2014-2015年福建省泉州市安溪一中高二(上)期中数学试卷和参考答案(理科)
2014-2015年福建省泉州市晋江二中高二上学期数学期中试卷带答案(理科)
2014-2015学年福建省泉州市晋江二中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（每小题5分共60分）1．（5分）如图，为了测量隧道两口之间AB的长度，对给出的四组数据，求解计算时，较为简便易行的一组是（）A．a，b，γ B．a，b，α C．a，b，β D．α，β，a2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜03．（5分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．4．（5分）若数列{a n}是公比为4的等比数列，且a1=2，则数列{log2a n}是（）A．公差为2的等差数列B．公差为lg2的等差数列C．公比为2的等比数列D．公比为lg2的等比数列5．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件6．（5分）在等差数列{a n}中，a3，a8是方程x2﹣3x﹣5=0的两个根，则S10是（）A．15 B．30 C．50 D．7．（5分）已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a ＞0的解集为（）A．{x|﹣＜x＜} B．{x|x＜﹣或x＞} C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|x＜﹣3或x＞2}8．（5分）下列函数中最小值为4的是（）A．y=x+B．y=C．y=e x+4e﹣x D．y=sinx+，（0＜x＜π）9．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 10．（5分）已知等比数列{a n}的首项为8，S n是其前n项的和，某同学经计算得S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（）A．S1B．S2C．S3D．S411．（5分）下列结论中正确的个数是（）①在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC为等腰三角形②若等差数列的通项公式为a n=4n﹣21，则S5为最小值；③当0＜x＜2时，函数f（x）=x（4﹣2x）的最大值为2④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．A．.1 B．2 C．.3 D．412．（5分）如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．设正项数列{a n}是首项为2，公方差为2的等方差数列，则第31项为（）A．4 B． C．8 D．62二．填空题（每小题4分共20分）13．（4分）命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆命题是．14．（4分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的整数解构成递增等差数列{a n}前三项，则数列{a n}的第四项为．15．（4分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2=a2+b2+ab，则∠C=．16．（4分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=．17．（4分）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记n阶幻方的对角线上数的和为N，如图的幻方记为N3=15，那么N12的值为．三．解答题18．（8分）已知命题p：关于x的方程ax﹣1=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）（1）已知两正数x，y满足x+2y=1，求xy的最大值（2）当x∈（1，+∞），不等式x+≥a恒成立，求a的取值范围．20．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）若A，B，C成等差数列，且AB=2，AC=2，求△ABC的面积；（2）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cos B的值．21．（12分）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．22．（12分）现在“汽车”是很“给力”的名词．汽车厂商对某款汽车的维修费进行电脑模拟试验，分别以汽车使用年限n和前n年累计维修费S n（万元）为横、纵坐标绘制成点，发现点（n，S n）在函数y=ax2+bx（a≠0）的图象上（如图所示），其中A（5，1.05）、B（10，4.1）．（1）求出累计维修费S n关于使用年数n的表达式，并求出第n年得维修费；（2）汽车开始使用后每年均需维修，按国家质量标准规定，出售后前两年作为保修时间，在保修期间的维修费用由汽车厂商承担，保修期过后，汽车维修费用有车主承担．若某人以9.18万元的价格购买这款品牌车，求年平均耗资费的最小值．（年平均耗资费=）23．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．2014-2015学年福建省泉州市晋江二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（每小题5分共60分）1．（5分）如图，为了测量隧道两口之间AB的长度，对给出的四组数据，求解计算时，较为简便易行的一组是（）A．a，b，γ B．a，b，α C．a，b，β D．α，β，a【解答】解：根据实际情况α、β都是不易测量的数据，在△ABC中，a，b可以测得，角γ也可测得，根据余弦定理能直接求出AB的长．故选：A．2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选：D．3．（5分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜b2C．﹣ab＜﹣a2D．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A不正确．可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选：D．4．（5分）若数列{a n}是公比为4的等比数列，且a1=2，则数列{log2a n}是（）A．公差为2的等差数列B．公差为lg2的等差数列C．公比为2的等比数列D．公比为lg2的等比数列【解答】解：由题意得a n=2•4n﹣1=22n﹣1，log2a n=log222n﹣1=2n﹣1则所以数列{log2a n}是公差为2的等差数列故选：A．5．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“好货”是“不便宜”的充分不必要条件故选：A．6．（5分）在等差数列{a n}中，a3，a8是方程x2﹣3x﹣5=0的两个根，则S10是（）A．15 B．30 C．50 D．【解答】解：由题意可得：a3，a8是方程x2﹣3x﹣5=0的两个根，所以a3+a8=3，因为在等差数列{a n}中，若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m+a n=a p+a q．所以a3+a8=a1+a10=3，由等差数列的前n项和的公式可得：，所以S10=15．故选：A．7．（5分）已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a ＞0的解集为（）A．{x|﹣＜x＜} B．{x|x＜﹣或x＞} C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|x＜﹣3或x＞2}【解答】解：因为ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}根据一元二次不等式求解集的方法可得ax2﹣5x+b=a（x+3）（x﹣2）且a＜0解得a=﹣5，b=30．则不等式bx2﹣5x+a＞0变为30x2﹣5x﹣5＞0解得x＜﹣或x故选：B．8．（5分）下列函数中最小值为4的是（）A．y=x+B．y=C．y=e x+4e﹣x D．y=sinx+，（0＜x＜π）【解答】解：A．当x＜0时，=﹣4，当且仅当x=﹣2时取等号．因此此时A无最小值；B.==4，当且仅当x2+2=1时取等号，但是此时x的值不存在，故不能取等号，即y＞4，因此B的最小值不是4；C.=4，当且仅当，解得e x=2，即x=ln4时取等号，即y的最小值为4，因此C满足条件；D．当0＜x＜π时，sinx＞0，∴=4，当且仅当，即sinx=2时取等号，但是sinx不可能取等号，故y＞4，因此不满足条件．综上可知：只有C满足条件．故选：C．9．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．10．（5分）已知等比数列{a n}的首项为8，S n是其前n项的和，某同学经计算得S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（）A．S1B．S2C．S3D．S4【解答】解：根据题意可得显然S1是正确的．假设后三个数均未算错，则a1=8，a2=12，a3=16，a4=29，可知a22≠a1a3，所以S2、S3中必有一个数算错了．若S2算错了，则a4=29=a1q3，，显然S3=36≠8（1+q+q2），矛盾．所以只可能是S3算错了，此时由a2=12得，a3=18，a4=27，S4=S2+18+27=65，满足题设．故选：C．11．（5分）下列结论中正确的个数是（）①在△ABC中，若acosB=bcosA，则△ABC为等腰三角形②若等差数列的通项公式为a n=4n﹣21，则S5为最小值；③当0＜x＜2时，函数f（x）=x（4﹣2x）的最大值为2④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．A．.1 B．2 C．.3 D．4【解答】解：对于①结论正确，在△ABC中，若acosB=bcosA，有正弦定理，得sinAcosB=sinBcosA，sinAcosB﹣sinBcosA=0得sin（A﹣B）=0，又A，B，C是三角形内角，∴A﹣B=0，∴A=B，∴△ABC为等腰三角形对于②结论是正确的，若等差数列的通项公式为a n=4n﹣21，n=1，2，3，4，5，时a n＜0，∴S n最小值=S5对于③结论是正确的，当0＜x＜2时，函数f（x）=x（4﹣2x）=2x（2﹣x）≤2•（）2=2，对于④结论是不正确的，两个相交平面可以同时垂直同一个平面．综上，结论①②③是正确的．故选：C．12．（5分）如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．设正项数列{a n}是首项为2，公方差为2的等方差数列，则第31项为（）A．4 B． C．8 D．62【解答】解：根据题意，得a22﹣a12=2，a32﹣a22=2，a42﹣a32=2a52﹣a42=2，…a n2﹣a（n﹣1）2=2，∴a n2﹣a12=2（n﹣1）∴a n2=a12+2（n﹣1）=2n+2∴a n=，∴a31==8，故选：C．二．填空题（每小题4分共20分）13．（4分）命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆命题是若方程x2+x ﹣m=0有实数根，则m＞0．【解答】解：∵“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，将原命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”写成“若p，则q”的形式时，p：m＞0；q：方程x2+x﹣m=0有实数根故其逆命题为：“若方程x2+x﹣m=0有实数根，则m＞0”故答案为：若方程x2+x﹣m=0有实数根，则m＞014．（4分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的整数解构成递增等差数列{a n}前三项，则数列{a n}的第四项为3．【解答】解：由x2﹣2x﹣3＜0可得﹣1＜x＜3∵x∈Z，则x=0，1，2．由数列为递增数列，从而可得该等差数列的前三项为0，1，2．∴a4=3．故答案为：3．15．（4分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2=a2+b2+ab，则∠C=120°．【解答】解：∵△ABC中，c2=a2+b2+ab，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC==﹣，则∠C=120°．故答案为：120°16．（4分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=﹣2．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y=k上，∴k=﹣2，故答案为：﹣2．17．（4分）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记n阶幻方的对角线上数的和为N，如图的幻方记为N3=15，那么N12的值为870．【解答】解：根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角上的两个数相加正好等于1+n2，根据等差数列的求和公式数列的和S=，N12==870故答案为：870三．解答题18．（8分）已知命题p：关于x的方程ax﹣1=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵ax﹣1=0，显然，a≠0，∴x=．∵x∈[﹣1，1]，故||≤1∴p：|a|≥1只有一个实数满足x2+2ax+2a≤0即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点∴△=4a2﹣8a=0．∴q：a=0或2．∴命题“p或q是真命题时”，|a|≥1或a=0∵命题“p或q”为假命题∴a的取值范围为{a|﹣1＜a＜0或0＜a＜1}．19．