2014年高考数学试题汇编数列解答题

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2014年高考新课标Ⅱ卷数列题解答分析

2014 年高考新课标Ⅱ卷数列题解答剖析
在第（Ⅰ）小题中，这四种解法主要波及的知识都包
括等比数列的观点、通项以及乞降公式等知识。

可是在其余
方面，略有差别。

如技术方面，解法1、解法 3、解法 4 关注运算技术、变形技术和推理论证技术的使用，而解法 2 还波及猜想、归纳等数学活动；在思想方法的运用上，解法 1 主要表现化归思想，解法 2 主要采纳合情推理和归纳的思想，
而解法 3 波及字母替代思想、转变思想，解法 4 采纳累加相消方法和整体思想。

第（Ⅱ）小题着重对考生数学思想与方法的考察，充足
表现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特点。

多视角、多维度、多层次地考察了考生的数学思想质量和思想能力，
考察了考生对数学实质的理解及考生的数学修养及其学习
潜能。

相同，该小题的解答也出色纷呈，方法多样。

因此，结论对全部自然数都建立。

此题解法多样，能够让不一样思想方式的学生显现自己
解决问题的能力。

同时，问题的解决也拥有必定的探究性。

三、教课思虑
此题满分 12 分，全省理科考生 151098 人中，均分 3.35，划分度 0.54，难度 0.72，约三分之一的学生零分，此题得分
整体状况反响了考生对数列的知识掌握状况不容乐观，需要在教课方面加以改良。

第一，加强知识累积，着重典型试题解法对学生问题解
决能力的培育。

总之，此题不失为一道好题，能够正确地反应思想的多
样性，解决过程拥有必定的探究性，进而让不一样的学生都能够依据自己的思想方式和思想特点去解决。

2014高考数列真题汇编

2014高考数列真题汇编一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋2a 6＋a 10＝120，则a 3＋a 9等于 ( )A ．30B ．40C ．60D ．802．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于 ( )A ．7B ．8C ．15D ．163．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ，则Πn 中最大的是 ( )A ．Π11B ．Π10C ．Π9D ．Π84．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n 5．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则这个数列的第10项等于 ( ) A.1210 B.129 C.110 D.156．数列{a n }中，a 1＝1，a n 、a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，则数列{b n }的前 n 项和S n ＝ ( )A.12n ＋1B.1n ＋1C.n 2n ＋1D.n n ＋1二、填空题7．数列{a n }的构成法则如下：a 1＝1，如果a n －2为自然数且该自然数之前未出现过，则用递推公式a n ＋1＝a n －2，否则用递推公式a n ＋1＝3a n ，则a 6＝________.8．已知数列{a n }满足a n ＋1a n＝n ＋2n (n ∈N *)，且a 1＝1，则a n ＝________. 9．如图，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是________．10．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋1的前n 项和的公式是________．三、解答题11．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列， b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n的值．12．已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m ，n ∈N *都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2.(1)求a 3，a 5； (2)设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列；13．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．14．在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.(1)求a n ； (2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .15．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式． (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．16．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．17．数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．18．已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．。

2014年全国高考真题(理科数学)分类汇编六、不等式和线性规划(逐题详解)

2014年高考题专题整理 --不等式和线性规划第I 部分1.【2014年四川卷（理04）】若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a bd c<【答案】D【解析】由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c<2.【2014年江西卷（理11）】(1).（不等式选做题）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】()|1||||1||1|1||11|123x x y y x x y y -++-++≥--+--+=+=3.【2014年安徽卷（理05）】y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为（A ）21或1- （B ）2或21（C ）2或1（D ）2或1-【答案】D【解析】可行域如右图所示，ax y z -=可化为z ax y +=，由题意知2=a 或1-2=-+y x 022=--y x 022=+-y x xyO1-=k 2=k 21=k4.【2014年天津卷（理02）】设变量x 、y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)．当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即z min ＝1×1＋2×1＝3.5.【2014年山东卷（理09）】已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2【答案】B【解析】10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩求得交点为()2,1，则225a b +=，即圆心()0,0到直线2250a b +-=的距离的平方2225245⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭。

