07-13年广东高考数学理科数列真题(含答案)
2007年高考数学广东卷(理科)-带答案
2007 年高考数学广东卷(理科)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概其中R 表示球的半径率k n kk n n P P C k P --=)1()(第 I 卷 （选择题 共40分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A ．［0,2］B ．［1,2］C ．［0,4］D ．［1,4］ 2．已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11 A ．1+2i B ． 1–2i C ．2+i D ．2–i 3．已知0＜a ＜1，log log 0a a m n <<，则A ．1＜n ＜mB ． 1＜m ＜nC ．m ＜n ＜1D ．n ＜m ＜1 4．若α是第二象限的角，且2sin 3α=，则=αcosA ．13 B ． 13- C ． D ． 5．等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是 A ． 12 B ． 24 C ．16 D ． 486．三棱锥D —ABC 的三个侧面分别与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则二面角A —BC —D 的大小为A ． 300B ． 450C ．600D ．900 7． 已知变量a ，b 已被赋值，要交换a 、b 的值，采用的算法是A ．a=b, b=aB ．a=c, b=a, c=bC ．a=c, b=a, c=aD ．c=a, a=b, b=c8．已知点M （－3，0），N （3，0），B （1，0），圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A ．221(1)8y x x -=<- B ．)1(1822>=-x y xC ．1822=+y x （x > 0） D ．221(1)10y x x -=>第 Ⅱ 卷 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
13年广东高考理科数学试题及答案OK
正视图 俯视图侧视图图1绝密★启用前 试卷类型：A2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5、考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：台体的体积公式121(3V S S h =++,其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设集合{}R x x x x M ∈=+=,022 {}R x x x x N ∈=-=,022，则M N = （ ）A 、{}0B 、{}2,0C 、{}0,2-D 、{}2,0,2-2、定义域为R 的四个函数3x y =，x y 2=，12+=x y ，x y sin 2=中，奇函数的个数是（ ）A 、4B 、3C 、2D 、1 3、若复数z 满足i iz 42+=，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）A 、)4,2(B 、)4,2(-C 、)2,4(-D 、)2,4( 4、已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望=)(X E （ ）5 ）A 、4B 、314 C 、316D 、6D6、设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A 、若m n αβαβ⊥⊂⊂，，， 则m n ⊥ B 、若m n αβαβ⊂⊂∥，，，则m n ∥ C 、若m n m n αβ⊥⊂⊂，，， 则αβ⊥ D 、若m m n n αβ⊥，∥，∥，则αβ⊥7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为)0,3(F 离心率等于23，则C 的方程是（ ） A 、15422=-y x B 、15422=-y x C 、15222=-y x D 、15222=-y x 8、设整数4≥n ，集合{}n X ,,3,2,1 =令集合{}(,,),,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立，若),,(),,(x w z z y x 和都在S中，则下列选项正确的是（ ）A 、S w y x S w z y ∉∈),,(,),,(B 、 S w y x S w z y ∈∈),,(,),,(C 、S w y x S w z y ∈∉),,(,),,(D 、 w y x S w z y ∉∉),,(,),,(二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20（一）必做题（9-13题）9、不等式022<-+x x 的解集为 ．10、若曲线x kx y ln +=在点),1(k 处的切线平行于x 轴，则=k ．11、执行图2所示的流程框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为 ． 12．在等差数列{}n a 中，已知1083=+a a ，则=+753a a ．13、给定区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+0444:x y x y x D ，令点集{}000000(,),,(,)D T x y D x y Z x y z x y =∈∈=+是在上取得最大值或最小值的点，则T 中的点共确定条不同的直线；（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14、（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==)(sin 2cos 2为参数t ty t x ，C 在点)1,1(处的切线为l ,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D ，使BC =CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E ，若AB =6，DE =2，则BC = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知函数()),12f x x π=-x R ∈，（1）求()6f π-的值；（2）若33cos ,(,2)52πθθπ=∈，求(2)3f πθ+17、（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数．（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？ （3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．图4BC图6O18、（本小题满分14分）如图5，在等腰直角三角形ABC中，∠A 90=︒，6BC=，D，E分别是AC，AB上的点，CD BE== O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图6所示的四棱椎'A BCDE-，其中'A O=（1）证明：'A O⊥平面BCDE；（2）求二面角'A CD B--平面角的余弦值．19、（本小题满分14分）设数列{}na的前n项和为nS，已知11a=，2*1212,33nnSa n n n Nn+=---∈，（1）求2a的值；（2）求数列{}na的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有1211174na a a++⋅⋅⋅+<．20、（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)(0)F c c >到直线:20l x y --=，设P 为直线l 上的点，过点P 做抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点；（1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB ；（3）当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值21、（本小题满分14分）设函数2()(1)()x f x x e kx k R =--∈，（1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间； （2）当1(,1]2k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)答案数学（理科）一、选择题1-5：D 、C 、C 、A 、B ； 6-8：D 、B 、B ；二、填空题9、(-2,1) 10、-1 11、7 12、20 13、6 14、2)4(sin =+πθρ 15、32三、解答题16、（1）由题意1222)4cos(2)126cos(2)6(=⨯=-=--=-ππππf （2）∵)2,23(,53cos ππθθ∈=，∴54-sin =θ．