2020版高考数学二轮复习第2部分专题5解析几何第1讲直线与圆教案理
2019-2020年高三数学二轮复习 专题五 第1讲 直线与圆教案
2019-2020年高三数学二轮复习 专题五 第1讲 直线与圆教案自主学习导引真题感悟1．(xx ·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 先求出两条直线平行的充要条件，再判断．若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件． 答案 A2．(xx·福建)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于 A ．2 5B ．2 3C. 3D ．1解析 利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋32＝1，半径r ＝2， ∴弦长|AB |＝2r 2－d 2＝222－12＝2 3. 答案 B考题分析圆在高考命题中多以直线与圆的位置关系为主，考查直线与圆位置关系的判定、弦长的求法等，题目多以小题为主，难度中等，掌握解此类题目的通性通法是重点．网络构建高频考点突破考点一：直线方程及位置关系问题【例1】(xx·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[审题导引] 求出l1∥l2的充要条件，利用定义判定．[规范解答] 当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2，所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件；当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1.当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，此时l1与l2重合，所以a＝1不满足题意，即a＝0.所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的充要条件．[答案] C【规律总结】直线与直线位置关系的判断方法(1)平行：当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1∥l2⇔k1＝k2；如果直线l1和l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，则l1∥l2.(2)垂直：垂直是两直线相交的特殊情形，当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；若两条直线l1，l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0时，则它们垂直．(3)相交：两直线相交的交点坐标可由方程组的解求得．[易错提示] 判断两条直线的位置关系时要注意的两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在的情况，二是忽视两直线重合的情况．解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论，求出结果后再反代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误． 【变式训练】1．(xx ·泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为 A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0解析 由题意可设所求直线方程为：x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0. 答案 A2．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，－1)，B (－3，－4)两点，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC →|＝10，则点C 的坐标是________．解析 设C (a ，b )(a ＜0，b ＜0)．OB 所在直线方程为4x －3y ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧|4a －3b |5＝|a |，a 2＋b 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.∴C (－1，－3)． 答案 (－1，－3) 考点二：圆的方程【例2】(xx·镇江模拟)以双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．[审题导引] 求出双曲线的右焦点与渐近线方程，利用圆心到渐近线的距离等于半径求得半径，可得方程．[规范解答] 双曲线的右焦点为(5,0)，即为圆心，双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0，∴r ＝|4×5±3×0|42＋±32＝4，∴所求圆的方程为(x －5)2＋y 2＝16. [答案] (x －5)2＋y 2＝16 【规律总结】圆的方程的求法(1)几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量；如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直；设圆的半径为r ，弦长为|AB |，弦心距为d ，则r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22等．(2)代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解．在求圆的方程时，要根据具体的条件选用合适的方法，但一般情况下，应用几何法运算简捷．【变式训练】3．(xx·徐州模拟)若圆心在x 轴上、半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．解析 设圆心为(a,0)(a ＜0)，则r ＝|a ＋2×0|12＋12＝2， 解得a ＝－2， 即(x ＋2)2＋y 2＝2. 答案 (x ＋2)2＋y 2＝2 考点三：直线与圆的位置关系【例3】(xx·临沂一模)直线l 过点(4,0)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝25交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，那么直线l 的方程为________．[审题导引] 讨论直线的斜率是否存在，利用弦长为8求出斜率，可得所求直线的方程．[规范解答] 圆心坐标为M (1,2)，半径r ＝5，因为|AB |＝8，所以圆心到直线l 的距离d ＝r 2－42＝52－42＝3.当直线斜率不存在时，即直线方程为x ＝4，圆心到直线的距离为3满足条件，所以x ＝4成立．若直线斜率存在，不妨设为k ，则直线方程y ＝k (x －4)，即kx－y －4k ＝0，圆心到直线的距离为d ＝|k －2－4k |1＋k 2＝|2＋3k |1＋k 2＝3，解得k ＝512，所以直线方程为y ＝512(x －4)，即5x －12y －20＝0.综上满足条件的直线方程为5x －12y －20＝0或x ＝4.答案 5x －12y －20＝0或x ＝4 【规律总结】求圆的弦长的方法(1)直接求出直线与圆的交点坐标，利用两点间的距离公式求得；(2)不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k ，直线与圆联立消去y 后得到的方程的两根为x 1、x 2，则弦长d ＝1＋k 2|x 1－x 2|；(3)利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．【变式训练】4．(xx·肇庆二模)从点P (m,3)向圆C ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为A ．2 6 B.26 C ．4＋ 2 D ．5解析 利用切线长与圆半径的关系加以求解．设切点为M ，则CM ⊥MP ， 于是切线MP 的长|MP |＝|CP |2－|MC |2＝m ＋22＋3＋22－1，显然，当m ＝－2时，|MP |有最小值24＝2 6.答案 A名师押题高考【押题1】若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析 当m ＝－2时，直线AB 与2x ＋y ＋2＝0不平行； 当m ≠－2时，据题意知，k AB ＝4－m m ＋2＝－2，得m ＝－8.答案 －8[押题依据] 本题考查直线的斜率的概念以及直线的位置关系，这类问题在高考中属基础题，常以选择题或填空题的形式出现．考查形式有直接判定位置关系，根据位置关系求参数值等．解答此类题目值得注意的是含参数时，一般要根据直线的斜率是否存在对参数进行讨论，以避免漏解．【押题2】直线y ＝kx ＋3与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－125B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－125C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，125D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，125解析 圆心(1，－2)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ＝|k ＋5|1＋k2，圆的半径r ＝2，∴|MN |＝2r 2－d 2＝2 4－k ＋521＋k2≥23， 解得k ≤－125.答案 B[押题依据] 高考在考查直线被圆截得的弦长问题时，有两种题型：一是直接求弦长；二是讨论参数的取值范围．本题属第二种题型，难度中等，表达形式新颖有一定的区分度，故押此题．。
2020新课标高考理科数学二轮复习教师用书：第2部分 专题5 第1讲 直线与圆
第1讲直线与圆■做小题·激活思维·1．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a＝()A．－1B．1C．±1 D．－3 2C[由(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，故选C.]2．直线l过点(2,2)，且点(5,1)到直线l的距离为10，则直线l的方程是() A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0C．3x－y－4＝0 D．x－3y－4＝0C[由题意，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，所以|5k－1＋2－2k|k2＋1＝10，解得k＝3，所以直线l的方程为3x－y－4＝0，故选C.] 3．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离B[∵两圆心距离d＝(2＋2)2＋12＝17，R＋r＝2＋3＝5，r－R＝1，∴r －R＜d＜R＋r，∴两圆相交．]4．直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦长为________．6[假设直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦为AB，∵圆的半径r ＝10，圆心到直线的距离d ＝5(－3)2＋42＝1，∴弦长|AB |＝2×r 2－d 2＝210－1＝2×3＝6.]5．[一题多解]经过三点A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的圆的方程为________． (x －1)2＋y 2＝4 [法一：(待定系数法)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的坐标代入圆的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，1＋4＋D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－3，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.法二：(几何法)根据A ，B 两点的坐标特征可知圆心在直线x ＝1上，设圆心坐标O (1，a )，则圆的半径r ＝4＋a 2＝|a －2|，所以a ＝0，r ＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.]6．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4) 5 [由题意可知a 2＝a ＋2，∴a ＝－1或2.当a ＝－1时，方程可化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程可化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，不表示圆．] ■扣要点·查缺补漏·1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系 (1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0(斜率相等)且B 1C 2－B 2C 1≠0(在y 轴上截距不等)； (2)直线Ax 1＋B 1y ＋C 1＝0与直线Ax 2＋B 2y ＋C 2＝0垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.如T1.2．点到直线的距离及两平行直线间的距离 (1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；如T2.(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d＝|C 1－C 2|A 2＋B2. 3．