错误；②3（x ﹣9）2﹣（x +1）2＝1、④（a 2+a +1）x 2﹣a ＝0符合一元二次方程的定义，故正确；③x +3＝属于分式方程，故错误；⑤＝x ﹣1属于无理方程，故错误；故选：B ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．【变式1-1】（2018秋•准格尔旗期中）关于x 的方程2(1)320a x x --+=是一元二次方程，则( )A ．0a >B ．0a ≠C ．1a ≠D ．1a =【分析】根据“关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣3x +2＝0是一元二次方程”，得到二次项系数a ﹣1≠0，解之即可．【答案】解：∵关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣3x +2＝0是一元二次方程，∴a ﹣1≠0，a ≠1，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．【变式1-2】（2018秋•汨罗市期中）方程||(2)4310m m x x m ++++=是关于x 的一元二次方程，则()A ．2m =±B ．2m =C ．2m =-D ．2m ≠±【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【答案】解：由题意得：|m |＝2且m +2≠0，由解得得m ＝±2且m ≠﹣2，∴m ＝2．故选：B ．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx +c ＝0（且a ≠0）．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．【变式1-3】（2018春•杭州期中）已知关于x 的方程21(1)230mm x x +++-=是一元二次方程，则m 的值为() A ．1 B ．1- C ．1± D ．不能确定【分析】直接利用一元二次方程的定义得出关于m 的等式，进而得出答案．【答案】解：∵关于x 的方程（m +1）x+2x ﹣3＝0是一元二次方程，∴m +1≠0，m 2+1＝2，解得：m ＝1．故选：A ． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，注意二次项系数不能为零是解题关键．【考点2 一元二次方程的解】【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.【例2】（2018秋•金牛区校级期中）如果关于x 的一元二次方程22(3)390m x x m -++-=有一个解是0，那么m 的值是( )A ．3B ．3-C ．3±D ．0或3-【分析】把x ＝0代入方程（m ﹣3）x 2+3x +m 2﹣9＝0中，解关于m 的一元二次方程，注意m 的取值不能使原方程对二次项系数为0．【答案】解：把x ＝0代入方程（m ﹣3）x 2+3x +m 2﹣9＝0中，得m 2﹣9＝0，解得m ＝﹣3或3，当m ＝3时，原方程二次项系数m ﹣3＝0，舍去，故选：B ．【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．【变式2-1】（2019春•岱岳区期中）已知m 是方程2210x x --=的一个根，则代数式2242019m m -+的值为( )A ．2022B ．2021C ．2020D ．2019【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m 2﹣2m ＝1，再把2m 2﹣4m +2019表示为2（m 2﹣2m ）+2019，然后利用总体代入的方法计算．【答案】解：∵m 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的一个根，∴m 2﹣2m ﹣1＝0，∴m 2﹣2m ＝1，∴2m 2﹣4m +2019＝2（m 2﹣2m ）+2019＝2×1+2019＝2021．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了总体代入的计算方法．【变式2-2】（2019春•蚌埠期中）若方程20(0)ax bx c a ++=≠中，a ，b ，c 满足0a b c ++=和0a b c -+=，则方程的根是( )A ．1，0B ．1-，0C ．1，1-D ．无法确定【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．【答案】解：在这个式子中，如果把x ＝1代入方程，左边就变成a +b +c ，又由已知a +b +c ＝0可知：当x ＝1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．故选：C ．【点睛】本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．【变式2-3】（2018秋•桐梓县期中）m 是方程210x x +-=的根，则式子3222018m m ++的值为( )A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020【分析】由m 是方程的根，可得m 2+m ＝1，变形m 3+2m 2+2018为m 3+m 2+m 2+2018，然后整体代入得结果【答案】解：∵m 是方程x 2+x ﹣1＝0的根，∴m 2+m ＝1∵m 3+2m 2+2018＝m 3+m 2+m 2+2018＝m （m 2+m ）+m 2+2018＝m +m 2+2018＝1+2018＝2019．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义及整体代入的思想，解决本题的关键是利用根的定义得关于m 的等式，变形m 3+2m 2+2018后整体代入．【考点3 用指定方法解一元二次方程】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的步骤.【例3】（2018秋•镇原县期中）用指定的方法解下列方程：（1）24(1)360x --=（直接开平方法）（2）22510x x -+= （配方法）（3）(1)(2)4x x +-=（公式法）（4）2(1)(1)0x x x +-+=（因式分解法）【分析】（1）方程变形后，利用平方根的定义开方即可求出解；（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；（3）方程整理为一般形式，找出a ，b ，c 的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解；（4）方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【答案】解：（1）方程变形得：（x ﹣1）2＝9，开方得：x ﹣1＝3或x ﹣1＝﹣3，解得：x 1＝4，x 2＝﹣2；（2）方程变形得：x 2﹣x ＝﹣，配方得：x 2﹣x +＝（x ﹣）2＝，开方得：x ﹣＝±， 则x 1＝，x 2＝； （3）方程整理得：x 2﹣x ﹣6＝0，这里a ＝1，b ＝﹣1，c ＝﹣6，∵△＝1+24＝25，∴x ＝，则x 1＝3，x 2＝﹣2；（4）分解因式得：（x +1）（2﹣x ）＝0，解得：x 1＝﹣1，x 2＝2．