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题7：数列4(较难综合解答题)3带详细答案

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题7：数列（较难综合解答题）（三）32．（2016•北京理）设数列1:A a ，2a ，⋯，N a (2)N …．如果对小于(2)n n N 剟的每个正整数k 都有k n a a <，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”，记G （A ）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合．（Ⅰ）对数列:2A -，2，1-，1，3，写出G （A ）的所有元素；（Ⅱ）证明：若数列A 中存在n a 使得1n a a >，则G （A ）≠∅；（Ⅲ）证明：若数列A 满足11(2n n a a n --=…，3，⋯，)N ，则G （A ）的元素个数不小于1N a a -．【考点】数列与函数的综合；数学归纳法【分析】（Ⅰ）结合“G 时刻”的定义进行分析；（Ⅱ）可以采用假设法和递推法进行分析；（Ⅲ）可以采用假设法和列举法进行分析．【解答】解：（Ⅰ）根据题干可得，12a =-，22a =，31a =-，41a =，53a =，12a a <满足条件，2满足条件，23a a >不满足条件，3不满足条件，24a a >不满足条件，4不满足条件，1a ，2a ，3a ，4a ，均小于5a ，因此5满足条件，因此G（A ）{2=，5}．（Ⅱ）因为存在1n a a >，设数列A 中第一个大于1a 的项为k a ，则1k i a a a >…，其中21i k -剟，所以k G ∈（A ），G （A ）≠∅；（Ⅲ）设A 数列的所有“G 时刻”为12k i i i <<⋯<，对于第一个“G 时刻” 1i ，有11(2i i a a a i >=…，3，⋯，11)i -，则 111111i i i a a a a ---剟．对于第二个“G 时刻” 1i ，有21(2i i i a a a i >=…，3，⋯，11)i -，则 212211i i i i a a a a ---剟．类似的321i i a a -…，⋯，11k k i i a a --…．于是，11221111()()()()k k k k k i i i i i i i i k a a a a a a a a a a ----+-+⋯+-+-=-…．对于N a ，若N G ∈（A ），则k i N a a =．若N G ∉（A ），则k N i a a …，否则由（2）知k i a ，1k i a +，⋯，N a ，中存在“G 时刻”与只有k 个“G 时刻”矛盾．从而11k i N k a a a a --厖．【点评】本题属于新定义题型，重点在于对“G 时刻”定义的把握，难度较大． 33．（2017•浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，*11(1)()n n n x x ln x n N ++=++∈，证明：当*n N ∈时，（Ⅰ）10n n x x +<<；（Ⅱ）1122n n n n x x x x ++-…；（Ⅲ）121122n n n x --剟．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，（Ⅲ）由1122n n n n x x x x ++-…得111112()022n n x x +-->…，继续放缩即可证明【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x >，当1n =时，110x =>，成立，假设当n k =时成立，则0k x >，那么1n k =+时，若10k x +<，则110(1)0k k k x x ln x ++<=++<，矛盾，故10n x +>，因此0n x >，(*)n N ∈ 111(1)n n n n x x ln x x +++∴=++>，因此*10()n n x x n N +<<∈，（Ⅱ）由11(1)n n n x x ln x ++=++得2111111422(2)(1)n n n n n n n n x x x x x x x ln x ++++++-+=-+++，记函数2()2(2)(1)f x x x x ln x =-+++，0x …22()(1)01x x f x ln x x +∴'=++>+，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增， ()(0)0f x f ∴=…，因此211112(2)(1)0n n n n x x x ln x ++++-+++…，故1122n n n n x x x x ++-…；（Ⅲ）11111(1)2n n n n n n x x ln x x x x +++++=+++=…，112n n x -∴…，由1122n n n n x x x x ++-…得111112()022n n x x +-->…， ∴12111111112()2()2222n n n n x x x -----⋯-=厖?， 212n n x -∴…，综上所述121122n n n x --剟．【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题34．（2017•上海）根据预测，某地第*()n n N ∈个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和nb （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+=⎨-+⎩剟…，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【考点】根据实际问题选择函数类型【分析】（1）计算出{}n a 和{}n b 的前4项和的差即可得出答案；（2）令n n a b …得出42n …，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．【解答】解：（1）4515,1310470,4n n n a n n ⎧+=⎨-+⎩剟…，5n b n =+41511520a ∴=⨯+= 42521595a =⨯+= 435315420a =⨯+= 4104470430a =-⨯+= 1156b =+=2257b =+= 3358b =+= 4459b =+=∴前4个月共投放单车为12342095420430965a a a a +++=+++=，前4个月共损失单车为1234678930b b b b +++=+++=，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为96530935-=．（2）令n n a b …，显然3n …时恒成立，当4n …时，有104705n n -++…，解得46511n …， ∴第42个月底，保有量达到最大．当4n …，{}n a 为公差为10-等差数列，而{}n b 为等差为1的等差数列， ∴到第42个月底，单车保有量为442142430506473953542395354287822222a a b b ++++⨯+-⨯=⨯+-⨯=． 4241688008736S =-⨯+=．87828736>，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．35．（2017•江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋯+++⋯++=对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“P （3）数列”；（2）若数列{}n a 既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{}n a 是等差数列．【考点】数列的应用【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，321123332211()()()23n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ---+++-+-+-++++++=+++++==⨯，根据“()P k 数列”的定义，可得数列{}n a 是“P （3）数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{}n a 从第3项起为等差数列，再通过判断2a 与3a 的关系和1a 与2a 的关系，可知{}n a 为等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，则321123n n n n n n a a a a a a ---++++++++， 332211()()()n n n n n n a a a a a a -+-+-+=+++++， 222n n n a a a =++， 23n a =⨯，∴等差数列{}n a 是“P （3）数列”；（2）证明：当4n …时，因为数列{}n a 是P （3）数列，则3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=，①因为数列{}n a 是“P （2）数列”，所以21124n n n n n a a a a a --+++++=，② 则12314n n n n n a a a a a -++++++=，③，②+③-①，得112446n n n n a a a a -+=+-，即112n n n a a a -+=+，(4)n …，因此4n …从第3项起为等差数列，设公差为d ，注意到235644a a a a a +++=，所以243563333344()(2)(3)a a a a a a d a a d a d a d =---=+--+-+=-，因为124a a a a a+++=，所以132452222244()(2)(3)a a a a a a d a a d a d a d =---=+--+-+=-，也即前3项满足等差数列的通项公式，所以{}n a 为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．36．（2017•北京理20）设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记11{n max b a n =-ð，22b a n -，⋯，}(1n n b a n n -=，2，3，)⋯，其中1{max x ，2x ，⋯，}s x 表示1x ，2x ，⋯，s x 这s 个数中最大的数．（1）若n a n =，21n b n =-，求1c ，2c ，3c 的值，并证明{}n ð是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m …时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得m c ，1m c +，2m c +，⋯是等差数列．