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；(2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)；(方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆⇔A ＝C ≠0，且B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0)；如T 5，T 6.(3)参数方程：⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ；(4)直径式方程：(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. 4．点、直线、圆的位置关系(1)研究点、直线、圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．如T 3.(2)与弦长l 有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l 2，构成直角三角形的三边，利用其关系r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22来处理．如T 4.考点1 圆的方程及应用■高考串讲·找规律·[高考解读·教师授课资源] 圆的方程求法以待定系数法为主，主要考查方程思想及数学运算的能力，与圆有关的最值问题主要考查等价转化及数形结合的意识，均属于中档题目.1．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.43B [设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233， 故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213.] 2．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]A [由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r ＝2，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ＝32，最小距离是d －r ＝ 2.易知A (－2,0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以2≤S △ABP ≤6.故选A.]∵所求圆的圆心为F ，且与准线x ＝－1相切， ∴圆的半径为2，则所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.]解决与圆有关的问题一般有2种方法(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． ■考题变迁·提素养·1．(借助几何性质求圆的方程)圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2－4x ＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0C [由题意设所求圆的方程为(x －m )2＋y 2＝4(m ＞0)，则|3m ＋4|32＋42＝2，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.故选C.]2．(借助待定系数法求圆的方程)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为________．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 [因为圆C 关于y 轴对称，所以圆心C 在y 轴上， 可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2.依题意，得⎩⎨⎧12＋(－b )2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33.所以圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43.]3．[一题多解](平面向量与圆的交汇)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD→＝0，则点A 的横坐标为________． 3 [法一：设A (a,2a )，a ＞0，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋52，a， ∴圆C 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －a ＋522＋(y －a )2＝(a －5)24＋a 2，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫x －a ＋522＋(y －a )2＝(a －5)24＋a 2，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝1，y D ＝2，∴AB →·CD →＝(5－a ，－2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －32，2－a＝a 2－2a －152＋2a 2－4a ＝0，∴a ＝3或a ＝－1，又a ＞0，∴a ＝3，∴点A的横坐标为3.法二：由题意易得∠BAD ＝45°. 设直线DB 的倾斜角为θ， 则tan θ＝－12，∴tan ∠ABO ＝－tan(θ－45°)＝3，∴k AB ＝－tan ∠ABO ＝－3. ∴AB 的方程为y ＝－3(x －5)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x －5)，y ＝2x ，得x A ＝3.] 考点2 直线与圆、圆与圆的位置关系■高考串讲·找规律·[高考解读·教师授课资源] 以直线与圆相交、相切为载体，考查数形结合的能力，圆的几何性质及勾股定理的有关知识，知识相对综合，有一定的区分度.1．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.4 [由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12， 解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33， 所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos α＝23×23＝4.]2．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．切入点：曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点． 关键点：①计算k AC ·k BC ＝－1；②确定圆心和半径． [解] (1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，－12，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．1．求解圆的弦长的3种方法(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式；(2)切线长的计算：过点P 向圆引切线P A ，则|P A |＝|PC |2－r 2(其中C 为圆心)．提醒：过圆外一点引圆的切线定有两条，注意切线斜率不存在的情形． ■考题变迁·提素养·1．(与不等式交汇)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33 B ．－33 C ．±33 D ．－ 3B [曲线y ＝1－x 2的图象如图所示：若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k ＜0，设l ：y ＝k (x －2)，则点O 到l 的距离d ＝－2k k 2＋1.又S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×21－d 2·d ＝(1－d 2)·d 2≤1－d 2＋d 22＝12，当且仅当1－d 2＝d 2，即d 2＝12时，S △AOB 取得最大值，所以2k 2k 2＋1＝12，∴k 2＝13，∴k ＝－33.故选B.]2．(与物理学科交汇)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34D [由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.又因为光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切， 所以|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.]3．(已知弦长求方程)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点，若|MN |＝255，则直线l 的方程为________．y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋1 [直线l 的方程为y ＝kx ＋1，圆心C (2,3)到直线l 的距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|k 2＋1， 由R 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22， 得1＝(2k －2)2k 2＋1＋15，解得k ＝2或12， 故所求直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋1.]4．(综合应用)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.[解] 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R r 1，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k |1＋k 2＝1，解得k ＝±24.当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝－4±627. 所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝23或|AB |＝187.。
2020版高考理科数学突破二轮复习新课标通用讲义：专题五第1讲直线与圆
|a＋4－ 1| ＝ 1， 解得
a2＋ 1
a＝－
4 3.
2．(2015 ·高考全国卷 Ⅰ ) 一个圆经过椭圆
x2 ＋y2＝ 1 的三个顶点， 且圆心在 16 4
x 轴的正半轴上，
则该圆的标准方程为 ________．
详细分析： 由题意知 a＝ 4，b＝ 2， 上、下顶点的坐标分别为 (0，2) ，(0， － 2)，右顶点的
A．2 6
B．8
C． 4 6
D ．10
详细分析： 选 C．设圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey＋F ＝ 0，
-2-
4k2＋ 4 由题设知 k2 ＝ 8， 解得 k＝－ 1(舍去 ) ， k＝ 1.因此 l 的方程为 y＝ x－ 1.
(2)由 (1)得 AB 的中点坐标为 (3 ，2)， 所以 AB 的垂直平分线方程为 y－ 2＝－ (x－ 3)， 即 y
＝－ x＋ 5.设所求圆的圆心坐标为 (x0， y0) ，则
第 1 讲 直线与圆
[做真题 ]
题型一 圆的方程 1．(2016 ·高考全国卷 Ⅱ )圆 x2＋ y2－ 2x－8y＋ 13＝ 0 的圆心到直线 ax＋ y－ 1＝0 的距离为 1，
则 a＝( )
4 A ．－ 3
B
．－
3 4
C． 3
D ．2
详细分析：
选 A ．由题可知
， 圆心为 (1， 4)， 结合题意得
设 A(x1， y1 )， B(x2，y2)．
-1-
y＝ k(x－ 1)，
由 y2 ＝4x
得 k2x2－ (2k2＋ 4)x＋ k2＝ 0.
Δ＝ 16k2＋16＞ 0， 故
2k2＋ 4
x1＋ x2＝
2020届高考数学二轮复习全程方略课件：专题五 解析几何 (1) 直线与圆 Word版含答案
直线 l 的方程为( )
A．x－y＋1＝0
B．x－y＝0
C．x＋y＋1＝0
D．x＋y＝0
第十页，编辑于星期日：一点 五分。
解析：(1)“l1⊥l2”的充要条件是“m(m－3)＋1×2＝ 0⇔m＝1 或 m＝2”，因此“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不 必要条件．
(2)由直线 l 与直线 PQ 垂直， 所以 kl＝－k1PQ＝－4－1 2＝1.
第二十一页，编辑于星期日：一点 五分。
－4＋（－2） (2)由已知，知圆心的纵坐标为 2 ＝－3， 所以圆心为(2，－3)， 则半径 r＝ （2－0）2＋[（－3）－（－2）]2＝ 5， 故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5. 答案：(1)(x－1)2＋(y－1)2＝2 (2)(x－2)2＋(y＋3)2＝5
第二十七页，编辑于星期日：一点 五分。
命题视角 2 圆的弦长问题 [例 3－2] (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系 xOy 中， 曲线 y＝x2＋mx－2 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标 为(0，1)．当 m 变化时，解答下列问题：@ (1)能否出现 AC⊥BC 的情况？说明理由； (2)证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为 定值．
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(2)证明：BC 的中点坐标为x22，12，可得 BC 的中垂 线方程为 y－12＝x2x－x22.
