从“具象”到“抽象”：数学知识的自然生长
从具体到抽象是数学发展的一条重要大道
从具体到抽象是数学发展的一条重要大道数学是一门研究数量、结构、变化和空间等概念的学科，它在人类社会的发展中起到了非常重要的作用。
数学的发展是一个源远流长的过程，伴随着数学家们的不断探索和创新。
其中，从具体到抽象是数学发展的一条重要大道。
数学的具体一方面指的是数学研究的对象或问题的具体性质，另一方面指的是解题思路或方法的具体应用。
在具体性质方面，最早的数学以解决实际问题为主要目的。
例如，古埃及人利用几何学来测量土地并进行建造，古代文明中的商人使用算术来计算财务。
在具体应用方面，数学的思想和方法被广泛应用于各个领域。
例如，物理学家使用数学模型来解释和预测自然现象，经济学家使用数学模型来分析市场和经济行为。
然而，随着数学研究的深入和数学问题的复杂性增加，数学家们开始发现只关注具体问题有时候并不能提供普遍有效的解决方法。
因此，他们开始关注问题背后的共同特征和普遍规律，从而引出了具体到抽象的转变。
具体到抽象的转变意味着从研究具体问题到研究一般性问题，从研究具体应用到研究一般方法。
这种转变使得数学的应用范围更加广泛，数学的成果也更加普遍适用。
具体到抽象的转变需要数学家们运用归纳与演绎的逻辑，从大量具体实例中总结出一般性的结论，并借助逻辑推理和证明方法加以验证。
在数学的发展过程中，这种转变体现为数学分支的建立和理论体系的构建。
数学分支是根据研究内容和方法的不同而形成的不同领域，如代数、几何、概率论等。
每个数学分支都以一定的概念、公理和定理为基础，形成了一套独特的数学理论体系。
具体到抽象的转变在数学史上有很多重要的例子。
其中一个著名的例子是几何学的发展。
古希腊时期的几何学主要是通过解决具体的几何问题而发展起来的，如三角形的面积计算、圆的测量等。
然而，随着希腊数学家欧几里德的《几何原本》的出版，几何学转向了从抽象公理出发推演出一系列定理和方法。
欧几里德的《几何原本》奠定了几何学的基本原则，成为了几何学的经典著作。
从“具象”到“抽象”：数学知识的自然生长
从“具象”到“抽象”：数学知识的自然生长作者：邢红梅来源：《数学教学通讯·小学版》2017年第01期摘要：儿童对数学知识的表征方式是多元的，数学教学要引导儿童在“具象思维”与“抽象思维”之间流转互演。
教学中，教师要累积儿童的数学知识表象，让儿童对数学知识进行动态想象，引领儿童返回知识的诞生处、源头处。
由此，让儿童思维在直观中“显影”、在运动中“定格”、在物化中“成像”。
关键词：数学知识；具象思维；抽象思维；教学著名的认知心理学家布鲁纳认为，儿童的思维表征要经历三个阶段：即动作表征阶段、映像表征阶段和符号表征阶段。
认知发生论倡导者皮亚杰也认为，儿童的思维有着从直观动作到具体形象再到抽象思维的发展特性。
在儿童数学教学中，教师要充分运用儿童的思维特质，引导儿童从“直观动作”“具体形象”等“具象思维”过渡到概念化、符号化、形式化的“抽象思维”。
所谓“具象思维”，即指儿童借助具体的材料、因素等展开的思维。
《现代汉语词典》（商务印书馆第6版）对于“具象”的概念是这样诠释的：具体的、不抽象的、具体的形象。
“具象思维”具有“具象性”“创造性”“完整性”的特质。
从“具象”到“抽象”，让儿童的思维自然地生发、生长、生成，是儿童数学教学的必由之路。
一、累积表象，让儿童思维在直观中“显影”儿童的数学学习需要表象的支撑，没有表象，儿童的数学学习就是“无源之水”“无本之木”。
依靠表象，儿童可以在头脑中进行认知加工，展开探索性、创造性的数学思维。