（12分）（1）已知两正数x，y满足x+2y=1，求xy的最大值（2）当x∈（1，+∞），不等式x+≥a恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵两正数x，y满足x+2y=1，∴，化为，当且仅当x=2y=时取等号，∴xy的最大值是．（2）∵x∈（1，+∞），不等式x+=x﹣1++1+1=3，当且仅当x=2时取等号．∵当x∈（1，+∞），不等式x+≥a恒成立，∴，∴a≤3．∴a的取值范围是（﹣∞，3]．20．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）若A，B，C成等差数列，且AB=2，AC=2，求△ABC的面积；（2）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cos B的值．【解答】解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，∵A+B+C=180°∴B=60°设BC=x，由余弦定理得12=4+x2﹣4xcos60°x2﹣2x﹣8=0，解得x=6，即BC=6∴=（2）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB∴ac=a2+c2﹣2accosB又∵c=2a，∴2a2=a2+4a2﹣4a2cosB∴21．（12分）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n=2，当d=4时，a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2．（Ⅱ）当a n=2时，S n=2n，显然2n＜60n+800，此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，当a n=4n﹣2时，S n==2n2，令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41，综上，当a n=2时，不存在满足题意的正整数n，当a n=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为4122．（12分）现在“汽车”是很“给力”的名词．汽车厂商对某款汽车的维修费进行电脑模拟试验，分别以汽车使用年限n和前n年累计维修费S n（万元）为横、纵坐标绘制成点，发现点（n，S n）在函数y=ax2+bx（a≠0）的图象上（如图所示），其中A（5，1.05）、B（10，4.1）．（1）求出累计维修费S n关于使用年数n的表达式，并求出第n年得维修费；（2）汽车开始使用后每年均需维修，按国家质量标准规定，出售后前两年作为保修时间，在保修期间的维修费用由汽车厂商承担，保修期过后，汽车维修费用有车主承担．若某人以9.18万元的价格购买这款品牌车，求年平均耗资费的最小值．（年平均耗资费=）【解答】解：由A（5，1.05）与B（10，4.1）在函数y=ax2+bx（a≠0）的图象上得解得a=0.04，b=0.01所以y=0.04x2+0.01x由（n，S n）在y=0.04x2+0.01x 知S n=0.04n2+0.01nn=1，a1=S1=0.05n≥2，a n=S n﹣S n﹣1=0.08n﹣0.03所以，a n=0.08n﹣0.03（2）由于在保修期间的维修费用由车企业承担所以当n≥3时，车主所承担的累计维修费为：a3+a4+…+a n=S n﹣S2=0.04n2+0.01n ﹣0.18万元车价+车主承担的维修费=0.04n2+0.01n﹣0.18+9.18=0.04n2+0.01n+9万元年平均耗资为万元当且仅当n=15取等号即使用15年这款汽车的年平均耗资费用最少为1.21万元23．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有．【解答】解：（1）当n=1时，，∵（2）当n ≥2时，满足，且，∴， ∴，∵a n ＞0，∴a n +1=a n +2，∴当n ≥2时，{a n }是公差d=2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴，，解得a 2=3，由（1）可知，，∴a 1=1∵a 2﹣a 1=3﹣1=2，∴{a n }是首项a 1=1，公差d=2的等差数列． ∴数列{a n }的通项公式a n =2n ﹣1． （3）由（2）可得式=．∴赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.A变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。
福建省泉州第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题
19． （本小题满分 12 分） 已知复数 z x yi ( x, y R) 在复平面上对应的点为 M . (1)设集合 P {4, 3, 2, 0} ， Q {0,1, 2} ，从集合 P 中随机取一个数作为 x ，从集合 Q 中随机取一个数作 为 y ，写出复数 z 的所有情况，并求复数 z 为纯虚数的概率；
) C. 60o D. 75o
11. F1 、 F2 为椭圆的两个焦点,Q 为椭圆上任一点,从任一焦点向 F1QF2 的顶点 Q 的外角平分线引垂线,垂 足为 P, 则 P 点轨迹是( A.圆 B.椭圆 12.如图, F1 , F2 是椭圆 C1 : ) C.双曲线 D.抛物线
x2 y 2 1 与双曲线 C2 的公共焦点, A, B 分别是 C1 , C2 在第二、四象限的公共点. 4 若四边形 AF1 BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( )
福建省泉州第一中学 2014-2015 学年高二上学期期末考试数学（文） 试题第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一．选择题（共 12 小题，每题 5 分共 60 分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上） 1．已知命题 p : x R ， 2 x 0 ，则( ) A． p : x R , 2 x 0 B． p : x R , 2 x 0 C． p : x R , 2 x ≤ 0 D． p : x R , 2 x ≤ 0 2. 复数
A． 2 B． 3 C．
3 2
D．
6 2
A F1
y
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二．填空题（共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，请把答案写在答题 上） 13．命题 “若 x y ，则 x y ”的逆否命题是
2 2
福建省安溪第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
2015高二下学期期中考试数学（理）试题参考公式：1.若（x 1，y 1），（x 2，y 2）…，（x n ，y n ）为样本点，ˆˆˆybx a =+为回归直线，则 11n i i x x n ==∑， 11ni i y y n ==∑()()()1122211ˆˆˆn niii ii i nniii i x y y y x y nx yb x x xnx ay bx ====---==--=-∑∑∑∑2.K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置） 1．设z ＝10i3＋i，则z 的共轭复数为( )A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i2．设随机变量ξ～N (0，1)，P (ξ＞1)＝p ，则P (－1＜ξ＜0)等于 ( )．A ．12pB ．1－pC ．1－2pD ．12－p3．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a 等于( )A ．2B ．54 C ．1 D ．244．如图所示，一个类似杨辉三角的数阵，则第n (n ≥2)行的第2个数为( )A ．n 2＋2n ＋3B ．n 2＋2n －3 C ．n 2－2n ＋3 D ．n 2－2n －35．实验测得五组(x,y)的值是(1,2),(2,3),(3,4),(4,4)，(5,5),则y 与x 之间的回归直线的方程是( ) A.y ∧= x ＋1 B. y ∧=0.7x ＋1.5 C. y ∧=2 x +1 D. y ∧= x -16．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( )A ．24种B ．48种C ．96种D ．144种7．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是( )A.16625B.96625C.624625D.46258．设随机变量ξ服从分布B(n,p),且E （ξ）=1.6,D （ξ）=1.28,则( )A n=8,p=0.2B n=4,p=0.4C n=5,p=0.32D n=7,p=0.459．如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有（ ）种 A ．72 B ．60 C ．48 D ．2410． 将三个骰子各掷一次，设事件A 为“三个骰子掷出的点数都不同”，事件B 为“至少有一个骰子掷出3点”，则条件概率P (A |B )，P (B |A )分别是( ) A.6091，12 B.12，6091 C.518，6091 D.91216，12二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．在 (x 2－1x)n 的展开式所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为 _________．12根据表中的数据断定主修统计专业与性别有关系，这种判断出错的可能性为____________． 13．如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第n 个图有a n 个“树枝”，则a n ＋1与a n (n ≥1)之间的关系是______．14．将10个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于一个，求放法总数是____________．15．图9-1-3展示了一个由区间()0,1到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数轴上的点M ，如图9-2中的图①；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，如图③.图③中直线AM 与x 轴交于点(),0N n ，则m 的象就是n ，记作()f m n =.下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号) ①114f ⎛⎫=⎪⎝⎭； ②()f x 是奇函数; ③()f x 在定义域上单调递增; ④()f x 的图像关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．(本小题满分13分)已知数列{}n a 满足112n na a +=-，10a =. （1）计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；（2）根据以上计算结果猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.17．(本小题满分13分)甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的概率分别为23，34，12，他们海选合格与不合格是相互独立的．(1)求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；(2)记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．18．(本小题满分13分)一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球(假设取到任一小球的可能性相等)． (1)求取出的小球中有相同编号的概率；(2)记取出的小球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．(本小题满分13分)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的余弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为6，求线段AM 的长．20. (本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上且过点P(3，12)，离心率是32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 过点E(－1，0)且与椭圆C 交于A ，B 两点，若|EA|＝2|EB|，求直线l 的方程．21. (本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax －bx ln x ，其图象经过点(1,1)，且在点(e ，f (e))处的切线斜率为3.(e 为自然对数的底数)．(1)求实数a 、b 的值；(2)若k ∈Z ，且k <f (x )x －1对任意x >1恒成立，求k 的最大值；(3)证明：2ln 2＋3ln 3＋…＋n ln n >(n －1)2(n ∈N *，n >1)．2015高二下学期期中考试数学（理）答案 一、选择题：D D C C B C B A A A二、填空题11. 0; 12. 0.05 ; 13. an ＋1＝2an ＋1(n≥1) 14. 84; 15. ③④ 三、解答题16.解：（1）由112n na a +=-和10a =，得 211202a ==-，3121322a ==-， 4132423a ==-，5143524a ==-.（2）由以上结果猜测：1n n a n -=用数学归纳法证明如下：（Ⅰ）当1n =时 ，左边10a ==，右边1101-==，等式成立.（Ⅱ）假设当(1)n k k =≥时,命题成立，即1k k a k -=成立.