由(1)可得 x1＋x2＝－m，
所以 AB 的中垂线方程为 x＝－m2 .
x＝－m2 ，
①
联立y－12＝x2x－x22， ②
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(1)解：不能出现 AC⊥BC 的情况．理由如下： 设 A(x1，0)，B(x2，0)，则 x1，x2 满足 x2＋mx－2＝0， 所以 x1x2＝－2. 又点 C 的坐标为(0，1)， 故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为－x11·－x21＝－12， 所以不能出现 AC⊥BC 的情况．
板块2 专题5 第1讲 直线与圆(小题)(学生版)备战2020年高考理科数学二轮复习提分讲义
第1讲直线与圆(小题)热点一直线的方程及应用1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.2.求直线方程要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.3.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2(A 2＋B 2≠0).(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(A 2＋B2≠0). 例1 (1)(2019·宝鸡模拟)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( )A.1B.－2C.1或－2D.－32(2)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( ) A.x ＋(2－1)y －2＝0 B.(1－2)x －y ＋2＝0 C.x －(2＋1)y ＋2＝0D.(2－1)x －y ＋2＝0跟踪演练1 (1)已知直线l 1：x ·sin α＋y －1＝0，直线l 2：x －3y ·cos α＋1＝0，若l 1⊥l 2，则sin 2α等于( ) A.23 B.±35 C.－35 D.35(2)已知直线l 经过直线l 1：x ＋y ＝2与l 2：2x －y ＝1的交点，且直线l 的斜率为－23，则直线l的方程是( ) A.－3x ＋2y ＋1＝0 B.3x －2y ＋1＝0 C.2x ＋3y －5＝0 D.2x －3y ＋1＝0热点二 圆的方程及应用 1.圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2.圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆.3.解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程. (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.例2 (1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________.方法二 画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形， 故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 即x 2＋y 2－2x ＝0.(2)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，则△FPM 的外接圆的方程为________.跟踪演练2 (1)(2019·黄冈调研)已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称，则k 的值为( )A.－1B.1C.±1D.0(2)(2019·河北省级示范性高中联合体联考)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3,4)为C 上一点，则△P AB 的外接圆的标准方程为________________. 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法 (1)点线距离法.(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离.3.圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.例3 (1)(2019·长沙市长郡中学模拟)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 21(r 1>0)，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝r 22(r 2>0)，圆C 1与圆C 2相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r 1r 2为________.(2)(2019·淄博模拟)已知直线l ：y ＝－2x －m (m >0)与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，直线l 与圆C 相交于不同两点M ，N .若|MN →|≤2|CM →＋CN →|，则m 的取值范围是( ) A.[5，5) B.[2,55－3) C.(5,55)D.(3，2)跟踪演练3 (1)(2019·柳州模拟)已知点M 是抛物线y 2＝2x 上的动点，以点M 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为8，则该圆被x 轴截得的弦长的最小值为( )A.10B.4 3C.8D.215(2)(2019·绵阳诊断)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，给出下列结论：①a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0；②2ax1＋2by1＝a2＋b2；③x1＋x2＝a，y1＋y2＝b.其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3真题体验1.(2018·全国Ⅲ，理，6)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2,6] B.[4,8] C.[2，32]D.[22，32]2.(2016·全国Ⅱ，理，4)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( )A.－43B.－34C. 3D.23.(2019·浙江，12)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________.押题预测1.已知直线x －ay ＝0与圆x 2＋(y ＋4)2＝9相切，则实数a 等于( ) A.377 B.－377 C.±377 D.972.若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________.3.甲、乙两人参加歌咏比赛的得分(均为两位数)如茎叶图所示，甲的平均数为b ，乙的众数为a ，且直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，则圆A 的标准方程为________.A组专题通关1.(2019·衡水质检)直线2x·sin 210°－y－2＝0的倾斜角是()A.45°B.135°C.30°D.150°2.(2019·黄冈调研)过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()A.y－x＝1B.y＋x＝3C.2x－y＝0或x＋y＝3D.2x－y＝0或y－x＝13.(2019·东北三省三校模拟)设直线y＝x－2与圆O：x2＋y2＝a2相交于A，B两点，且|AB|＝23，则圆O的面积为()A.πB.2πC.4πD.8π4.(2019·湘赣十四校联考)圆(x＋2)2＋(y－3)2＝9上到直线x＋y＝0的距离等于2的点有()A.4个B.3个C.2个D.1个5.(2019·黄山质检)直线2x－y－3＝0与y轴的交点为P，点P把圆(x＋1)2＋y2＝36的直径分为两段，则较长一段与较短一段的长度的比值等于()A.2B.3C.4D.56.若直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A. 5B.5C.2 5D.107.(2019·河北省五个一名校联盟诊断)已知点P 为圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上一点，A (0， －6)，B (4,0)，则|P A →＋PB →|的最大值为( ) A.26＋2 B.26＋4 C.226＋4D.226＋28.(2019·菏泽模拟)已知点P 是直线l ：3x ＋4y －7＝0上的动点，过点P 引圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r >0)的两条切线PM ，PN .M ，N 为切点，当∠MPN 的最大值为π3时，则r 的值为( )A.4B.3C.2D.1 9.(2019·宝鸡模拟)设D 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AD 至点P ，使得|PD |＝|BD |，则点P 的轨迹方程为( ) A.x 2＋(y －2)2＝20 B.x 2＋(y －2)2＝5 C.x 2＋(y ＋2)2＝20D.x 2＋(y ＋2)2＝510.(2019·德阳模拟)已知点P (－3,0)在动直线m (x －1)＋n (y －3)＝0上的投影为点M ，若点N ⎝⎛⎭⎫2，32，那么|MN |的最小值为( ) A.2 B.32 C.1 D.1211.已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x ＋2y －4＝0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线分别为P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫12，14 B.⎝⎛⎭⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎫34，0D.⎝⎛⎭⎫0，34 12.(2019·南昌模拟)已知A (－3，0)，B (3，0)，P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，AP →＝PQ →，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，则M 的横坐标的取值范围是( ) A.|x |≥1B.|x |>1C.|x |≥2D.|x |≥2213.(2019·福建四校联考)已知直线3x ＋4y －3＝0,6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________.14.(2019·天津市十二重点中学联考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，且y 轴和直线3x ＋4y ＋4＝0均与圆C 相切，则圆C 的标准方程为________.15.(2019·湖北省部分重点中学联考)已知O 为原点，过点P ⎝⎛⎭⎫1，－32的直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为2，则直线l 的方程为________.16.(2019·辽宁省六校联考)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1.若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是________.B 组 能力提高17.若对圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是________.18.已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)且|AB |＝2，过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论：①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2.其中正确结论的序号是________.。
江苏省高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆学案