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各自解法是解本题的关键．【变式3-1】（2019秋•上栗县校级月考）按指定的方法解下列方程：（1）2670x x --=（配方法）（2）226(3)x x -=-（因式分解法）（3）23410x x -+=（公式法）（4）25(1)10x +=（直接开平方法）【分析】（1）利用配方法解出方程；（2）利用因式分解法解出方程；（3）利用公式法解出方程；（4）利用直接开平方法解出方程．【答案】解：（1）x 2﹣6x ﹣7＝0x 2﹣6x +9＝7+9（x ﹣3）2＝16x ﹣3＝±4x 1＝7，x 2＝﹣1；（2）2x ﹣6＝（x ﹣3）2（x ﹣3）（x ﹣3﹣2）＝0x 1＝3，x 2＝5；（3）3x 2﹣4x +1＝0x ＝x 1＝1，x 2＝；（4）5（x +1）2＝10x +1＝±x 1＝﹣1，x 2＝﹣﹣1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．【变式3-2】（2019秋•来宾期中）按指定的方法解下列方程：（1）21(21)3202x --=（直接开平方法） （2）23410x x ++=（配方法）（3）270x x --=（公式法） （4）2133x x -=-（因式分解法）【分析】（1）移项，整理，利用直接开平方法求得方程的解即可；（2）利用配方法解方程求得答案；（3）利用公式法，首先判别式△的值，继而求得答案；（4）利用因式分解法求得方程的解即可． 【答案】解：（1））（2x ﹣1）2﹣32＝0整理，得（2x ﹣1）2＝64，2x ﹣1＝±8， 解得：x 1＝，x 2＝﹣；（2）3x 2+4x +1＝03x 2+4x ＝﹣1，x 2+x ＝﹣，x 2+x +＝﹣+，（x +）2＝x +＝±，解得：x 1＝﹣，x 2＝﹣1；（3）x 2﹣x ﹣7＝0b 2﹣4ac ＝（﹣1）2﹣4×（﹣7）＝29，x ＝， 解得：x 1＝，x 2＝；（4）x 2﹣1＝3x ﹣3，x 2﹣1﹣3x +3＝0，（x +1）（x ﹣1）﹣3（x ﹣1）＝0，（x ﹣1）（x +1﹣3）＝0，x ﹣1＝0，x ﹣2＝0，解得：x 1＝1，x 2＝2．【点睛】本题考查了利用解一元二次方程，解此题的关键是能根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程．【变式3-3】（2019秋•泰州月考）按照指定方法解下列方程：（1）2(21)9x -= （用直接开平方法）（2）22980x x -+= （用配方法）（3）2230x x --= （用求根公式法）（4）7(52)6(52)x x x +=+（用因式分解法）【分析】（1）直接利用开平方法解方程；（2）先变形为x 2﹣x ＝﹣4，然后利用配方法解方程；（3）利用求根公式法解方程；（4）先移项得到7x （5x +2）﹣6（5x +2）＝0，然后利用因式分解法解方程．【答案】解：（1）2x ﹣1＝±3，所以x 1＝2，x 2＝﹣1；（2）x 2﹣x ＝﹣4，x 2﹣x +＝﹣4+， （x ﹣）2＝，x ﹣＝±，所以x 1＝+，x 2＝﹣；（3）△＝（﹣2）2﹣4×（﹣3）＝16，x ＝，所以x 1＝3，x 2＝﹣1；（4）7x （5x +2）﹣6（5x +2）＝0，（5x +2）（7x ﹣6）＝0，5x +2＝0或7x ﹣6＝0，所以x 1＝﹣，x 2＝．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法、配方法和公式法解一元二次方程．【考点4 一元二次方程根的判别式】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握根的判别式：当①b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根；③b 2-4ac ＜0时，方程无实数根，反之亦成立.【例4】（2019春•阜阳期中）已知关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10a x a x a ---++=有两个实数根．（1）求a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若a 为最大的正整数，求此时方程的根．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，结合一元二次方程的定义可得a 的范围；（2）将a 的值代入得出方程，解之可得．【答案】解：（1）由题意知△≥0，即4（a ﹣1）2﹣4（a ﹣2）（a +1）≥0，解得：a ≤3，∴a ≤3且a ≠2；（2）由题意知a ＝3，则方程为x 2﹣4x +4＝0，解得：x 1＝x 2＝2．【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 的关系是解答此题的关键．【变式4-1】关于x 的一元二次方程为22(2)0x x m m --+=（1）求证：无论m 为何实数，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正数．【分析】（1）先计算判别式的值，利用配方法得到△＝4（m +1）2，然后证明△≥0即可；（2）利用求根公式解方程得到x 1＝m +2，x 2＝﹣m ，则m +2＞0且﹣m ＞0，解得﹣2＜m ＜0，然后找出此范围内的整数即可．【答案】（1）证明：△＝（﹣2）2﹣4×[﹣m （m +2）]＝4m 2+8m +4＝4（m +1）2，∵4（m +1）2≥0，∴△≥0，∴无论m 为何实数，方程总有实数根；（2）解：x ＝＝1±（m +1），所以x 1＝m +2，x 2＝﹣m ，根据题意得m +2＞0且﹣m ＞0，所以﹣2＜m ＜0，所以整数m 为﹣1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．【变式4-2】（2019春•西湖区校级期中）已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：方程222222()0a x a c b x c -+-+=没有实数根．