那么，当1n k =+时，111(1)112112k k k k a k a k k k++-====--++-这就是说，当1n k =+时等式成立.由（Ⅰ）和（Ⅱ），可知猜测1n n a n-=对于任意正整数n 都成立.17.解 (1)记“甲海选合格”为事件A ，“乙海选合格”为事件B ，“丙海选合格”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名海选合格”为事件E ，则P (E )＝1－P (A B C )＝1－13×14×12＝2324.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝P (A B C )＝124；P (ξ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝624；P (ξ＝2)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝1124；P (ξ＝3)＝P (ABC )＝624.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×124＋1×624＋2×1124＋3×624＝2312.18.解 (1)设取出的小球中有相同编号的事件为A ，编号相同可分成一个相同和两个相同．P (A )＝2(C 12C 13＋C 23)＋1C 47＝1935. (2)随机变量X 的可能取值为3,4,6.P (X ＝3)＝1C 47＝135，P (X ＝4)＝C 12C 34＋C 24C 47＝25， P (X ＝6)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X的数学期望E (X )＝3×135＋4×25＋6×47＝17935.19．(方法一)(1)证明：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．易得11B C ＝(1,0，－1)，CE ＝(－1,1，－1)，于是11B C ·CE ＝0， 所以B 1C 1⊥CE .(2)1BC ＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则10,0,B C CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,0.x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)．由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1， 故11B C ＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量． 于是cos 〈m ，11B C〉＝1111||||14B C B C ⋅==⋅m m ， 因为二面角B 1－CE －C 1的平面角是锐角 所以二面角B 1－CE －C 1(3)AE ＝(0,1,0)，1EC ＝(1,1,1)．设EM ＝λ1EC ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM ＝AE ＋EM ＝(λ，λ＋1，λ)． 可取AB ＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量． 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则 sin θ＝|cos 〈AM ，AB 〉|＝AM AB AM AB⋅⋅＝=.6=，解得13λ=，所以AM (方法二) (1)证明：因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E B 1C 1EC 1 从而B 1E 2＝22111B C EC +，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ，又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1， 所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .(2)过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ，连接C 1G .由(1)，B 1C 1⊥CE ，故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ， 所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E CC 1＝2，可得C 1G . 在Rt △B 1C 1G 中，B 1G ， 所以二面角B 1－CE －C 1 (3)连接D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连接AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH ＝6x ，AHx. 在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1EH 13x =.在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos 135°，得2217111893x x x =++， 整理得5x 2－－6＝0，解得x所以线段AM20.(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，3a 2＋14b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝1. 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由已知，若直线l 的斜率不存在，则过点E(－1，0)的直线l 的方程为x ＝－1，此时令A(－1，32)，B(－1，－32)，显然|EA|＝2|EB|不成立．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k （x ＋1），整理得(4k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋4k 2－4＝0.则Δ＝(8k 2)2－4(4k 2＋1)(4k 2－4)＝48k 2＋16＞0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．故x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋1，① x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1.②因为|EA|＝2|EB|，即x 1＋2x 2＝－3.③①②③联立解得k ＝±156.所以直线l 的方程为15x ＋6y ＋15＝0和15x －6y ＋15＝0. 21.【解】 (1)因为f (1)＝1，所以a ＝1， 此时f (x )＝x －bx ln x ，f ′(x )＝1－b (1＋ln x )， 依题意，f ′(e)＝1－b (1＋ln e)＝3，所以b ＝－1. (2)由(1)知：f (x )＝x ＋x ln x ，当x >1时，设g (x )＝f (x )x －1＝x ＋x ln xx －1，则g ′(x )＝x －2－ln x (x －1)2.设h (x )＝x －2－ln x ，则h ′(x )＝1－1x>0，h (x )在(1，＋∞)上是增函数．因为h (3)＝1－ln 3<0，h (4)＝2－ln 4>0， 所以，存在x 0∈(3,4)，使h (x 0)＝0.当x ∈(1，x 0)时，h (x )<0，g ′(x )<0，即g (x )在(1，x 0)上为减函数；同理g (x )在(x 0，＋∞)上为增函数，从而g (x )的最小值为g (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0x 0－1，所以x 0∈(3,4)，k 的最大值为3.(3)证明 由(2)知，当x >1时，f (x )x －1>3，所以f (x )>3x －3，即x ＋x ln x >3x －3，x ln x >2x －3，所以2ln 2＋3ln 3＋…＋n ln n >(2×2－3)＋(2×3－3)＋…＋(2n －3)＝2(2＋3＋…＋n )－3(n(n－1)(2＋n)2－3n＋3＝n 2－2n＋1＝(n－1)2(n∈N*，n>1)．－1)＝2×。
【精编】2014-2015年福建省泉州一中高二(上)数学期中试卷和参考答案(理科)
2014-2015学年福建省泉州一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）下列关于频率与概率的关系表示正确的是（）A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．概率是随机的，在实验前不能确定D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率2．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2≥0，则有（）A．¬p：∃x∈R，x2≥0 B．¬p：∀x∈R，x2≥0 C．¬p：∃x∈R，x2＜0 D．¬p：∀x∈R，x2＜03．（5分）椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长分别是（）A．5，4 B．10，8 C．10，6 D．8，64．（5分）在区间[0，2]之间随机抽取一个数x，则x满足2x﹣1≥0的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的渐近线方程为x±y=0，则双曲的焦距为（）A．2 B．2 C．D．46．（5分）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＞07．（5分）“x＜2”和“x2﹣x﹣2＜0”的关系是（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要8．（5分）如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．k≥5 B．k＜5 C．k＞5 D．k≤69．（5分）如图，已知F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数是偶函数，则此函数的图象与y 轴交点的纵坐标的最大值为（）A．B．2 C．4 D．﹣2二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分，请把答案写在答题卷上）11．（4分）命题“若x≥2且y≥3，x+y≥5”的逆命题为若则．12．（4分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为．13．（4分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，则的最小值为．14．（4分）直线l过抛物线y2=4x的焦点F且与抛物线交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点；|AB|=10，则线段AB中点的横坐标为．15．（4分）方的曲线即为函y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：①x在R上单调递减；②函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点；③函数y=f（x）的值域是R；④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程确定的曲线．其中所有正确的命题序号是．三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（13分）已知命题P：“函数f（x）=a2x2+ax﹣2在[﹣1，1]上存在零点”；命题Q：“只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0”，若命题P或Q是假命题，求实数a的取值范围．17．（13分）已知关于x的不等ax2﹣3x+2＞0的解集{x|x＜1或x＞b}（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解关于x的不等式：ax2﹣（ac+b）x+bx＜0．18．（13分）已知点，直线，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离．（Ⅰ）试判断动点P的轨迹C的形状，并求出其标准方程；（Ⅱ）若过A（0，2）的直线n与轨迹C有且只有一个公共点，求直线n的方程．19．（13分）椭圆C的焦点分别为F1（﹣1，0）F2（1，0），P（1，）是椭圆上的一个点（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设原点为O，斜率为的直线l过点F1且与椭圆C相交于A、B两点，求△AOB的面积．20．（14分）分别从集合A、B中各任取一个元素m、n，即满足m∈A，n∈B，记（m．n）．（Ⅰ）若集合A={0，1，2，3}，B={0，1，2，3}，写出所有（m，n）的取值情况，并求事件“m＞n”的概率；（Ⅱ）若集A=[0，3]，B=[0，3]，求事件“方所对应的曲线表示焦点在x轴上的椭圆，且长轴长大于短轴长的倍”的概率．21．（14分）已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点坐标为（0，1），离心率，过椭圆的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点M（1，0）满足，求直线l的方程；（Ⅲ）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．2014-2015学年福建省泉州一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）下列关于频率与概率的关系表示正确的是（）A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．