第1讲 直线与圆[考情考向分析] 高考考查重点是求直线和圆的方程、直线间的平行和垂直关系、距离、直线与圆的位置关系，此类问题难度属于中档，偶尔出现解答题．其中直线方程和圆的标准方程与一般方程是C 级要求．热点一 直线、圆的方程例1 (1)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (1,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝5交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且BM →＝2MA →，则直线l 的方程为____________． 答案 x －y －1＝0解析 方法一 易知l 的斜率必存在，设l ：y ＝k (x －1)．由BM →＝2MA →，可设BM ＝2t ，MA ＝t ，如图，过原点O 作OH ⊥l 于点H ，则BH ＝3t 2.设OH ＝d ，在Rt△OBH 中，d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＝r 2＝5，在Rt△OMH 中，d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＝OM 2＝1，解得d 2＝12.所以d 2＝k 2k 2＋1＝12，解得k ＝1或k ＝－1，因为点A 在第一象限，BM →＝2MA →，由图知k ＝1，所以l ：x －y －1＝0.方法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以BM →＝(1－x 2，－y 2)，MA →＝(x 1－1，y 1)．因为BM →＝2MA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝2(x 1－1)，－y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝2x 1－3，－y 2＝2y 1.又⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝5，x 22＋y 22＝5，代入可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝5，(2x 1－3)2＋4y 21＝5，解得x 1＝2，代入可得y 1＝±1，又点A 在第一象限，故A (2,1)，由点A 和点M 的坐标可得直线AB 的方程为x －y －1＝0.(2)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为________．答案 (x ＋1)2＋y 2＝4解析 由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a ＞－2，半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)2＋(3)2＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，a ＞－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝2，∴圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.思维升华 求具备一定条件的直线或圆的方程时，其关键是寻找确定直线或圆的两个几何要素，待定系数法也是经常使用的方法，解题时要注意平面几何知识的应用．跟踪演练1 (1)过点P (－4,0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为________． 答案 x ±3y ＋4＝0解析 设AB 的中点为D ，则CD ⊥AB ， 设CD ＝d ，AD ＝x ，则PA ＝AB ＝2x ，在Rt△ACD 中，由勾股定理得d 2＋x 2＝r 2＝5，① 在Rt△PDC 中，由勾股定理得d 2＋9x 2＝CP 2＝25，② 由①②解得d 2＝52.易知直线l 的斜率一定存在，设为k ， 则l ：y ＝k (x ＋4)，圆心C (1,0)到直线l 的距离为d ＝|5k |k 2＋1＝102，解得k 2＝19，k ＝±13，所以直线l 的方程为y ＝±13(x ＋4)，即为x ±3y ＋4＝0.(2)若圆上一点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程为________________________． 答案 (x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244 解析 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上， 说明圆心在直线x ＋2y ＝0上，即a ＋2b ＝0，①且(2－a )2＋(3－b )2＝r 2.②而圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，故r 2－⎝⎛⎭⎪⎫a －b ＋122＝2，③由①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.所以所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52 或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.热点二 直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (2018·江苏仪征中学检测)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A ()－1，0， B ()1，2.(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12 ？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．解 (1)圆C 的标准方程为()x －22＋y 2＝4，所以圆心C ()2，0，半径为2.因为l ∥AB, A ()－1，0， B ()1，2，所以直线l 的斜率为2－01－()－1＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0, 则圆心C 到直线l 的距离为d ＝||2－0＋m 2＝||2＋m 2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝()2＋m 22＋2,解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0. (2)假设圆C 上存在点P ，设P ()x ，y ， 则()x －22＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝()x ＋12＋()y －02＋()x －12＋()y －22＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋()y －12＝4,因为||2－2<()2－02＋()0－12<2＋2，所以圆()x －22＋y 2＝4与圆x 2＋()y －12＝4相交，所以点P 的个数为2.思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法： ①几何法：利用d 与r 的关系； ②代数法：联立方程之后利用Δ判断；③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． (2)判断圆与圆的位置关系，一般用几何法，其步骤为： ①确定两圆的圆心坐标和半径长；②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|； ③比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．跟踪演练2 (1)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若AB ＝23，则圆C 的面积为________． 答案 4π解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由AB ＝23， 得⎝⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2， 所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.(2)(2018·苏锡常镇调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2，点A (2,0)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2≤10，则点M 的纵坐标的取值范围是________．答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－72， 72 解析 设点M (x ，y )，因为MA 2＋MO 2≤10，所以(x －2)2＋y 2＋x 2＋y 2≤10, 即x 2＋y 2－2x －3≤0， 因为(x ＋1)2＋y 2＝2，所以y 2＝2－(x ＋1)2， 所以x 2＋2－(x ＋1)2－2x －3≤0， 化简得x ≥－12.因为y 2＝2－(x ＋1)2，所以y 2≤74，所以－72≤y ≤72.热点三 直线、圆的综合问题例3 如图所示，已知圆A 的圆心在直线y ＝－2x 上，且该圆存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称，又圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程；(3)(BM →＋BN →)·BP →是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由．解 (1)由圆存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称知圆心A 在直线x ＋y －1＝0上．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，x ＋y －1＝0，得A (－1,2)，设圆A 的半径为R ，∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝25，∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，连结AQ ，则AQ ⊥MN ， ∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1. 由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0，∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ →·BP →＝0，∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BQ →·BP →＝2(BA →＋AQ →)·BP → ＝2BA →·BP →；当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－52， 则BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，又BA →＝(1,2)，∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BA →·BP →＝－10；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k ，∴BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BA →·BP →＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k －10k 1＋2k ＝－10， 综上所述，(BM →＋BN →)·BP →为定值－10.思维升华 直线、圆的综合问题包括和圆有关的定点定值问题、范围问题及探究性问题．解决的基本思路有两种：代数法和几何法，解题时要注意充分利用方程、向量及图形的特征． 跟踪演练3 (2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围． 解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6,7)，半径r ＝5， 由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)． 且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)∵k OA ＝2，∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0. 又BC ＝OA ＝22＋42＝2 5.由题意，圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝25－5＝2 5.即|2×6－7＋m |22＋(－1)2＝25，解得m ＝5或m ＝－15. ∴直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)由TA →＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形， 又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴PQ ≤2r ＝10. ∴TA ＝PQ ≤10，即(t －2)2＋42≤10， 解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的取值范围为[2－221，2＋221]．1．(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________． 答案 3解析 设A (a,2a )，则a ＞0.又B (5,0)，故以AB 为直径的圆的方程为(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0. 由题意知C ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋52，a .由⎩⎪⎨⎪⎧(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2a .∴D (1,2)．又AB →·CD →＝0，AB →＝(5－a ，－2a )，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋52，2－a ， ∴(5－a ，－2a )·⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋52，2－a ＝52a 2－5a －152＝0， 解得a ＝3或a ＝－1. 又a ＞0，∴a ＝3.2．圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的标准方程为____________．答案 (x －1)2＋(y ＋4)2＝8解析 方法一 设圆心为(a ，－4a )，则有r ＝|a －4a －1|2＝(a －3)2＋(－4a ＋2)2，解得a ＝1，r ＝22，则圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.方法二 过点P (3，－2)且垂直于直线x ＋y －1＝0的直线方程为x －y －5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －5＝0，y ＝－4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4，则圆心坐标为(1，－4)，半径为r ＝ (1－3)2＋(－4＋2)2＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.3．(2018·江苏省南京师大附中模拟)已知直线x －y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝9交于不同的两点A ，B .