∴252453)54(2cos sin 22sin ,2571)53(21-cos 22cos 22-=⨯-⨯==-=-⨯==θθθθθ∴)4sin 2sin 4cos 2(cos 2)42cos(2)1232cos(2)32(πθπθπθππθπθ-=+=-+=+f2517)2524(2572sin 2cos )2sin 222cos 22(2=---=-=-=θθθθ． 17、（1）样本均值为226302521201917=+++++=x ． （2）根据题意，抽取的6名员工中优秀员工有2人，优秀员工所占比例为3162=，故12名员工中优秀员工人数为41231=⨯（人）．（3）记事件A 为“抽取的工人中恰有一名为优秀员工”，由于优秀员工4人，非优秀员工为8人，故事件A 发生的概率为33166684)(2121814=⨯==C C C A P ，即抽取的工人中恰有一名为优秀员工的概率为3316．18、（1）折叠前连接OA 交DE 于F ，∵折叠前△ABC 为等腰直角三角形，且斜边BC =6， 所以OA ⊥BC ，OA=3，AC =BC =23 又2==BE CD∴BC ∥DE ，22==AE AD∴OA ⊥DE ，22==AE AD ∴AF =2，OF =1 折叠后DE ⊥OF ，DE ⊥A ′F ，OF ∩A ′F =F∴DE ⊥面A ′OF ，又OF A O A '⊂'面 ∴DE ⊥A ′O又A ′F =2，OF =1，A ′O =3∴△A ′OF 为直角三角形，且∠A ′OF =90° ∴A ′O ⊥OF ， 又BCDE DE 面⊂，BCDE OF 面⊂，且DE ∩OF =F ， ∴A ′O ⊥面BCDE ．（2）过O 做OH ⊥交CD 的延长线于H ，连接H A '，∴OH =22AO =223，230)3()223(2222=+=+'='OH O A H A ∵∠A ′HO 即为二面角B CD A --'的平面角，故cos ∠A ′HO=5153023=='H A OH ． 19、（1）令*21,32312N n n n a n S n n ∈---=+中n =1得,32131221---=a a ∴42212=+=a a（2）由*21,32312N n n n a n S n n ∈---=+；得)2)(1(612326121231++-=---=++n n n na n n n na S n n n∴)3)(2)(1(612)1(21+++-+=++n n n a n S n n两式相减得)2)(1(2122)1(121++--+=-+++n n na a n S S n n n n∴)2)(1(2122)1(121++--+=+++n n na a n a n n n∴)2)(1(212)2(2)1(12++++=+++n n a n a n n n∴11212++=+++n an a n n ，∴11212=+-+++n a n a n n又由（1）知112,22,111221=-==aa a a∴为公差的等差数列，为首相，是以11⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n ∴n na n =．∴)(*2N n n a n ∈=．（3）∵)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<n n n n n n∴)1111(21)4121(21)311(2111312111111222321+--++-+-+<++++=++++n n na a a a n 47)111(2147)111211(211<++-=+--++=n n n n 20、（1）依题意得0,22322>=--c c ，∴1=c ．∴抛物线焦点坐标为（0,1），抛物线解析式为x 2=4y（2）设A （x 1，421x ），B （x 2，422x ），∴可设A 、B 中点坐标为M )82(222121x x x x ++， 所以直线PA ：424)(22112111x x x x x x x y -=+-=，直线PB ：424)(22222222x x x x x x x y -=+-=两式相减得)2(244202121212221x x x x x x x x x x +--=-+-= ∵21x x ≠，∴0221≠-x x ，0221=+-x x x∴2210x x x +=， ∴0212x x x =+将P （0x ，0x -2）带入PA ：42211x x x y -=得4422221212110x x x x x x x =-+=-∴84021-=x x x∴2428168482)(8020020212212221+-=+-=-+=+x x x x x x x x x x ∴A 、B 中点坐标为M （0x ，242020+-x x ）∴直线AB 的斜率24)(4021122122x x x x x x x k AB =+=--= 故直线AB 的方程为22242)(20002000+-=+-+-=x x x x x x x x y ． （3）由于A 点到焦点F 的距离等于A 点到准线y =-1的距离，∴|AF |=1421+x ，|BF |=1422+x 29)23(2962142)2(14)4()14)(14(200200202022212212221+-=+-=++-+-=+++=++=⋅x x x x x x x x x x x x BF AF∴当230=x 时，BF AF ⋅取最小值29．21、（1）k =1时2)1()(x e x x f x --=∴)2(2)1()(-=--+='x x x e x x e x e x f当x <0时02<-x e ，故0)2()(>-='x e x x f ,)(x f 单调递增；0< x <ln2时02>-x e ，故0)2()(<-='x e x x f ，)(x f 单调递减； x>ln2时02>-x e ，故0)2()(>-='x e x x f ，)(x f 单调递增；综上，)(x f 的单调增区间为)0,(-∞和),2(ln +∞，单调减区间为)2ln ,0(． （2）)2(2)1()(k e x kx e x e x f x x x -=--+='∵121≤<k ，∴221≤<k 由（1）可知)(x f 的在（0，ln2k ）上单调递减，在（ln2k ，+∞）上单调递增设)121(，2ln )(≤<-=x x x x g ，则xx x g 11221)(-=-=' ∵121≤<x ，∴211<≤x ，∴0111≤-<-x∴x x x g 2ln )(-=在⎥⎦⎤⎝⎛121，上单调递减．∵121≤<k ， ∴02ln 1)1()(>-=>g k g ∴02ln >-k k 即k k 2ln > ∴)(x f 的在（0，ln2k ）上单调递减，在（ln2k ，k ）上单调递增． ∴)(x f 的在[0，k ]上的最大值应在端点处取得． 而1)0(-=f ，1)1(2)1()(3-=<--=f k e k k f k ∴当x =0时)(x f 取最大值1-．。
2013年广东高考理科数学试题及答案解析(图片版)
2013年广东高考理科数学试题与答案解析2013年普通高等学校招生全国统一考试〔广东卷〕数学〔理科〕参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. DC CA BD BB二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分9. (-2,1) 10.k =-1 11. 7 12.20 13.614.sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭15.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．〔本小题满分12分〕[解析](Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭. 17．〔本小题满分12分〕[解析](Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.向量法图(Ⅲ) 设事件A:从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A=1148212C CC 1633=.18．〔本小题满分14分〕[解析](Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD===连结,OD OE,在OCD∆中,由余弦定理可得OD==由翻折不变性可知A D'=,所以222A O OD A D''+=,所以A O OD'⊥,理可证A O OE'⊥, 又OD OE O=,所以A O'⊥平面BCDE.(Ⅱ) 传统法:过O作OH CD⊥交CD的延长线于H,连结A H',因为A O'⊥平面BCDE,所以A H CD'⊥,所以A HO'∠为二面角A CD B'--的平面角.结合图1可知,H为AC中点,故2OH=,从而2A H'==所以cos5OHA HOA H'∠==',所以二面角A'的平面角的余弦值为.