概率是随机的，在实验前不能确定D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率【解答】解：由频率和概率的性质，得：随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故选：D．2．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2≥0，则有（）A．¬p：∃x∈R，x2≥0 B．¬p：∀x∈R，x2≥0 C．¬p：∃x∈R，x2＜0 D．¬p：∀x∈R，x2＜0【解答】解：∵命题p：∀x∈R，x2≥0，∴命题p的否定是：∃x∈R，x2＜0．故选：C．3．（5分）椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长分别是（）A．5，4 B．10，8 C．10，6 D．8，6【解答】解：∵16x2+25y2=400，∴=1，∴，解得a=5，b=4，∴16x2+25y2=400的长轴和短轴的长分别是10，8．故选：B．4．（5分）在区间[0，2]之间随机抽取一个数x，则x满足2x﹣1≥0的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在区间[0，2]之间随机抽取一个数x，则0≤x≤2，由2x﹣1≥0得x≥，即，∴根据几何概型的概率公式可知满足2x﹣1≥0的概率为，故选：A．5．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的渐近线方程为x±y=0，则双曲的焦距为（）A．2 B．2 C．D．4【解答】解：由已知条件知，；∴a=1；∴；∴该双曲线的焦距为．故选：B．6．（5分）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＞0【解答】解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴c＜0＜a由此知A选项ab＞ac正确，由于c（b﹣a）＞0知B选项不正确，由于b2可能为0，故C选项不正确，由于ac＜0，a﹣c＞0，故ac（a﹣c）＜0，所以D不正确故选：A．7．（5分）“x＜2”和“x2﹣x﹣2＜0”的关系是（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：∵x=﹣2时，x2﹣x﹣2=4＞0，∴“x＜2”不能推出“x2﹣x﹣2＜0”，∵解不等式x2﹣x﹣2＜0，得﹣1＜x＜2，∴“x2﹣x﹣2＜0”⇒“﹣1＜x＜2”，∴“x＜2”是“x2﹣x﹣2＜0”的必要非充分条件，故选：B．8．（5分）如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．k≥5 B．k＜5 C．k＞5 D．k≤6【解答】解：∵算法的功能是计算值，共循环5次，∴跳出循环体的n值为12，k值为6，∴判断框内应填的条件是k＞5或k≥6．故选：C．9．（5分）如图，已知F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图：连接OQ，PF1，∵点Q为线段PF2的中点，∴OQ∥PF1，OQ=PF1，∴PF1=2OQ=2b，由椭圆定义，PF1+PF2=2a，∴PF2=2a﹣2b∵线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，∴OQ⊥PF2，∴PF1⊥PF2，且|F1F2|=2c，∴（2b）2+（2a﹣2b）2=（2c）2即3b=2a，5a2=9c2，∴e==故选：B．10．（5分）已知函数是偶函数，则此函数的图象与y 轴交点的纵坐标的最大值为（）A．B．2 C．4 D．﹣2【解答】解：∵函数是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即=，∴x，即，∴，则=x2+a+b=，∴此函数的图象与y轴交点的纵坐标为，设a=，则=，若cosx≥0，则≤2，若cosx＜0，则≤2，综上y轴交点的纵坐标的最大值为2．故选：B．二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分，请把答案写在答题卷上）11．（4分）命题“若x≥2且y≥3，x+y≥5”的逆命题为若x+y≥5则x≥2且y≥3．【解答】解：逆命题是交换原命题的题设和结论，则命题“若x≥2且y≥3，x+y ≥5”的逆命题为“若x+y≥5，则x≥2且y≥3“．故答案为：x+y≥5，x≥2且y≥3．12．（4分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为3．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示，∵目标函数z=x+y∴z O=0+0=0，z A=0+1.5=1.5，z B=1+2=3，故目标函数z=x+y的最大值为3故答案为：313．（4分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，则的最小值为．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+2b=1，∴=（a+2b）=3+=，当且仅当a=b时取等号．∴的最小值为．故答案为：．14．（4分）直线l过抛物线y2=4x的焦点F且与抛物线交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点；|AB|=10，则线段AB中点的横坐标为4．【解答】解：抛物线y2=4x∴P=2，设经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义，|AB|=x1++x2+=x1+x2+p，AB中点横坐标为x0==（|AB|﹣p）=（10﹣2）=4．故答案为：4．15．（4分）方的曲线即为函y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：①x在R上单调递减；②函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点；③函数y=f（x）的值域是R；④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程确定的曲线．其中所有正确的命题序号是①②③．【解答】解：对于①，根据题意画出方程的曲线，即为函数y=f （x）的图象，如图所示；轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数y=f（x）的有下列说法：①f（x）在R上单调递减，∴①正确；②由于4f（x）+3x=0即f（x）=﹣x，从而图形上看，函数f（x）的图象与直线y=﹣x没有交点，∴函数F（x）=4f（x）+3x不存在零点，②正确；③函数y=f（x）的值域是R，∴③正确；④若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象是方程+=1确定的曲线，∴④错误．综上，以上正确的命题是①②③．故答案为：①②③．三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（13分）已知命题P：“函数f（x）=a2x2+ax﹣2在[﹣1，1]上存在零点”；命题Q：“只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0”，若命题P或Q是假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=a2x2+ax﹣2在[﹣1，1]上存在零点∴方程f（x）=a2x2+ax﹣2=（ax+2）（ax﹣1）=0有解．在[﹣1，1]上存在零点，当a=0时，f（x）=a2x2+ax﹣2，则不符合条件；当a≠0时，∵函数f（x）=a2x2+ax﹣2在[﹣1，1]上有零点，且a2＞0，△=9a2＞0，由f（1）＜0且f（﹣1）＜0，即a2+a﹣2＜0且a2﹣a﹣2＜0，解得满足题意的a值为，a≤﹣1或a≥1，只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0，即抛物线y=x2+2ax+2与x轴只有一个交点∴△=4a2﹣8a=0，∴a=0或a=2∴命题P或Q是假命题∴a的取值范围为{a|﹣1＜a＜0或0＜a＜1}17．（13分）已知关于x的不等ax2﹣3x+2＞0的解集{x|x＜1或x＞b}（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解关于x的不等式：ax2﹣（ac+b）x+bx＜0．【解答】解：（Ⅰ）∵不等式ax2﹣3x+2＞0的解集是{x|x＜1或x＞b}，∴方程ax2﹣3x+2=0的实数根是1和b，由根与系数的关系，得；解得a=1，b=2；…6分（Ⅱ）∵a=1，b=2；∴不等式ax2﹣（ac+b）x+bx＜0化为x2﹣（c+2）x+2x＜0，即x（x﹣c）＜0；∴当c＞0时，解得0＜x＜c，当c=0时，不等式无解，当c＜0时，解得c＜x＜0；综上，当c＞0时，不等式的解集是（0，c），当c=0时，不等式的解集是∅，当c＜0时，不等式的解集是（c，0）．…13分18．（13分）已知点，直线，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离．（Ⅰ）试判断动点P的轨迹C的形状，并求出其标准方程；（Ⅱ）若过A（0，2）的直线n与轨迹C有且只有一个公共点，求直线n的方程．【解答】解：（I）由已知得动点P的轨迹为以点F为焦点，以直线l：为准线的抛物线，∴点P的轨迹方程是y2=﹣2x．（II）①当直线n的斜率不存在时，直线n的方程为x=0，直线l与抛物线y2=﹣2x切于点（0，0）．②当直线n斜率存在时，设直线n的斜率为k，直线n方程为y=kx+2，代入y2=﹣2x得：k2x2+2（2k+1）x+4=0．当k=0时，直线n的方程为y=2，n的方程与抛物线y2=﹣2x有且只有一个公共点（﹣2，2）．当k≠0时，由△=0得，则直线n的方程：x+4y﹣8=0．综上所述：所求直线n的方程为x=0和y=2及x+4y﹣8=0．19．（13分）椭圆C的焦点分别为F1（﹣1，0）F2（1，0），P（1，）是椭圆上的一个点（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设原点为O，斜率为的直线l过点F1且与椭圆C相交于A、B两点，求△AOB的面积．【解答】解：（I）由题意可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），c为半焦距．可知：c=1，，a2=b2+c2，联立解得b2=1，c=1，a2=2．∴椭圆C的标准方程为=1．（Ⅱ）设点A（x1，y1），B（x2，y2）．依题意得直线l的方程为：y=，联立，化为2x2+2x﹣1=0，∴x1+x2=﹣1，．∴|AB|===．原点O到直线l的距离为：．===．∴S△AOB20．（14分）分别从集合A、B中各任取一个元素m、n，即满足m∈A，n∈B，记（m．n）．（Ⅰ）若集合A={0，1，2，3}，B={0，1，2，3}，写出所有（m，n）的取值情况，并求事件“m＞n”的概率；（Ⅱ）若集A=[0，3]，B=[0，3]，求事件“方所对应的曲线表示焦点在x轴上的椭圆，且长轴长大于短轴长的倍”的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题知所有的（m，n）的取值情况为：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共16种，事件“m＞n”对应的（m，n）的取值情况为：（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2）共6种，∴事件“m＞n”的概率为P==（Ⅱ）由题知0≤m≤3，0≤n≤3，椭圆长轴为2，短轴为2，由2＞•2可得m＞2n+1，如图所示，∴所求事件概率为P===21．（14分）已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点坐标为（0，1），离心率，过椭圆的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点M（1，0）满足，求直线l的方程；（Ⅲ）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解法一：（Ⅰ）设椭圆方程为，由题意知b=1．∴，故椭圆方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0）．设l的方程为y=k（x﹣2）（k≠0），代入，得（5k2+1）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴y1+y2=k（x1+x2﹣4），y1﹣y2=k（x1﹣x2），∴，，∵，∴，∴（x1+x2﹣2）（x2﹣x1）+（y2﹣y1）（y1+y2）=0，∴，∴，经检验满足△＞0，∴直线l的方程为：或y=．（Ⅲ）在x轴上存在定点，使得C、B、N三点共线．依题意知，直线BC的方程为，令y=0，则，∵l的方程为y=k（x﹣2），A、B在直线l上，∴y1=k（x1﹣2），y2=k（x2﹣2）∴===∴在x轴上存在定点，使得C、B、N三点共线．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）得F（2，0）．设l的方程为y=k（x﹣2）（k≠0），代入，得（5k2+1）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴，y1﹣y2=k（x1﹣x2），∵，∴|MA|=|MB|，∴，∴（x1+x2﹣2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）=0，，∴3k2﹣1=0，解得，经检验满足△＞0，∴直线l的方程为：或y=．（Ⅲ）在x轴上存在定点，使得C、B、N三点共线．设存在N（t，0），使得C、B、N 三点共线，则∥，∵=（x2﹣x1，y2+y1），，∴（x2﹣x1）y1﹣（t﹣x1）（y1+y2）=0，即（x2﹣x1）k（x1﹣2）﹣（t﹣x1）k（x1+x2﹣4）=0．∴2x1x2﹣（t+2）（x1+x2）+4t=0，∴，∴．∴存在，使得C、B、N三点共线．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