【考点】等差数列的性质；数列的应用【分析】（1）分别求得11a =，22a =，33a =，11b =，23b =，35b =，代入即可求得1c ，2c ，3c ；由11()()0k k b na b na ---…，则11k k b na b na --…，则111n b na n =-=-ð，11n n c +-=-ð对*n N ∀∈均成立；（2）由11121121[(1)][(1)]()(1)()i i b a n b i d a i d n b a n i d d n -=+--+-⨯=-+--⨯，分类讨论10d =，10d >，10d <三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得m c ，1m c +，2m c +，⋯是等差数列；设n c CAn B n n=++对任意正整数M ，存在正整数m ，使得n m …，nc M n>，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n m …时，nc M n>．【解答】解：（1）11a =，22a =，33a =，11b =，23b =，35b =，当1n =时，111{}{0}0c max b a max =-==，当2n =时，211{2c max b a =-，222}{1b a max -=-，1}1-=-，当3n =时，311{3c max b a =-，223b a -，333}{2b a max -=-，3-，4}2-=-，下面证明：对*n N ∀∈，且2n …，都有11n b na =-ð，当*n N ∈，且2k n 剟时，则11()()k k b na b na ---， [(21)]1k nk n =---+， (22)(1)k n k =---，(1)(2)k n =--，由10k ->，且20n -…，则11()()0k k b na b na ---…，则11k k b na b na --…，因此，对*n N ∀∈，且2n …，111n b na n =-=-ð， 11n n c +-=-ð， 211c c ∴-=-，11n n c +∴-=-ð对*n N ∀∈均成立，∴数列{}n ð是等差数列；（2）证明：设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为1d ，2d ，下面考虑的n ð取值，由11b a n -，22b a n -，⋯，n n b a n -，考虑其中任意i i b a n -，(*,1)i N i n ∈剟，则1112[(1)][(1)]i i b a n b i d a i d n -=+--+-⨯， 1121()(1)()b a n i d d n =-+--⨯，下面分10d =，10d >，10d <三种情况进行讨论， ①若10d =，则112()(1)i i b a n b a n i d -==-+-，当若20d …，则112()()(1)0i i b a n b a n i d ---=-…，则对于给定的正整数n 而言，11n b a n =-ð，此时11n n c a +-=-ð，∴数列{}n ð是等差数列；当20d >，2()()()0i i n n b a n b a n i n d ---=->，则对于给定的正整数n 而言，1n n n n b a n b a n =-=-ð，此时121n n c d a +-=-ð，∴数列{}n ð是等差数列；此时取1m =，则1c ，2c ，⋯，是等差数列，命题成立；②若10d >，则此时12d n d -+为一个关于n 的一次项系数为负数的一次函数，故必存在*m N ∈，使得n m …时，120d n d -+<，则当n m …时，1112()()(1)()0i i b a n b a n i d n d ---=--+…，(*,1)i N i n ∈剟，因此当n m …时，11n b a n =-ð，此时11n n c a +-=-ð，故数列{}n ð从第m 项开始为等差数列，命题成立； ③若10d <，此时12d n d -+为一个关于n 的一次项系数为正数的一次函数，故必存在*s N ∈，使得n s …时，120d n d -+>，则当n s …时，12()()(1)()0i i n n b a n b a n i d n d ---=--+…，(*,1)i N i n ∈剟，因此，当n s …时，n n n b a n =-ð，此时n n n n b a n ba n n-==-+， 122112()b d d n d a d n-=-+-++，令10d A -=>，112d a d B -+=，12b d C -=，下面证明：n c CAn B n n =++对任意正整数M ，存在正整数m ，使得n m …，n c M n>，若0C …，取||[1]M B m A-=+，[]x 表示不大于x 的最大整数，当n m …时，||[1]n c M B M BAn B Am B A B A B M n A A--++=++>+=厖，此时命题成立；若0C <，取||[]1M C B m A--=+，当n m …时，||n c C M C B An B Am B C A B C M C B B C M n n A--++++>++--++=厖?，此时命题成立，因此对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n m …时，nc M n>；综合以上三种情况，命题得证．【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．37．（2018•天津理18）设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为(*)n S n N ∈，{}n b 是等差数列．已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n S 的前n 项和为(*)n T n N ∈， ()i 求n T ；()ii 证明221()22(*)(1)(2)2n nk k k k T b b n N k k n ++=+=-∈+++∑．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合【分析】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知列式求得q ，则数列{}n a 的通项公式可求；等差数列{}n b 的公差为d ，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，可得等差数列的通项公式；（Ⅱ）()i 由等比数列的前n 项和公式求得n S ，再由分组求和及等比数列的前n 项和求得数列{}n S 的前n 项和为n T ； ()ii 化简整理2()(1)(2)k k kT b b k k ++++，再由裂项相消法证明结论．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，由11a =，322a a =+，可得220q q --=．0q >，可得2q =．故12n n a -=．设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，得134b d +=，由5462a b b =+，得131316b d +=， 11b d ∴==．故n b n =；（Ⅱ）()i 解：由（Ⅰ），可得122112nn n S -==--，故1112(12)(21)22212n n nk kn n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑；()ii 证明：11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k k T b b k k k k k k k k k k k k ++++++--++===-++++++++． ∴324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212n n n nk k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-+⋯+-=-+++++∑．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题．38．（2018•浙江）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是3a ，5a 的等差中项．数列{}n b 满足11b =，数列1{()}n n n b b a +-的前n 项和为22n n +．（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式．【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（Ⅰ）运用等比数列的通项公式和等差数列中项性质，解方程可得公比q ；（Ⅱ）设111()()2n n n n n n n b b a b b -++=-=-ð，运用数列的递推式可得41n n =-ð，再由数列的恒等式求得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋯+-，运用错位相减法，可得所求数列的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）等比数列{}n a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是3a ，5a 的等差中项，可得43542428a a a a +=+=-，解得48a =，由88828q q ++=，可得12(2q =舍去），则q 的值为2；（Ⅱ）设111()()2n n n n n n n b b a b b -++=-=-ð，可得1n =时，1213c =+=，2n …时，可得2222(1)(1)41n n n n n n =+----=-ð，上式对1n =也成立，则1()41n n n b b a n +-=-，即有111(41)()2n n n b b n -+-=-，可得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋯+- 01211113()7()(45)()222n n -=+++⋯+-，21111113()7()(45)()22222n n b n -=+++⋯+-，相减可得2211711114[()()()](45)()222222n n n b n --=+++⋯+--2111(1)71224(45)()12212n n n ---=+---，化简可得2115(43)()2n n b n -=-+．【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查数列的恒等式和错位相减法的运用，考查运算能力，属于中档题．39．（2018•上海）给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有||1n n b a -…，则称{}n b 与{}n a “接近”．（1）设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；（2）设数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合{|i M x x b ==，1i =，2，3，4}，求M 中元素的个数m ；（3）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在21b b -，32b b -，⋯，201200b b -中至少有100个为正数，求d 的取值范围．