【分析】求出△，然后对△进行因式分解，利用三角形三边的关系可证明△＜0，因此得到答案．【答案】解：∵a ，b ，c 为△ABC 的三边长，∴a 2≠0．∴△＝（a 2+c 2﹣b 2）2﹣4a 2c 2＝（a 2+c 2﹣b 2+2ac ）（a 2+c 2﹣b 2﹣2ac ）＝[（a +c ）2﹣b 2][（a ﹣c ）2﹣b 2]，＝（a +b +c ）（a +c ﹣b ）（a ﹣c +b ）（a ﹣c ﹣b ），又∵三角形任意两边之和大于第三边，∴a +b +c ＞0，a +c ﹣b ＞0，a ﹣c +b ＞0，a ﹣c ﹣b ＜0．∴（a +b +c ）（a +c ﹣b ）（a ﹣c +b ）（a ﹣c ﹣b ）＜0．∴△＜0．∴原方程没有实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了因式分解和三角形的三边关系．【变式4-3】（2018秋•宜昌期末）已知228160(0)x x m m -+-=≠是关于x 的一元二次方程（1）证明：此方程总有两个不相等的实数根；（2）若等腰ABC ∆的一边长6a =，另两边长b 、c 是该方程的两个实数根，求ABC ∆的面积．【分析】（1）计算判别式的值得到△＝4m 2，从而得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x ＝4±m ，即b ＝4+m ，c ＝4﹣m ，讨论：当b ＝a ＝6时，即4+m ＝6，解得m ＝2，利用勾股定理计算出底边上的高，然后计算△ABC 的面积；当c ＝a 时，即4﹣m ＝6，解得m ＝﹣2，即a ＝c ＝6，b ＝2，利用同样方法计算△ABC 的面积．【答案】（1）证明：△＝（﹣8）2﹣4×（16﹣m 2）＝4m 2，∵m ≠0，∴m 2＞0，∴△＞0，∴此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵x ＝4±m ，即b ＝4+m ，c ＝4﹣m ，当b ＝a 时，4+m ＝6，解得m ＝2，即a ＝b ＝6，c ＝2，底边上的高为＝，所以△ABC 的面积＝×2×＝；当c ＝a 时，4﹣m ＝6，解得m ＝﹣2，即a ＝c ＝6，b ＝2，底边上的高为＝，所以△ABC 的面积＝×2×＝，即△ABC 的面积为． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．【考点5 一元二次方程根与系数的关系】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积，并且能够灵活运用所学 知识对代数式进行变形得到两根之和与两根之积的形式，代入即可求值.【例5】（2018秋•江汉区月考）已知1x ，2x 是方程23350x x --=的两个根，不解方程，求下列代数式的值；（1）2212x x +（2）1211x x + 【分析】（1）将所求的代数式进行变形处理：x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2．（2）根据异分母分式的加法法则进行变形处理，代入求值即可．【答案】解：∵x 1，x 2是方程3x 2﹣3x ﹣5＝0的两个根，∴x 1+x 2＝1，x 1•x 2＝﹣．（1）x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝12+2×＝．（2）＝＝＝﹣． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．【变式5-1】（2018秋•北湖区校级月考）已知m ，n 是方程220140x x --=的两个实数根，求下列代数式的值．（1）22015m m -+；（2）22014()(1)m m m m--+； （3）222014m m n --+．【分析】根据根与系数的关系可得：m +n ＝1，mn ＝﹣2014，m 2﹣m ＝2014．（1）将m 2﹣m ＝2014代入m 2﹣m +2015中，即可求出结论；（2）将m +n ＝1，mn ＝﹣2014，m 2﹣m ＝2014代入（m 2﹣m ）（m ﹣+1）＝（m 2﹣m ）×（m +n +1）中，即可求出结论；（3）将m +n ＝1，m 2﹣m ＝2014代入m 2﹣2m ﹣n +2014＝（m 2﹣m ）﹣（m +n ）+2014中，即可求出结论．【答案】解：∵m ，n 是方程x 2﹣x ﹣2014＝0的两个实数根，∴m +n ＝1，mn ＝﹣2014，m 2﹣m ＝2014．（1）m 2﹣m +2015＝2014+2015＝4029；（2）（m 2﹣m ）（m ﹣+1）＝（m 2﹣m ）×（m +n +1）＝2014×2＝4028； （3）m 2﹣2m ﹣n +2014＝（m 2﹣m ）﹣（m +n ）+2014＝2014﹣1+2014＝4027．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的化简求值，解题的关键是：（1）利用根与系数的关系找出m 2﹣m ＝2014；（2）将（m 2﹣m ）（m ﹣+1）变形为（m 2﹣m ）×（m +n +1）；（3）将m 2﹣2m﹣n +2014变形为（m 2﹣m ）﹣（m +n ）+2014．【变式5-2】（2018秋•江都区校级月考）已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程24410kx kx k +++=的两个实根，是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【分析】由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x 1+x 2＝﹣1，x 1x 2＝，然后把x 1+x 2、x 1x 2代入（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝﹣中，进而可求k 的值；【答案】解：不存在，理由：假设成立，∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2+4kx +k +1＝0的两个实根，∴△＝16k 2﹣4×4k （k +1）＝﹣16k ≥0，且k ≠0∴k ＜0， ∵x 1、x 2是一元二次方程4kx 2﹣4kx +k +1＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝﹣1，x 1x 2＝， ∴（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝2x 12﹣4x 1x 2﹣x 1x 2+2x 22＝2（x 1+x 2）2﹣9x 1x 2＝2×（﹣1）2﹣9×＝2﹣，∵（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝﹣，∴2﹣＝﹣，∴k ＝，∵k ＜0， ∴不存在这样k 的值，使（2x 1﹣x 2）（x 1﹣2x 2）＝﹣成立【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关系．