若O 是坐标原点，且|OA →＋OB →|≥22|AB →|，则实数b 的取值范围是______． 答案 (－32，－6]∪[6，32)解析 设AB 的中点为D ，则OA →＋OB →＝2OD →，故|OD →|≥24|AB →|，即||OD →2≥18||AB →2，再由直线与圆的弦长公式可得，AB ＝2r 2－d 2(d 为圆心到直线的距离)，又直线与圆相交，故d <r ，得||b 2<3，所以－32<b <32，根据||OD→2≥18||AB →2，||AB →2＝4()9－|OD →|2得，||OD →2≥3，由点到直线的距离公式可得||OD→2＝b 22，即b 22≥3，所以b ≥6或b ≤－6，综上可得，b 的取值范围是(－32，－6]∪[6，32)．4．已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 所截的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方． (1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值．解 (1)设圆心M ()a ，0，由已知得M 到l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝⎛⎭⎪⎫322＝12， ∴||8a －382＋()－62＝12，又∵M 在l 的下方，∴8a －3>0，∴8a －3＝5，a ＝1. 故圆M 的方程为()x －12＋y 2＝1.(2)由已知可设AC 的斜率为k 1，BC 的斜率为k 2，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6，得C 点的横坐标为x 0＝6k 1－k 2. ∵AB ＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18k 1－k 2，∵圆M 与AC 相切，∴1＝||k 1＋t 1＋k 21，∴k 1＝1－t22t ， 同理， k 2＝1－()t ＋622()t ＋6，∴k 1－k 2＝3()t 2＋6t ＋1t 2＋6t ，∴S ＝6()t 2＋6t t 2＋6t ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1t 2＋6t ＋1，∵－5≤t ≤－2，∴－2≤t ＋3≤1，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4，∴S max ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18＝274，∴△ABC 的面积S 的最大值为152，最小值为274.A 组 专题通关1．直线过点(－5,4)且与坐标轴正半轴围成的三角形面积为5，则此直线方程为________． 答案 2x ＋5y －10＝0解析 设所求直线在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则直线方程为x a ＋yb＝1，a >0，b >0.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＋4b ＝1，12a ·b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝2，故所求直线方程为2x ＋5y －10＝0.2．已知圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是________________________________________________________________________． 答案 (x ＋5)2＋y 2＝5 解析 设圆心为(a,0)(a ＜0)， 则r ＝|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5. 所以圆O 的方程是(x ＋5)2＋y 2＝5.3．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为______． 答案2555解析 圆心为点(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝2 22－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555. 4．已知点P (t,2t )(t ≠0)是圆O ：x 2＋y 2＝1内一点，直线tx ＋2ty ＝m 与圆O 相切，则直线x ＋y ＋m ＝0与圆O 的位置关系是________．答案 相交解析 由点P (t,2t )(t ≠0)是圆O ：x 2＋y 2＝1内一点， 得5|t |<1.因为直线 tx ＋2ty ＝m 圆O 相切，所以|m |5|t |＝1， 所以|m |<1.又圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心O (0,0)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离d ＝|m |2<1＝r .所以位置关系为“相交”．5．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________________． 答案 4解析 ∵圆的标准方程为 (x －3)2＋(y －4)2＝5， 可知圆心为C (3,4)，半径为 5. 如图可知，CO ＝5，∴OP ＝25－5＝2 5. 设OC 与PQ 的交点为M ， 在Rt△POC 中，OC ·PM ＝OP ·PC ，∴PM ＝25×55＝2.∴PQ ＝2PM ＝4.6．(2018·无锡期末)过圆x 2＋y 2＝16内一点P (－2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB ＝CD ，则四边形ACBD 的面积为________． 答案 19解析 根据题意画图，连结OP ，OA ，过O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，∴E 为AB 的中点，F 为CD 的中点，又AB ⊥CD ，AB ＝CD ，∴四边形EPFO 为正方形，由圆的方程得圆心O (0,0)，半径r ＝4 ，OP 2＝()－22＋32＝13，OE 2＝132 AE 2＝OA 2－OE 2＝16－132＝192， ∴AE ＝192，∴AB ＝CD ＝38， ∴S 四边形ACBD ＝12AB ·CD ＝19.7．若⊙O 1：x 2＋y 2＝5与⊙O 2：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________． 答案 4解析 由题意知O 1(0,0)，O 2(m,0)，且5＜|m |＜35， 又O 1A ⊥AO 2，∴m 2＝(5)2＋(25)2＝25，∴m ＝±5， ∴AB ＝2×5×255＝4. 8．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为________． 答案 52－4解析 由条件可知，两圆的圆心均在第一象限，先求PC 1＋PC 2的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(PC 1＋PC 2)min ＝C 1′C 2＝5 2. 所以(PM ＋PN )min ＝52－4.9．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为____________． 答案 x ＋y －3＝0解析 由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0， 设圆心坐标为(a,0)，则由题意知，⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1， 又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3， 故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上， 所以3＋0＋m ＝0，即m ＝－3， 故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.10．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN . 解 (1)由题设可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. ∵x 1,2＝4(1＋k )±－12k 2＋32k －122(1＋k 2)， ∴x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以MN ＝2.B 组 能力提高11．圆心M 在曲线y 2＝－18x 上，圆M 与y 轴相切且与圆C ：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1外切，则圆M 的方程为________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝14或(x ＋2)2＋(y －6)2＝4解析 设圆M ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， ∵b 2＝－18a ，r ＝|a |，∴a ＝－b 218，r ＝b 218，圆心C (－2,3)，r c ＝1，又圆M 与圆C 外切，则MC ＝r ＋r c ， 即(a ＋2)2＋(b －3)2＝r ＋1， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 218＋22＋(b －3)2＝b 218＋1，解得b ＝3或b ＝6.∴圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝14或(x ＋2)2＋(y －6)2＝4.12．已知以O 为圆心的圆与直线l ：y ＝mx ＋(3－4m )(m ∈R )恒有公共点，且要求圆O 的面积最小，则圆O 的方程为________________． 答案 x 2＋y 2＝25解析 因为直线l ：y ＝mx ＋(3－4m )过定点T (4,3)， 由题意知，要使圆O 的面积最小， 定点T (4,3)在圆上， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝25.13．已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，那么PA →·PB →的最小值为________． 答案 －3＋2 2 解析 如图所示，设PA ＝PB ＝x (x ＞0)，∠APO ＝α， 则∠APB ＝2α，PO ＝1＋x 2， sin α＝11＋x2.PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos 2α＝x 2(1－2sin 2α)＝x 2(x 2－1)x 2＋1＝x 4－x 2x 2＋1，令PA →·PB →＝y ，则y ＝x 4－x 2x 2＋1，即x 4－(1＋y )x 2－y ＝0.因为x 2是实数，所以Δ＝[－(1＋y )]2－4×1×(－y )≥0，y 2＋6y ＋1≥0，解得y ≤－3－22或y ≥－3＋2 2.又因为x2＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋y ＞0，－y ＞0，所以y ∈[)－3＋22，0. 故(PA →·PB →)min ＝－3＋2 2.14．(2018·江苏省如皋中学月考)已知圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)直线l 1：3x ＋y －23＝0与圆O 相交于A ，B 两点，求弦AB 的长度；(2)如图，设M ()x 1，y 1， P ()x 2，y 2是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，如果直线PM 1，PM 2与y 轴分别交于()0，m 和()0，n ，问mn 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)由于圆心()0，0到直线l 1：3x ＋y －23＝0的距离d ＝||－232＝ 3.圆的半径r ＝2，所以AB ＝2r 2－d 2＝2.(2)由于M (x 1，y 1)，点M 关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，可得M 1()－x 1，－y 1，M 2()x 1，－y 1， 由M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)是圆O 上的两个动点， 可得x 21＋y 21＝4, x 22＋y 22＝4. 直线PM 1的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x ＋x 1x 2＋x 1，令x ＝0， 求得y ＝m ＝x 1y 2－x 2y 1x 2＋x 1.直线PM 2的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1，令x ＝0， 求得y ＝n ＝－x 1y 2－x 2y 1x 2－x 1.mn ＝x 22y 21－x 21y 22x 22－x 21＝ x 22()4－x 21－x 21()4－x 22x 22－x 21＝4.故mn为定值．。
2020届高考数学二轮教师用书：层级二 专题五 第1讲 直线与圆