累积表象，能够让儿童的思维在直观中“显影”。
例如教学《圆的认识》，尽管面对的是高年级的学生，但笔者依然重视孩子们表象的积累。
运用多媒体课件向学生展示了各种圆形的物体，并让学生用圆形物体和圆规在硬纸板上画了大小不同的圆，且将它们剪了下来。
由于有了表象的支撑，学生很快地认识了圆的半径、直径、周长、面积等概念。
在学生“认识圆的各部分名称”“探究圆的特征”之后，笔者用一根细线，一头悬挂着重物旋转，形成了一个“轨迹圆”，学生对圆的认识开始由肤浅走向深刻：原来“圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹的集合”。
剖析数学抽象性的分类、内涵及教育价值
剖析数学抽象性的分类、内涵及教育价值摘要：关键词：抽象性是数学的基本特点和思想之一，诸多数学理论研究都是围绕着抽象性而展开，我们在进行小学数学知识教育的时候，在传授学生知识和方法的同时，也要教会学生基本的从具体到抽象的概括分析能力，让学生知其然亦知其所以然。
本文接下来将通过分析数学抽象性在数学学习中的内涵及教育价值。
数学源自古希腊语，实质是一门研究数量结构变化及空间模型等概念原理的一门科学，数学通过抽象分析和逻辑推理，从客观的物理世界产生。
其本质就是从客观世界获得抽象的理论，再通过变换和推广，形成任何数学活动，打个比方说，抽象就是灵魂，变换和推广为血肉。
数学本质就是抽象、变换、推广生成的群。
而我们在数学教学过程中，也应当紧紧围绕着“灵魂”展开。
抽象性是数学的基本特点和思想之一，诸多数学理论研究都是围绕着抽象性而展开，我们在进行小学数学知识教育的时候，在传授学生知识和方法的同时，也要教会学生基本的从具体到抽象的概括分析能力，让学生知其然亦知其所以然。
本文接下来将通过分析数学抽象性在数学学习中的内涵及教育价值。
一、数学抽象性的分类和内涵一切的数学活动，从本质上都可以归为抽象，从概念到方法，从一个大的数学体系到小的数学问题的解决，都需要用到数学抽象，而古希腊数学家毕达哥拉斯把“数”看成万物的本质，英国哲学家怀特海说:数学是从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行的研究。
1、数学抽象的分类。
数学抽象依据对象的特点可以分为表征、原理、建构三大类，表征抽象基于人眼观察所见，例如图形形状、对称旋转等皆为表征抽象。
而对事物内在规律、因果进行剖析的抽象，称为原理型抽象。
类似于勾股定理，三角形内角和180度等。
而最终在表征和原理的抽象基础上，进行数学活动的概念定义就又称为建构型抽象。
像定义自然数的概念也是如此。
同时，数学抽象性也可以在抽象的过程中分为弱抽象、强抽象等类，这里笔者不予深究。
由此也可以看出数学抽象不仅种类繁多，也可以根据不同层次和途径给出不同划分，而正确理解数学抽象的分类也有利于我们更好的理解和运用数学抽象在教学中的运用。
几何直观,让数学思维自然生长
几何直观，让数学思维自然生长
几何是数学中最基础的分支之一，也是人类最早研究的数学领域之一。
几何问题在我们周围无处不在，如何把几何概念与实际应用联系起来，让几何不再是一种抽象的概念，这是我们需要解决的问题。
几何学的基本概念包括点、线、面、角、距离等。
这些概念对于人们来说并不是很抽象，我们只需要观察周围的世界，就可以理解这些基本概念。
例如，我们可以将一根棍子想象成一条线，一张纸想象成一个平面等。
另一方面，几何也是数学中的一种思维方式，它强调的是形状、尺寸和空间的关系。
几何思维的发展需要通过大量的练习来达到。
