06 项目一 任务三 流体力学基本方程的应用(伯努利方程)
伯努利流体方程
伯努利流体方程
伯努利方程（Bernoulli's equation）是流体力学基本方程之一，常用于描述静止流体或运动流体在流经不同位置时，压力、速度、高度等物理量的变化关系。
伯努利方程最早由瑞士数学家和物理学家伯努利（Daniel Bernoulli）在1738年提出，被称
为伯努利定理，也称作伯努利方程或伯努利流体方程。
伯努利方程的数学形式为：
P + 1/2ρv^2 + ρgh = constant
其中，P表示流体的压力，ρ表示流体的密度，v表示流体的
速度，g表示重力加速度，h表示流体的高度，constant表示一个常数。
伯努利方程可以表达出一个流体在液体静压力、动能和势能三者之间的平衡状态。
在一个理想的流体中，如果流体穿过一段水管，那么在这段水管的任何位置，液体静压力、动能和势能总和相等。
应用伯努利方程，可以计算液体在不同位置的压力、速度和高度等物理量的变化。
伯努利方程可以应用在气体、液体等不同介质的流体力学问题中，如风力发电机、水压机等。
浅谈伯努利方程在流体力学中的应用
浅谈伯努利方程在流体力学中的应用作者：张丽来源：《教育教学论坛》2016年第28期摘要：伯努利方程是流体力学的重要理论基础，它为我们计算工程数据及解释日常生活中的一些现象，如管道总水头的计算、香蕉球的形成原理等，提供了重要的理论依据。
关键词：伯努利方程；流体力学；研究中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）28-0207-02作为力学的一个重要分支，流体力学以流体为主要研究对象，是研究流体平衡和运动规律的科学。
流体力学在许多工业科技中有着广泛的应用。
水利工程的建设、造船工业的迅速发展都离不开水静力学和水动力学的建立和研究，航空事业则离不开气体动力学的深入发展。
一、伯努利方程的推导伯努利方程只能应用于一条流线上的不同点，且必须是不可压缩理想流体在重力场中做定常流动。
二、伯努利方程的应用（一）当流体为液体时，伯努利方程的应用（二）当流体为气体时，伯努利方程的应用能量方程④的适用条件是：流动绝热但并不要求等熵，流动可以有摩擦。
即使通过强间断面，能量方程仍然使用。
伯努利方程⑤的适用条件是：无黏性，因而无机械能损失，流动过程有无热量的输入都不影响它的应用。
只有在等熵的流动中④和⑤才能相等[3]。
三、结语在生活中的很多方面都有伯努利方程的应用，工程中有很多这样的例子，如矿山通风机工况点确定[4]、都江堰修建等，都需要很多关于流体的计算来保证工程的安全，伯努利方程就在其中起了很大的作用。
参考文献：[1]孔珑.工程流体力学[M].第三版.中国电力出版社，2007.[2]刘仁隆.故事物理学[M].科学出版社，1980：52-58.[3]刘大有.伯努利方程应用中的若干问题[J].力学与实践，1991，（4）.[4]赵昌友.伯努利方程及应用[J].池州学院学报，2014，28（6）：。
流体力学伯努利方程公式
流体力学伯努利方程公式
流体力学伯努利方程是物理学中最基本且重要的方程之一。
它是关于流体运动的一组非线性方程，用于以数学方法描述流体运动，它被用于解决流动问题，如气体动力学、湍流流动和热流动。
伯努利方程由英国数学家兼流体力学家约翰·尼科（John von Neumann）在1946年初提出，它是一个具有三个未知量的非线性方程组，同时反映了运动的流体的动量、动能和动量守恒的特性。
伯努利方程的首要用途是计算几何体内流体的参数，它刻画了由于抗力矢量和动量耦合而引起的湍流运动流场。
伯努利方程指定了一个n维流体中特定目标位置上物体的物理参数，它具有一个参数向量，即，流速，流体密度，力学压力，温度和能量密度。
基本伯努利方程可以写成：
∇·（ρu）=0，
∇·u=0，
∇·P+ρ∂u/∂t=ρS，
其中ρ是流体的密度，u是流速，P是静压力，t是时间，S代表的是外力。
伯努利方程被广泛地应用于可解决多维流动，如水流、风流、温度场、抗静电场和对流传输等。
在主动低频技术中，伯努利方程还用于解决超声成像，超声测量和声学设计方面的应用。
它通常被用于数值分析，以解决流动问题的复杂性，并根据实验数据预测流体的行为。
因此，伯努利方程在现代物理学中扮演着一个重要的角色，它不仅可以帮助人们更好地理解流体的行为，还可以帮助我们更特别的设计有效的模拟和预测流体的行为。
伯努利方程