向量法:以O点为原点,建立空间直角坐标系O-则()0,0,3A',()0,3,0C-,()1,2,0D-所以(CA'=,(1,DA'=-设(),,n x y z=为平面A CD'的法向量,则n CAn DA⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020yx y⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,解得yz=⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x=,得(1,1,n=-由(Ⅰ) 知,()0,0,3OA'=为平面CDB的一个法向量,所以3cos,3n OAn OAn OA'⋅'==⋅'即二面角A CD B'--19．〔本小题满分14分〕[解析](Ⅰ) 依题意,12122133S a=---,又111S a==,所以24a=；(Ⅱ) 当2n≥时,32112233n nS na n n n+=---,()()()()321122111133n nS n a n n n-=-------两式相减得()()()2112213312133n n na na n a n n n+=----+---整理得()()111n nn a na n n++=-+,即111n na an n+-=+,又21121a a-=故数列nan⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a=,公差为1的等差数列,所以()111n a n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.20．〔本小题满分14分〕[解析](Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设A (x 1,y 1), B (x 2,y 2) (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点P (x 0,y 0),所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以(x 1,y 1),(x 2,y 2)为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点P (x 0,y 0)在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭ 所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 21．〔本小题满分14分〕 [解析](Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令f'(x )=0,得0x =,ln 2x = 当x 变化时, f'(x ), f (x )的变化如下表:f (x ) 极大值极小值右表可知,函数f (x )的递减区间为(0,ln2),递增区间为(-∞,0), (ln2,+∞). (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令f'(x )=0,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增,所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈所以当()()0,ln 2x k ∈时, f'(x )<0；当()()ln 2,x k ∈+∞时, f'(x )>0；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1kM f f k k e k ==--- 令()()311kh k k e k =--+,则()()3kh k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以φ(k )在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e e ϕϕ⎛⎫⎛⎫⋅=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, φ(k )>0, 当()0,1k x ∈时, φ(k )<0, 所以φ(k )在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减. 因为1170228h e ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=〞.综上,函数f (x )在[0,k ]上的最大值()31kM k e k =--.。
07-13年广东高考数学理科概率统计真题(含答案)
17．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据；（２）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程y bx a=+（３）已知该厂技术改造前１００吨甲产品能耗为９０吨标准煤；试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？（3×2．5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）2008年广东高考文科卷17．（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．（1）求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？17．（本小题满分12分）根据空气质量指数API （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API 数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如图5 （1）求直方图中x 的值；（2）计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. (结果用分数表示．已知7732738123578125,2128,,36573518253651825182591259125==++++==⨯）2010年广东高考文科卷17.（12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490,495】，（495,500】，……，（510,515】，由此得到样本的频率分布直方图，如图4（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量,（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列； （3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率。
高考广东理科数学试题及答案解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年广东，理1，5分】设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ，{}2|20,N x x x x =-=∈R ，则M N =U （ ）（A ）{}0 （B ）{}0,2 （C ）{}2,0- （D ）{}2,0,2- 【答案】D【解析】易得{}2,0M =-，{}0,2N =，所以M N =U {}2,0,2-，故选D ．（2）【2013年广东，理2，5分】定义域为R 的四个函数3y x =，2x y =，21y x =+，2sin y x =中，奇函数的个数是（ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 【答案】C【解析】3y x =，2sin y x =为奇函数；21y x =+为偶函数；2x y =为非奇非偶函数．∴共有2个奇函数，故选C ． （3）【2013年广东，理3，5分】若复数z 满足i 24i z =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）（A ）()2,4 （B ）()2,4- （C ）()4,2- （D ）()4,2 【答案】C【解析】由i 24i z =+，得24i (24i)(i)42i i i (i)z ++⋅-===-⋅-，故z 对应点的坐标为(4)2-，，故选C ． （4）【2013年广东，理4，5X X1 2 3 P35310 110 则X 的数学期望EX = （A ）32 （B ）2 （C ）52（D ）3【答案】A【解析】33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==，故选A ．（5）【2013年广东，理5，5分】某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）（A ）4 （B ）143 （C ）163（D ）6【答案】B【解析】解法一：由三视图可知，原四棱台的直观图如图所示， 其中上、下底面分别是边长为1，2的正方 形，且1DD ⊥面ABCD ，上底面面积2111S ==，下底面面积2224S ==．又∵12DD =，∴()1122111411()442333V S S S S h =++=+⨯+⨯=台，故选B ．解法二：由四棱台的三视图，可知原四棱台的直观图如图所示．