【变式5-3】（2018秋•龙湖区校级月考）已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程222(1)50x m x m -+++=的两实数根，且1x ，2x 恰好是ABC ∆另外两边的边长，已知等腰ABC ∆的一边长为7，求这个三角形的周长．【分析】分类讨论：若x 1＝7时，把x ＝7代入方程得49﹣14（m +1）+m 2+5＝0，解得m 1＝10，m 2＝4，当m ＝10时，由根与系数的关系得x 1+x 2＝2（m +1）＝22，解得x 2＝15，根据三角形三边的关系，m ＝10舍去；当m ＝4时，x 1+x 2＝2（m +1）＝10，解得x 2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；若x 1＝x 2，则m ＝2，方程化为x 2﹣6x +9＝0，解得x 1＝x 2＝3，根据三角形三边的关系，m ＝2舍去．【答案】解：∵x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，而等腰△ABC 的一边长为7，∴x ＝7必是一元二次方程x 2﹣2（m +1）x +m 2+5＝0的一个解，把x ＝7代入方程得49﹣14（m +1）+m 2+5＝0，整理得m 2﹣14m +40＝0，解得m 1＝10，m 2＝4，当m ＝10时，x 1+x 2＝2（m +1）＝22，解得x 2＝15，而7+7＜15，故舍去；当m ＝4时，x 1+x 2＝2（m +1）＝10，解得x 2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；若x 1＝x 2，则m ＝2，方程化为x 2﹣6x +9＝0，解得x 1＝x 2＝3，则3+3＜7，故舍去，所以这个三角形的周长为17．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，根的判别式，等腰三角形的性质以及三角形三边的关系，难度适中．【考点6 有关一元二次方程传播问题】【方法点拨】解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。
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决战2020年中考典型压轴题大突破模块一中考压轴题应用题专题考向导航新的《课程标准》指出:“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具。
”为了和新的教育理念接轨，各地中考命题都加大了考查应用题的力度.近几年的数学应用题主要有以下特色:涉及的数学知识并不深奥，也不复杂，无需特殊的解题枝巧，涉及的背景材料十分广泛.涉及到社会生产生活的方方面面:再就是题目文字冗长.常令学生抓不住要领，不知如何解题。
解答的关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题.将其转化为数学模型。
专题01 方程（组）型应用题方法点拨方程是描述丰富多彩的现实世界数量关系的最重要的语言，也是中考命题所要考查的重点热点之.我们必须广泛了解现代社会中日常生活、生产实践、经济活动的有关常识,并学会用数学中方程的思想去分析和解决此实际问题。
解此类问题的方法是:(1)审题，明确末知量和已知量:(2)设未知数，务必写明意义和单位:(3)依题意,找出等量关系，列出等量方程:(4)解方程，必要时验根。
精典例题1．为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两种玩具，其中A类玩具的进价比B玩具的进价每个多3元，经调查：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同（1）求A、B两类玩具的进价分别是每个多少元？（2）该玩具店共购进了A、B两类玩具共100个，若玩具店将每个A类玩具定价为30元出售，每个B 类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，则商店至少购进A类玩具多少个？【点睛】（1）设B的进价为x元，则a的进价是（x+3）元；根据用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可．（2）设A玩具a个，则B玩具（100﹣a）个，结合“玩具店将每个A类玩具定价为30元出售，每个B 类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元”列出不等式并解答．【详解】解：（1）设B的进价为x元，则a的进价是（x+3）元由题意得900x+3=750x，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解．所以15+3＝18（元）答：A的进价是18元，B的进价是15元；（2）设A 玩具a 个，则B 玩具（100﹣a ）个， 由题意得：12a +10（100﹣a ）≥1080， 解得a ≥40．答：至少购进A 40个．2．（2020•新都区模拟）某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：销售单价x （元∕件） … 30 40 50 60 … 每天销售量y （件）…500400300200…（1）研究发现，每天销售量y 与单价x 满足一次函数关系，求出y 与x 的关系式；（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？ 【点睛】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”可得关于x 的一元二次方程，解之即可得． 【详解】解：（1）设y ＝kx +b ， 根据题意可得{30k +b =50040k +b =400，解得：{k =−10b =800，则y ＝﹣10x +800；（2）根据题意，得：（x ﹣20）（﹣10x +800）＝8000， 整理，得：x 2﹣100x +2400＝0， 解得：x 1＝40，x 2＝60，∵销售单价最高不能超过45元/件， ∴x ＝40，答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元．巩固突破1．