2012年高考数学 备考30分钟课堂集训系列专题7 立体几何(理)(学生版)
2012届高考数学总复习考点专项教案 立体几何
第七模块 立体几何综合检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设α，β为不重合的平面，m ，n 为不重合的直线，则下列命题正确的是( )A ．若α⊥β，α∩β＝n ，m⊥n，则m⊥αB ．若m ⊂α，n ⊂β，m∥n，则α∥βC ．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD ．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α 解析：本题考查的是立体几何的知识，属于基础题．选项A 错误，本项主要是为考查面面垂直的性质定理．事实上选项A 的已知条件中加上m ⊂β，那么命题就是正确的，也就是面面垂直的性质定理．选项B 错误，容易知道两个平面内分别有一条直线平行，那么这两个平面可能相交也可能平行．选项C 错误，因为两个平面各有一条与其平行的直线，如果这两条直线垂直，并不能保证这两个平面垂直．选项D 正确，由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因为m⊥β，所以m⊥α.答案：D2．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.12 cm 3B.13 cm 3 C.16 cm 3 D.112cm 3 解析：本题考查的是简单几何体的三视图．由三视图的知识可知题中的三视图表示的几何体是三棱锥，且三棱锥的底面三角形的高与底边都为1 cm ，三棱锥的高为1 cm.故体积V ＝16cm 3，选C.答案：C 3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A∈α，A ∉l ，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是( )A ．AB∥m B．AC⊥m C ．AB∥β D ．AC⊥β解析：∵m∥α，m∥β，则m∥l，故AB∥m，AC⊥m，AB∥β都成立，C∈α时，AC⊥β成立，但C ∉α时AC⊥β不成立．答案：D4．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离是球半径的14，且| AB |＝5，AC·BC ＝0，那么球的表面积为( )A.803πB.203πC.3203πD.809π 解析：设球半径为R ，球心到截面的距离d ＝14R ，则截面圆半径r ＝R 2－d 2＝154R ，又AC ·BC ＝0，则AB 为截面圆的直径．∴152R ＝5，R ＝2153，∴S 球＝4πR 2＝803π.故选A. 答案：A5．设x ，y ，z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y 、z 均为直线；②x、y 是直线、z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x、y 、z 均为平面．其中使“x⊥z 且y⊥z ⇒x∥y”为真命题的是( )A ．③④ B．①③ C．②③ D．①② 答案：C6．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为( )A. 2 B ．6 2 C.13D ．2 2解析：因为四棱锥的底面直观图是一个边长为1的正方形，该正方形的对角线长为2，根据斜二测画法的规则，原图是底面的边长为1，高为直观图中正方形的对角线的2倍，即为22的平行四边形．V ＝13×1×22×3＝2 2. 应选D. 答案：D 7．已知a ＝(－1,0,2)，平面α过点A(3,1，－1)，B(1，－1,0)，且α∥a，则平面α的一个法向量是( )A ．(4，－3,2)B ．(1，34，12)C ．(－4，－3,2)D ．(－2，32，1)解析：设平面α的法向量是n ＝(x ，y ，z)． AB＝(－2，－2,1)．则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＋z ＝0－x ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2z y ＝－32z ，∴令z ＝2，则x ＝4，y ＝－3，则平面α的一个法向量为(4，－3,2)．故选A. 答案：A8．如图所示，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1，BC 1的中点，则以下结论中不成立的是( )A ．EF 与BB 1垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与平面ACC 1A 1平行D ．平面EFB 与平面BCC 1B 1垂直解析：过E 、F 分别作EE′⊥AB 于E′，FF′⊥BC 于F′，连接E′F′，则EF 綊E′F′，E′F′⊥BB 1， E′F′⊥BD.∴EF⊥BB 1，EF⊥BD，故A 、B 正确．又E′F′∥AC，∴EF∥AC， ∴EF∥平面ACC 1A 1，故C 正确． 应选D.答案：D9．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，动点P 在ABCD 内，且P 到直线AA 1，BB 1的距离之和等于22，则△PAB 的面积最大值是( )A.12B ．1C ．2D ．4 解析：连结PA 、PB ，则PA 、PB 分别是P 到直线AA 1、BB 1的距离，即PA ＋PB ＝22，∵AB＝2，故P 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆的一部分，当P 点为短轴的端点时，△PAB 底边AB 上的高最大值为1，△PAB 的面积最大值为1，故选B.答案：B10.(2008·海南·宁夏卷)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a ＋b 的最大值为( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算．