在四棱台1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1都为正方形，2AB =，111A B =，且1D D ⊥平面ABCD ，12D D =．分别延长四棱台各个侧棱交于点O ，设1OD x =，因为11OD C ODC ∆∆∽，所以111OD D C OD DC=， 即122x x =+，解得2x =．111111111114224112333ABCD A B C D O A A B B C O D CD V V V ---=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=-=棱锥棱锥，故选B ． （6）【2013年广东，理6，5分】设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）（A ）若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ （B ）若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n （C ）若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ （D ）若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥【解析】选项A 中，m 与n 还可能平行或异面，故不正确；选项B 中，m 与n 还可能异面，故不正确；选项C 中，α与β还可能平行或相交，故不正确；选项D 中，∵m α⊥，//m n ，n α∴⊥． 又//n β，αβ∴⊥，故选D ．（7）【2013年广东，理7，5分】已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ，离心率等于32，在双曲线C 的方程是（ ）（A）2214x = （B ）22145x y -= （C ）22125x y -= （D）2212x = 【答案】B【解析】由曲线C 的右焦点为0(3)F ，，知3c =．由离心率32e =，知32c a =，则2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线C 的方程为22145x y-=，故选B ．（8）【2013年广东，理8，5分】设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,X n =L ．令集合(){,,|,,S x y z x y z X =∈且三条件x y z <<，,y z x z x y <<<<，}恰有一个成立，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项正确的是（ ）（A ）(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉ （B ）(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈ （C ）(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∈ （D ）(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∈【答案】B【解析】解法一：特殊值法，不妨令2,3,4x y z ===，1w =，则()(),,3,4,1y z w S =∈，()(),,2,3,1x y w S =∈，故选B ． 解法二：由()x y z S ∈，，，不妨取x y z <<，要使()z w x S ∈，，，则w x z <<或x z w <<．当w x z <<时，w x y z <<<，故()y z w S ∈,,，()x y w S ∈,,．当x z w <<时，x y z w <<<，故()y z w S ∈,,，()x y w S ∈,,． 综上可知，()y z w S ∈,,，()x y w S ∈,,，故选B ．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~13） （9）【2013年广东，理9，5分】不等式220x x +-<的解集为 ． 【答案】()2,1-【解析】220x x +-<即()()210x x +-<，解得21x -<<，故原不等式的解集为1{|}2x x -<<． （10）【2013年广东，理10，5分】若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k = ． 【答案】1-【解析】1y xk '=+．因为曲线在点(1)k ，处的切线平行于x 轴，所以切线斜率为零，由导数的几何意义得10|x y ='=，故10k +=，即1k =-．（11）【2013年广东，理11，5分】执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为 ． 【答案】7【解析】第一次循环后:1,2s i ==；第二次循环后:2,3s i ==；第三次循环后:4,4s i ==；第四次循环后:7,5s i ==；故输出7．（12）【2013年广东，理12，5分】在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a += ．【答案】20【解析】依题意12910a d +=，所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=． 或:()57383220a a a a +=+=．（13）【2013年广东，理13，5分】给定区域D ：4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y=+在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定 条不同的直线．【解析】画出可行域如图所示，其中z x y =+取得最小值时的整点为()0,1，取得最大值时的整点为()0,4，()1,3，()2,2，()3,1及()4,0共5个整点．故可确定516+=条不同的直线．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）（14）【2013年广东，理14，5分】（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，C 在点()1,1处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 ．【答案】sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解析】曲线C 的普通方程为222x y +=，其在点()1,1处的切线l 的方程为2x y +=，对应的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=，即sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （15）【2013年广东，理15，5分】（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC CD =，过C 作圆O 的切线交AD 于E ．若6AB =，2ED =，则BC = ． 【答案】23【解析】依题意易知ABC CDE ∆∆:，所以AB BCCD DE=，又BC CD =，所以212BC AB DE =⋅=，从而23BC =． 三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）【2013年广东，理16，12分】已知函数()2cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）若3cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解：（1）2cos 2cos 2cos 1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）22cos 22cos 2cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为3cos 5θ=，3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 5θ=-，所以24sin 22sin cos 25θθθ==-，227cos2cos sin 25θθθ=-=-，所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos2sin2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭．（17）【2013年广东，理17，12分】某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数． （1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．解：（1）样本均值为1719202125301322266+++++==．