【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得11n n n a b a -+剟，求得i b ，1i =，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得n a ，讨论公差0d >，0d =，20d -<<，2d -…，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{}n b 与{}n a 接近．理由：{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，可得112n n a -=，11112n n nb a +=+=+，则1111|||1|11222n n n n n b a --=+-=-<，*n N ∈，可得数列{}n b 与{}n a 接近；（2）{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，可得11n n n a b a -+剟，数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，可得1[0b ∈，2]，2[1b ∈，3]，3[3b ∈，5]，4[7b ∈，9]，可能1b 与2b 相等，2b 与3b 相等，但1b 与3b 不相等，4b 与3b 不相等，集合{|i M x x b ==，1i =，2，3，4}，M 中元素的个数3m =或4；（3）{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，可得1(1)n a a n d =+-，①若0d >，取n n b a =，可得110n n n n b b a a d ++-=-=>，则21b b -，32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ②若0d =，取11n b a n =-，则1111||||1n n b a a a n n-=--=<，*n N ∈，可得11101n n b b n n +-=->+，则21b b -，32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ③若20d -<<，可令21211n n b a --=-，221n n b a =+，则2212211(1)20n n n n b b a a d ---=+--=+>，则21b b -，32b b -，⋯，201200b b -中恰有100个正数，符合题意； ④若2d -…，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，即为11n n n a b a -+剟，11111n n n a b a +++-+剟，可得111(1)20n n n n b b a a d ++-+--=+剟，21b b -，32b b -，⋯，201200b b -中无正数，不符合题意．综上可得，d 的范围是(2,)-+∞．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．40．（2018•江苏20）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设10a =，11b =，2q =，若1||n n a b b -…对1n =，2，3，4均成立，求d 的取值范围；（2）若110a b =>，*m N ∈，(1q ∈，证明：存在d R ∈，使得1||n n a b b -…对2n =，3，⋯，1m +均成立，并求d 的取值范围（用1b ，m ，q 表示）．【考点】数列与不等式的综合【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可；（2）根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可．【解答】解：（1）由题意可知||1n n a b -…对任意1n =，2，3，4均成立，10a =，2q =，∴|01|1|2|1|24|1|38|1d d d -⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩…………，解得133522733d dd ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩剟剟剟．即7532d 剟．证明：（2）1(1)n a a n d =+-，11n n b b q -=，若存在d R ∈，使得1||n n a b b -…对2n =，3，⋯，1m +均成立，则1111|(1)|n b n d b q b -+--…，(2n =，3，⋯，1)m +，即1111211n n b q q b dn n -----剟，(2n =，3，⋯，1)m +， (1q ∈，∴则112n m q q -<剟，(2n =，3，⋯，1)m +， ∴11201n q b n ---…，1101n b q n ->-，因此取0d =时，1||n n a b b -…对2n =，3，⋯，1m +均成立，下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值，①当2n m 剟时，111222()21(1)(1)n n nn n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---，当112mq <…时，有2n m q q 剟，从而1()20n n n n q q q ---+>，因此当21n m +剟时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()2(1)x f x x =-，当0x >时，()(212)20x f x ln xln '=--<， ()f x ∴单调递减，从而()(0)1f x f <=，当2n m 剟时，11(1)112(1)()11nm n q q n n f q n n n n --=-=<-…，因此当21n m +剟时，数列1{}1n q n --单调递递减，故数列1{}1n q n --的最小值为mq m d ∴的取值范围是1(2)[m b q d m -∈，1]mb q m．【点评】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．41．（2019北京理科20）已知数列{}n a ，从中选取第1i 项、第2i 项、⋯、第m i 项12()m i i i <<⋯<，若12m i i i a a a <<⋯<，则称新数列1i a ，2i a ，⋯，m i a 为{}n a 的长度为m 的递增子列．规定：数列{}n a 的任意一项都是{}n a 的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{}n a 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p q <，求证：00m n a a <；（Ⅲ）设无穷数列{}n a 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{}n a 的长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -，且长度为s 末项为21s -的递增子列恰有12s -个(1s =，2，)⋯，求数列{}n a 的通项公式．【考点】数列的应用【分析】()1I ，3，5，6．答案不唯一．()II 考虑长度为q 的递增子列的前p 项可以组成长度为p 的一个递增子列，可得0n a >该数列的第p 项0m a …，即可证明结论． ()III 考虑21s -与2s 这一组数在数列中的位置．若{}n a 中有2s ，在2s 在21s -之后，则必然在长度为1s +，且末项为2s 的递增子列，这与长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -矛盾，可得2s 必在21s -之前．继续考虑末项为21s +的长度为1s +的递增子列．因此对于数列21n -，2n ，由于2n 在21n -之前，可得研究递增子列时，不可同时取2n 与21n -，即可得出：递增子列最多有2s 个．由题意，这s 组数列对全部存在于原数列中，并且全在21s +之前．可得2，1，4，3，6，5，⋯⋯，是唯一构造．【解答】解：()1I ，3，5，6．()II 证明：考虑长度为q 的递增子列的前p 项可以组成长度为p 的一个递增子列，∴0n a >该数列的第p 项0m a …， ∴00m n a a <．()III 解：考虑21s -与2s 这一组数在数列中的位置．若{}n a 中有2s ，在2s 在21s -之后，则必然在长度为1s +，且末项为2s 的递增子列，这与长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -矛盾，2s ∴必在21s -之前．继续考虑末项为21s +的长度为1s +的递增子列．对于数列21n -，2n ，由于2n 在21n -之前，∴研究递增子列时，不可同时取2n 与21n -，对于1至2s 的所有整数，研究长度为1s +的递增子列时，第1项是1与2二选1，第2项是3与4二选1，⋯⋯，第s 项是21s -与2s 二选1，故递增子列最多有2s 个．由题意，这s 组数列对全部存在于原数列中，并且全在21s +之前．2∴，1，4，3，6，5，⋯⋯，是唯一构造．即221k a k =-，212k a k -=，*k N ∈．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力，属于难题．42．（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”．（1）已知等比数列*{}()n a n N ∈满足：245a a a =，321440a a a -+=，求证：数列{}n a 为“M -数列”；（2）已知数列*{}()n b n N ∈满足：11b =，1122n n n S b b +=-，其中n S 为数列{}n b 的前n 项和． ①求数列{}n b 的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M -数列” *{}()n c n N ∈，对任意正整数k ，当k m …时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【考点】数列与不等式的综合【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，然后根据245a a a =，321440a a a -+=列方程求解，在根据新定义判断即可；（2）求出2b ，3b ，4b 猜想n b ，然后用数学归纳法证明；（3）设{}n c 的公比为q ，将问题转化为[][]1max min lnk lnk k k -…，然后构造函数()(3)lnx f x x x=…，()(3)1lnxg x x x =-…，分别求解其最大值和最小值，最后解不等式331ln lnmm -…，即可．