（2019•云南）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动．已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度．【点睛】设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为x 千米/小时，则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x 千米/小时，由时间关系“甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地”列出方程，解方程即可．【详解】解：设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为x 千米/小时，则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x 千米/小时， 由题意得：240x−2701.5x=1，解得：x ＝60，经检验，x ＝60是所列方程的解， 则1.5x ＝90，答：甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为60千米/小时、90千米/小时．2．（2019•眉山）在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m 2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天． （1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？【点睛】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm 2，根据题意列出方程：600x−6002x=6，解方程即可；（2）设甲工程队施工a 天，乙工程队施工b 天刚好完成绿化任务，由题意得：100a +50b ＝3600，则a =72−b 2=−12b +36，根据题意得：1.2×72−b2+0.5b ≤40，得出b ≥32，即可得出结论． 【详解】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm 2， 根据题意得：600x−6002x=6，解得：x ＝50，经检验，x ＝50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m 2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m 2、50m 2； （2）设甲工程队施工a 天，乙工程队施工b 天刚好完成绿化任务， 由题意得：100a +50b ＝3600，则a =72−b 2=−12b +36， 根据题意得：1.2×72−b2+0.5b ≤40， 解得：b ≥32，答：至少应安排乙工程队绿化32天．3．（2019•遂宁）仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的32倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）第一批仙桃每件进价是多少元？（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润＝售价﹣进价） 【点睛】（1）设第一批仙桃每件进价是x 元，则第二批每件进价是（x +5）元，再根据等量关系：第二批仙桃所购件数是第一批的32倍，列方程解答；（2）设剩余的仙桃每件售价y 元，由利润＝售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于440元，可列不等式求解．【详解】解：（1）设第一批仙桃每件进价x 元，则2400x×32=3700x+5，解得 x ＝180．经检验，x ＝180是原方程的根． 答：第一批仙桃每件进价为180元； （2）设剩余的仙桃每件售价打y 折． 则：3700180+5×225×80%+3700180+5×225×（1﹣80%）×0.1y ﹣3700≥440，解得 y ≥6．答：剩余的仙桃每件售价至少打6折．4．（2019•青岛）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？【点睛】（1）设乙每天加工x 个零件，则甲每天加工1.5x 个零件，根据甲比乙少用5天，列分式方程求解；（2）设甲加工了x 天，乙加工了y 天，根据3000个零件，列方程；根据总加工费不超过7800元，列不等式，方程和不等式综合考虑求解即可．【详解】解：（1）设乙每天加工x 个零件，则甲每天加工1.5x 个零件，由题意得：600x=6001.5x+5化简得600×1.5＝600+5×1.5x 解得x ＝40 ∴1.5x ＝60经检验，x ＝40是分式方程的解且符合实际意义． 答：甲每天加工60个零件，乙每天加工，40个零件． （2）设甲加工了x 天，乙加工了y 天，则由题意得 {60x +40y =3000①150x +120y ≤7800② 由①得y ＝75﹣1.5x ③将③代入②得150x +120（75﹣1.5x ）≤7800 解得x ≥40，当x ＝40时，y ＝15，符合问题的实际意义． 答：甲至少加工了40天．5．（2019•巴中）在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同． ①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？【点睛】①设乙种物品单价为x 元，则甲种物品单价为（x +10）元，由题意得分式方程，解之即可； ②设购买甲种物品y 件，则乙种物品购进（55﹣y ）件，由题意得不等式，从而得解．【详解】解：①设乙种物品单价为x 元，则甲种物品单价为（x +10）元，由题意得：500x+10=450x解得x ＝90经检验，x ＝90符合题意∴甲种物品的单价为100元，乙种物品的单价为90元． ②设购买甲种物品y 件，则乙种物品购进（55﹣y ）件 由题意得：5000≤100y +90（55﹣y ）≤5050 解得5≤y ≤10∴共有6种选购方案．6．（2019•盘锦模拟）潮州旅游文化节开幕前，某凤凰茶叶公司预测今年凤凰茶叶能够畅销，就用32000元购进了一批凤凰茶叶，上市后很快脱销，茶叶公司又用68000元购进第二批凤凰茶叶，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克凤凰茶叶进价多了10元． （1）该凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶多少千克？