（2）由（1）知样本中优秀工人占的比例为2163=，故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人（3）设事件A :从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人，则()P A =1148212C C C 1633=． （18）【2013年广东，理18，14分】如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，6BC =，,D E 分别是,AC AB 上的点，2CD BE ==，O 为BC 的中点．将ADE ∆沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中3A O '=．（1）证明:A O '⊥平面BCDE ； （2）求二面角D AF E －－的余弦值．解：（1）在图1中，易得3,32,22OC AC AD ===，连结,OD OE ，在OCD ∆中，由余弦定理可得222cos 455OD OC CD OC CD =+-⋅︒=，由翻折不变性可知22A D '=，所以222A O OD A D ''+=，所以A O OD '⊥，理可证A O OE '⊥， 又OD OE O =I ，所以A O '⊥平面BCDE ． （2）解法一：过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ，连结A H '，因为A O '⊥平面BCDE ，所以A H CD '⊥，A HO '∴∠为二面角A CD B '--的平面角．由图1可知，H 为AC 中点，故32OH =，2230A H OH OA ''=+=， 所以15cos OH A HO A H '∠=='，所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为15． 解法二：以O 点为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示，则()0,0,3A '，()0,3,0C -，()1,2,0D -，所以()0,3,3CA '=u u u r ，()1,2,3DA '=-u u u u r，设(),,n x y z =r 为平面A CD '的法向量，则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩r u u u rr u u u u r，即330230y z x y z ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩，解得3y x z x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，令1x =，得()1,1,3n =-r 由（1）知，()0,0,3OA '=u u u r 为平面CDB 的一个法向量，所以15cos ,35n OA n OA n OA '⋅'==='⋅r u u u rr u u u r r u u u r ， 即二面角A CD B '--的平面角的余弦值为15． （19）【2013年广东，理19，14分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n ∈N ． （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明:对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<L ． 解：（1）依题意，12122133S a =---，又111S a ==，所以24a =．（2）当2n ≥时，32112233n n S na n n n +=---，()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------，两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---，整理得()()111n n n a na n n ++=-+，即111n n a a n n +-=+，又21121a a -=，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为1的等差数列， 所以()111n an n n=+-⨯=，所以2n a n =．（3）当1n =时，11714a =<；当2n =时，12111571444a a +=+=<； 当3n ≥时，()21111111n a n n n n n =<=---，此时222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L 11171714244n n =++-=-<，综上，对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<L ．（20）【2013年广东，理20，14分】已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为32．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． （1）求抛物线C 的方程；（2）当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．解：（1）依题意，设抛物线C 的方程为24x cy ==结合0c >，解得1c =． 所以抛物线C 的方程为24x y =．（2）抛物线C 的方程为24x y =，即214y x =，求导得12y x '=，设()11,A x y ，()22,B x y (其中221212,44x x y y ==)， 则切线,PA PB 的斜率分别为112x ，212x ，所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即211122x x y x y =-+，即11220x x y y --=，同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=，因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ，所以1001220x x y y --=，2002220x x y y --=，所以()()1122,,,x y x y为方程00220x x y y --=的两组解．所以直线AB 的方程为00220x x y y --=．（3）由抛物线定义可知11AF y =+，21BF y =+，所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++，联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=，由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-，2120y y y =，所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+，又点()00,P x y 在直线l 上，所以002x y =+，所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭，所以当012y =-时， AF BF ⋅取得最小值，且最小值为92．（21）【2013年广东，理21，14分】设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R )．（1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M ．解：（1）当1k =时，()()21x f x x e x =--，()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-， 令()0f x '=，得0x =，ln 2x =，当x 变化时，,f x f x '的变化如下表:（2）()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-，令()0f x '=，得10x =，()2ln 2x k =，令()()ln 2g k k k =-，则()1110k g k k k -'=-=>，所以()g k 在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上递增， 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<，从而()ln 2k k <，所以()[]ln 20,k k ∈，所以当()()0,ln 2x k ∈时， ()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时，()0f x '>；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==---，令()()311k h k k e k =--+，则()()3k h k k e k '=-，令()3k k e k ϕ=-，则()330k k e e ϕ'=-<-<，所以()k ϕ在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，而()()1313022e ϕϕ⎛⎫⎫⋅=-< ⎪⎪⎝⎭⎭，所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=，且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0k ϕ>，当()0,1k x ∈时，()0k ϕ<，所以()k ϕ在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x上单调递减．17028h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()10h =，()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，当且仅当1k =时取得“=”． 综上，函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--．。