如图，设长方体的长宽高分别为m ，n ，k ，由题意得m 2＋n 2＋k 2＝7， m 2＋k 2＝6⇒n ＝1， 1＋k 2＝a ，1＋m 2＝b ，所以(a 2－1)＋(b 2－1)＝6⇒a 2＋b 2＝8，∴(a＋b)2＝ ！”#$%&'()*＋，－./012345b 2＝16⇒a ＋b≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．答案：C11．如图所示，从平面α外一点P 向平面α引垂线和斜线，A 为垂足，B 为斜足，射线BC ⊂α，且∠PBC 为钝角，设∠PBC＝x ，∠ABC ＝y ，则有( )A ．x>yB ．x ＝yC ．x<yD ．x ，y 的大小不确定解析：过A 作AD⊥BC，垂足D 在CB 的延长线上， 连结PD ，∴PD⊥BC，cos∠PBA＝ABPB ，cos∠ABD＝BDAB ，cos∠PBD＝BDPB，∴cos∠PBA·cos∠ABD＝cos∠PBD. 又∵∠PBC 为钝角，∴∠PBD 为锐角， ∴cos∠PBD<cos∠ABD， ∴∠PBD>∠ABD，∴x＝180°－∠PBD，y ＝180°－∠ABD， ∴x<y.应选C. 答案：C12．如图所示，顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB⊥OB，垂足为B ，OH⊥PB，垂足为H ，且PA ＝4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O —HPC 的体积最大时，OB 的长是( )A.53 B.253 C.63 D.263 解析：∵AB⊥OB，AB⊥OP，∴AB⊥平面PBO ，又AB ⊂平面PBA ， ∴面PAB⊥面POB.又∵OH⊥PB，∴OH⊥面PAB ， ∵HC ⊂面PAB ，PA ⊂面PAB ， ∴OH⊥HC，OH⊥PA，又C 是PA 的中点，∴OC⊥PA，∴PC⊥面OHC.∴V O －HPC ＝V P －HCO ＝13·S △HOC ·PC，PC ＝2，则当S △HOC 最大时，V O －HPC 最大． 此时OH ＝HC ，HO⊥HC.又OC ＝12PA ＝2，∴HO＝2，∴HO＝12OP ，∴∠HPO＝30°，∴OB＝OPtan30°＝263.故选D.答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．在三棱锥V —ABC 中，当三条侧棱VA 、VB 、VC 之间满足条件________时，有VC⊥AB.解析：当VC⊥VA，VC⊥VB， 有VC⊥平面VAB ， ∵AB ⊂平面VAB ， ∴VC⊥AB.填VC⊥VA，VC⊥VB. 答案：VC⊥VA，VC⊥VB14．已知a ，b 是异面直线，且a ⊂平面α，b ⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与平面β的位置关系是________．答案：平行15．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为________cm 2.解析：正确画出几何体的直观图是解答三视图问题的关键．如图，由三视图可得该几何体为一正四棱锥S —ABCD ，其中底面为边长为8的正方形，斜高为SH ＝5，在Rt△SOH 中，OH ＝4，所以SO ＝3，所以△SBC 的面积为：12×SH×BC＝12×8×5＝20，故侧面积为20×4＝80 cm 2.答案：8016．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 1、F 1分别是线段A 1B 1、A 1C 1的中点，则直线BE 1与AF 1所成角的余弦值是________．解析：本题考查异面直线所成角的求法．如图所示，取BC 中点G ，连结AG ，F 1G ，E 1F 1，容易证得E 1F 1GB 为平行四边形．则∠AF 1G 是异面直线BE 1与AF 1所成的角或其补角．设棱长为2，则E 1F 1＝1，AF 1＝6，GF 1＝BE 1＝5，AG ＝5， ∴由余弦定理cos∠AF 1G ＝AF 21＋GF 21－AG22·AF 1·GF 1＝6＋5－52·30＝3010.答案：3010三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点D 在边BC 上，AD⊥C 1D. (1)求证：AD⊥平面BCC 1B 1.(2)设E 是B 1C 1上一点，当B 1EEC 1的值为多少时，A 1E∥平面ADC 1，请给出证明．证明：(1)在正三棱柱中，CC 1⊥平面ABC ， AD ⊂平面ABC ，∴AD⊥CC 1. 又AD⊥C 1D ，CC 1交C 1D 于C 1， 且CC 1和C 1D 都在平面BCC 1B 1内， ∴AD⊥平面BCC 1B 1.(2)由(1)，得AD⊥BC.在正三角形ABC 中， D 是BC 的中点． 当B 1EEC 1＝1，即E 为B 1C 1的中点时， 四边形DEB 1B 是平行四边形．∵B 1B∥DE，且B 1B ＝DE ，又B 1B∥AA 1， 且B 1B ＝AA 1，∴DE∥AA 1，且DE ＝AA 1.所以四边形ADEA 1为平行四边形，所以EA 1∥AD. 而EA 1⊄平面ADC 1，故A 1E∥平面ADC 1.18．如图所示，四边形ABCD 为矩形，BC⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BE.(2)设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段 CE 的中点，求证：MN∥平面DAE.证明：(1)因为BC⊥平面ABE ，AE ⊂平面ABE ， 所以AE⊥BC.又BF⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，所以AE⊥BF， 又BF∩BC＝B ，所以AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE.(2)取DE的中点P，连结PA、PN，因为点N为线段CE的中点，所以PN∥DC，且PN＝12 DC.又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，所以AM∥DC，且AM＝12 DC，所以PN∥AM，且PN＝AM，故四边形AMNP是平行四边形，所以MN∥AP.而AP⊂平面DAE，MN⊄平面DAE，所以MN∥平面DAE.19．