【解答】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由245a a a =，321440a a a -+=，得 244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩∴112a q =⎧⎨=⎩， ∴数列{}n a 首项为1且公比为正数即数列{}n a 为“M -数列”；（2）①11b =，1122n n n S b b +=-， ∴当1n =时，11121122S b b b ==-，22b ∴=，当2n =时，212231122S b b b b ==-+，33b ∴=，当3n =时，3123341122S b b b b b ==-++，44b ∴=，猜想n b n =，下面用数学归纳法证明； ()i 当1n =时，11b =，满足n b n =，()ii 假设n k =时，结论成立，即k b k =，则1n k =+时，由1122k k k S b b +=-，得 1(1)2221(1)222k k k k k k k kb S b k k k S b k++===++--，故1n k =+时结论成立，根据()()i ii 可知，n b n =对任意的*n N ∈都成立．故数列{}n b 的通项公式为n b n =； ②设{}n c 的公比为q ，存在“M -数列” *{}()n c n N ∈，对任意正整数k ，当k m …时，都有1k k k c b c +剟成立，即1k kq k -剟对k m …恒成立，当1k =时，1q …，当2k =2，当3k …，两边取对数可得，1lnk lnkk k -剟对k m …有解，即[][]1max min lnk lnkk k -…，令()(3)lnx f x x x =…，则21()lnxf x x -'=，当3x …时，()0f x '<，此时()f x 递增，∴当3k …时，3[]3max lnk ln k =，令()(3)1lnxg x x x =-…，则211()lnx x g x x --'=，令1()1x lnx x φ=--，则21()x x xφ-'=，当3x …时，()0x φ'<，即()0g x '<， ()g x ∴在[3，)+∞上单调递减，即3k …时，[]11min lnk lnmk m =--，则 331ln lnm m -…，下面求解不等式331ln lnmm -…，化简，得3(1)30lnm m ln --…，令()3(1)3h m lnm m ln =--，则3()3h m ln m'=-，由3k …得3m …，()0h m '<，()h m ∴在[3，)+∞上单调递减，又由于h （5）3543125810ln ln ln ln =-=->，h （6）36532162430ln ln ln ln =-=-<，∴存在0(5,6)m ∈使得0()0h m =，m ∴的最大值为5，此时13[3q ∈，145]．【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题．43．（2019•天津文18）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0．已知113a b ==，23b a =，3243b a =+．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足,21,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⋅⎪⎩为奇数为偶数求*112222()n n a c a c a c n N ++⋯+∈．【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（Ⅰ）由等差等比数列通项公式和前n 项和的求解{}n a 和{}n b 的通项公式即可．（Ⅱ）利用分组求和和错位相减法得答案．【解答】解：（Ⅰ）{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0．设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，0q >．由题意可得：332q d =+①；23154q d =+② 解得：3d =，3q =，故33(1)3n a n n =+-=，1333n n b -=⨯= （Ⅱ）数列{}n c 满足,21,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，*112222()n n a c a c a c n N ++⋯+∈135212142632()()n n n a a a a a b a b a b a b -=+++⋯+++++⋯+23(1)[36](6312318363)2n n n n n -=+⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ 2236(13233)n n n =+⨯+⨯+⋯+⨯ 令2(13233)n n T n =⨯+⨯+⋯+⨯①，则231313233n n T n +=⨯+⨯+⋯+②， ②-①得：231233333n n n T n +=---⋯-+1133313nn n +-=-⨯+-1(21)332n n +-+=；故222*112222(21)36936()2n n n n n n a c a c a c n T n N +-++++⋯+=+=∈【点评】本题主要考查等差等比数列通项公式和前n 项和的求解，考查数列求和的基本方法分组和错位相减法的运算求解能力，属中档题．44．（2019•天津理19）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知14a =，16b =，2222b a =-，3324b a =+．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足11c =，11,22,,2,k k n kk n c b n +⎧<<⎪=⎨=⎪⎩其中*k N ∈． ()i 求数列22{(1)}nn a c -的通项公式；()ii 求2*1()ni i i a c n N =∈∑．【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和【分析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，利用等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，能求出{}n a 和{}n b 的通项公式．（Ⅱ）()i 由222(1)(1)n n n n a c a b -=-，能求出数列22{(1)}n n a c -的通项公式． (Tex translation failed)，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，依题意有：26626124q d q d =+⎧⎨=+⎩，解得32d q =⎧⎨=⎩， 4(1)331n a n n ∴=+-⨯=+，16232n n n b -=⨯=⨯．（Ⅱ）()i 数列{}n c 满足11c =，11,22,,2,k k n kk n c b n +⎧<<⎪=⎨=⎪⎩其中*k N ∈． 222(1)(1)(321)(321)941n n n n n n n a c a b ∴-=-=⨯+⨯-=⨯-，∴数列22{(1)}n n a c -的通项公式为：22(1)941n n n a c -=⨯-．(Tex translation failed)12(21)(243)(941)2n n nni i =-=⨯+⨯+⨯-∑2114(14)(3252)914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--2112725212n n n +-=⨯+⨯--．*()n N ∈．【点评】本题考查等差数列、等比数列通项公式及前n 项和等基础知识，考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．45．（2019•上海）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ．（1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．【考点】8E ：数列的求和【分析】（1）求出公差即可求n S ；（2）由lim n n S →∞存在得11q -<<且0q ≠，由lim 12n n S →∞<得34q <，取交集可得公比q 的取值范围．【解答】解：（1）4133315a a d d =+=+=，4d ∴=， 2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+；（2）3(1)1n n q S q -=-，lim n n S →∞存在，11q ∴-<<，∴lim n n S →∞存在，11q ∴-<<且0q ≠，∴3(1)3lim lim 11n n n n q S q q→∞→∞-==--， ∴3121q <-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<， ∴公比q 的取值范围为(1-，0)(0⋃，3)4．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的前n 项和及等差数列的通项公式，考查了极限的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．46．（2019•浙江）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =．数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n c =*n N ∈，证明：12n c c c ++⋯+<，*n N ∈．【考点】数列与函数的综合【分析】（Ⅰ）利用等差数列通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出10a =，2d =，从而22n a n =-，*n N ∈．2n S n n =-，*n N ∈，利用212()()()n n n n n n S b S b S b +++=++，能求出n b ．（Ⅱ）n c ==，*n N ∈，用数学归纳法证明，得到12n c c c ++⋯+<，*n N ∈．【解答】解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124333a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得10a =，2d =， 22n a n ∴=-，*n N ∈．2n S n n ∴=-，*n N ∈，数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列．212()()()n n n n n n S b S b S b ++∴+=++，解得2121()n n n n b S S S d++=-，解得2n b n n =+，*n N ∈．证明：（Ⅱ）n c ==，*n N ∈，用数学归纳法证明：①当1n =时，102c =<，不等式成立；②假设n k =，*()k N ∈时不等式成立，即12k c c c ++⋯+<则当1n k =+时，121k k c c c c +++⋯++<<<==即1n k =+时，不等式也成立．由①②得12n c c c ++⋯+<，*n N ∈．【点评】本题考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力和综合应用能力．。

