三点Gauss公式
7-2-数值积分-Gauss
7
sin x 例 : 用Romberg方法计算积分I dx , 0 x 的近似解,要求精确到六位小数.
1
T1
T2 S2 S4
S8
T4
T8
C4
C8 R8
4T2 n Tn S2 n 3 16 S2 n Sn C2n 15
8
解:
1 T1 [ f (0) f (1)] =0.9207355 2 1 1 T2 T1 f (0.5) =0.9397933 2 2
34p25715161935将区间等分有如下eulermaclaurin公式节点间距离为复化梯形值将区间等分节点间距离为复化梯形值表明复化梯形公式的收敛速度是romberg算法的理论依据自学36序列收敛速度是37序列值38型求积公式当时收敛于定积分值三gauss型求积公式的误差自学39插值多项式4052几种常用的gauss型求积公式gausslegendre求积公式上权函数为的高斯型求积公式高斯点为gausslegendre多项式的零点41高斯点求积系数一点高斯勒让德求积公式为
§4 Romberg求积公式
2 I ( f ) T O ( h ) Tn为区间n等分的复化梯形值， n
T2n为区间2n等分的复化梯形值，
2 I Tn Mf (1 )hn , I Tn 2 由 2 得， I T2 n 2 I T2 n Mf ( 2 )h2 n
1 2 1 1 1
3 3 3 x 3 x 3 dx 0 A1 x1 A2 x2 A3 x3
x x
4
4 4 4 x 4 dx 0 A1 x1 A2 x2 A3 x3 1 1 5 5 5 x 5 dx 0 A1 x1 A2 x2 A3 x3 1
高数第十一章-高斯公式
上有连续的一阶偏导数 , 则有
P d y d z Q d z d x Rdx d y
(Gauss 公式)
下面先证: R z d x d y d z R d x d y
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
证明: 设
称为XY -型区域 , 1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) , 2 : z z2 ( x, y), 则 z 2 R z ( x, y ) R d x d y d z d x d y 2 z z1 ( x, y ) z d z 3 Dx y
Dx y
R ( x , y , z 2 ( x, y ) )
R( x, y, z1 ( x, y ) ) d x d y
2 1
3
O
x
Dx y
1 y
R d x d y R d x d y
R( x, y, z 2 ( x, y ))dxdy R( x, y, z1 ( x, y )) d xdy
Dxy
2π 0
d 0
1
rdr
π 4
2π 0
cos 2 d
目录
上页
下页
返回
结束
在闭区域 上具有一阶和 v 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 Pu 2 2 2 x v v v v u x 2 y 2 z 2 d x d y d z Qu y v v v v u cos cos cos d S Ru x y z z u v u v u v d x d y d z x x y y z z 其中 是整个 边界面的外侧. P Q R d x d ydz 注意: 高斯公式 x y z
高等数学 高斯公式
球 3 r2 r2 sindrdd
O
y
x
3
2
d
d
R r 4 sin dr 12 R5
0
0
0
5
12
高斯(Gauss)公式 通量与散度
(P x
Q y
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx Rdxdy 高斯公式
使用Guass公式时易出的差错:
(1) 搞不清 P,Q, R是对什么变量求偏导; (2) 不满足高斯公式的条件, 用公式计算;
Dxy
R z
dv
R(
x
,
y
,
z
)dxdy
8
高斯Gauss)公式 通量与散度
R z
dv
R(
x
,
y,
z
)dxdy
同理
P x
dv
P(
x,
y,
z)dydz
自 己
Q y
dv
Q(
x,
y,
z)dzdx
证
合并以上三式得
(P x
Q y
R )dv z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
高斯公式
9
高斯(Gauss)公式 通量与散度
2
z
解
z y 1 x 0
绕y轴旋转曲面方程为
O
n
y 1 z 2 x 2 (如图)
x
y
22
高斯(Gauss)公式 通量与散度
高斯公式
欲求 I (8 y 1)xdydz 2(1 y2 )dzdx 4 yzdxdy
补 1 : y 3, 取右侧.