常见的练习方式包括画图、拼图、剪纸等，这些练习不仅能够帮助人们理解几何概念，还能够培养人们的空间想象力、创造力和逻辑思维能力。
最后，几何学还为我们提供了更广阔的视野和更高的抽象思维能力。
从二维几何到三维几何再到更高维的几何，这些层次的扩展不仅帮助我们更好地理解和应用基本的几何概念，更可以让我们了解到世界的多样性和复杂性，从而激发我们探索对世界的认识。
无论是应用还是理论，几何学都对数学发展有着巨大的影响。
通过几何的学习，我们可以更好地发展数学思维，不仅从中获得乐趣，更能够从中获得智慧，让思维更加灵活、深邃、丰富。
夯实具象教学_形成数学抽象
2023年第18期教育教学SCIENCE FANS数学概念、性质、法则、符号等都是抽象的，对于以直观形象思维为主的小学生而言，正确理解与建构数学概念、法则等有一定的难度。
以人教版二年级上册第四单元“乘加、乘减”的教学为例，问题情境如下：先说图意（如图1），再写算式。
表示：（）个（）相加加法算式：（）乘法算式：（）图1变式求联：拿走第4个盘子中的一个桃子。
你会怎样解决？哪几个算式的想法是一样的？为 什么？小结明理：在求“比几个几多几”“比几个几少几”的问题时，一般是先算乘法，再算加减。
趣味练习：说说运算顺序并计算。
①5×3+2= ；②3×4-2= ；③5×5-5= ；④2+3×4= 。
拓展延伸：想一想、画一画1+4×2和2×5-2。
以上教学经历了“变式联结引新—本质意义理解—趣味拓展巩固”三个主要环节，结构清晰且重点明确。
趣味练习中前三个小题学生的正确率都在95%以上，但第4小题却只有60%的正确率，差异较大。
从教师的解释“把算式中乘法3×4等价转化成4＋4＋4”来看，不难发现这样的介入解释对于学生而言还是比较抽象的。
那么用抽象解释抽象的问题如何解决？笔者将立足学生的具象思维开展具象教学。
何为具象教学？数学具象教学根据教学内容的不同、学习年段的差异，具体的形式和操作实施也有所不同。
在具象教学中，教师应选择与教学目标一致且学生能操作、可探究的活动[1]。
1 具象教学素材的特征心理学家梅耶认为，意义学习重在帮助学生感悟、感知，在“悟”中学。
在意义学习过程中，具象起着关键性作用。
所以具象教学情境的选择必须契合小学生的心理特点和认知结构，同时必须与内容相匹配，并能够很好地体现从具体到抽象的 过程。
1.1 相似背景具象教学着眼于现实的客观世界，与数学目标具有类似的模型或者结构，承载的内容深度契合学生的认知结构。
教师可以通过逐步呈现具象故事，启发学生思考，发现数学具象故事与学习内容之间的联系，借助相似的客观现象来帮助学生理解与建构新知。
培养小学生数学思维从看得见的到抽象的
培养小学生数学思维从看得见的到抽象的数学是一门既具体又抽象的学科，对于小学生来说，培养其数学思维能力是非常重要的。
在课堂教学中，教师应该从看得见的具体事物出发，引导学生逐渐理解和掌握抽象的数学概念和思维方式。
首先，培养小学生数学思维从看得见的开始。
孩子们天生对于周围的事物充满了好奇心，他们很容易通过观察和实验来认识世界。
在数学教学中，教师可以借助教具、实物和生活中的例子来引导学生认识数学概念。
例如，在教授加减法时，可以使用计数器、小球等教具让学生亲自操作，通过实际的数物运动来理解数字之间的相互关系。
这样不仅能够激发学生的学习兴趣，还能够加深他们对于数学概念的理解度。
其次，教师应该逐步引导学生从具体到抽象进行思考。
从初级阶段开始，教师可以通过直观的图形和实例，向学生展示数学规律和特点。