如图所示，在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝CA＝3，AD＝CD＝1，平面AA 1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)若E为线段BC的中点，求证：A1E∥平面DCC1D1.证明：(1)因为BA＝BC，DA＝BD，所以BD是线段AC的垂直平分线．所以BD⊥AC.又平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C.因为AA1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥AA1.(2)因为AB＝BC＝CA＝3，DA＝DC＝1，所以∠BAC＝∠BCA＝60°，∠DCA＝30°.连接AE.因为E为BC的中点，所以∠EAC＝30°.所以∠EAC＝∠DCA.所以AE∥DC.因为DC⊂平面DCC1D1，AE⊄平面DCC1D1，所以AE∥平面DCC1D1.因为棱柱ABCD—A1B1C1D1，所以AA1∥DD1.因为DD1⊂平面DCC1D1，AA1⊄平面DCC1D1，所以AA1∥平面DCC1D1.因为AA1⊂平面AA1E，AE⊂平面AA1E，AA1∩AE＝A，所以平面AA1E∥平面DCC1D1.因为A1E⊂平面AA1E，所以A1E∥平面DCC1D1.20．四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA ＝2，E 点满足PE ＝13PE.(1)求证：PA⊥平面ABCD.(2)在线段BC 上是否存在点F 使得PF∥面EAC ？若存在，确定F 的位置；若不存在，请说明理由．(3)求二面角E —AC —D 的余弦值．解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AB⊥BC. 又∵PB⊥BC，∴BC⊥平面PAB ，∴BC⊥PA.同理CD⊥PA，∴PA⊥平面ABCD. (2)当F 为BC 中点时，使得PF∥平面EAC ，理由如下：作BC 中点F ，连结DF 交AC 于点S ，连结ES ，PF. ∵AD 綊2FC ， ∴FS SD ＝FC AD ＝12， 又由已知有PE ED ＝12，∴PF∥ES.∵PF ⊄平面EAC ，EC ⊂平面EAC ，∴PF∥平面EAC ，即当F 为BC 中点时，PF∥平面EAC.(3)解法一：在AD 上取一点O 使AO ＝13AD ，连结EO ，则EO∥PA，∴EO⊥面ABCD.过点O 做OH⊥AC 交AC 于H 点，连结EH ， 则EH⊥AC，从而∠EHO 为二面角E —AC —D 的平面角．在△PAD 中，EO ＝23AP ＝43，在△AHO 中，∠HAO＝45°，∴HO＝AOsin45°＝22·23＝23，∴tan∠EHO＝EOHO ＝22，∴cos∠EHO＝13.∴二面角E －AC －D 的余弦值为13.解法二：(1)同解法一．(2)如图以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴． 建立坐标系，则A(0,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)， ∴ PD ＝(0,2，－2)，设E(x ，y ，z)，由PE ＝13PD ， 得(x ，y ，z －2)＝13(0,2，－2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝23z ＝43，则E(0，23，43)． 设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎨⎧ n·AE ＝0n·AC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 23y ＋43z ＝02x ＋2y ＝0取平面AEC 的一个法向量n ＝(2，－2,1)，点F 在BC 上，设F(2，b,0)，则PF ＝(2，b ，－2)，∵PF∥平面EAC ，∴PF⊥n，即PF ·n＝0，得b ＝1，∴当F 为BC 的中点时，有PF ∥平面EAC.(3)由(2)知平面EAC 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)， 平面ACD 的法向量为AP ＝(0,0,2)，∴cos〈AP ，n 〉＝AP ·n|AP |·|n| ＝222＋(－2)2＋12·2＝13.故二面角E —AC —D 的余弦值为13. 21．如图所示，已知平行四边形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝1，AD ＝2，∠ADC＝60°，AF ＝a(a>0)，M 是线段EF 的中点．(1)求证：AC⊥BF；(2)若二面角F —BD —A 的大小为60°，求a 的值．(3)令a ＝1，设点P 为一动点，若点P 从M 出发，沿棱按照M→E→C 的路线运动到点C ，求这一过程中形成的三棱锥P —BFD 的体积的最小值．解：∵AB＝1，AD ＝2，∠ADC＝60°，∴∠DCA＝90°则CD⊥CA，以CD 、CA 、CE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系，(1)C(0,0,0)，D(1,0,0)，A(0，3，0)，F(0，3，a)，B(－1，3，0)，CA ＝(0，3，0)，BF ＝(1,0，a)，DF ＝(－1，3，a)， CA ·BF ＝0，所以AC⊥BF.(2)平面ABD 的法向量n ＝(0,0,1)，平面FBD 的法向量m ＝(x ，y ，z)．⎩⎨⎧ DF ·m＝0BF ·m＝0，m ＝(－a ，－2a 3，1)|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n|1·|m|＝12，a 2＝97，a ＝377. (3)设AC 与BD 交于O ，则OF∥CM，所以CM∥平面FBD ，当P 点在M 或C 时，三棱锥P —BFD 的体积最小．(V P —BFD )min ＝V C —BFD ＝V F —BCD＝13×12×2×1×sin120°＝36. 22．