有 I
1 1
三点gauss-chebyshev 求积公式
三点gauss-chebyshev 求积公式
三点Gauss-Chebyshev求积公式是一种数值积分方法，用于计算函数在[-1, 1]区间上的积分。
它基于Chebyshev多项式的零点，并使用三个等距节点进行插值和积分计算。
具体的求积公式如下：
积分近似值 = (b - a) / 3 * [f(a) + 4f((a + b) / 2) + f(b)]
其中，a和b是积分区间的起始和终止点，f(x)是需要计算的函数。
请注意，这个求积公式特别适用于在[-1, 1]区间上具有较光滑性质的函数。
当函数在该区间上不是很光滑或具有较大的变化时，可能需要采用更精确的高阶Gauss-Chebyshev求积公式或其他数值积分方法。
对于其他节点数，可以使用更高阶的Gauss-Chebyshev求积公式，如五点、七点或更多，以提高积分的精度。
这些公式的推导和使用方法是类似的，只需根据具体的节点数和相应的节点位置进行调整。
需要注意的是，当使用数值积分方法时，应根据具体应用需求和被积函数的特点选择合适的公式和节点，并对数值误差进行评估和控制，以获得准确的积分结果。
高斯求积公式-数值分析课程设计2
一、 引言介绍高斯型求积公式，并使用其求积分⎰=1sin I xdx 。
要求：数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化。
我们知道,求积公式⎰∑=≈bani i ix f Adx x f 0)()( （1.1）含有22+n 个待定常数i x 及),,2,1,0(n i A i =,如果它具有n 次代数精确度,则它应使1+m 个方程mk dx x x A bakni ki i ,,2,1,0,==⎰∑= (1.2)精确成立。
作为插值型求积公式(1.1)它至少具有n 次代数精确度；另一方面,令)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω,则对22+n 次多项式)()(21x x f n +=ω而言，(7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对22+n 次多项式)(21x n +ω不准确成立。
但要确定方程组(7.5.2)中的22+n 个待定常数i x 与i A ,最多需要给出22+n 个独立条件,所以m最大取12+n 。
因此,插值型求积公式(1.1)的代数精确度最小是n ,最大是12+n ．由此可见，高斯公式的代数精度比牛顿-科特斯公式高，求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数。
为解决上述问题，首先要先给出三个定理：定理一：以n x x x ,,,10 为节点的插值型求积公式(7.5.1)具有12+n 次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω与任意次数不超过n 的多项式)(x P 均在区间],[b a 上正交,即⎰=+ban dx x x P 0)()(1ω (1.3)定理二：高斯公式(1.1)的求积系数k A 全为正,且nk dx x l dx x l A bak bak k ,1,0,)()(2===⎰⎰(1.4)定理三：对于高斯公式(1.1),其余项为dxx fn f R ban n ⎰+++=)()()!22(1)(21)22(ωη (1.5)其中).())(()(],,[101n n x x x x x x x b a ---=∈+ ωη证明 以n x x x ,,,10 为节点构造)(x f 的埃尔米特插值多项式)(x H),()(i i x f x H = ni x f x H i i ,1,0),()(='='因为)(x H 是12+n 次多项式,而它的余项是)()()!22(1)()(21)22(x fn x H x f n n +++=-ωξ所以高斯公式(7.5.1)对)(x H 能准确成立,即∑∑⎰====ni i in i iibax f Ax H A dx x H 0)()()(从而dxx fn dxx H dx x f x f A dx x f f R n ban babani i i ba)()()!22(1)()()()()(21)22(0++=⎰⎰⎰∑⎰+=-=-=ωξ若)()22(x fn +在区间],[b a 上连续,由于)(21x n +ω在],[b a 上不变号,故应用积分中值定理可得],[,)()()!22(1)(21)22(b a dx x fn f R ban n ∈+=⎰++ηωη上述定理说明,与牛顿—科兹公式进行比较,高斯公式不但具有高精度,而且它还是数值稳定的,但是节点和求积系数的计算比较麻烦。
第四节 高斯公式
1
－1
p( x) ( x)dx Ak p( xk ) ( xk ) 0
k 1
n
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