福建省安溪第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题(Word版含答案)
参考公式：若（x 1，y 1），（x 2，y 2）…，（x n ，y n ）为样本点，ˆˆˆybx a =+为回归直线，则 11n i i x x n ==∑，11ni i y y n ==∑()()()1122211ˆˆˆn niii ii i nniii i x y y y x y nx yb x x xnx ay bx ====---==--=-∑∑∑∑一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置） 1．命题:p 32,x N x x ∀∈>的否定形式p ⌝为（ ）A.32,x N x x ∀∈≤B.32,x N x x ∃∈>C.32,x N x x ∃∈<D. 32,x N x x ∃∈≤2．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )．A ．3B ．4C ．5D ．63．已知命题265:x x p ≥-，命题2|1:|>+x q ，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若椭圆y 24＋x 23＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形5．已知双曲线221(0)mx ny mn -=>的渐近线方程为34y x =±，此双曲线的离心率为（ ）6． 已知x 与y 之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6 y21334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A. b ^＞b ′，a ^＞a ′B. b ^＞b ′，a ^＜a ′ C. b ^＜b ′，a ^＞a ′ D. b ^＜b ′，a ^＜a ′7．如图，12,F F 是双曲线C ：22221x y a b-=，（a>0,b>0）的左、右焦点，过1F 的直线l 与C的左、右两支分别交于A 、B 两点，若22||:||:||3:4:5AB BF AF =,则双曲线的离心率为（ ）A 13B 15C ．2D 38．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为 ( )A ．至多一个B ．0个C ．1个D ．2个9．将长为1的小棒随机拆成3小段，则这3小段能构成三角形的概率为( )A. 12B. 13C. 14D. 15 10．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=2AD ，设∠DAB=θ，θ∈（0，2π）， 以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2，则（ ）A ．随着角度θ的增大，e 1增大，e 1e 2为定值B ． 随着角度θ的增大，e 1减小，e 1e 2为定值C ． 随着角度θ的增大，e 1增大，e 1e 2也增大D ． 随着角度θ的增大，e 1减小，e 1e 2也减小二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．已知直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________________。
2014-2015年福建省泉州市安溪八中高三(上)数学期中试卷和答案(理科)
3． （5 分）tan960°等于（ A． B． C．
4． （5 分）函数 f（x）=ln|x﹣1|的图象大致是（
A．
B．
C
．
D． 5． （5 分）为了得到函数 y=cos（2x﹣ （ ） 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 个单位长度 ）的图象，只需将函数 y=x 的图象
A．x=0 B．x=﹣
C．﹣
D．x=﹣
10． （5 分）已知方程（y+1） （|x|+2）=4，若对任意 x∈[a，b]（a，b∈Z） ，都 存在唯一的 y∈[0，1]使方程成立；且对任意 y∈[0，1]，都有 x∈[a，b]（a， b∈Z）使方程成立，则 a+b 的最大值等于（ A．0 B．2 C．4 D．6 ）
18． （13 分）已知函数 （Ⅰ）求函数 f（x）的最小正周期和单调递增区间；
．
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（Ⅱ）当
时，求函数 y=f（x）的值域．
19． （13 分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是 P（亿元）和 Q（亿元） ，它们与投资额 t（亿元）的关系有经验公式 P= ，Q= t．今该公
司将 5 亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资 x（亿元） ，投资这两个项目所 获得的总利润为 y（亿元） ．求： （1）y 关于 x 的函数表达式； （2）总利润的最大值． 20． （14 分）在△ABC 中 A，B，C 所对的边为 a，b，c，若函数 f（x）=x2+mx﹣ 为偶函数，且 （Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）若△ABC 的面积为 ，其外接圆半径为 ，求△ABC 的周长． ．
C．a≤﹣3 D．a≥﹣3 ）
8． （5 分）函数 f（x）=Asin（ωx+φ） （A，ω，φ 为常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜ 的部分图象如图所示，则 f（π）=（ ）
2015年福建省惠安一中、养正中学、安溪一中联考高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2014-2015学年福建省惠安一中、养正中学、安溪一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.1．（5分）命题p：∀x∈R，x3+x﹣2≥0的否定是（）A．∀x∈R，x3+x﹣2＜0 B．∃x∈R，x3+x﹣2≥0C．∃x∈R，x3+x﹣2＜0 D．∀x∈R，x3+x﹣2≠02．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点P（﹣1，﹣2），则sin2θ 等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．3．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a2014+a2015=96，则a1+a2015的值是（）A．24 B．48 C．96 D．1064．（5分）下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．y=2|x|B．C．y=2x﹣2﹣x D．5．（5分）设b=log32，a=ln2，c=0.5﹣0.01，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a6．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则下列说法不正确的是（）A．ω=2B．f（x）的图象关于点成中心对称C．k（x）=f（﹣）+x在R上单调递增D．已知函数g（x）=cos（ξx+η）图象与f（x）的对称轴完全相同，则ξ=27．（5分）定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意的实数，存在常数使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”，下列“关于t函数”的结论正确的是（）A．f（x）=2不是“关于t函数”B．f（x）=x是一个“关于t函数”C．“关于函数”至少有一个零点D．f（x）=sinπx不是一个“关于t函数”8．（5分）已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（﹣x）﹣x2则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=x B．y=2x﹣1 C．y=3x﹣2 D．y=﹣2x+39．（5分）已知S=•（sin+sin+sin+…+sin），则与S的值最接近的是（）A．0.99818 B．0.9999 C．1.0001 D．2.000210．（5分）若曲线y=与直线y=kx+1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.11．（4分）函数f（x）=的定义域是．12．（4分）tan600°=．13．（4分）若等比数列{a n}的首项a1=81，且a4=（2x）dx，则数列{a n}的公比是．14．（4分）已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A﹣cos2A=，则b+c与2a的大小关系为．（填＜或＞或≤或≥或=）15．（4分）对于函数f（x）=，有下列4个命题：①任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立；②f（x）=2k f（x+2k）（k∈N*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立；③对任意x＞0，不等式f（x）≤恒成立，则实数k的取值范围是．④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；则其中所有真命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（13分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|m﹣3≤x≤m+3，m∈R}．（Ⅰ）若A∪B={x|﹣1≤x≤6}，求实数m的值；（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．17．（13分）设数列{a n}满足a n=3a n﹣1+2（n≥2，n∈N*），且a1=2，b n=log3（a n+1）（Ⅰ）证明：数列{a n+1}为等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．18．（13分）在△ABC中，a2+c2﹣b2=acsinB．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若a=4，且≤A≤，求边c的取值范围．19．（13分）中国正在成为汽车生产大国，汽车保有量大增，交通拥堵日趋严重．某市有关部门进行了调研，相关数据显示，从上午7点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y（分钟）与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y=，求从上午7点到中午12点，车辆通过该路段用时最多的时刻．20．（14分）已知函数f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos2ωx﹣b（其中b＞0，ω＞0）的最大值为2，直线x=x1，x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若f（a）=，求sin（﹣4a）的值；（Ⅲ）对∀a∈R，在区间（a，a+s]上y=f（x）有且只有4个零点，请直接写出满足条件的所有S的值并把上述结论推广到一般情况．（不要求证明）21．（14分）已知f（x）=（x﹣1）e x+1，x∈[0，1]（Ⅰ）证明：f（x）≥0（Ⅱ）若a＜＜b在x∈（0，1）恒成立，求b﹣a的最小值．（Ⅲ）证明：f（x）图象恒在直线y=x﹣的上方．2014-2015学年福建省惠安一中、养正中学、安溪一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.1．（5分）命题p：∀x∈R，x3+x﹣2≥0的否定是（）A．∀x∈R，x3+x﹣2＜0 B．∃x∈R，x3+x﹣2≥0C．∃x∈R，x3+x﹣2＜0 D．∀x∈R，x3+x﹣2≠0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∀x∈R，x3+x﹣2≥0的否定是：∃x∈R，x3+x﹣2＜0．故选：C．2．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点P（﹣1，﹣2），则sin2θ 等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵角θ的终边经过点P（﹣1，﹣2），∴x=﹣1，y=﹣2，r=|OP|=，∴sinθ==，cosθ==，则sin2θ=2sinθcosθ==，故选：D．3．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a2014+a2015=96，则a1+a2015的值是（）A．24 B．48 C．96 D．106【解答】解：由等差数列的性质得，a2+a2014=a1+a2015，代入a1+a2+a2014+a2015=96，解得a1+a2015=48，故选：B．4．（5分）下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．y=2|x|B．C．y=2x﹣2﹣x D．【解答】解：对于A．有f（﹣x）=2|﹣x|=f（x），则为偶函数，不满足条件；对于B．有x，解得x∈R，即定义域关于原点对称，且有f（﹣x）+f（x）=lg（+x）+lg（﹣x）=lg（1+x2﹣x2）=0，即有f（x）为奇函数，则不满足条件；对于C．定义域R关于原点对称，且有f（﹣x）+f（x）=2﹣x﹣2x+2x﹣2﹣x=0，则为奇函数，不满足条件；对于D．定义域R关于原点对称，但f（﹣x）=﹣x≠f（x），且≠﹣f（x），则既不是奇函数，也不是偶函数，满足条件．故选：D．5．（5分）设b=log32，a=ln2，c=0.5﹣0.01，则（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵a=ln2＞0，ln3＞1，∴b=＜ln2，即b＜a＜1．