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，∠DAB 为直角，AB∥CD，AD ＝CD ＝2AB ，E ，F 分别为PC ，CD 的中点．(1)试证：CD⊥平面BEF ；(2)设PA ＝kAB ，且二面角E —BD —C 的平面角大于30°，求k 的取值范围．解析：解法一：(1)由已知DF∥AB，且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而CD⊥BF.又PA⊥底面ABCD ，CD⊥AD，故知CD⊥PD.在△PDC 中，E 、F 分别为PC 、CD 的中点，故EF∥PD.从而CD⊥EF，由此得CD⊥而BEF.(2)连接AC 交BF 于G ，易知G 为AC 的中点，连接EG ，则在△PAC 中，易知G 为AC 的中点，连接EG ，则在△PAC 中易知EG∥PA.又因PA⊥底面ABCD ，故EG⊥底面ABCD ，在底面ABCD 中，过G 作GH⊥BD，垂足为H ，连接EH ，则EH⊥BD，从而∠EHG 为二面角E —BD —C 的平面角．设AB ＝a ，则在△PAC 中，有EG ＝12PA ＝12ka. 以下计算GH ，考察底面的平面图(如图)．连接GD. 因S △GBD ＝12BD·GH＝12GB·DF， 故GH ＝GB·DF BD. 在△ABD 中，因为AB ＝a ，AD ＝2a ，得BD ＝5a ，而GB ＝12FB ＝12AD ＝a.DF ＝AB ， 从而得GH ＝GB·DF BD ＝a·a 5a ＝55a. 因此tan∠EHG＝EG GH ＝12ka 55a ＝52k. 由k>0知∠EHG 是锐角，故要使∠EHG>30°， 必须52k>tan30°＝33， 解之得，k 的取值范围为k>2155. 解法二：(1)如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，则易知点A ，B ，C ，D ，F 的坐标分别为A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(2a,2a,0)，D(0,2a,0)，F(a,2a,0)． 从而DC ＝(2a,0,0)，BF ＝(0,2a,0)，DC ·BF ＝0，故DC ⊥BF .设PA ＝b ，则P(0,0，b)，而E 为PC 中点．故E(a ，a ，b 2)． 从而BE ＝(0，a ，b 2)． DC ·BE ＝0，故DC ⊥BE .由此得CD⊥面BEF.(2)设E 在xOy 平面上的投影为G ，过G 作GH⊥BD 垂足为H ，由三垂线定理知EH⊥BD.从而∠EHG 为二面角E —BD —C 的平面角．由PA ＝k·AB 得P(0,0，ka)，E(a ，a ，ka 2)，G(a ，a,0)．设H(x ，y,0)，则GH ＝(x －a ，y －a,0)，BD ＝(－a,2a,0)，由GH ·BD ＝0得－a(x －a)＋2a(y －a)＝0，即x －2y ＝－a①又因BH ＝(x －a ，y,0)，且BH 与BD 的方向相同，故x －a －a ＝y 2a ，即2x ＋y ＝2a②由①②解得x ＝35a ，y ＝45a ，从而GH ＝(－25a ，－15a,0)，|GH |＝55a. tan∠EHG＝|EG ||GH |＝ka255a＝52k.由k>0知∠EHC 是锐角，由∠EHC>30°，得tan∠EHG>tan30°， 即52k>33.故k 的取值范围为k>21515.。
2012年高考数学基础强化训练题 — 《立体几何》
A BCDEFGHI J2012年高考数学基础强化训练题 — 《立体几何》一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1．给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行.②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行.④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线.其中假．命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线AD 与BC 1所成角的余弦值是 （ ）A ．22 B ．21 C ．43 D ．433．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体对角线的长为（ ）A ．23B ．32C ．6D ．64．已知二面角α－l －β的大小为600,m 、n 为异面直线,且m ⊥α,n ⊥β,则m 、n 所成的角为 （ ）A ．300B ．600C ．900D ．12005．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点.将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度 数为 （ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．0° 6．两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方 体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上， 则这样的几何体体积的可能值有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个7．正方体A ′B ′C ′D ′—ABCD 的棱长为a ，EF 在AB 上滑动，且|EF |=b （b ＜a ＝，Q 点在D ′C ′上滑动，则四面体A ′—EFQ 的体积为 （ ） A ．与E 、F 位置有关 B ．与Q 位置有关 C ．与E 、F 、Q 位置都有关 D ．与E 、F 、Q 位置均无关，是定值 8．（理）高为5，底面边长为43的正三棱柱形容器（下有底），可放置最大球的半径是（ ）A ．23B ．2C ．223D ．2（文）三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=214，则P 到这三个平面的距离分别是（ ）A ．1，2，3B ．2，4，6C ．1，4，6D ．3，6，9AB C DA 1B 1C 1D 1 第16题图 α9．