伯努利方程伯努利方程是描述理想流动的基本方程之一，它是在瑞士数学家伯努利(James Bernoulli)在1738年发表的一篇论文中提出的。
该方程对于理解流体力学以及飞行、水力、空气动力学等领域具有重要的应用。
伯努利方程是基于质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律推导而来的方程。
该方程表达式为：P + ½ρv² + ρgh = 常数其中，P为流体的压力，ρ为流体的密度，v为流体的速度，h为流体的高度，g为重力加速度。
伯努利方程是在假设部分没有粘性损失的情况下成立的，也就是无黏性流动。
在实际的情况下，流体会存在一定的粘性损失，因此伯努利方程只适用于无粘流体，但在低速流动下，伯努利方程可近似地应用于粘性流体。
对于伯努利方程，我们可以从以下角度来解释其中的每个项：① P：压力项，它表示了流体在流动过程中所受到的压力。
当流体速度增加时，压力往往会降低，例如在突缩管中，当管道的截面积变小时，流体的速度会增加，而压力会降低。
②½ρv²：动能项，它表示了流体的动能。
在流体的流动过程中，当速度增加时，动能也会增加，例如在水力发电站中，当水流的速度增加时，水的动能也会增加，从而推动水轮发电。
③ρgh：势能项，它表示了流体的势能。
当流体在重力作用下流动时，流体会从高处向低处移动，势能也随之降低。
例如当我们用pump把水从低处抽到高处时，水的势能就会增加。
由于伯努利方程中的常数在同一条流线上保持不变，因此可以利用伯努利方程来分析流体在不同位置的流速、压力和高度之间的关系。
这在飞行、水利及空气动力学等领域的设计和应用中具有重要的作用。
伯努利方程的应用十分广泛。
例如在空气动力学领域中，伯努利方程被用来解释飞机起飞、飞行、着陆过程中的颤振等现象。
在水利工程领域中，伯努利方程被用来计算水流在不同地方的速度、压力和高度等因素，对于设计水坝、水龙头、流量计等工程设施具有重要的作用。
总之，伯努利方程作为理解流体力学基本方程之一，不仅在理论研究中具有广泛的应用，也在实际的设计和应用中具有十分重要的意义。
流体力学 伯努力方程
测流速原理该点在水面下的深度为d故该处的压强pgdb点在管口之前流速v根据伯努利方程所以在实际应用时上式须修正为其中c为比多管的修正系数由实验来确定
三、伯努利方程应用举例 1.小孔泄流 在大容器的器壁上水深为 h 处，开一直径 为d 的小圆孔，不计任何阻力，求小孔的泄 流量。 由伯努力方程 p0 p0 v 2 0 h 0 g 2 g g 2 g
h1
B
C A
pC p0 gh1
h2
其中p0为大气压
11
（2）当虹吸管下端开启时， h1 下端和A处的压强仍为：
p下 端 p0 , pA p0
B
C A
h2
而vB vc v下端 , v A 0 . 所以 pB p0 g( h2 h1 ) , pC p0 gh2
（2）取1-2-4的一个流线，由伯努利方程
P1 1 2 1 1 v1 P2 v 2 P4 v2 2 4 2 2 2 P4 P0
1 2 2 P1 P0 v 4 v1 P0 100, P1 -P0 100Pa 2 1 2 2 P2 P0 v 4 v 2 P0 , 2 P3 =P0 P2 P0 0 P3 P0 0
Qv v1S1 v2 S2
2( 汞 ）g hS1 S 2
2 2
( S1 S 2 )
2 2
6
H
1 1 2 2 p1 v1 p2 v2 2 2
v1S1 v2 S2
v1 主管 细管 v2
p p1 p2 gh
•
Q v1S1 S1S2
例题2 在如图所示的虹吸管装置中，已 知 h1 和 h2 ，试问：（1）当截面均匀的虹吸管 下端被塞住时，A、B和C处的压强各为多大？ （2）当虹吸管下端开启时，A、B和C处的压 强又各为多大？ 这时水流出虹吸管的速率为 多大？
伯努利方程的应用(例题)
将以上各值代入（b）式，可求得输送碱 液所需的外加能量：
We
18.59.81
2.452 2
29.4 103 1100
30.8
242.0
j
/
kg
碱液的质量流量：
qm
4
d 2 2u2
0.785 0.072
2.451000
10.37kg
/
s
泵的有效功率：
Ne Weqm 24210.37 2510W 2.51kW
2019/7/29
Z3 1m，Z4 0.2m，
P4 0(表压），P3 ? 1000kg / m3
将已知数据代入柏努利方程式得：
g p3 1.96
P3 11770Pa(表压）
计算塔前管路，取河水表面为1-1’截面，喷头内侧为2-2’ 截面，在1-1’和2-2’截面间列柏努利方程。