例如，在教授几何形状时，可以让学生观察日常生活中的各种平面图形，如圆形、三角形等，并让学生发现它们之间的共同特点和区别。
逐步引导学生从具体形状中抽象出几何概念，并通过让学生画图、制作模型等方式，让他们运用数学概念进行解决问题。
通过这样的过程，学生可以逐渐理解和运用抽象的数学思维方式，深化对数学的认识。
此外，教师还应该提供多样化的学习资源和活动，培养学生的数学思维。
在课堂上，可以组织学生进行小组合作学习，让他们共同解决数学问题，提高他们思辨和解决问题的能力。
同时，还可以鼓励学生参与数学竞赛、游戏和数学探究活动，激发学生的竞争意识和求知欲。
通过参与这些活动，小学生可以在实践中运用数学知识，培养他们思考问题的能力。
最后，教师应该给予学生足够的时间和空间，让他们自主探索数学世界。
数学思维的培养需要长期的积累和实践，不能仅仅依赖于课堂教学。
因此，教师可以鼓励学生进行数学探究和独立思考，提供适当的指导和帮助。
同时，还可以通过布置数学作业和开展课外数学活动等方式，拓宽学生的数学思维领域，提高他们的数学能力。
总之，培养小学生数学思维从看得见的开始，以具体事物为基础，逐步引导他们理解和掌握抽象的数学概念和思维方式。
数学(心得)之从生活实际中抽象出数学知识
数学论文之从生活实际中抽象出数学知识数学研究的是客观世界的数量关系和空间形式，它来源于客观世界的实际事物。
在小学数学教学中，从生活实际出发，把教材内容与“数学现实”有机结合起来，符合小学生的认知特点，可以消除学生对数学知识的陌生感，同时也使他们受到辩证唯物主义的启蒙教育。
1.从实际问题中抽象出数学概念、计算法则小学数学中的许多概念都可以在现实生活中找到相应的实例。
例如：在常见的数量关系“工作时间工作效率=工作总量”中的“工作效率”，学生不易理解。
为此，我在教学前，在班里举行了一次缝纽扣比赛。
教学新课时，联系缝纽扣的活动，学生就容易理解工作效率，就是指单位时间内所作的工作量。
又如，“小括号”的教学可以这样进行：先出示“8+6 5”与“6 5+8”两道算式，让学生复习运算顺序。
然后出示应用题：工人老师傅上午工作3小时，下午工作4小时，每小时做12个零件，他一天共做几个零件？（要求列综合算式）学生列式计算如下：12 3+4=12 7=84（个），教师设疑：先做加法，再做乘法，好像不对吧？揭示新旧知识之间的矛盾，在学生束手无策时，适时引出小括号。
这样，通过问题的设计，矛盾的解决，使学生了解引进括号的原因和用途，懂得了先算括号里的数的道理。
2.从贴近学生实际水平的现实出发，一步步地引出概念例如，“面积单位”可以这样教学：先出示大小差别比较明显的两个三角形，让学生比较它们面积的大小，得出：面积的大小可以用眼睛看出来；再出示两个等宽不等长、面积差不多的长方形让学生比较大小，得出：面积的大小可以用重叠的方法比较出来；然后出示不等长也不等宽、面积差不多的一个长方形和一个正方形让学生比较大小，学生深思后得出：可以画方格，再通过比较方格数的多少来比较面积的大小；最后出示两个方格数相等，但面积明显不等的图形，引导学生讨论，方格数相等为什么面积不相等？从这个现实问题中得出，方格的大小必须有统一的标准。
这时引出“面积单位”，已是“水到渠成”了。
从具象到抽象：赋予儿童思维自然生长的力量
数学教学通讯投稿由 P箱:sxjxtxx@>教材教法研究从具象到抽象：赋予儿童思维自然生长的力量张明华江苏省扬州市江都区大桥中心小学225211摘要:具象思维是学生独特的思维方式。
在数学教学中，教师要充分运用学生的具象思维，包括实物具象、替 代物具象、图形具象以及符号具象等。