如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四 面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ， 且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四 面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A － BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1， S 2，则必有 （ ）A ．S 1<S 2B ．S 1>S 2C ．S 1=S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定10．已知球o 的半径是1,ABC 三点都在球面上,AB 两点和AC 两点的球面距离都是4p ,BC 两点的球面距离是3p ,则二面角B －OA －C 的大小是 （ ） A ．4pB ．3p C ．2pD ．23p 11．条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条件甲是条件乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．已知棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO=a ，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO 于点M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b ，则a 与b 的关系是 （ ）A ．b =（2－1）aB ．b =（2+1）aC ．b =222a - D ．b =222a+ 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于_______________. 14．若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=______．15．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________. 16．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶 点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶 点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是： （ ）①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________．（写出所有正确结论的编号．．） 三、解答题(本大题共6小题, 共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与CB 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. DBAOCEF18．（本小题满分12分）如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段。
2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何.pdf
一、学习目标： 1、认识自我的独一无二性，明确人只能做自己。
2、懂得男生女生各自的优势。
二、快乐学习： 三、生活体验： 约翰·梅杰被称为英国的“平民首相”。
这位笔锋犀利的政治家是白手起家的典型。
他是一位杂技师的儿子，16岁时就离开了学校。
他曾因算数不及格未能当上公共汽车售票员，饱尝了失业之苦但这并没有击倒年轻的梅杰，这位信心十足、具有坚强毅力的小伙子终于靠自己的努力战胜了困境。
经过外交大臣、财政大臣等8个政府职务的锻炼，他终于当上了首相，登上了英国的权力之巅 。
正是约翰·梅杰这种不屈不挠、自信坚强的性格让他凭着自己的努力，从一个领救济金的人最终当上了英国首相。
约翰·梅杰的故事带给你怎样的感悟？你打算怎样培养积极健康的性格？ 四、自主检测： （一）、单项选择题 1、卡耐基说：“发现你自己，你就是你。
记住，地球上没有和你一样的人。
在这个世界上，你是一种独特的存在。
你只能以你自己的方式歌唱，你只能以自己的方式绘画。
……不论好与坏，你只能耕耘自己的小园地，不论好与坏，你只能在生命的乐章里走出自己的音符。
”这段话告诉我们 （ ） ①要愉快的接纳自己 ②要接受现实，学会欣赏自己 ③要做到唯我独尊 ④要相信自己是独一无二的，是别人所不能代替的A.①②④B.②③④C.①②③D.①③④ 2、七年级学生岩峰学习刻苦，成绩优异。
然而，令他感到苦闷的是自己个子矮小，性格内向，同学们很少与他交往。
你认为岩峰应该 （ ） ①勇敢地悦纳自己 ②吸取他人优点，弥补自己的不足 ③坚持自己的个性和特点 ④只看自己的优点，不看自己的缺点A.①②④B.①②③C. ②③④D. ①② 3、印度谚语说：“播种行为，收获习惯；播种习惯，收获性格；播种性格，收获人生。
”这说明（ ）A.健全的性格可以通过平时的努力来培养B.性格是不可以改变的C.性格缺陷是不可以弥补的，是先天形成的D.性格是不能重塑的 4、小刚是一个性格比较内向的学生。
2012高考数学必考题型解答策略：立体几何
2012高考数学必考题型解答策略：立体几何D“二面角”，高于教材要求，但对线面角的考查也有加大的趋势。