2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(广东卷带解析)
绝密★启用前 2013-2014学年度 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释） 1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N =U ( ) A.{}0 B ．{}0,2 C ．{}2,0- D ．{}2,0,2- 2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( ) A . 4 B ．3 C ．2 D ．1 3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( ) A . ()2,4 B ．()2,4- C ．()4,2- D ．()4,2 则的数学期望 ( ) A . 32 B ．2 C ．52 D ．3 5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4 B．143C ．163 D ．66．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 ( )A . 2214x -=B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x =8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =L .令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z yz x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立 若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈正视图 俯视图 侧视图第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）9．不等式20x x+-<的解集为___________．10．若曲线lny kx x=+在点()1,k处的切线平行于x轴,则k=______.11．执行如图所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为______.12．在等差数列{}n a中,已知3810a a+=,则573a a+=_____.13．给定区域D:,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y=∈∈是z x y=+在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定______条不同的直线.14．已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t为参数),C在点()1,1处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为_____________.15．如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC CD=,过C作圆O 的切线交AD于E.若6AB=,2ED=,则BC=_________..AEDCBO三、解答题（题型注释） 16．已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R . (Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 17．某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.18．如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.19．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233nn S a n n n +=---,*n ∈N .(Ⅰ) 求2a 的值；. C O B D EA CD O BE'A图1 图2 1 7 92 0 1 53 0(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<L . 20．已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程； (Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值. 21．设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ). (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .参考答案1．D【解析】因{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N =U {}2,0,2-,故选D ．【考点定位】集合的运算、二次方程的解法2．C【解析】奇函数的为3y x =与2sin y x =,21y x =+和2xy =为非奇非偶函数，故选C ． 【考点定位】基本初等函数和奇函数的概念3．C 【解析】2442i z i i+==-对应的点的坐标是()4,2-,故选C ． 【考点定位】复数运算和复数的几何意义.4．A 【解析】33115312351010102EX =⨯+⨯+⨯==,故选A ． 【考点定位】离散型随机变量的期望5．B【解析】由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为1和2的正方形,高为2,故()2211412233V =⨯=,故选B ． 【考点定位】三视图与四棱台的体积6．D【解析】选项A 中，m 与n 还可能平行或者异面，故错；B 中，m 与n 还可能异面，故错；C 中，,αβ还有可能平行或者相交，故错； D 中，,,,m m n n n ααβαβ⊥∴⊥∴⊥Q Q ∥∥,,故D 正确.【考点定位】考查线面的位置关系7．B【解析】依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ． 【考点定位】考查双曲线方程。
2013年高考理科数学广东卷-答案
M N=-{2,0,2}z①，x②，y③三个式子中恰有一个成立；x④，z⑤，w⑥+=条不同的直线．故可确定51612AB DE=，【提示】观察图形，根据已知条件，利用圆的性质，通过相似三角形求距离．cos45OC CD︒=，所以OD OE O⊥交CDCD-的平面角．CD B中点，故OH5A H'5所以(0,3,CA '=，(1,2,DA '=-设(,,)n x y z =00n CA n DA ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即⎩，得(1,1,n =-由（Ⅰ）知，(0,0,OA '=315,5||||35n OA n OA n OA ''==='22211111111111111434423341n a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭14244n n =++-=-< 174n a ++<项的关系式和首项，求第二项；根据题设条件，利用递推公式求通项公1(AF BF y =联立方程24x y⎨=⎪⎩12|||AF BF y y =02y =+，|||AF BF 取得最小值，且最小值为根据两直线的交点，联立两直线求直线方程；由直线与抛物线的位置关系得到关系式，求最小值．ln 21ln ≤-=k <，所以(0,ln(2))k 时，),)k +∞时，max{(0),f f 3e 30-<(1)e ϕ⎫⎛=⎪ ⎭⎝所以存在01,12x ⎛∈ ⎝【考点】利用导数求函数的单调区间，利用函数单调性求最值。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷,含答案)
设数列 an 的前 n 项和为 Sn . 已知 a1
（1）求 a2 的值 （2）求数列｛ an｝的通项公式 a1
2 Sn 1, n
an 1
1 n2 3
n
2 3, n
N* .