第1讲 直线与圆 [考情考向·高考导航]对于直线的考查，主要是求直线的方程；两条直线平行与垂直的判定；两条直线的交点和距离等问题．一般以选择题、填空题的形式考查．对于圆的考查，主要是结合直线的方程，用几何法或待定系数法确定圆的标准方程；对于直线与圆、圆与圆的位置关系等问题，含参数问题为命题热点，一般以选择题、填空题的形式考查，难度不大，涉及圆的解答题有逐渐强化的趋势．[真题体验]1．(2018·全国Ⅲ卷)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[，3]D ．[2，3]2222解析：A [由已知A (－2,0)，B (0，－2)．圆心(2,0)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝＝2，又圆的半径为.∴点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离的最小值为，最大值为|2＋0＋2|22223，又|AB |＝2.∴△ABP 面积的最小值为S min ＝×2×＝2，最大值为221222S max ＝×2×3＝6.]12222．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：C [本题考查直线与圆的位置关系．点P (cos θ，sin θ)是单位圆x 2＋y 2＝1上的点，直线x －my －2＝0过定点(2,0)，当直线与圆相离时，d 可取到最大值，设圆心到直线的距离为d 0，d 0＝，d ＝d 0＋1＝＋1，可知，当m ＝0时，d max ＝3，故选C.]21＋m 221＋m 23．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则：Error!解得Error!则圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.答案：x 2＋y 2－2x ＝04．(2018·全国Ⅰ卷)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：圆方程可化为x 2＋(y ＋1)2＝4，∴圆心为(0，－1)，半径r ＝2，圆心到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝＝，∴|AB |＝2＝2＝2.22222－d 24－22答案：22[主干整合]1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝.|C 1－C 2|A 2＋B 2(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝.|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 23．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为，半径为(－D 2，－E 2)r ＝.D 2＋E 2－4F 24．直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d ＜r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d ＞r ⇔相离．(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离．热点一 直线的方程及其应用[例1] (1)(2020·大连模拟)“a ＝2”是“直线ax ＋y －2＝0与直线2x ＋(a －1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] A [由ax ＋y －2＝0与直线2x ＋(a －1)y ＋4＝0平行，得a (a －1)＝2，∴a ＝－1，a ＝2.经检验当a ＝－1时，两直线重合(舍去)．∴“a ＝2”是“直线ax ＋y －2＝0与直线2x ＋(a －1)y ＋4＝0平行”的充要条件．](2)(2020·厦门模拟)过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)的距离为2的直线方程为________________．[解析] 由Error!得Error!所以l 1与l 2的交点为(1,2)，当所求直线的斜率不存在时，所求直线为x ＝1，显然不符合题意．故设所求直线的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0,4)到所求直线的距离为2，所以2＝，所以k ＝0或k ＝.|－2－k |1＋k 243所以所求直线的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.[答案] y ＝2或4x －3y ＋2＝0(3)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1,2,3.①记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是________．②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是________．[解析] 设，线段A 1B 1的中点为E 1(x 1，y 1)，则Q 1＝＝2y 1.因此，要比较Q 1，Q 2，Q 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点纵坐标的大小，作图(图略)比较知Q 1最大．又p 1＝＝＝＝，其几何意义为线段A 1B 1的中点E 1与坐2y 12x 1y 1x 1y 1－0x 1－0标原点连线的斜率，因此，要比较p 1，p 2，p 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点与坐标原点连线的斜率，作图比较知p 2最大．[答案] ①Q 1 ②p 2求解直线方程应注意的问题(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况．(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．(3)求直线方程要考虑直线的斜率是否存在．(2020·宁德模拟)过点M (0,1)作直线，使它被两条直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，则此直线方程为____________．解析：过点M 且与x 轴垂直的直线是x ＝0，它和直线l 1，l 2的交点分别为，(0,8)，(0，103)显然不符合题意，故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1，其图象与直线l 1，l 2分别交于A ，B 两点，则有①Error!②Error!由①解得x A ＝，由②解得x B ＝.73k －17k ＋2因为点M 平分线段AB ，所以x A ＋x B ＝2x M ，即＋＝0，解得k ＝－.73k －17k ＋214故所求的直线方程为y ＝－x ＋1，即x ＋4y －4＝0.14答案：x ＋4y －4＝0热点二 圆的方程及应用[例2] (1)(山东高考题)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为2，则圆C 的标准方程为________________．3[解析] 设圆C 的圆心为(a ，b )(b ＞0)，由题意得a ＝2b ＞0，且a 2＝()2＋b 2，解得3a ＝2，b ＝1.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.[答案] (x －2)2＋(y －1)2＝4(2)(2019·唐山三模)已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是____________．[解析] 依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心位于直线x －y －1＝0上，于是有(－k 2，0)－－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB |＝2，直线AB 的方k22程是＋＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离等于＝，点P 到直x－2y2|1－0＋2|2322线AB 的距离的最大值是＋1，△PAB 面积的最大值为×2×＝3＋.32212232＋222[答案] 3＋2求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，求出圆的基本量：圆心坐标和半径．如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直，设圆的半径为r ，弦长为|AB |，弦心距为d ，则r 2＝d 2＋2等．(|AB |2)(2)代数法：设出圆的方程，用待定系数法求解．在求圆的方程时，要根据具体的条件选用合适的方法，但一般情况下，应用几何法运算较简捷．(1)(2019·临沂三模)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为2，且与直线l 2：2x －y －4＝0相切，则圆M 的标准方程为35________________．解析：由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a ＞－2，半径为r ，得Error!解得满足条件的一组解为Error!所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.答案：(x ＋1)2＋y 2＝4(2)(2020·马鞍山模拟)圆心在曲线y ＝(x ＞0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小2x 的圆的标准方程为________________．解析：由条件设圆心坐标为(a ＞0)，又因为圆与直线2x ＋y ＋1＝0相切，所以圆心(a ，2a )到直线的距离d ＝r ＝≥＝，当且仅当2a ＝，即a ＝1时取等号，所以圆心坐2a ＋2a＋154＋1552a 标为(1,2)，圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.5答案：(x －1)2＋(y －1)2＝5热点三 直线(圆)与圆的位置关系直观想象素养直观想象——圆的方程应用中的核心素养以学过的圆的相关知识为基础，借助曲线的方程感知一类问题共同特征的“直观想象”，然后利用“直观想象”解决问题.[例3] (1)(2020·湖北八校联考)过点(，0)作直线l 与曲线y ＝相交于A ，B 两点，21－x 2O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．[解析] 令P (，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，2所以S △AOB ＝|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝sin ∠AOB ≤，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取121212得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝，22于是sin ∠OPH ＝＝＝，|OH ||OP |22212易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－.33[答案] －33(2)如图所示，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .①当|MN |＝2时，则直线l 的方程为____________．19②若·为定值，则这个定值为________．BQ→ BP → [解析] ①设圆A 的半径为R .∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝＝2.|－1＋4＋7|55∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.a ．当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；b ．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN .∵|MN |＝2，∴|AQ |＝＝1.1920－19由|AQ |＝＝1，得k ＝，|k －2|k 2＋134∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.②∵AQ ⊥BP ，∴·＝0.AQ→ BP → ∵·＝(＋)·BQ→ BP → BA → AQ → BP →＝·＋·＝·.BA→ BP → AQ → BP → BA → BP → 当直线l 与x 轴垂直时，得P.(－2，－25)则＝，又＝(1,2)，BP → (0，－52)BA → ∴·＝·＝－5.BQ→ BP → BA → BP → 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．由Error!解得P .(－4k －71＋2k ，－5k1＋2k )∴＝.BP → (－51＋2k ，－5k1＋2k )∴·＝·＝－＝－5.BQ → BP → BA → BP→ －51＋2k 10k 1＋2k 综上所述：·为定值，其定值为－5.BQ→ BP → [答案] ①x ＝－2或3x －4y ＋6＝0 ②－5直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为两圆心之间的距离问题．(1)(2020·银川调研)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是2，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是____________．2解析：由题意知圆M 的圆心为(0，a )，半径R ＝a ，因为圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为2，所以圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝＝(a ＞0)，解得a ＝2，又知2|a |2a 2－2圆N 的圆心为(1,1)，半径r ＝1，所以|MN |＝，则R －r ＜＜R ＋r ，所以两圆的位置关系为22相交．答案：相交(2)(2020·江西七校联考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k的最大值是________．解析：圆C ：(x －4)2＋y 2＝1，如图，直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需保证圆心C 到y ＝kx －2的距离小于等于2即可，∴≤2⇒0≤k ≤.|4k －2|1＋k 243∴k max ＝.43答案：43限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共11小题，每小题5分，共55分)1．