预测2012年高考的可能情况是： (1)以选择题或者填空题的形式考查空间几何体的三视图以及表面积和体积的计算．对空间几何体的三视图的考查有难度加大的趋势，通过这个试题考查考生的空间想象能力；空间几何体的表面积和体积计算以三视图为基本载体，交汇考查三视图的知识和面积、体积计算，试题难度中等． (2)以解答题的方式考查空间线面位置关系的证明，在解答题中的一部分考查使用空间向量方法求解空间的角和距离，以求解空间角为主，特别是二面角．备考建议(1)空间几何体：该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各种空间几何体结构特征的了解，认识各种空间几何体的三视图和直观图，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法．(2)空间点、直线、平面的位置关系：该部分的基础是平面的性质、空间直线与直线的位置关系，重点是空间线面平行和垂直关系的判定和性质，面面平行和垂直关系的判定和性质．在复习中要牢牢掌握四个公理和八个定理及其应用，重点掌握好平行关系和垂直关系的证明方法．(3)空间向量与立体几何：由于有平面向量的基础，空间向量部分重点掌握好空间向量基本定理和共面向量定理，在此基础上把复习的重心放在如何把立体几何问题转化为空间向量问题的方法，并注重运算能力的训练．解答策略立体几何解题过程中，常有明显的规律性，所以复习中必需对概念、定理、题型、方法进行总结、归类，进而建立知识框架和网络，弄清各概念之间的包含关系，理清定理的来龙去脉和相互转化的过程，从内涵和外延上区分容易混淆的各个概念、从条件、结论和使用范围上去区分容易混淆的各个定理。
比如说，“中点”这个条件在题目中出现的频率相当高，这个现象背后肯定有规律！道理很简单，因为中点如果连到另一个中点，就会出现中位线，然后自然会出现平行关系了，如果出现在等腰（或等边）三角形的底边上，那就是出垂直了。
2012年高考数学-备考30分钟课堂集训系列专题13-选修系列-(教师版)
选修系列一、选择题1. (2011年高考山东卷)不等式|5||3|10x x -++≥的解集为（ ） （A ）[-5.7] （B ）[-4,6] （C ）(,5][7,)-∞-⋃+∞ （D ）(,4][6,)-∞-⋃+∞ 【答案】D【解析】由不等式的几何意义知, 不等式|5||3|x x -++表示数轴的点()x 与点(5)的距离和数轴的点()x 与点(-3)的距离之和,其距离之和的最小值为8,结合数轴,选项D 正确. 2.(北京市西城区2012年1月高三期末考试)已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ）（A ）2cos ρθ=（B ）2sin ρθ=（C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=- 【答案】B【解析】222220(1)1,x y y x y +-=⇒+-=该方程表示圆心为（0,1）半径为1的圆，如图，在圆上任取一点(,),M ρθ则2sin ,2sin .OM θ=∴= 3. (北京市房山区2012年4月高三一模)如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，3,1PA PB ==，则ABC ∠=( ) （A ）70︒（B ）60︒（C ）45︒ （D ）30︒ 【答案】B【解析】由切割线定理得:2PA PB PC =⋅,由已知3,1PA PB ==,可解得3PC =,所xyM O以圆半径为1,即OA=1,所以在直角三角形OAP 中,OP=2OA,所以30P ∠=,60AOB ∠=,又因为AOB ∆为等腰三角形,所以ABC ∠=60,故选B.4.（北京市海淀区2012年4月高三一模）在极坐标系中，过点3(2,)2π且平行于极轴的直线的极坐标方程是( )（A ）sin 2ρθ （B ）cos 2ρθ（C ）sin 2ρθ（D ）cos 2ρθ6.(安徽省马鞍山市2012年4月高三第二次质量检测）以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，则曲线C ：2cos 22sin x y αα=⎧⎨=-⎩（α为参数）的极坐标方程是( )A. ρ=－4sin θB. ρ=4sin θC. ρ=－2sin θD. ρ=2sin θ 【答案】D【解析】由题意知,曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=,所以其极坐标方程为ρ=2sin θ,故选D.7．(2011年高考北京卷)如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ， 延长AF 与圆O 交于另一点G 。
2012高考数学名师定位专题训练09 立体几何 理 (学生版).pdf
2012版高考数学 3-2-1精品系列专题09 立体几何 理 （学生版） 【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布 2012考纲解读 考纲原文： （2）点、直线、平面之间的位置关系① 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补. ② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理. 理解以下判定定理. ◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明.◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行.◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.◆垂直于同一个平面的两条直线平行.◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 考纲解读： 空间几何体的三视图是考查的重点，以小题为主；由给出的三视图（或其一部分），然后想像其直观图并求其体积与表面积，是常见题型；注意由给出的三视图（或其一部分），然后想像或作出其直观图，从而与点、线、面的位置关系问题相结合；注意由空间几何体可以画出它的三视图，反之由三视图也可还原几何体，两者之间相互转化；注意与球有关的问题（表面积、体积、组合体及其三视图）；注意三视图与不等式（求棱长的范围、体积的最值等）的结合；点、线、面的位置关系是考查的重点，尤其是文科；注意符号语言、文字语言、图形语言的转换（尤其在选择填空题中）；注意总结常见的一些几何体，以及它们非常规放置的情况；理科要注意与空间向量的结合。
2012高考数学备考--30分钟课堂特训函数与导数(学生版)