截面2-2’处压强为 ：
P2 gh 10009.810.5 4905Pa(表压）
流经截面1-1’与2-2’的压强变化为：
P1 P2 (101330 3335) (10330 4905)
P1
(101330 3335)
0.079 7.9% 20%
u2
qV A
qV
d2
5
3600 0.0332
1.62m / s
4
4
由连续性方程 u1 A1 u2 A2 ∵A1>>A2,
因为u1<<u2, 所以：u1≈0
已知：We=0 ，
R 30J / kg
第3章2_流体动力学基础-伯努利方程的应用(1)
【例3-7】图示为一抽水装置，利用喷射水流在吼道断面 上造成的负压，可将M容器中的积水抽出。已知：H、b、 h。试分析：吼道有效断面面积A1与喷嘴出口断面面积A2 之间应满足什么样的条件能使抽水装置开始工作(不计能 量损失)？
32
【解】 以1-1为基准面，列0-0、1-1断面的能量方程：
uA 2 g
pA p0
uA c 2 g
校正系数c由实验 确定，一般约为 0.95-1.0
pA p0
21
双孔测速管
皮托-普朗特管 把测压管和测速管结 合在一起制成的，原 理与单孔测速管相同。 经过试验，如果按图 示尺寸制造，其校正 系数c=1，使用方便。
22
【例3-5】水从立管下端泄出，立管直径为d＝50mm， 射流冲击一水平放置的半径R＝150mm的圆盘，若水层 离开盘边的厚度δ＝1mm，求流量Q及汞比压计的读数 Δh (不计水头损失) 。
11
2、节流式流量计
工业上常用的节流式流量计主要有三种类型，即孔板、喷嘴和 圆锥式（又叫文丘里管）。 节流式流量计 特点：装置中断面逐渐 收缩
12
基本原理： 当管路中液体流经节流装置时，液流断面收缩，在收缩断面处 流速增加，压强降低，使节流装置前后产生压差。在选择一定 的节流装置的情况下，液体流量越大，节流装置前后压差也越 大，因而可以通过测量压差来计算流量大小。
p1
p真
0.2 13.6 2.72m水柱
出水口通大气，水池液面通大气，p2=p0=0。 对断面1-1、2-2列能量方程：
p1
V12 p2 V22 H2 2g 2g
A d 50 V22 V12 1 V12 1 V12 0.198V12 A2 d 2 75
伯努利方程及其应用
1.2 伯努利方程的应用
• 设理想流体在管内作稳定流动，在水平粗、细管
等高点处的截面积、压强、流速分别为 SA、PA、vA
和 SB、PB、vB，竖直毛细管内液面高度差为 h。将 流量计水平连接到被测管路中，应用伯努利方程
得
PA
1 2
2 A
PB
1 2
B2
再根据连续性方程 SAA SBB Q
可得A 点的流速
1
'
，S2 流 ,S 2 ' 处的
截面积、压强、流速、高度等都保持不变。
流体元 S1S2在流动过程 中，受两端的大气压力 和重力作用，在 ∆t时 间段内, 相当于流体元
S根1 S据1'连流续动性到原S理2 S，2 ' 处两，个
流体元 的质量相等，
设为 m 。
1.1 伯努利方程
• 大气压力P1S1 做正功，P2S2 做负功，总功为
两截面的流速和截面SA 的压强（忽略水的可压缩性 和黏性）。
• 解：根据连续性方程 SAA SBB Q
•得
A
Q SA
0.12 100 104
12(m / s)
B
Q SB
0.12 60 104
20(m / s)
1.1 伯努利方程
• 因为在水平管中流动，h1=h2 ，再根据理想流体的伯 努利方程可知
大学物理
伯努利方程及其应用
1.1 伯努利方程 1.2 伯努利方程的应用
1.1 伯努利方程
• 博学的荷兰科学家丹尼尔•伯努利在研究流体运动 时，提出了理想流体作稳定流动时遵循的基本方 程——
• 伯努利方程。
• 下面我们从 • 功能原理的 • 角度进行推导。
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项目名称
项目一 任务三 流体力学基本方程的应用（伯努利方程）
授课周次、时
间、次序
第一周 月 日星期 第 节（总第 次课）
本次授课
类型
☑理论 □实验 □实训 □理实一体 □
本次授课
场地
□一般教室 □多媒体教室 ☑实训室 □室外 □
教学方法 视频演示法、讨论法、双向交流、分组操作
教学目标
知识目标
1、熟知伯努利方程的两种形式及式中各部分的含义；
技能目标
1、会应用伯努利方程解决实际问题，进行简单计算；
教学重点、
难点及
解决方法
重点：