（2）如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每千克售价至少是多少元？【点睛】（1）设凤凰茶叶公司公司第一次购x 千克茶叶，则第二次购进2x 千克茶叶，根据单价＝总价÷数量结合第二次购进茶叶每千克比第一次购进的贵10元，即可得出关于x 的分式方程，解之并检验后即可得出结论；（2）设每千克茶叶售价y 元，根据利润＝销售收入﹣成本，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【详解】解：（1）设凤凰茶叶公司公司第一次购x 千克茶叶，则第二次购进2x 千克茶叶， 根据题意得：680002x−32000x=10，解得：x ＝200，经检验，x ＝200是原方程的根，且符合题意， ∴2x +x ＝2×200+200＝600．答：凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶600千克． （2）设每千克茶叶售价y 元，根据题意得：600y ﹣32000﹣68000≥（32000+68000）×20%， 解得：y ≥200．答：每千克茶叶的售价至少是200元．7．（2019•碑林区校级二模）骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A 型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A 型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A 型车数量相同，则今年6月份A 型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．A ，B 两种型号车的进货和销售价格表：A 型车B 型车 进货价格（元/辆） 1100 1400 销售价格（元/辆）今年的销售价格2400（1）求今年6月份A 型车每辆销售价多少元；（2）该车行计划7月份新进一批A 型车和B 型车共50辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？【点睛】（1）设去年6月份A 型车每辆销售价x 元，那么今年6月份A 型车每辆销售（x +400）元，根据销售总额和每辆销售价列出方程，即可解决问题．（2）设今年7月份进A 型车m 辆，则B 型车（50﹣m ）辆，获得的总利润为y 元，先求出m 的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题．【详解】解：（1）设去年6月份A 型车每辆销售价x 元，那么今年6月份A 型车每辆销售（x +400）元， 根据题意得32000x=32000(1+25%)x+400，解得：x ＝1600，经检验，x ＝1600是方程的解． x ＝1600时，x +400═2000．答：今年6月份A 型车每辆销售价2000元．（2）设今年7月份进A 型车m 辆，则B 型车（50﹣m ）辆，获得的总利润为y 元， 根据题意得50﹣m ≤2m ， 解得：m ≥1623，∵y＝（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（50﹣m）＝﹣100m+50000，∴y随m的增大而减小，∴当m＝17时，可以获得最大利润．答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆．8．（2019•南岗区模拟）某地在进入防汛期间，准备对4800米长的河堤进行加固，在加固工程中，该地驻军出色地完成了任务，它们在加固600米后，采用了新的加固模式，每天加固的长度是原来的2倍，结果只用9天就完成了加固任务．（1）求该地驻军原来每天加固大坝的米数；（2）由于汛情严重，该驻军部队又接到了加固一段长4200米大坝的任务，他们以上述新的加固模式进行了2天后，接到命令，必须在4天内完成剩余任务，求该驻军每天至少还要再多加固多少米？【点睛】（1）设原来每天加固x米，从对话中可以看出：前600米采用的时原先的加固模式，后4200米采用的时新的加固模式，共用了9天完成任务；等量关系为：原模式加固天数+新模式加固天数＝9，根据等量关系列出方程式，求解即可；（2）根据要加固一段长4200米大坝的任务，表示每天加固的米数，进而得出不等式求出答案．【详解】解：（1）设原来每天加固x米600 x +42002x=9，解得：x＝300，经检验x＝300是原方程的解，答：原来每天加固300米；（2）设每天加固a米2（600+a）+2×600≥4200，解得：a≥900，答：至少比之前多加固900米．9．（2019•海安市模拟）甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款60000元，已知乙公司比甲公司人均多捐40元，甲公司的人数比乙公司的人数多20%．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．【点睛】首先提出问题，例如，求甲、乙两公司的人数分别是多少？则本题的等量关系是：乙公司的人均捐款﹣甲公司的人均捐款＝40，根据这个等量关系可得出方程求解．【详解】问题：求甲、乙两公司的人数分别是多少？ 解：设乙公司人数为x ，则甲公司的人数为（1+20%）x ， 根据题意得：60000x−60000(1+20%)x=40解得：x ＝250经检验x ＝250是原方程的根， 故（1+20%）×250＝300（人）， 答：甲公司为300人，乙公司250人．10．（2019•岳阳二模）某校为美化校园，计划对某一区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m 2？【点睛】设乙工程队每天能完成绿化的面积是x （m 2），根据在独立完成面积为400m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出分式方程，解方程即可．【详解】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x （m 2），根据题意得400x−4002x=4解得：x ＝50经检验：x ＝50是原方程的解所以甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m 2）答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m 2、50m 2．11．（2019•柯桥区模拟）某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x （元）取整数，用y （元）表示该店每天的利润． （1）若每份套餐售价不超过10元． ①试写出y 与x 的函数关系式；②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应为多少元？