又b=log32＞log3 =，c=0.5﹣0.01=20.01＞1综上可知：c＞a＞b．故选：B．6．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则下列说法不正确的是（）A．ω=2B．f（x）的图象关于点成中心对称C．k（x）=f（﹣）+x在R上单调递增D．已知函数g（x）=cos（ξx+η）图象与f（x）的对称轴完全相同，则ξ=2【解答】解：根据函数的图象：，所以：T=π，利用，解得：ω=2；当x=时，f（）=1，解得：A=1，Φ=，所以f（x）=sin（2x+）；所以：①A正确②B令2x+=kπ，解得：x=，当k=1时，对称中心为：；③g（x）=cos（ξx+η）图象与f（x）的对称轴完全相同，则ξ=2，由于η不确定．④函数的区间有增有减．故选：C．7．（5分）定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意的实数，存在常数使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”，下列“关于t函数”的结论正确的是（）A．f（x）=2不是“关于t函数”B．f（x）=x是一个“关于t函数”C．“关于函数”至少有一个零点D．f（x）=sinπx不是一个“关于t函数”【解答】解：对于A：f（x）=2时，令t=﹣1，可知f（x﹣1）=﹣（﹣1）f（x）=f（x）=2．故该函数是一个“关于﹣1函数”，所以A错；对于B：对于函数f（x）=x，假设存在t，使得该函数是“关于t函数”，即x+t+tx=0恒成立，即（t﹣1）x+t=0恒成立，因此需满足，无解．所以B错；对于C：因为是“关于函数”，所以f（x+）=﹣f（x）恒成立，不妨取x=x0，且f（x0），所以，所以，故在区间（x0，x0+）必有零点．故C正确．对于D：当t=1时，有sinπ（x+1）=sin（πx+π）=﹣sinπx恒成立．即t=1，所f （x）=sinπx是一个“关于1函数”．故D错误．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（﹣x）﹣x2则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=x B．y=2x﹣1 C．y=3x﹣2 D．y=﹣2x+3【解答】解：∵函数f（x）在R上满足f（x）=2f（﹣x）﹣x2，∴f（﹣x）=2f（x）﹣x2，∴f（x）=x2，∴f′（x）=2x，∴f（1）=1，f′（1）=2，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣1﹣2（x﹣1），即y=2x﹣1．故选：B．9．（5分）已知S=•（sin+sin+sin+…+sin），则与S的值最接近的是（）A．0.99818 B．0.9999 C．1.0001 D．2.0002【解答】解：把区间[0，]平均分成10000份，每一个矩形的宽为，第k高为sin ，则S=•（sin+sin+sin+…+sin）表示这20000个小矩形的面积之和，且这10000个小矩形的面积之和略大于y=sinx与x=0、x=所围成的面积．再根据定积分的定义，y=sinx与x=0、x=所围成的面积为=﹣cosx=1，故S的值略大于1，结合所给的选项，故选：C．10．（5分）若曲线y=与直线y=kx+1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：作出曲线y=的图象如图：直线y=kx+1过定点（0，1），当k=0时，两个函数只有一个交点，不满足条件，当k＞0时，两个函数有2个交点，满足条件，当k＜0时，直线y=kx+1与y=在x＞1相切时，两个函数只有一个交点，此时=kx+1，即kx2+（1﹣k）x﹣2=0，判别式△=（1﹣k）2+8k=0，k2+6k+1=0，解得：k=﹣3+2，或k=﹣3﹣2（舍去），则此时满足﹣3+2＜k＜0，综上满足条件的k的取值范围是（﹣3+2，0）∪（0，+∞），故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.11．（4分）函数f（x）=的定义域是[0，+∞）．【解答】解：由题意可得2x﹣1≥0，解不等式可得x≥0所以函数的定义域是[0，+∞）故答案为：[0，+∞）12．（4分）tan600°=．【解答】解：∵tan600°）=tan60°=．故答案为：．13．（4分）若等比数列{a n}的首项a1=81，且a4=（2x）dx，则数列{a n}的公比是．【解答】解：由已知a4=（2x）dx=x2=3，等比数列{a n}的首项a1=81，所以a4=a1q3=3，解得q=；故答案为：．14．（4分）已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A﹣cos2A=，则b+c与2a的大小关系为≤．（填＜或＞或≤或≥或=）【解答】解：∵锐角△ABC中，sin2A﹣cos2A=﹣cos2A=，即cos2A=﹣，∴2A=120°，即A=60°，设B=60°+x，0≤x＜60°，则有C=60°﹣x，＜cosx≤1，∵sinB+sinC=sin（60°+x）+sin（60°﹣x）=2sin60°cosx=cosx，2sinA=2×=，∴sinB+sinC≤2sinA，由正弦定理化简得：b+c≤2a，故答案为：≤15．（4分）对于函数f（x）=，有下列4个命题：①任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立；②f（x）=2k f（x+2k）（k∈N*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立；③对任意x＞0，不等式f（x）≤恒成立，则实数k的取值范围是．④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；则其中所有真命题的序号是①②④．【解答】解：①任取x1、x2∈[0，+∞），当x1、x2∈[0，2]，|f（x1）﹣f（x2）|=|sinπx1﹣sinπx2|≤2，当x∈（2，+∞），f（x）=f（x﹣2）=（）n sinnπ，综上都有任取x1、x2∈[0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立，①正确；②∵f（x）=f（x﹣2），∴f（x+2k）=（）k f（x），∴f（x）=2k f（x+2k）（k∈N*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立，②正确；③对任意x＞0，不等式f（x）≤恒成立，则有k≥xf（x），|f（x）|≤1，当x→∞，xf（x）→∞，则实数k→+∞，∴k的取值范围不是，故③错误．④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞），当x=2时，y=sin2π﹣ln1=0，而f（x）=sinπx是周期为2的类正线曲线；当x＞2时，f（x+2k）=（）k f（x），图象只发生振幅变化，y=ln（x﹣1）为对数函数y=lnx图象向右平移1个单位得到，过定点（2，0），做上述两函数图象可知：当1＜x＜2以及x＞2时两图象各有一交点，则f（x）=有3个零点正确；故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（13分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|m﹣3≤x≤m+3，m∈R}．（Ⅰ）若A∪B={x|﹣1≤x≤6}，求实数m的值；（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题设得：A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m ﹣3≤x≤m+3，m∈R}．因为A∪B={x|﹣1≤x≤6}，故，即，所以m=3．（Ⅱ）因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，故，即，解得0≤m≤2，经检验①②不会同时成立，所以0≤m≤2．17．（13分）设数列{a n}满足a n=3a n﹣1+2（n≥2，n∈N*），且a1=2，b n=log3（a n+1）（Ⅰ）证明：数列{a n+1}为等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．【解答】（1）证明：∵a n=3a n﹣1+2（n≥2，n∈N*），∴a n+1=3（a n+1），﹣1又a1+1=3，∴数列{a n+1}为等比数列．（2）解：∵数列{a n+1}为等比数列，首项为3，公比为3．∴，即a n=3n﹣1．∴b n=log3（a n+1）==n．∴==．∴S n=+…+==．18．（13分）在△ABC中，a2+c2﹣b2=acsinB．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若a=4，且≤A≤，求边c的取值范围．【解答】解：（1）由余弦定理，可得a2+c2﹣b2=2accosB …（2分）又a2+c2﹣b2=acsinB…（3分）所以可得tanB=…（5分）又∵0＜B＜π，∴B=；…（7分）（2）由正弦定理，…（9分）得c==2+…（11分）又≤A≤，故tanA∈[，]…（12分）∴c∈[4，8]…（13分）19．（13分）中国正在成为汽车生产大国，汽车保有量大增，交通拥堵日趋严重．某市有关部门进行了调研，相关数据显示，从上午7点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y（分钟）与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y=，求从上午7点到中午12点，车辆通过该路段用时最多的时刻．【解答】解：①当7≤t＜9时，即t﹣＜，y=18sin（），故当t﹣，即t=8时，y有最大值，y max=18；②当9≤t≤10时，y=4t﹣27是增函数，故t=10时，y max=13；③当10＜t≤12时，y=﹣3（t﹣11）2+16，故t=11时，y max=16．综上可知，通过该路段用时最多的时刻为上午8点．20．（14分）已知函数f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos2ωx﹣b（其中b＞0，ω＞0）的最大值为2，直线x=x1，x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若f（a）=，求sin（﹣4a）的值；（Ⅲ）对∀a∈R，在区间（a，a+s]上y=f（x）有且只有4个零点，请直接写出满足条件的所有S的值并把上述结论推广到一般情况．（不要求证明）【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx+bcos2ωx=sin（2ωx+φ），T=2×=π，T==，所以ω=1， 解=2得b=，因为b ＞0，所以b=，故f （x ）=sin2x +cos2x=2sin （2x +），由2k π≤2x +≤+2kπ，k ∈Z 得：kπ﹣，k ∉Z ，所以函数f （x ）的单调增区间为[kπ，]，k ∉Z ，（Ⅱ）由f （a ）=得sin （2a +）=，sin （﹣4a ）=sin [﹣2（2a +）]=﹣cos [2（2a +）]=2=﹣． （Ⅲ）s=2π推广：对∀a ∈R ，在区间（a ，a +s ]上y=f （x ）有且只有n （n ∈N *）个零点，则s 的值为．若写：对∀a ∈R ，在区间（a ，a +s ]上y=f （x ）有且只有2n （n ∈N *）个零点，则s 的值为nπ．21．（14分）已知f （x ）=（x ﹣1）e x +1，x ∈[0，1] （Ⅰ）证明：f （x ）≥0 （Ⅱ）若a ＜＜b 在x ∈（0，1）恒成立，求b ﹣a 的最小值．（Ⅲ）证明：f （x ）图象恒在直线y=x ﹣的上方．【解答】解：（Ⅰ）f′（x ）=xe x ≥0 即f （x ）在[0，1]上单调递增．…（2分） 所以f （x ）≥f （0）=0，即结论成立．…（3分）（Ⅱ）令g （x ）=，则g′（x ）=≥0，x ∈（0，1）…（4分）所以，当x ∈（0，1）时，g （x ）＜g （1）=e ﹣1， 要使＜b ，只需b ≥e ﹣1 …（5分）要使＞a 成立，只需e x ﹣ax ﹣1＞0在x ∈（0，1）恒成立．…（6分）令h （x ）=e x ﹣ax ﹣1x ∈（0，1）则h′（x ）=e x ﹣a ，由x ∈（0，1），e x ∈（1，e ），当a ≤1时，h′（x ）≥0 此时x ∈（0，1），有h （x ）＞h （0）=0成立． 所以a ≤1满足条件．当a ≥e 时，h′（x ）≤0，此时x ∈（0，1）有h （x ）＜h （0）=0， 不符合题意，舍去．当1＜a ＜e 时，令h′（x ）=0，得x=lna ，可得当x ∈（0，lna ）时，h′（x ）≤0．即x ∈（0，lna ）时，h （x ）＜h （0）=0， 不符合题意舍去． 综上，a ≤1 …（9分）又b ≥e ﹣1，所以b ﹣a 的最小值为e ﹣2．…（10分）（Ⅲ）由题意只需证f （x ）＞x ﹣，即证（x ﹣1）e x ﹣x +＞0在[0，1]上恒成立．令k （x ）=（x ﹣1）e x ﹣x +，k′（x ）=xe x ﹣1 …（11分） k ″（x ）=（x +1）e x ＞0，即k′（x ）在[0，1]上单调递增． 又＜0，k′（1）＞0，所以k′（x ）在[0，1]有唯一的解，记为x 0，且﹣1=0，即…（12分）可得当x ∈（0，x 0）时，k′（x ）≤0，当x ∈（x 0，1）时，k′（x ）≥0， 所以只需最小值k （x 0）=（x 0﹣1）﹣x 0+=﹣（） …（13分）易得＜，x 0∈（，1），所以k （x ）＞0．所以结论得证．…（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。