1.伯努利方程
难点：
1.实际应用、计算
解决方法：
视频演示、双向交流、分组操作、总结讲评
教学
活动
组织
实施
本单元教学内容及设计
教学手段及
时间分配
教学内容简要回顾、教学任务导入(或案例解析)：
通过找学生上黑板默写公式的形式，对上节课所讲内容：流
体力学基本方程、连续性方程进行回顾，并用一句谚语“人往高
处走，水往低处流”导入课程内容。
教学过程(含教学内容、师生互动、教学重点解决、难点突破)：
一、组织教学，整顿课堂秩序，点名
二、微思课
观看视频《大国工匠》记录片
2
三、导入新课
同学们，上节课我们学习了流体密度、压强、流量和流速、
黏度的表达方式，还掌握流体静力学基本方程和连续性方程的应
用，对流体在静止及运动过程中的一些规律有所了解，这节课我
们讨论一下流体在流动的过程中涉及的能量交换。
四、新课内容
四、伯努利方程及应用
同学们都知道一句谚语：“人往高处走，水往低处流。”为什
么会产生这种现象呢？（引导学生开始讨论，回顾初中、高中物
理所学知识，得出结论） 同学们说的没错，因为能量转换，高处
的水因为具有重力势能，只要存在高度差，水的重力势能就会自
发的转化为水的动能，这就是我们平时最常见的现象“水往低处
流”的原因啦。那么今天我们所讲的流体也具有这样的性质，我
们一起讨论一下，流动的流体都具有哪些能量？各能量之间又发
生了怎样的转换呢？
1.流动流体所具有的机械能
（1）位能
流体受到重力作用在不同高度处所具有的能量称为位能。（从
这个概念上，同学们就发现了就是我们所熟悉的重力势能，只是
我们给他换了名字）。
位能是一个相对值，计算位能时应先规定一个基准是平面。
质量为m kg的流体的位能为mgZ，其单位为J；
（2）动能
流体以一定速度流动所具有的能量，称为动能。
质量为m kg，速度为u m/s流体的动能为1/2mu2，其单位为
J。
（3）静压能
进入截面后的流体，因克服静压强而具有的能量称为静压能。
（概念上比较抽象，首先让学生明白什么是静压强，如何体现克
服静压强做功这一现象）
我们一起看看书中P25页下面这段话，理解以上两个问题。
质量为m kg流体的静压能为 ，其单位为J。
因此，m kg流体在某截面上的总机械能为：
1kg流体在某截面上的总机械能为：
mp
mpmumgz221
pugz221
3
2.伯努利方程式
（1）理想流体的伯努利方程式
首先构建分析模型，利用书中P26图1-27系统的两个截面处
的能量进行分析，当理想流体在某一密闭管路中作稳定流动时，
由能量守恒定律可知，进入管路系统的总能量应等于从管路系统
带出的总能量。忽略流动阻力和一切能量损失，得出：
①以单位质量流体为基准的理想流体的伯努利方程
②以单位重量流体为基准的理想流体的伯努利方程
上式等式两边同除g，
注意：两式所选基准不同，公式形式也不相同。
（2）实际流体的伯努利方程式
在流动过程中存在阻力，克服阻力需要消耗一部分机械能，
称为能量损失或阻力损失，用ΣW
f
表示，单位为J/kg。从流体输
送机械所获得的外加功，用We表示，单位为J/kg。
①以单位质量流体为基准的理想流体的伯努利方程
②以单位重量流体为基准的理想流体的伯努利方程
同学们注意，式中各项的称谓也有所变化，位压头、静压头、
动压头、有效压头、损失压头。
（3）伯努利方程式的讨论
当系统中流体静止时，伯努利方程变为
此式为流体静力学基本方程的另一种形式。
3.伯努利方程式应用
同学们，碰到实际问题，我们如何用伯努利方程式解决的？
22221
2
11
212
1pugzp
ugz
gugpzgugpz22
22222
11
1
fhgugpzHegugpz2222222111
feWpugzWpugz22221211
212
1
221
1
pgzp
gz
4
（1）作图
（2）截面的选取 确定衡算范围
（3）基准水平面的选取
（4）单位必须一致
下面我们一起看看书中P29例题1-9、1-10，具体按照以上步
骤，如何利用伯努利方程式解决实际问题的。
指导学生阅读题目，黑板上作图演示，根据题目找出已知量、
未知量，分析讨论，与伯努利方程式相对应，带入已知数值，得
出答案。
教学内容简要小结：今天学习的主要内容为伯努利方程及其应用，
针对理想流体、实际流体，选择基准不同（单位质量、单位重量），
一共有四种形式的伯努利方程式，请同学们下去之后仔细思考，
融汇贯通，另外我们还讲解了利用伯努利方程解决实际问题的步
骤和例题，希望大家再看一看，不明白的地方及时问。
作业布置
教学反思