11
17
证明 : 对一切正整数 n , 有 a1 a2
an 4 .
20.( 本小题满分 14 分 ) 已知抛物线 c 的顶点为原点，其焦点 F（0，c）（ c＞0）到直线 L:x-y-2=0 的距离为 . 设
1
a2
,又 2
a1 1
1
故数列
an n
a1 是首项为 1
1 , 公差为 1的等差数列 ,
an 1 所以 n
n1
1
n
,
所以
an
n2 .
1
7
11
15
1
1
(3) 当 n 1 时 , a1
4 ；当 n 2时 , a1 a2
44
11 当 n 3时, an n2
1
11
n 1 n n 1 n , 此时
11 a1 a2
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答需写出文字说明。证明过程和演算步骤。 16. （本小题满分 12 分）
f ( x) 2 cos( x )
已知函数
12 ， x R
（1）求 f （ - ）的值；
（2）若 cosθ = ， θE（ ， 2π），求 f （ 2θ + ）。 17．（本小题满分 12 分）
∵ A’ O⊥平面 BCDE,CD 平面 BCDE, ∴CD⊥ A’O
∵ OM A’O=O, ∴ CD⊥平面 A’ OM
∵ A’ M 平面 A’ OM∴ CD⊥ A’ M
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07-13年广东高考数学理科数列真题(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN5.已知数列{a n }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<,则k = A. 9 B. 8 C. 7 D. 621.（本小题满分14分）已知函数2()1, f x x x αβ=+-、是方程()0f x =的两个根()αβ>,()f x '是()f x 的导数.设11()1,(1,2,)()n n n n f a a a a n f a +==-=', (1)求αβ、的值；(2)证明：对任意的正整数n ，都有n a α>; (3)记ln(1,2,)n n n a b n a βα-==-,求数列{}n b 的前n 项和n S .2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ ）A ．16B ．24C ．36D ．4821．（本小题满分12分）设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…）． （1）证明：p αβ+=，q αβ=； （2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S ．４．巳知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）Ａ．(21)n n - Ｂ．2(1)n + Ｃ．2n Ｄ．2(1)n -21．（本小题满分14分）已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（２）证明：13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅⋅<<4.已知{}n a 为等比数列,n S 是它的前n 项和.若2312a a a ⋅=, 且4a 与72a 的等差中项为54,则5S =A.35B.33C.31D.292011年广东高考理科卷11. 等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和. 若141,0k a a a =+=，则k=____________.20.（本小题共14分） 设b>0,数列{}n a 满足a 1=b ，11(2)22n n n nba a n a n --=≥+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，11 1.2n n n b a ++≤+11.已知递增的等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-，则n a =_____________19. （本小题满分14分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n =an+1-2n+1，n ∈N ﹡,且a 1，a 2+5，a 3成等差数列。
求a 1的值；求数列{a n }的通项公式。
证明：对一切正整数n ，有121113 (2)n a a a +++<.答案解析2007年广东高考理科卷5. 答案为：B解析:由29n S n n =-，可根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.解得210n a n =-.再根据5＜2k －10＜8,解得7.5＜k ＜9,∴k =8.21.解:(1) 由 210x x +-=得12x -±=α∴=β= (2)(数学归纳法)①当1n =时,11a =>命题成立; ②假设当*(1,)n k k k N =≥∈时命题成立,即k a >21511118221212222k kk k k a a a a a α+++∴==+-≥=++,又等号成立时k a=k a ∴>时,1k a β+>1n k ∴=+时命题成立; 由①②知对任意*n N ∈均有n a α>.(3) ()21f x x '=+ 221112121n n n n n n n a a a a a a a ++-+∴=-=++ 1n a β+∴-=22221()(1)()212121n n n n n n a a a a a a βββββ+--+---==+++ 同理 1n a α+∴-=2()21n n a a α-+21111()ln 2ln n n n n n n n n a a a a a a a a ββββαααα++++----∴=∴=---- ∴ 12n n b b += 又1111ln4ln2a b a βα-===-∴数列{}n b 是一个首项为4ln公比为2的等比数列; ∴)()14ln12242112n n n S +-==--.2008年广东高考理科卷2．