一、选择题1. (北京市东城区2012年1月高三考试）设0x >，且1x xb a <<，则 （ ）（A ）01b a <<< （B ）01a b <<< （C ） 1b a << （D ） 1a b << 2．(河北省石家庄市2012届高三教学质量检测一)339log 2log 10100+=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35. (2011年高考安徽卷)若点(a,b)在lg y x =图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（ ）（A ）（a 1，b ） (B) (10a,1-b) (C) (a 10,b+1) (D)(a 2,2b)7．(湖北省荆门、天门等八市2012年3月高三联考)已知函数()xf x a x b =+-的零点0(,1)()x n n n Z ∈+∈，其中常数,a b 满足23a =，32b =，则n 等于（ ）A ．1-B.2-C ．1D ．28. (河北省唐山市2012届高三第二次模拟)9. （2011年高考山东卷)函数2sin 2xy x =-的图象大致是（ ）10.(广东省汕头市2012届高三教学质量测评)设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ）A ．1B ．12C ．12-D ．1-13. (山东省济南市2012年3月高三高考模拟)设函数y =f (x )与函数y =g (x )的图象如右图所示，则函数y =f (x ) ·g (x )的图象可能是 ( )14. (湖南省浏阳一中2012届高三第一次月考)设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若对任意的[],x a b ∈，都有|()()|1f x g x -≤，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“密切函数”，[],a b 称为“密切区间”，设2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[],a b 上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（ ）A ．[1,4] B ． [2,4] C ． [3,4] D ． [2,3] 二、填空题三、解答题20． (广东省六校2012年2月高三第三次联考)已知函数()241(12)ln(21)22x a f x a x x +=-+++. （1）设1a =时，求函数()f x 极大值和极小值;（2）a R ∈时讨论函数()f x 的单调区间.。
2012年高考考前数学理30天能力提升特训30(解析版)
考前30天能力提升特训301．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离为1的点的个数有()A．1个B．2个C．3 个D．4个2．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a＞0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为23时，则a等于()A. 2 B．2－ 2C.2＋1D.2－13．过点(－1,1)作直线与圆O：x2＋y2＝4相交，则所得的弦长度最短时，直线方程为() A．x＋y＋2＝0B．x－y－2＝0C．x＋y－2＝0D．x－y＋2＝04．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_______．5．已知圆C经过点A(1,3)，B(2,2)，且直线m：3x－2y＝0平分圆的面积．则圆C的方程为_________________．1．C 【解析】 圆(x －3)2＋(y －3)2＝9的圆心O 1为(3,3)，半径r ＝3.设圆心O 1到直线3x ＋4y －11＝0的距离为d ，则d ＝||3×3＋4×3－1132＋42＝2＜3.如图，在圆心O 1同侧，与直线3x＋4y －11＝0平行且距离为1的直线l 1与圆有两个交点(图中的A 、B 两点)，这两个交点符合题意．又r －d ＝3－2＝1.∴与直线3x ＋4y －11＝0平行的圆的切线的两个切点(图中的C 点)中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个． 2．D 【解析】 根据题意，圆心到直线的距离为1，即||a －2＋32＝1，a>0，解得a ＝2－1.本题要注意条件a>0，解题时往往忽视在小括号内的已知条件．3．D 【解析】 设该点为P(－1,1)，过P 点的直线的斜率为k ，当所求直线垂直于OP 时所求弦最短，此时k OP ＝－1，所以k ＝1，故所求直线方程为x －y ＋2＝0.4．206 【解析】 最长弦是过圆心的弦，最短的弦是过点(3,5)和直径垂直的弦．圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝52，故最长的弦长为10，最短弦长为225－1＝4 6.根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，得四边形ABCD 的面积是12×10×46＝20 6.5．(x －2)2＋(y －3)2＝1 【解析】 由已知得，线段AB 的中点为E ⎝⎛⎭⎫32，52，k AB ＝3－21－2＝－1，故线段AB 的中垂线方程为y －52＝x －32，即x －y ＋1＝0.因为圆C 经过A 、B 两点，故圆心在线段AB 的中垂线上．又因为直线m ：3x －2y ＝0平分圆的面积，所以直线m 经过圆心． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即圆心的坐标为C(2,3)， 而圆的半径r ＝||BC ＝(2－2)2＋(2－3)2＝1，所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.高∷考╝试≒题α库。
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立体几何
一、选择题
1. (福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查理科)用n m ,表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若α⊂n n m ,// ，则α//m
B. 若αα⊂n m ,// ，则//m n