专题21 数列解答题丨十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(解析版)(共84页)

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！1十年（2014－2023）高考真题分项汇编—数列解答题目录题型一：数列的概念和通项公式...............................................................1题型二：等差数列的定义与性质...............................................................9题型三：等比数列的定义与性质.............................................................12题型四：数列的求和..................................................................................13题型五：数列中的新定义问题.................................................................15题型六：数列中的证明问题.....................................................................45题型七：数列与其他知识的交汇.............................................................62题型八：数列的综合应用. (81)题型一：数列的概念和通项公式1．(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n +⎧+=⎨+⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；(2)求{}n a 的前20项和．【答案】122,5b b ==；300．解析:(1)由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，故2223k k a a +=+即13n n b b +=+即13n n b b +-=所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-．(2)设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++ ，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=- ，所以()20241820210S a a a a =++++- ()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭．2．(2014高考数学湖南理科·第20题)已知数列{}n a 满足*+∈=-=N n p a a a nn n ,,111，(Ⅰ)若{}n a 是递增数列，且3213,2,a a a 成等差数列，求p 的值；(Ⅱ)若21=p ，且{}12-n a 是递增数列，{}n a 2是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．【答案】(1)13p =(2)141(1)332nn n a --=+⋅解析：(I)因为{}n a 是递增数列，所以11nn n n n a a a a p ++-=-=。

2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2} 2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．54．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．15．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.456．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．78．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．39．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．210．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1【考点】HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故选：D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），即x=y+．联立，得4y2﹣12y﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y 1+y 2=3，y 1y 2=﹣．∴S△OAB =S △OAF +S△OFB =×|y 1﹣y 2|==×=．故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为（） A ．B ．C ．D ．【考点】LM ：异面直线及其所成的角．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，，则MN0B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵BC=CA=CC 1，设BC=CA=CC 1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO===．故选：C ．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r=•x10﹣r•a r，+1令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos （x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．时，++…+＜．∴对n∈N+【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴== =0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2014年高考理科数学试题分类汇编_数列_word版含答案