答案为： D【解析】20624=+=d S ，3=∴d ，故481536=+=d S21．解：（1）由求根公式，不妨设<αβ，得αβ∴+==p αβ，==q αβ（2）设112()----=-n n n n x sx t x sx ，则12()--=+-n n n x s t x stx ，由12n n n x px qx --=-得，+=⎧⎨=⎩s t pst q ，消去t ，得20-+=s ps q ，∴s 是方程20x px q -+=的根，由题意可知，12,==s s αβ ①当≠αβ时，此时方程组+=⎧⎨=⎩s t pst q的解记为1212==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩s s t t ααββ或 112(),---∴-=-n n n n x x x x αβα112(),----=-n n n n x x x x βαβ即{}11--n n x t x 、{}21--n n x t x 分别是公比为1=s α、2=s β的等比数列， 由等比数列性质可得2121()---=-n n n x x x x ααβ,2121()---=-n n n x x x x ββα, 两式相减，得2212121()()()----=---n n n x x x x x βααββα221,=-=x p q x p ，222∴=++x αβαβ，1=+x αβ 22221()--∴-==n n n x x αββββ，22221()---==n n n x x βαααα1()-∴-=-nnn x βαβα，即1--∴=-n n n x βαβα，11++-∴=-n n n x βαβα②当=αβ时，即方程20x px q -+=有重根，240∴-=p q ， 即2()40+-=s t st ，得2()0,-=∴=s t s t ，不妨设==s t α，由①可知2121()---=-n n n x x x x ααβ，=αβ，2121()--∴-=-=n n n n x x x x αααα即1-∴=+n n n x x αα，等式两边同时除以n α，得111--=+nn nn x x αα，即111---=nn nn x x αα∴数列{}nn x α是以1为公差的等差数列，12(1)111∴=+-⨯=+-=+n nx x n n n αααα∴=+n n n x n αα，综上所述，11,(),()++⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩n n n n n x n βααββααααβ （3）把1p =，14q =代入20x px q -+=，得2104-+=x x ，解得12==αβ 11()()22∴=+n n n x n ，232311111111()()()...()()2()3()...()22222222n n n S n ⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 23111111()()2()3()...()22222n n n ⎛⎫=-+++++ ⎪⎝⎭111111()2()()3(3)()2222n n n n n n -=-+--=-+.2009年广东高考理科卷4. 答案为： C解：在25252(3)n n a a n -⋅=≥中，令n=5,得251025)2(2==a ，令n=3,得6152=⋅a a ，又0,1,2,n a n >=，所以552=a ，21=a ，从而解得，公比2=q ，n n a 2=，12122--=n n a ，12log 122-=-n a n ，所以2123221log log log n a a a -+++=1+3+…+（2n-1）=22)121(n n n =-+21.（1）解：曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==可化为222)(n y n x =+-， 所以，它表示以)0,(n C n 为圆心，以n 为半径的圆，切线n l 的方程为)1(+=x k y n ，联立⎩⎨⎧=+-+=02)1(22y nx x x k y n ，消去y 整理，得0)22()1(2222=+-++n n n k x n k x k ，① 222222)12(44)1(4)22(n n n n k n n k k n k +-=+--=∆，0>n k 令0=∆，解得1222+=n n k n， 12+=n nk n此时，方程①化为012)2122()121(2222=++-++++n n x n n n x n n整理，得[]0)1(2=-+n x n ，解得1+=n nx x ， 所以 121)11(12++=+++=n n n n n n ny n ，∴数列}{n x 的通项公式为1+=n n x x ，数列}{n y 的通项公式为121++=n n ny n 。
（２）证明：∵121111111+=+++-=+-n n n n n x x n n ，121214)12(4)12(2122222+-=--<-=-n n n n n n n n ∴121275533121265432112531+-⨯⨯⨯⨯<-⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋅-n n n n x x x x n=121+n =n n x x +-11， ∵121+=n y x n n =n n x x +-11，又4311210π<≤+<n 令x y x n n =，则40π<<x ，要证明n n n n y x y x sin 2<， 只需证明当40π<<x 时，x x sin 2<恒成立即可。