福建省高二上学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是（ ） A ．B ．C ．D ．)(12nn a n =-)(112n n a n +=-)(12nn n a =-)(112n n n a +=-【答案】B【分析】根据题意，分析数列各项变化的规律，即可得答案． 【详解】根据题意，数列2，，6，，，4-8-⋯其中，，，， 11212a =⨯⨯=2(1)224a =-⨯⨯=-31236a =⨯⨯=2(1)248a =-⨯⨯=-其通项公式可以为， 1(1)2n n a n +=-⨯故选：．B 2．在等比数列中，，则 {}n a 24681,4a a a a +=+=2a =A ．2 B ．4C ．D ．1213【答案】D【分析】设等比数列{an }的公比为q ，由条件得q 4=4，解得q 2．进而得出结果．【详解】因为，解得. ()42468241,4a a a a a a q +=+=+=22q =因为，所以.选D. ()224211a a a q +=+=213a =【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ） ()1,0A (4,B -A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】C【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可【详解】因为直线经过，两点，()1,0A (4,B -所以直线的斜率为 AB k ==设直线的倾斜角为，则 AB θtan θ=又， 0180θ︒≤<︒所以，120θ=°所以直线的倾斜角为． AB 120︒故选：C4．已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（ ） ()1,0A -()3,4B -A ． B ． ()()22128x y ++-=()()22128x y -++=C ． D ．()()221232x y ++-=()()221232x y -++=【答案】B【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程． 【详解】解：由题意可知，，的中点为， ()1,0A -()3,4B -()1,2-又圆的半径为12r AB ===故圆的方程为． ()()22128x y -++=故选：B ．5．某直线l 过点，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（ ） (3,4)B -A ．B ．C ．或D ．或43-12-4312-43-12-【答案】D【分析】讨论在x 轴和y 轴上的截距均为0或均不为0，设直线方程并由点在直线上求参数，即可得直线方程，进而写出其斜率.【详解】当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0时，设直线的方程为，代入点，则，解得，y kx =(3,4)B -43k =-43k =-当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0时， 设直线的方程为，代入点，则，解得，12x y m m +=(3,4)B -3412m m-+=52m =所以所求直线的方程为，即，1552x y+=250x y +-=综上，该直线的斜率是或．43-12-故选：D6．直线的一个方向向量为（ ） 230x y +-=A ． B ．C ．D ．()2,1()1,2()2,1-()1,2-【答案】D【分析】先求出直线的一个法向量，再求出它的一个方向向量. 【详解】直线的一个法向量为，230x y +-=()2,1设直线一个方向向量为，则有， (),a b 20a b +=故只有D 满足条件. 故选：D.7．对于任意的实数，直线恒过定点，则点的坐标为（ ） k 1y kx k =-+P P A ． B ．C ．D ．()1,1--()1,1-()1,1-()1,1【答案】D【分析】令参数的系数等于，即可得的值，即为定点的坐标. k 0,x y P 【详解】由可得， 1y kx k =-+()11y k x -=-令可得，此时， 10x -=1x =1y =所以直线恒过定点， 1y kx k =-+()1,1P 故选：D.8．点为圆上一动点，点到直线的最短距离为（ ） P 22(1)2x y -+=P 3y x =+A B ．1C D ．【答案】C【分析】首先判断直线与圆相离，则点到直线的最短距离为圆心到直线的距离再减去半P 3y x =+径，然后求出最短距离即可．【详解】解：圆的圆心为，半径到直线的距离22(1)2x y -+=(1,0)r =(2,0)30x y -+=为到直线的最短距离为圆心到直线d P 3y x =+的距离再减去半径．所以点到直线的最短距离为． P 20l x y -+=:=故选：C ．二、多选题9．下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（ ） 210x y +-=A ． B ． 210x y -+=210x y -+=C ． D ．2410x y -+=4210x y -+=【答案】BC【分析】根据斜率确定正确选项. 【详解】直线的斜率为，210x y +-=2-直线、直线的斜率为，不符合题意. 210x y -+=4210x y -+=2直线、直线的斜率为，符合题意. 210x y -+=2410x y -+=12故选：BC10．下列说法正确的是（ ）A ．直线必过定点 ()2R y ax a a =-∈()2,0B ．直线在轴上的截距为1 13y x +=yC ．直线的倾斜角为10x +=120 D ．过点且垂直于直线的直线方程为 ()2,3-230x y -+=210x y ++=【答案】AD【分析】A 将方程化为点斜式即可知所过定点；B 令求截距；C 由方程确定斜率，根据斜率与0x =倾斜角的关系即可知倾斜角的大小；D 计算两直线斜率的乘积，并将点代入方程验证即可判断正误.【详解】A ：由直线方程有，故必过，正确； ()2y a x =-()2,0B ：令得，故在轴上的截距为－1，错误；0x =1y =-yC ：由直线方程知：斜率为，错误； 150︒D ：由，的斜率分别为，则有故相互垂直，将代入210x y ++=230x y -+=12,2-1212-⨯=-()2,3-方程，故正确. 2(2)310⨯-++=故选：AD11．(多选)若直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的斜率为（ ） A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．2【答案】BD【分析】对进行分类讨论，结合截距相等求得，进而求得直线的斜率. a a l 【详解】时，，不符合题意. 0a =:2l y =时，直线过， 0a ≠l ()20,2,,0a a a +⎛⎫+ ⎪⎝⎭依题意，22aa a++=解得或.2a =-1a =当时，，直线的斜率为. 2a =-:2l y x =2当时，，直线的斜率为.1a =:3l y x =-+1-故选：BD12．设等差数列的前项和是，已知，，正确的选项有（ ） {}n a n n S 120S >130S <A ．， B ．与均为的最大值 C ． D ．10a >0d <5S 6S n S 670a a +>70a <【答案】ACD【解析】利用等差数列的性质，，可得 ，()()11267121212=22++=a a a a S 670a a +>可得 ，，再根据等差数列的单调性判断。
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2014-2015学年福建省泉州市安溪一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置）1．（5分）命题p：∀x∈N，x3＞x2的否定形式￢p为（）A．∀x∈N，x3≤x2B．∃x∈N，x3＞x2C．∃x∈N，x3＜x2D．∃x∈N，x3≤x2 2．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．63．（5分）已知命题p：5x﹣6≥x2，命题q：|x+1|＞2，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若椭圆+=1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|﹣|MF2|=1，则△MF1F2是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形5．（5分）已知双曲线mx2﹣ny2=1（mn＞0）的渐近线方程为y=±x，此双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．6．（5分）已知x与y之间的几组数据如表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+，若某同学根据上表中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（）A．＞b′，＞a′B．＞b′，＜a′C．＜b′，＞a′D．＜b′，＜a′7．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．8．（5分）若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆的公共点个数为（）A．至多一个B．0个 C．1个 D．2个9．（5分）将长为1的小棒随机拆成3小段，则这3小段能构成三角形的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（）A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）直线x+2y﹣2=0经过椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于．12．（4分）如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1、a2，则它们的大小关系是．13．（4分）已知动圆C与圆C1：x2+（y﹣3）2=1和圆C2：x2+（y+3）2=9都外切，则动圆圆心C的轨迹方程是．14．（4分）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且过点M（﹣1，3），则该双曲线的标准方程为．15．（4分）给出以下四个命题：①若A＞B，则cosA＜cosB；②“若a+b≥2，则a，b 中至少有一个不小于1”的逆命题；③“若x2+y2=0，则x，y都为0”的否命题；④若x+y≠3，则x≠1或y≠2．其中真命题是．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）命题p：“方程+=1表示双曲线”（k∈R）；命题q：y=log2（kx2+kx+1）定义域为R，若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数k的取值范围．17．（13分）某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？18．（13分）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x 满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．19．（13分）椭圆C：+y2=1，直线l交椭圆C于A，B两点．（1）若l过点P（1，）且弦AB恰好被点P平分，求直线l方程．（2）若l过点Q（0，2），求△AOB（O为原点）面积的最大值．20．（14分）已知双曲线x2﹣=1的顶点、焦点分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点、顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知一直线l过椭圆C的右焦点F2，交椭圆于点A、B．当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由．21．（14分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A（x0，y0）处的切线方程为+=1，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求△OCD面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆C2：+=1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点分别为M，N．当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．2014-2015学年福建省泉州市安溪一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置）1．（5分）命题p：∀x∈N，x3＞x2的否定形式￢p为（）A．∀x∈N，x3≤x2B．∃x∈N，x3＞x2C．∃x∈N，x3＜x2D．∃x∈N，x3≤x2【解答】解：命题p：∀x∈R，x3＞x2的否定形式是特称命题；∴￢p：“∃x∈R，x3≤x2 ”．故选：D．2．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出43．（5分）已知命题p：5x﹣6≥x2，命题q：|x+1|＞2，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由5x﹣6≥x2，得2≤x≤3；由|x+1|＞2，得：x＜﹣3或x＞1．由2≤x≤3能推出x＜﹣3或x＞1，反之，由x＜﹣3或x＞1不能推出2≤x≤3，所以由p能推出q，由q不能推出p，即p是q的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）若椭圆+=1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|﹣|MF2|=1，则△MF1F2是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【解答】解：由题意，|F1F2|=2，|MF1|+|MF2|=4，∵|MF1|﹣|MF2|=1，∴|MF1|=，|MF2|=，∴|MF2|2+|F1F2|2=|MF1|2，故选：B．5．（5分）已知双曲线mx2﹣ny2=1（mn＞0）的渐近线方程为y=±x，此双曲线的离心率为（）A．B．C．或D．【解答】解：∵双曲线mx2﹣ny2=1（mn＞0）的一条渐近线方程为y=x，∴=或，∴双曲线的离心率为e===或．