2014年高考数学试题汇编数列一．选择题4. （2014福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D C1. （2014大纲）等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C ．3. (2014北京)设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 D试题分析：对等比数列}{n a ，若1>q ，则当0,1a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则2. (2014重庆)对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（）【答案】D 【解析】.∴D 选要求角码成等差5. （2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >【答案】C 【解析】..0.00;00:.,1111111C d a d a d a a a a a a a n n n 选且或且分情况解得即递减由同增异减知，<∴><<><+二．填空题1. (2014江苏) 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .2(2014安徽)数列{}n a 是等差数列，若a 1+1，a 3+3，a 5+5构成公比为q 的等比数列，则q= .5 (2014天津)设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________.【答案】21-【解析】依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-.3(2014北京)若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.4(2014广东)若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则三．解答题1. (2014新课标I)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.【解析】：(Ⅰ)由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-= …………6分（Ⅱ）由题设1a =1，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由(Ⅰ)知31a λ=+ 假设{n a }为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=；证明4λ=时，{n a }为等差数列：由24n n a a +-=知数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列2143m a m -=-令21,n m =-则12n m +=，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =- 令2,n m =则2n m =，∴21n a n =-(2)n m =∴21n a n =-（*n N ∈），12n n a a +-= 因此，存在存在4λ=，使得{n a }为等差数列. 2、(2014四川)设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上（n N *∈）。

2014高考题分类-(文科)数列(含答案)

2014高考题分类-（文科）数列（含答案）1、(2014年高考重庆卷文2)在等差数列｛a n｝中，a i 2 , a3 a5 10，则a7 ( )A. 5B. 8 C . 10 D. 141、解：.••数列｛a n｝是等差，a3 a5 10 ,・°・ 5 , a? 2a4 a 8 , •••选B.2、(2014年高考天津卷文5)设a…是首项为3 ,公差为1 的等差数列，S”为其前n项和，若S，S2, S4成等比数列，则 & =()A. 2B. - 2C. - D .222、解：• a”是首项为a,，公差为1的等差数列，S”为其前”项和，又• S” S2, S4 成等比数列，...佝a2)2= a1(a a2 a3 a«)，即2(2a1 1) = a1 (4a1 6)，解得a1 —2，••选D3、(2014年高考新课标2卷文5)等差数列a n的公差为2,若a2，a4，a8成等比数列，贝廿a.的前n项S.= ( )B. n n 1C.D.23、解：.•.等差数列a”的公差为2,且a2 , a4 , 成等比数列，二a42= a?a8 ,即（印6）2=⑻2）⑻14）,解得a 2，则a n 2n，二选A4、（2014年高考全国卷文8）.设等比数列©｝的前n项和为S n，若S2 3，S4 15，则S6 （）A . 31 B. 32 C. 63 D ・644、解：••由等比数列｛a n｝的前n项和S,的性质得：S2 , S4 -S2, S6 —S4成等比数列，即3,12,S6—15 成等比数列，••• 122= 3（S—15）, 解得：S e = 63,二选C5、（2014年高考辽宁卷文9）.设等差数列｛a n｝的公差为d, 若数列0an｝为递减数列，则（）DA・d 0 B・d 0 C・a-|d 0 D . qd 06、（2014年高考江苏卷文7）在各项均为正数的等比数列,则a6的值是▲.｛a n｝中,a2 1, a8 a6 2a4【答累】A【解析】设公上匕为哲因为?刚由陽=令+纠得字"二『+2亍* -1?'2— 2 = 0（解得叨'二2 * 所园盹-n才=4・【着点】等比数列餉通项公式7、（2014年高考江西卷文13）在等差数列a n中,a1 7 ,公差为d ，前n 项和为S n，当且仅当n 8时&取最大值，则d 的取值范围 __________ .7、解：因为a i7 0，当且仅当n 8时Sn 取最大值，可知d 0且同时满足a 80,a 90，二a 87 If 0，解得1 d 7，・••答案1 d 1& （2014年高考广东卷文13）.等比数列a n的各项均为正数，且a ’a s4，贝Ulog 2 a 1 +log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2 a 5= _________________.答案:5 提示: 设 Slog 2 a 1 log 2 a 2 log 2 a 3 log 2 a 4 log 2a 5,则 S log 2a 5 log 2a 4log 2 a 3 log 2 a 2 log 2 a 1,5log 2 4 10,a 9 7 8d 02S 5log 2（a i a s ） S 5.9、（2014年高考新课2卷文16)数列｛a n｝满足a”1[1 a na 2= 2，则a1 = ___________9、解：由已知得10、(2014年高考北京卷已知a n是等差数列，满足 b 420，且b n a ”是等比数列.(1) 求数列a n和h 的通项公式; (2) 求数列0的前n 项和.文15） a 13，a(本小题满分13分)12，数列b n满足b i4 ,2项公式及其前n 项和T n.(15) f 共 13 分 >«t ( I )设聲筈数列扫」的分建为# +由题倉需所以 u n -Vi t i (N -1)(/ 3n)*设事比数列他-碍｝的总比为「V^.1=2£zl£=g r 無％岛一打I 4-3从丽氏=抑+ 2* 1 5工12- (11J 曲(1 ) + (fl = l31 . 1 -2*艸如伽"和吟仞0犠輸科潤鼬项和环—=r所乩数囲世」的前"顶櫛为］附小心I,11、 (I ： (2014年高考重庆卷文16)(本小题满分小问6分，(II )小问5分)已知a n是首相为1,公差为2的等差数列，S13分. 表示an的前n 项和. (I )求aII )设 a 41 q S 40 及5 ；b n是首相为2的等比数列，公比求S 的通q满足I ）因为2」垦苗顶眄訂扭蛙"2的零養敦列［析民12、_ ・i 喊眄 *口J n（l<2rt"l> 2K 5, = 3 +3 + ■-■ + （I FI亠I J 工 - ; ---- = --- 二片・CH）*（ 1）^^=7.5^ 讥18为孑-心咖*Sj =o t即『-阳416 =o tBrijtfi -4）a =fi,从■而电=址3t® 6."・I妬f屋公比厂目的舗塩融列,所瓯虹胡厂'=2 - 4*_, =2fc_L从阿血丨的枫M和町帀啤二住=寻仟-I ）■（2014年高考湖南卷文16）.（本小题满分12分）2已知数列a n的前n项和S n亍，n N（I）求数列a n的通项公式；（II ）设b 2an1n a n，求数列b n的前2n项和.I ）当” I 时* H,V；an［上肾（用・】）*4（jr・|）7 1当用荒2吐d, = 5故盟蚪｛% J的划顶公式为匹■ e im由HA灿‘才•（“衍础姗｛耐的诃斟顶和为g剧Tj, = C21 + 2^+■*■■+■ I s*）+（—I 4 2- 3+4 —+ 2h）,启斗-【*2・3 + £—半加"财-|>-ISlJS捌他｝的曲舸段和乙旷口丹7-13、（2014年高考福建卷文17）. 已知等比数列｛a n｝中，a2 3，a5 81.（I ）求数列｛臥｝的通项公式；求数列｛b n｝的前n项和S （本小题满分12分）a2（II ）若数列 6IOg3a n ,13、考查等差、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想解：（I ）设｛a n｝的公比为q ，依题意得3 a 1q 481，解得n(d 2 因此，a n3n1(II ) V 数列 b nb n ) = n 2n2 'log 3a n= n 1,・°・数列｛b n｝的前n 项和S =14、（2014年高考江西卷文17） 2已知数列a n的前n 项和S n詈（1）求数列a n的通项公式；（2）证明：对任意n 1，都有m比数列.解析： 14、（本小题满分12分）N,使得a 1, a n, a m成等(1 )当 n 1 时 a ,S 1 当n 2时％ S S 检验当n 1时a 1a”使印,a n, a m成等比数列.则 a n2= a 1a m3n 2"=3m 23m 3n 2 2 2 9n 2 12n 6所以m 3n 24n 221 n 1 3n2 23n 2 （2）即满足则对任意n 1 ,都有3n 24n 2 N所以对任意n 1 ,都有m N ,使得a” a n, a ”成等比数列.15、（2014年高考全国卷文仃）.（本小题满分10分）数列｛a n｝满足印 2,a 22,an 22a . 1 a . 2(1) 设bn a n 1 a n，证明｛bn｝是等差数列;(2) 求｛a n｝的通项公式.（17） t *汕仆）T ； J A 小=LHi = 2&n » I "1T I J 可匪t 九甘[曹用觌列I （n ）如的逍顼笛亠 W J [ I ） th j: = m ■ 1 -日"2 褐- art*i *4fnt+i - ti> + 2-X 枷匸出g 曲=11巧旦內｝!上门卷X 处…2的带•岸歌吩hl[-应I xjiJ E9 乔[五X + ■f.・1 *蹄以細増強武为-分)已知a n是递增的等差数列，a 2, a 4是方程x 25x 6根。