(2020·成都二诊)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：C [由题意可得直线sinA ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－，bx －sinB ·y ＋sinsin Aa C ＝0的斜率k 2＝，故k 1k 2＝－·＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bsin B sin Aa bsin B bx －sin B ·y ＋sin C ＝0垂直，故选C.]2．(2020·杭州质检)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－或－B ．－或－53353223C ．－或－D ．－或－54454334解析：D [点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，∵反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离d ＝＝1，化简得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－或－.]|－3k －2－2k －3|k 2＋143343．(2020·广州模拟)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上运动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A. B ．222C ．3D ．422解析：C [由题意知AB 的中点M 的集合为到直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线，则点M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据两平行线间的距离公式得，＝，即|m ＋7|2|m ＋5|2|m ＋7|＝|m ＋5|，所以m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M 到原点的距离的最小值为＝3.]|－6|224．(2020·河南六校联考)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 是坐标原点，向量，满足|＋|＝|－|，则实数a 的值为( )OA → OB → OA → OB → OA→ OB → A ．1 B ．2C ．±1D ．±2解析：C [由，满足|＋|＝|－|，得⊥，OA → OB → OA → OB → OA → OB → OA→ OB → 因为直线x ＋y ＝a 的斜率是－1，所以A ，B 两点在坐标轴上并且在圆上；所以(0,1)和(0，－1)两点都适合直线的方程，故a ＝±1.]5．(2020·怀柔调研)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－B ．y ＝－3412C ．y ＝－D ．y ＝－3214解析：B [圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，半径为1，以|PC |＝＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减(1－1)2＋(－2－0)2得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－.故选B.]126．(2020·温州模拟)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx ，其中k 为[－，]上的33任意一个实数，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( )A. B.3334C.D.143－33解析：D [当直线l 与圆C 相离时，圆心C 到直线l 的距离d ＝＞，解得k ＞1|2k |k 2＋12或k ＜－1，又k ∈[－，]，所以－≤k ＜－1或1＜k ≤，故事件“直线l 与圆C 相离”3333发生的概率P ＝＝，故选D.](3－1)＋(－1＋3)233－337．(2019·潍坊三模)已知O 为坐标原点，A ，B 是圆C ：x 2＋y 2－6y ＋5＝0上两个动点，且|AB |＝2，则|＋|的取值范围是( )OA→ OB → A ．[6－2，6＋2] B ．[3－，3＋]3333C ．[3,9]D ．[3,6]解析：A [圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，取弦AB 的中点M ，连接CM ，CA ，在直角三角形CMA 中，|CA |＝2，|MA |＝1，则|CM |＝＝，则点M 的轨迹方程为x 2＋(y －3)|CA |2－|MA |232＝3，则|＋|＝2||∈[6－2，6＋2]．]OA → OB → OM→ 338．(多选题)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是( )A ．0<m <1B ．m <1C ．－2<m <1D ．－3<m <1解析：AC [本题主要考查直线与圆的位置关系的判断．圆x 2＋y 2－2x －1＝0的圆心为(1,0)，半径为.因为直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点，所以直线2与圆相交，因此圆心到直线的距离d ＝<，所以|1＋m |<2，解得－3<m <1，求其充分|1＋m |1＋12条件，即求其子集，故由选项易得AC 符合．故选AC.]9．(2020·合肥质检)已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝5与圆C 2相交于A (0,2)，B (－1,1)两点，且四边形C 1AC 2B 为平行四边形，则圆C 2的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝5B ．(x －1)2＋y 2＝92C.2＋2＝5(x －12)(y －12)D.2＋2＝(x －12)(y －12)92解析：A [通解 (常规求解法)设圆C 2的圆心坐标为(a ，b )，连接AB ，C 1C 2.因为C 1(－2,3)，A (0,2)，B (－1,1)，所以|AC 1|＝|BC 1|＝，所以平行四边形C 1AC 2B 为菱形，所以5C 1C 2⊥AB 且|AC 2|＝.5可得Error!解得Error!或Error!则圆心C 2的坐标为(1,0)或(－2,3)(舍去)．因为圆C 2的半径为，所以圆C 2的方程为(x －1)2＋y 2＝5.故选A.5优解 (特值验证法)由题意可知，平行四边形C 1AC 2B 为菱形，则|C 2A |＝|C 1A |＝＝，即圆C 2的半径为，排除B ，D ；将点A (0,2)代入选项A ，C ，显然选项22＋(2－3)255A 符合．故选A.]10．(2020·惠州二测)已知圆C ：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－1＝0(a ＜0)的圆心在直线x －y ＋＝0上，且圆C 上的点到直线x ＋y ＝0的距离的最大值为1＋，则a 2＋b 2的3333值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：C [化圆C ：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－1＝0(a ＜0)为标准方程得C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，其圆心为(a ，b )，故a －b ＋＝0，即b ＝a ＋，(a ，b )到直线3333x ＋y ＝0的距离d ＝＝＝，因为圆C 上的点到直线3|3a ＋b |3＋1|3a ＋b |2|3a ＋3a ＋3|2x ＋y ＝0的距离的最大值为1＋，故d ＋1＝|2a ＋1|＋1＝1＋，得到|2a ＋1|＝2，解得33323a ＝－或a ＝(舍去)，故b ＝×＋＝－，故a 2＋b 2＝2＋2＝3.选C.]32123(－32)332(－32)(－32)11．(2019·烟台三模)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围是( )A ．[－2,6]B ．[－3,5]C ．[2,6]D ．[3,5]解析：C [当MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB 取得最大值，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB ≥90°，∠AMC ≥45°，且∠AMC ＜90°，如图，所以|MC |＝≤＝，所以16＋(t －4)2≤20，所以2≤t ≤6，故选(5－1)2＋(t －4)210sin 45°20C.]二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)12．(双空填空题)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 过点A (0，－8)，且与圆x 2＋y 2－6x －6y ＝0相切于原点，则圆C 的方程为___________________________________________，圆C 被x 轴截得的弦长为________．解析：本题考查圆与圆的位置关系．将已知圆化为标准式得(x －3)2＋(y －3)2＝18，圆心为(3,3)，半径为3.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C 的圆心在直线y ＝x 2上．由于圆C 过点(0,0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y ＝－4上．联立y ＝x 和y ＝－4，得圆心C 的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为4，所以圆C 的方程为2(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝32，即x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0.圆心C 到x 轴距离为4，则圆C 被x 轴截得的弦长为2×＝8.(42)2－42答案：x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0 813．(2019·哈尔滨二模)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则直线l 的方程为________________．3解析：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立方程得Error!得Error! 或Error!∴|AB |＝2，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，即(x －1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为C (1,1)，圆的半径r ＝2，圆心C (1,1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝＝，∵d 2＋2＝r 2，∴|k －1＋3|k 2＋1|k ＋2|k 2＋1(|AB |2)＋3＝4，解得k ＝－，∴直线l 的方程为y ＝－x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线(k ＋2)2k 2＋13434l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.答案：x ＝0或3x ＋4y －12＝014．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a ＞0)相交，公共弦的长为2，则2a ＝________.解析：联立两圆方程Error!可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0，故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为＝(a ＞0)．|－5|a 2＋4a 25a故2＝2，22－(5a)22解得a 2＝，52因为a ＞0，所以a ＝.102答案：10215．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l交于另一点D .若·＝0，则点A 的横坐标为AB→ CD → ________．解析：∵AB 为直径∴AD ⊥BD∴BD 即B 到直线l 的距离|BD |＝＝2.|0－2×5|12＋225∵|CD |＝|AC |＝|BC |＝r ，又CD ⊥AB .∴|AB |＝2|BC |＝210设A (a,2a )|AB |＝＝2⇒a ＝－1或3(－1舍去)(a －5)2＋4a 210答案：316．(2020·厦门模拟)为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A ，B ，C 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A ，B ，C 三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M 只能建在与A 村相距5 km ，且与C 村相距 km 的地方．已知B 村在A 村的正东方向，31相距3 km ，C 村在B 村的正北方向，相距3 km ，则垃圾处理站M 与B 村相距________km.3解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (0,0)，B (3,0)，C (3,3)．3由题意得垃圾处理站M 在以A (0,0)为圆心，5为半径的圆A 上，同时又在以C (3,3)为3圆心，为半径的圆C 上，两圆的方程分别为x 2＋y 2＝25和(x －3)2＋(y －3)2＝31.313由Error!解得Error!或Error!∴垃圾处理站M 的坐标为(5,0)或，(－52，532)∴|MB |＝2或|MB |＝＝7，(－52－3)2＋(532)2即垃圾处理站M 与B 村相距2 km 或7 km.答案：2或7。
2020届高考数学(理)课标版二轮课件：重难考点专题五第1讲 直线与圆
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设直线2x+3y-6=0关于点N对称的直线方程为2x+3y+c=0(c≠-6).