6．（5分）已知x与y之间的几组数据如表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+，若某同学根据上表中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（）A．＞b′，＞a′B．＞b′，＜a′C．＜b′，＞a′D．＜b′，＜a′【解答】解：由题意可知n=6，===，==，故=91﹣6×=22，=58﹣6××=，故可得==，==﹣×=，而由直线方程的求解可得b′==2，把（1，0）代入可得a′=﹣2，比较可得＜b′，＞a′，故选：C．7．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【解答】解：∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，∵|AB|2+=，∴∠ABF2=90°，又由双曲线的定义得：|BF1|﹣|BF2|=2a，|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|，∴|AF1|=3．∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a，∴a=1．在Rt△BF1F2中，=+=62+42=52，又=4c2，∴4c2=52，∴c=．∴双曲线的离心率e==．故选：A．8．（5分）若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆的公共点个数为（）A．至多一个B．0个 C．1个 D．2个【解答】解：因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，所以原点到直线mx+ny﹣4=0的距离d=＞2，所以m2+n2＜4，所以点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点．∵椭圆的长半轴3，短半轴为2∴圆x2+y2=4内切于椭圆∴点P是椭圆内的点∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2．故选：D．9．（5分）将长为1的小棒随机拆成3小段，则这3小段能构成三角形的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设三段长分别为x，y，1﹣x﹣y，则总样本空间为，其面积为，能构成三角形的事件的空间为，其面积为，则所求概率为故选：C．10．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，），以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（）A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小【解答】解：连接BD，AC设AD=t，则BD==∴双曲线中a=e1=∵y=cosθ在（0，）上单调减，进而可知当θ增大时，y==减小，即e1减小∵AC=BD∴椭圆中CD=2t（1﹣cosθ）=2c∴c'=t（1﹣c osθ）AC+AD=+t，∴a'=（+t）e2==∴e1e2=×=1故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）直线x+2y﹣2=0经过椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于．【解答】解：由题意知椭圆的焦点在x轴上，又直线x+2y﹣2=0与x轴、y轴的交点分别为（2，0）、（0，1），它们分别是椭圆的焦点与顶点，∴b=1，c=2，∴a=，e==．故答案为12．（4分）如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1、a2，则它们的大小关系是a2＞a1．【解答】解：由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后，两组数据都有五个数据，代入数据可以求得甲和乙的平均分，a1=+80=84，a2=+80=85，∴a2＞a1故答案为a2＞a1．13．（4分）已知动圆C与圆C1：x2+（y﹣3）2=1和圆C2：x2+（y+3）2=9都外切，则动圆圆心C的轨迹方程是（y＞0）．【解答】解：由圆C1：x2+（y﹣3）2=1和圆C2：x2+（y+3）2=9，得到C1（0，3），半径r1=1，C2（0，﹣3），半径r2=3，设圆C的半径为r，∵圆P与C1外切而又与C2外切，∴CC1=r+1，CC2=3+r，∴CC2﹣CC1=（r+3）﹣（1+r）=2＜r1+r2，满足双曲线的定义，是双曲线的一支．且a=1，c=3，∴b==8，∴动圆圆心C的轨迹方程是（y＞0）．故答案为：（y＞0）．14．（4分）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且过点M（﹣1，3），则该双曲线的标准方程为．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x，∴设双曲线方程为=λ，λ≠0，把点M（﹣1，3）代入，得1﹣3=λ=﹣2，∴x2﹣=﹣2，整理，得．故答案为：．15．（4分）给出以下四个命题：①若A＞B，则cosA＜cosB；②“若a+b≥2，则a，b 中至少有一个不小于1”的逆命题；③“若x2+y2=0，则x，y都为0”的否命题；④若x+y≠3，则x≠1或y≠2．其中真命题是③④．【解答】解：对于①，若A＞B，则cosA＜cosB，错误，如＞π，但cos=＞﹣1=cosπ，故①错误；对于②，“若a+b≥2，则a，b 中至少有一个不小于1”的逆命题为“a，b 中至少有一个不小于1，则a+b≥2”错误，如a=2＞1，b=﹣1，a+b=1＜2，故②错误；对于③，∵“若x2+y2=0，则x，y都为0”的否命题与其逆命题为等价命题，而其逆命题为“若x，y都为0，则x2+y2=0”为真命题，故③正确；对于④，∵原命题与其逆否命题真假性一致（等价），∵命题若x+y≠3，则x≠1或y≠2的逆否命题为：若x=1且y=2，则x+y=3为真命题，∴若x+y≠3，则x≠1或y≠2为真命题，故④正确．故答案为：③④．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）命题p：“方程+=1表示双曲线”（k∈R）；命题q：y=log2（kx2+kx+1）定义域为R，若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数k的取值范围．【解答】解：p：由（k﹣3）（k+3）＜0得：﹣3＜k＜3；q：令t=kx2+kx+1，由t＞0对x∈R恒成立．（1）当k=0时，1＞0，∴k=0符合题意．（2）当k≠0时，，由△=k2﹣4×k×1＜0得k（k﹣4）＜0，解得：0＜k＜4；综上得：q：0≤k＜4．因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以命题p，q一个为真，一个为假．∴或；∴﹣3＜k＜0或3≤k＜4．17．（13分）某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？【解答】解：（1）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，第3组的频率为=0.300，频率分布直方图如图所示；（2）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：×6=3人；第4组：×6=2人；第5组：×6=1人．所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．（3）设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C，则从六位同学中抽两位同学有15种可能，具体如下：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2B1，A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，B1B2，B1C，B2C；其中第4组的2位同学B1，B2至少有一位同学入选的有：A 1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，B1C，B2C共9种可能；所以其中第4组的2位同学B1、B2至少有一位同学入选的概率为P==．18．（13分）命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x 满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．【解答】解：x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a，3a；由于a＜0，则x2﹣4ax+3a2＜0的解集为（3a，a），故命题p成立有x∈（3a，a）；由x2﹣x﹣6≤0得x∈[﹣2，3]，由x2+2x﹣8＞0得x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故命题q成立有x∈（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）．若¬p是¬q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，因此有（3a，a）⊊（﹣∞，﹣4）或（3a，a）⊊[﹣2，+∞），又a＜0，解得a≤﹣4或；故a的范围是a≤﹣4或．19．（13分）椭圆C：+y2=1，直线l交椭圆C于A，B两点．（1）若l过点P（1，）且弦AB恰好被点P平分，求直线l方程．（2）若l过点Q（0，2），求△AOB（O为原点）面积的最大值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得：+=1，+=1；两式作差得：（x1+x2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）=0，又x1+x2=2，y1+y2=，代入得k==﹣1，∴此弦所在的直线方程是y﹣=﹣（x﹣1），即x+y﹣=0；…（5分）（2）易知直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+2，…（6分）将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（1+3k2）x2+12kx+9=0；…（7分）令△=144k2﹣36（1+3k2）＞0，得k2＞1；设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=﹣，x1x2=；…（8分）=|S△POB﹣S△POA|=×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|，∴S△AOB∵=﹣4x1x2=﹣=，…（10分）设k2﹣1=t（t＞0），∴==≤=，…（12分）当且仅当9t=，即t=，k2﹣1=，k2=时等号成立，此时△AOB面积取得最大值．…（13分）20．（14分）已知双曲线x2﹣=1的顶点、焦点分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点、顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知一直线l过椭圆C的右焦点F2，交椭圆于点A、B．当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）在双曲线x2﹣=1中，a=1，b=，c=，…（2分）∴a，c′=a=1，b′2=2 …（3分）所以，椭圆C的方程是…（4分）（Ⅱ）假设存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角，依题意可知直线l、PA、PB斜率存在且不为零．不妨设P（m，0），直线l的方程为y=k（x﹣1），k≠0…（5分）由消去y得（3k2+2）x2﹣6k2x+3k2﹣6=0 …（6分）设A（x1，y1）则，…（8分）∵直线PA、PB的倾斜角互为补角，∴k PA+k PB=0对一切k恒成立，…（9分）即=0对一切k恒成立…（10分）又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），代入上式可得2x1x2+2m﹣（m+1）（x1+x2）=0对一切k恒成立…（11分）∴2×+2m﹣（m+1）×=0对一切k恒成立，…（12分）即=0，4m﹣12=0，∴m=3，…（13分）∴存在P（3，0）使得直线PA、PB的倾斜角互为补角．…（14分）21．（14分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）过点A（1，），其焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A（x0，y0）处的切线方程为+=1，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求△OCD面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆C2：+=1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点分别为M，N．当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）依题意得：椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），由椭圆定义知：2a=|AF1|+|AF2|，∴，所以椭圆C1的方程为．…（4分）（II）（ⅰ）设B（x2，y2），则椭圆C1在点B 处的切线方程为令x=0，，令，所以…（5分）又点B 在椭圆的第一象限上，所以，∴…（7分）∴，当且仅当所以当时，三角形OCD 的面积的最小值为…（9分）（ii）设P（m，n），则椭圆C1在点M（x3，y3）处的切线为：又PM过点P（m，n），所以，同理点N（x4，y4）也满足，所以M，N 都在直线上，即：直线MN 的方程为…（12分）所以原点O到直线MN 的距离=，…（13分）所以直线MN 始终与圆相切．…（14分）第21页（共21页）。