借助于具象，能够将隐性的数学知识变成显性，将无形的数学思想变得有形，将抽象的数学知识变得直观，将复杂的数量关系变得简单。
从具象到抽象，能够赋予儿童思维自然生长的力量。
关键词:具象思维;抽象思维；自然生长儿童数学思维是感性、具体的。
在 数学教学中，教师要充分运用具象材料，引导儿童在头脑中形成表象，逐步 抽象，进而形成儿童思维自然生长的力 量。
所谓“具象”，是指“具体的形象”(参 见《现代汉语词典》2015年第6版），所 谓“具象思维'是指借助具体的物象、具体的形象而展开的思维。
具象给了儿 童数学思维有力的支撑,能够让儿童的 数学思维软着陆。
襛_、借助“实物具象”，化隐性为显性所谓“实物具象”，是指借助实物材 料而进行的思维活动，这里的实物材料 包括一切实物形态的学具、教具和其他 用具。
由于实物具象具有可观可感的特 性，因此能够将问题中隐性的数学特征 彰显出来。
教学中，教师要巧妙地运用 实物教具、学具，或者进行直观演示，或 者引导学生主动操作、构建、运演、判 别，进而有效地夯实学生的思维根基。
实物具象是学生数学思维的重要媒介，它既不是表象，也不是言语符号，而是 一种感知本身。
教学中教师要引导学生 开发实物具象资源。
例如教学《三角形的面积》（苏教版小学数学教材第9册），学生对于“等底等髙”或者“同底等髙”的三角形面积相等难以理解。
为此，笔者让学生拿出钉子板学具，用橡皮筋围成了一个底是7,髙是4的三角形，学生计算出三角形面积为14。
在此基础上，笔者让学生拉着三角形的顶点不断向右移动1格、2格、3格……学生刚开始仍然动笔计算。
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从“具象”到“抽象”：数学知识的自然生长
作者：邢红梅
来源：《数学教学通讯·小学版》2017年第01期
摘要：儿童对数学知识的表征方式是多元的，数学教学要引导儿童在“具象思维”与“抽象思维”之间流转互演。
教学中，教师要累积儿童的数学知识表象，让儿童对数学知识进行动态想象，引领儿童返回知识的诞生处、源头处。
由此，让儿童思维在直观中“显影”、在运动中“定格”、在物化中“成像”。
关键词：数学知识；具象思维；抽象思维；教学
著名的认知心理学家布鲁纳认为，儿童的思维表征要经历三个阶段：即动作表征阶段、映像表征阶段和符号表征阶段。
认知发生论倡导者皮亚杰也认为，儿童的思维有着从直观动作到具体形象再到抽象思维的发展特性。
在儿童数学教学中，教师要充分运用儿童的思维特质，引导儿童从“直观动作”“具体形象”等“具象思维”过渡到概念化、符号化、形式化的“抽象思维”。
所谓“具象思维”，即指儿童借助具体的材料、因素等展开的思维。
《现代汉语词典》（商务印书馆第6版）对于“具象”的概念是这样诠释的：具体的、不抽象的、具体的形象。
“具象思维”具有“具象性”“创造性”“完整性”的特质。
从“具象”到“抽象”，让儿童的思维自然地生发、生长、生成，是儿童数学教学的必由之路。
一、累积表象，让儿童思维在直观中“显影”
儿童的数学学习需要表象的支撑，没有表象，儿童的数学学习就是“无源之水”“无本之木”。
依靠表象，儿童可以在头脑中进行认知加工，展开探索性、创造性的数学思维。
累积表象，能够让儿童的思维在直观中“显影”。
例如教学《圆的认识》，尽管面对的是高年级的学生，但笔者依然重视孩子们表象的积累。
运用多媒体课件向学生展示了各种圆形的物体，并让学生用圆形物体和圆规在硬纸板上画了大小不同的圆，且将它们剪了下来。
由于有了表象的支撑，学生很快地认识了圆的半径、直径、周长、面积等概念。