C. 若α⊂⊥n n m , ，则α⊥m
D.若αα⊂⊥n m ,，则n m ⊥
2．(湖北省荆门、天门等八市2012年3月高三联考理科)设,,l m n 表示不同的直线，αβγ，，表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m l ，且.m α⊥则l α⊥； ②若m l ，且m α ，则l α ； ③若,,l m n αββγγα=== ，则l m n ； ④若,,,m l n αββγγα=== 且n β ,则l m . 其中正确命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科） 下列四个条件：
①x ，y ，z 均为直线； ②x ，y 是直线，z 是平面；
③x 是直线，y ，z 是平面；④x ，y ，z 均为平面. 其中，能使命题“,x y y z x z ⊥⇒⊥ ”成立的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 4．(山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理)如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）
5.(山东省济南市2012年2月高三定时练习理科)如右图，一个简单 空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形, 其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ） A
B.
C ．
D. 83
俯视图第5题
6. (山东省青岛二中2012届高三下学期期中考试)如图
是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三
角形,侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是 ( )
A ．π
B ．
3
π
C D ．
3
7．(山东省潍坊市2012年3月高三一轮模拟理科)已知矩形ABCD 的
面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC 把△ACD 折起，则三棱锥
D —ABC 的外接球的表面积等于( ) A ．4π B ．8π C ．16π D ．24π
平面，下列命题中正确的是（ ） (A) 若//,//,//a b a b αα则 (B) 若,,,a b a b αβαβ⊥⊥⊥⊥则
(C) 若,,//a a αββα⊥⊥则 (D) 若,//,a a αβαβ⊥⊥则
10. (山东省青岛市2012届高三上学期期末检测理科)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）
11．(河北省石家庄市2012届高三教学质量检测一理科)已知三棱锥S A B C -的三条侧棱
1
1
两两垂直，且2,4SA SB SC ===，则该三棱锥的外接球的半径为（ ） A ．3 B ．6 C ．36 D ．9
12.（安徽省皖南八校2012届高三第二次联考理科）已知某几何 体的三视图如右图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均 是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图 中的数据可得此几何体的体积为（ ） A
、132+ B 、
4136π+ C
、
166
+
D 、
213
2
π+
二、填空题
13．(福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科）一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为 .
14.(浙江省镇海中学2012届高三测试卷理) 若一个三棱锥的三视图 (单位：cm) 如图所示， 则该棱锥的全面积．．．
是 _______cm 2
． 15.(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学
2012届高三联考)将一个长宽分别是,(0)a b b a <<的 铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的 长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最 小值，则
a b
的取值范围是 .
16．(2012届江苏省五校联考)已知l 、m 是两条不同的直线，
α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：
① 若,l βαβ⊂⊥且，则l α⊥； ② 若,//l βαβ⊥且，则l α⊥；
③ 若,l βαβ⊥⊥且，则//l α； ④ 若,//m l m αβ= 且，//l α则． 其中真命题的序号是 ．（填上你认为正确的所有命题的序号）
17．(江苏省苏中三市八校2012届高三第二学期第三次教学情况调查)关于直线,m n 和平面
,αβ，有以下四个命题：
①若//,//,//m n αβαβ，则//m n ； ②若//,,m n m n αβ⊂⊥，则αβ⊥； ③若,//m m n αβ= ，则//n α且//n β；
1
2
3
侧视图
正视图
④若,m n m αβ⊥= ，则n α⊥或n β⊥. 其中假．命题的序号是 . 三、解答题
18. (安徽省“江南十校”2012年3月高三联考理科) (本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，平面ABG 、平面ADF 、平面CDE 都与平面ABCD 垂直，且ΔABG, ΔADF, ΔCDE 都是正三角形.(I) 求证：AC// EF ；(II) 求多面体ABC DEF G 的体积.
19．(湖北省部分重点中学2012届高三第一次联考理科)（本小题满分12分）
已知P A ⊥矩形ABCD 所在平面，，E 为线段PD 上一点。
（1）当E 为PD 的中点时，求证：;BD CE ⊥
（2）是否存在E 使二面角E —AC —D 为30°？若存在， 求P E E D
，若不存在，说明理由.。