注释：利用正交的线性性质。把 P( x)
i a x i 用 i 0
n 1
P( x) xk , k 0,1,
定理* 节点 xk (k 1, 2,
1
, n 1
进行表示，于是有
, n) 是高斯点的充分必要条件是多
项式 x j 与一切次数 n 1 的多项式 ( x) 正交，即成立
－1
x j ( x)dx 0, j 0,1,
, n 1
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
求解上述非线性方程有：
1 x2 x1 3 A 1 A 2 1
二点高斯公式的具体形式为
1
－1
1 1 f x dx f ( ) f ( ) 3 3
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
4、任意区间上二点高斯公式
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
一、高精度的求积公式
1、高斯公式（Gauss）的定义
设 ห้องสมุดไป่ตู้ 1, b 1 ，有求积公式
1
1
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 1
n
(30)
高斯公式（Gauss）的定义：对于插值型求积公式（30），
适当地选取求积节点 xk (k 1, 2,
三点高斯公式为
1
高斯求积公式
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点，相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ， ， 记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为
高斯(Gauss)求积公式
数值分析
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式 ）
为正交多项式序列， 设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 为正交多项式序列 具有如下性质： 具有如下性质： 1）对每一个 ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… ）对每一个n 是 次多项式。 2） 正交性 b ρ( x)P ( x)P ( x)dx = 0,(i ≠ j) ） 正交性) (正交性
∫
1
1
f ( x)dx ≈ f (0.5773502692) + f (0.5773502692)
n=2
∫
1
1
f ( x)dx ≈ 0.555555556 f (0.7745966692)
+0.888888889 f (0) + 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
数值分析
例: 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积 公式计算积分∫ x + 1.5dx 1 解:由三点高斯-勒让德求积公式有
1
∫
1
1
x + 1.5dx
≈ 0.555556( 0.725403 + 2.274596) + 0.888889 1.5 = 2.399709 由三点辛卜生求积公式有 1 1 ∫1 x + 1.5dx ≈ 3 ( 0.5 + 4 1.5 + 2.5) = 2.395742
b k=0 k=0
b b
n
n
由性质3） 由性质 ）及(4)式，有 式
ρ( x) f ( x)dx = ∫a ρ( x)q( x)P +1( x)dx + ∫a ρ( x)r( x)dx n a
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
黑龙江八一农垦大学
数值分析实验报告
实验项目三点Gauss公式
专业班级11级信息与计算科学
姓名
学号
黑龙江八一农垦大学文理学院数学系
学生实验守则
1、参加实验的学生必须按时到实验室上实验课，按指定的席位操作，不得迟到早退。
迟到10分钟，禁止实验。
2、遵守实验室的一切规章制度，不喧哗，不吸烟，保持室内安静、整洁。
3、学生实验前要认真预习实验内容，接受指导教师的提问和检查。
4、严格遵守操作规程。
5、应认真记录原始数据，填写实验报告，及时送交实验报告。
6、不准动用与本实验无关的仪器设备和室内的其它设施。
7、实验中发生事故时，要保持镇静，并立即采取抢救措施，及时向指导教师报告。
8、损坏实验设备应主动向指导教师报告，由指导教师根据情况进行处理，需要赔偿的应写出书面报告，填写赔偿单。
9、实验结束，将实验结果交实验教师检查，合格后，经指导教师同意后，方可离开实验室。
10、实验完毕后，应按时写出实验报告，及时交指导教师审阅，不交者，该实验无成绩。
数学分析实验报告。