在学生“认识圆的各部分名
称”“探究圆的特征”之后，笔者用一根细线，一头悬挂着重物旋转，形成了一个“轨迹圆”，学生对圆的认识开始由肤浅走向深刻：原来“圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹的集合”。
这样，从具体的“圆形物体”到形象的“圆形”再到抽象的“点的轨迹集合”，虚实相生，直击“圆”的数学本质、概念内核，实现了学生的思维从“具象”到“抽象”的巧妙过渡。
“圆”的数学抽象的概念、定义等在这个过程中悄悄地生长起来了。
儿童的思维在直观中得到“显影”。
二、动态想象，让儿童思维在运动中“定格”
儿童的思维常常是静止的，因此，数学教学要培养儿童“动态想象”的能力。
数学知识是有阈限的，动态想象能够让儿童感受、体验到数学知识的阈限，能够让儿童理解数学知识间的相
互关联。
当然，动态想象是以儿童头脑中的表象积累为前提的。
概言之，动态想象的过程是儿童对自我头脑中已有表象的联结、加工与整合的过程。
例如，儿童能够将“平行四边形的表象”“三角形的表象”“梯形的表象”联结起来，形成动态想象。
即三角形就是梯形上底运动为“0”的一种特殊状态；平行四边形就是梯形上下底运动到相等的一种特殊状态；又如等腰三角形旋转能够产生正多边形，等腰三角形的顶角越小，旋转就越能产生近似于圆的正多边形，而圆就是等腰三角形顶角为0°的正多边形。
再如教学《长方体的认识》时，学生可以在相交于一条棱的两个面以及相交于一个顶点的三条棱的情况下动态想象长方体；教学《体积单位的进率》时，学生可以通过长度单位之间的进率，动态想象并推理出面积单位之间的进率、体积单位之间的进率；教学《长方体的体积》时，学生可以动态想象小正方体拼搭长方体的过程；教学《直柱体的体积》时，学生可以动态想象长方形叠加成长方体、圆形叠加成圆柱体等的过程等。
“动态想象”能够让儿童的思维在运动中“定格”，沟通数学知识之间的关联，编织数学知识网、结构图，让儿童对数学知识的理解由肤浅走向深刻。
三、返回形象，让抽象知识在物化中“成像”
著名数学教育家冯·诺依曼曾经这样说：“一门学科，当它离开经验的源泉越走越远时，或者更为糟糕的是，一门学科只是间接地接受来自现实思想的启发，那么它就面临着危机，它就会越来越成为纯粹的矫揉造作……它经过多次杂交后就有退化的危险。
”因此，在儿童数学教学中，教师有必要时时引领儿童返回儿童经验的、现实的源头处展开数学思考。
返回数学知识的具象处、形象处进行探究，让抽象的数学知识能够在物化中“成像”，恢复其应有的生命活力。
例如教学《长方形的周长》时，一般教师只是让学生在推导长方形的周长公式时，从儿童的经验如“边线”“一周”等生活概念出发，而在对“长方形的周长公式”进行精致化概括——“长方形的周长=（长+宽）×2”后，就很少回归到知识的诞生地、源头处。
由此导致儿童对数学公式的机械识记，在多次运用后仍出现各式各样的错误。
基于此，笔者在教学中从儿童的生活经验出发，在解决实际问题时仍然时时引领儿童回归到知识的源头处、回到儿童经验的源头处不断地汲取营养，实现儿童“抽象思维”与“具象思维”的流演化育、相互转化，这是儿童数学问题解决的最佳路径！
数学教学应当激发儿童的数学思维。
广义的数学思维既涵盖抽象思维，也包括儿童的直觉、形象等具象思维。
在数学学习过程中，儿童不仅仅应该熟练地掌握数学概念、判断与推理，更应该能够依据自我的具象思维形成自我的个性化、创新性数学理解。
数学教学只有突出事物具象、数学现象、直观形象，数学教学才能焕发出应有的生命活力！。