则|-6 3-6|=|-6 3 c|,解得c=12或c=-6(舍去).
49 49
∴所求直线方程为2x+3y+12=0,故选B.
考点一
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3.已知直线l1:kx-y+4=0与直线l2:x+ky-3=0(k≠0)分别过定点A,B,又l1,l2相交于点
的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程;
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(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解析 (1)由题意得F(1,0),
l的方程为y=k(x-1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由
y y
k(x-1), 2 4x
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
,r=
.
答案 -2; 5
解析 设直线2x-y+3=0为l,则AC⊥l,又kl=2,
∴kAC=
m 1 02
=-
1 2
,解得m=-2,∴C(0,-2),
∴r=|AC|= (0 2)2 (-2 1)2 = 5 .
考点二 栏目索引
2.(2018课标全国Ⅱ,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)
故|MA|·|MB|≤25 当且仅当|MA|=|MB|=5 2 时取“=” .
2
2
考点一
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总结提升
解决直线方程问题的三个注意点
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(1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方合的可能性.
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- 1 - 第1讲 直线与圆 [教师授课资源] [备考指导] 圆的考查有四种趋势 ①考查圆的选择、填空，重点考查圆的切线，圆的弦长，利用圆的特殊性、利用几何意义处理题目，特别注意数形结合. ②与圆锥曲线结合，简单考查，重心不在圆. *③在极坐标系参数方程上，重点考查圆的有关问题，思路，参考方程法
x＝a＋rcos α
y＝b＋rsin α
或几何法处理有关最值问题.
④与三角形结合，涉及内切圆与外接圆问题.
[做小题——激活思维] 1．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a＝( ) A．－1 B．1
C．±1 D．－32 C [由(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，故选C.] 2．直线l过点(2,2)，且点(5,1)到直线l的距离为10，则直线l的方程是( ) A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0 C．3x－y－4＝0 D．x－3y－4＝0 C [由题意，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，所以|5k－1＋2－2k|k2＋1
＝10，解得k＝3，所以直线l的方程为3x－y－4＝0，故选C.]
3．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 B [∵两圆心距离d＝＋2＋12＝17，R＋r＝2＋3＝5，r－R＝1，∴r－R＜d＜R＋r，∴两圆相交．] 4．直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦长为________． - 2 -
6 [假设直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦为AB，∵圆的半径r＝10，圆心到直线的距离d＝5－2＋42＝1，∴弦长|AB|＝2×r2－d2＝210－1＝2×3＝6.] 5．[一题多解]经过三点A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆的方程为________． (x－1)2＋y2＝4 [法一：(待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A(－
1,0)，B(3,0)，C(1,2)的坐标代入圆的方程可得 1－D＋F＝0，9＋3D＋F＝0，1＋4＋D＋2E＋F＝0，解得D＝－2，E＝0，F＝－3，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4. 法二：(几何法)根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x＝1上，设圆心坐标O(1，a)，则圆的半径r＝4＋a2＝|a－2|，所以a＝0，r＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.]
6．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． (－2，－4) 5 [由题意可知a2＝a＋2，∴a＝－1或2.当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5.
当a＝2时，方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋52＝0，不表示圆．] [扣要点——查缺补漏] 1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系 (1)平行⇔A1B2－A2B1＝0(斜率相等)且B1C2－B2C1≠0(在y轴上截距不等)； (2)直线Ax1＋B1y＋C1＝0与直线Ax2＋B2y＋C2＝0垂直⇔A1A2＋B1B2＝0.如T1. 2．点到直线的距离及两平行直线间的距离
(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2；如T2.
(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝|C1－C2|A2＋B2. 3．圆的方程 (1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2； (2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)；(方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆⇔A＝C≠0，且B＝0，D2＋E2－4AF＞0)；如T5，T6.
(3)参数方程： x＝a＋rcos θy＝b＋rsin θ； (4)直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 4．点、直线、圆的位置关系 - 3 -
(1)研究点、直线、圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．如T3. (2)与弦长l有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦
长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系r2＝d2＋l22来处理．如T4.
圆的方程及应用(5年4考) [高考解读] 圆的方程求法以待定系数法为主，主要考查方程思想及数学运算的能力，与圆有关的最值问题主要考查等价转化及数形结合的意识，均属于中档题目. 1．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A.53 B.213 C.253 D.43 B [设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
∴ 1＋D＋F＝0，3＋3E＋F＝0，7＋2D＋3E＋F＝0，∴ D＝－2，E＝－433，F＝1， ∴△ABC外接圆的圆心为1，233， 故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为
1＋2332＝213.] 2．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( ) A．[2,6] B．[4,8] C．[2，32] D．[22，32] A [由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r＝2，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝32，最小距离是d－r＝2.易知
A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝22，所以2≤S△ABP≤6.故选A.] - 4 -
[教师备选题] (2019·北京高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________． (x－1)2＋y2＝4 [如图，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，
∵所求圆的圆心为F，且与准线x＝－1相切， ∴圆的半径为2，则所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.]
解决与圆有关的问题一般有2种方法 (1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
1．(借助几何性质求圆的方程)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( ) A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2－4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
C [由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m＞0)，则|3m＋4|32＋42＝2，解得m＝2或m＝
－143(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.] 2．(借助待定系数法求圆的方程)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为________．
x2＋y±332＝43 [因为圆C关于y轴对称，
所以圆心C在y轴上， 可设C(0，b)， 设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2. - 5 -
依题意，得 12＋－b2＝r2，|b|＝12r，解得 r2＝43，b＝±33. 所以圆C的方程为x2＋y±332＝43.] 3．[一题多解](平面向量与圆的交汇)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB→·CD→＝0，则点A的横坐标为________．
3 [法一：设A(a,2a)，a＞0，则Ca＋52，a，
∴圆C的方程为x－a＋522＋(y－a)2＝a－24＋a2，
由 x－a＋522＋y－a2＝a－24＋a2，y＝2x，得 xD＝1，yD＝2， ∴AB→·CD→＝(5－a，－2a)·－a－32，2－a＝a2－2a－152＋2a2－4a＝0， ∴a＝3或a＝－1，又a＞0，∴a＝3，∴点A的横坐标为3. 法二：由题意易得∠BAD＝45°. 设直线DB的倾斜角为θ，
则tan θ＝－12， ∴tan∠ABO＝－tan(θ－45°)＝3， ∴kAB＝－tan∠ABO＝－3. ∴AB的方程为y＝－3(x－5)，
由 y＝－x－，y＝2x，得xA＝3.] 直线与圆、圆与圆的位置关系
[高考解读] 以直线与圆相交、相切为载体，考查数形结合的能力，圆的几何性质及勾股定理的有关知识，知识相对综合，有一定的区分度. 1．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，