（2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若不能，请说明理由；若能，求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？【点睛】（1）本题考查的是分段函数的知识点．当5＜x≤10时，y＝400（x﹣5）﹣600；（2）当x＞10时，y＝（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600，把y＝1560代入，并解答．【详解】解：（1）①y＝400x﹣2600．（5＜x≤10）．②依题意得：400x﹣2600≥800，解得：x≥8.5，又∵5＜x≤10，∴8.5≤x≤10．∵且每份套餐的售价x（元）取整数，∴每份套餐的售价应为9元或10元．（2）能，理由：依题意可知：每份套餐售价提高到10元以上时，y＝（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600，当y＝1560时，（x﹣5）[400﹣40（x﹣10）]﹣600＝1560，解得：x1＝11，x2＝14，为了保证净收入又能吸引顾客，应取x1＝11，即x2＝14不符合题意．故该套餐售价应定为11元．12．（2019•夏津一模）为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【点睛】根据题意先判断出参加的人数在30人以上，设共有x名同学参加了研学游活动，再根据等量关系：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数＝3150，列出方程，然后求解即可得出答案．【详解】解：∵100×30＝3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设共有x名同学参加了研学游活动，由题意得：x[100﹣2（x﹣30）]＝3150，解得x1＝35，x2＝45，当x＝35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）＝90＞80，符合题意；当x＝45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）＝70＜80，不符合题意，应舍去．答：共有35名同学参加了研学游活动．13．（2019•襄州区模拟）某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加．2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元，从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？【点睛】设年平均增长率为x，根据：2014年投入资金给×（1+增长率）2＝2016年投入资金，列出方程组求解可得．【详解】解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得：1280（1+x）2＝1280+1600，解得：x＝0.5或x＝﹣2.5（舍），答：从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．14．（2019•高台二模）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？【点睛】（1）设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．【详解】解：（1）设每次降价的百分率为x．40×（1﹣x）2＝32.4x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率啊10%；（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由题意，得（40﹣30﹣y）（4×y0.5+48）＝510，解得：y1＝1.5，y2＝2.5，∵有利于减少库存，∴y＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元．15．（2019•紫金一模）淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病，牵动了全校师生的心，该校开展了“献爱心”捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款？【点睛】（1）设捐款的增长率为x，则第三天的捐款数量为10000（1+x）2元，根据第三天的捐款数量为12100元建立方程求出其解即可．（2）根据（1）求出的增长率列式计算即可．【详解】解：（1）捐款增长率为x，根据题意得：10000（1+x）2＝12100，解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍去）．则x＝0.1＝10%．答：捐款的增长率为10%．（2）根据题意得：12100×（1+10%）＝13310（元），答：第四天该校能收到的捐款是13310元．16．（2019•台安一模）某商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的零售单价分别为2元和3元．（直接写出答案）（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1200件．经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m ＞0）元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？【点睛】（1）根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可；（2）根据降价后甲每天卖出：（500+m 0.1×100）件，每件降价后每件利润为：（1﹣m ）元；即可得出总利润，利用一元二次方程解法求出即可【详解】解：（1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为x ，y 元，根据题意得：{x +y =33(x +1)+2(2y −1)=12， 解得：{x =1y =2， ∴甲、乙零售单价分别为2元和3元；故答案为：2，3；（2）根据题意得出：(1−m)(500+100×m 0.1)+1×1200=1700即2m 2﹣m ＝0，解得m ＝0.5或m ＝0（舍去），答：当m 定为0.5元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元．17．