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2014年高考数学试题汇编数列解答题
1. (2014新课标I) (本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.
(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.
2、(2014四川) (本小题满分12分)
设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（n N *
∈）。

（Ⅰ）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（Ⅱ）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-
，求数列{}n n a b 的前n 项和n T 。

3. (2014新课标II)（本小题满分12分）
已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{}
12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112
n a a a ++<…+.
4、(2014江西)（本小题满分12分）
已知首项都是1的两个数列（），满足. (1) 令，求数列的通项公式； (2) 若，求数列的前n 项和.
5(2014天津)（本小题满分14分）
已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,1,q M =- ，集合
{}112,,1,2,,n n i A x x x x q x q x M i n -+?==++ .
（Ⅰ）当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ；
（Ⅱ）设,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++ ，112n n t b b q b q -=+++ ，
其中,i i a b M Î，1,2,,i n = . 证明：若n n a b <，则s t <.
6. (2014湖南)已知数列{}n a 满足111,n n n a a a p +=-=,*
n N ∈. (1)若{}n a 为递增数列,且123,2,3a a a 成等差数列,求P 的值;
(2)若12p =
,且{}21n a -是递增数列,{}2n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式.
7. (2014湖北)（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式.
（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得80060+>n S n ?若存在，求n 的最小值；
若不存在，说明理由.
8. （2014大纲）（本小题满分12分）
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤.
（I ）求{}n a 的通项公式；
（II ）设1
1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 9 (2014山东)（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令1
1
4(1)n n n n n b a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 10 (2014重庆)（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）
设1
11,(*)n a a b n N +==∈ （1）若1b
=，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；（2）若1b
=-，问：是否存在实数c 使得2n a <看不清
11（2014浙江）（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*
∈=N n a a a n b n 221 .若{}n
a 为等比数列，
且.6,2231b b a +==
（1）求n a 与n b ；
（2）设()
*∈-=N n b a c n n n 11。

记数列{}n c 的前n 项和为n S . （i ）求n S ；
（ii ）求正整数k ，使得对任意*
∈N n ，均有n k S S ≥． 13 2014上海)（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满
分9分.
已知数列{}n a 满足
1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；
（2）若{}n a 是公比为q 等比数列，12n n S a a a =+++ ，113,*,3
n n n S S S n N +≤≤∈求q 的取值范围；（3）若12,,,k a a a 成等差数列，且12
1000k a a a +++= ，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值
时相应数列12,,,k a a a 的公差.
14. (2014北京)（本小题13分）
对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+， 112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤ ，其中
112max{(),}k k T P a a a -+++ 表示1()k T P -和12k a a a +++ 两个数中最大的数，
（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.
（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.
（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.。