（2019•沈阳模拟）校园空地上有一面墙，长度为20m ，用长为32m 的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m 2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积能达到170m 2吗？请说明理由．【点睛】（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，根据矩形的面积公式，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米，根据矩形的面积公式，即可得出关于y 的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣16＜0，由此得出假设不成立，即若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．【详解】解：（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，根据题意得：x（32﹣2x）＝126，解得：x1＝7，x2＝9，∴32﹣2x＝18或32﹣2x＝14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y（36﹣2y）＝170，整理得：y2﹣18y+85＝0．∵△＝（﹣18）2﹣4×1×85＝﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．18．（2019•兴业一模）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的14000元/m2下降到12月份的11340元/m2．（1）求11、12两月平均每月降价的百分率是多少？（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2？请说明理由．【点睛】（1）设11、12两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为14000（1﹣x），12月份的房价为14000（1﹣x）2，然后根据12月份的11340元/m2即可列出方程解决问题；（2）根据（1）的结果可以计算出今年2月份商品房成交均价，然后和10000元/m2进行比较即可作出判断．【详解】解：（1）设11、12两月平均每月降价的百分率是x，则11月份的成交价是：14000（1﹣x），12月份的成交价是：14000（1﹣x）2∴14000（1﹣x）2＝11340，∴（1﹣x）2＝0.81，∴x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：11、12两月平均每月降价的百分率是10%；（2）会跌破10000元/m2．如果按此降价的百分率继续回落，估计今年2月份该市的商品房成交均价为：11340（1﹣x）2＝11340×0.81＝9185.4＜10000．由此可知今年2月份该市的商品房成交均价会跌破10000元/m2．19．（2019•莲湖区模拟）某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销．购进价格为每件10元．若售价为12元/件，则可全部售出．若每涨价0.1元．销售量就减少2件．（1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？（2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少215m%．结果10月份利润达到3388元，求m的值（m＞10）．【点睛】（1）设售价应为x元，根据不等关系：该文具店在9月份销售量不低于1100件，列出不等式求解即可；（2）先求出10月份的进价，再根据等量关系：10月份利润达到3388元，列出方程求解即可．【详解】解：（1）设售价应为x元，依题意有1160−2(x−12)0.1≥1100，解得x≤15．答：售价应不高于15元．（2）10月份的进价：10（1+20%）＝12（元），由题意得：1100（1+m%）[15（1−215m%）﹣12]＝3388，设m%＝t，化简得50t2﹣25t+2＝0，解得：t1=25，t2=110，所以m1＝40，m2＝10，因为m＞10，所以m＝40．答：m的值为40．20．（2019•渝中区校级一模）某电脑销售商试销某一品牌电脑（出厂为3000元/台）以4000元/台销售时，平均每月可销售100台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元．已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台．（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率；（2）求3月份时该电脑的销售价格．【点睛】（1）由题意可得，1月份的销售额为：400000元；设1月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售额为：400000（1+x）；三月份的销售额为：400000（1+x）（1+x），又知三月份的销售额为：576000元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；（2）已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台，所以设3月份电脑的销售价格在每台4000元的基础上下降y元，那么三月份销售量为：100+10×y100=100+0.1y台．即：此时，三月份的销售额为：（4000﹣y）（100+0.1y），又知三月份的销售额为：576000元，由此等量关系列出方程求出y的值，所以三月份的销售价格为：4000﹣y元．【详解】解：（1）设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x，由题意得：400000（1+x）2＝576000，1+x＝±1.2，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）∴1月份到3月份销售额的月平均增长率为20%；（2）设3月份电脑的销售价格在每台4000元的基础上下降y元，由题意得：（4000﹣y）（100+0.1y）＝576000，y2﹣3000y+1760000＝0，（y﹣800）（y﹣2200）＝0，∴y＝800或y＝2200，当y＝2200时，3月份该电脑的销售价格为4000﹣2200＝1800＜3000不合题意舍去．∴y＝800，3月份该电脑的销售价格为4000﹣800＝3200元．∴3月份时该电脑的销售价格为3200元．。