流体力学第三章伯努利方程及动量方程
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流体力学标准化作业答案第三章
流体力学标准化作业（三）-—流体动力学本次作业知识点总结1.描述流体运动的两种方法 （1）拉格朗日法；（2）欧拉法. 2。
流体流动的加速度、质点导数流场的速度分布与空间坐标(,,)x y z 和时间t 有关，即(,,,)u u x y z t =流体质点的加速度等于速度对时间的变化率,即Du u u dx u dy u dza Dt t x dt y dt z dt ∂∂∂∂==+++∂∂∂∂投影式为x x x x x x y z y y y y y x y zz z z z z x y zu u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z ∂∂∂∂⎧=+++⎪∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪=+++⎨∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂=+++⎪∂∂∂∂⎩或 ()du u a u u dt t ∂==+⋅∇∂ 在欧拉法中质点的加速度du dt 由两部分组成， ut∂∂为固定空间点，由时间变化引起的加速度,称为当地加速度或时变加速度，由流场的不恒定性引起.()u u ⋅∇为同一时刻，由流场的空间位置变化引起的加速度,称为迁移加速度或位变加速度，由流场的不均匀性引起。
欧拉法描述流体运动，质点的物理量不论矢量还是标量,对时间的变化率称为该物理量的质点导数或随体导数。
例如不可压缩流体，密度的随体导数D D u t tρρρ∂=+⋅∇∂（） 3。
流体流动的分类(1）恒定流和非恒定流 （2)一维、二维和三维流动 （3）均匀流和非均匀流 4。
流体流动的基本概念 （1）流线和迹线流线微分方程x y zdx dy dz u u u ==迹线微分方程x y zdx dy dz dt u u u === （2）流管、流束与总流(3）过流断面、流量及断面平均流速体积流量 3(/)A Q udAm s =⎰ 质量流量 (/)mAQ udAkg s ρ=⎰断面平均流速 AudA Qv AA==⎰(4）渐变流与急变流 5。
流体力学伯努利方程公式
流体力学伯努利方程公式
流体力学伯努利方程是物理学中最基本且重要的方程之一。
它是关于流体运动的一组非线性方程，用于以数学方法描述流体运动，它被用于解决流动问题，如气体动力学、湍流流动和热流动。
伯努利方程由英国数学家兼流体力学家约翰·尼科（John von Neumann）在1946年初提出，它是一个具有三个未知量的非线性方程组，同时反映了运动的流体的动量、动能和动量守恒的特性。
伯努利方程的首要用途是计算几何体内流体的参数，它刻画了由于抗力矢量和动量耦合而引起的湍流运动流场。
伯努利方程指定了一个n维流体中特定目标位置上物体的物理参数，它具有一个参数向量，即，流速，流体密度，力学压力，温度和能量密度。
基本伯努利方程可以写成：
∇·（ρu）=0，
∇·u=0，
∇·P+ρ∂u/∂t=ρS，
其中ρ是流体的密度，u是流速，P是静压力，t是时间，S代表的是外力。
伯努利方程被广泛地应用于可解决多维流动，如水流、风流、温度场、抗静电场和对流传输等。
在主动低频技术中，伯努利方程还用于解决超声成像，超声测量和声学设计方面的应用。
它通常被用于数值分析，以解决流动问题的复杂性，并根据实验数据预测流体的行为。
因此，伯努利方程在现代物理学中扮演着一个重要的角色，它不仅可以帮助人们更好地理解流体的行为，还可以帮助我们更特别的设计有效的模拟和预测流体的行为。
《工程流体力学》第三章 流体运动研究方法及一维定常流基本方程
截面1-1和2-2：垂直于流动方向，为什么? 侧面1-2：平行于流动方向，为什么？
控制体：1-1-2-2，用I+III表示 在空间上：固定的
t时体系：1-1-2-2，t时刻占据控制体I+III的流体
t+dt时体系：1’-1’-2’-2’ dt时间后： t时体系沿流线运动到III+II
由质量守恒定律： t时体系内质量＝t+dt时体系内质量
定常流：空间中任一点参数随不随时间变化？ 不随
物理意义？
A1, r1, V1 —— 控制面1-1上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
A2, r2, V2 —— 控制面2-2上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
一维定常流连续方程：在一维定常流中，通过同一流管任 意截面上的流体质量流量、重量流量保持不变。
例1：已知平面非定常流中的流速分量为：ux=x+t, uy= -y+t, 求：流线方程和迹线方程。 解：流线微分方程：
其中t为常数 积分后：
最后得：
迹线微分方程：
其中t为变量
结论：非定常流中迹线与流线不同
—— 迹线方程 ——流线方程
例2：已知平面定常流中的流速分量为：ux=x, uy= -y, 求：流线方程和迹线方程。 解：由流线微分方程：
体系动量对时间变化率：
控制体 = t时体系 环境对控制体内流体作用力 = 环境对t时体系内流体作用力
牛顿第二定律： 某瞬时作用在体系上全部外力合力 =该瞬时体系动量对时间的变化率
分量形式：
作用在控制体内流体上的外力： 1)表面力：控制体外流体或固体壁面作用在控制面上力
作用在进口截面上切向力：0 作用在出口截面上切向力：0
控制体：1-1-2-2，用I+III表示 在空间上：固定的
t时体系：1-1-2-2，t时刻占据控制体I+III的流体
t+dt时体系：1’-1’-2’-2’ dt时间后： t时体系沿流线运动到III+II
由质量守恒定律： t时体系内质量＝t+dt时体系内质量
定常流：空间中任一点参数随不随时间变化？ 不随
物理意义？
A1, r1, V1 —— 控制面1-1上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
A2, r2, V2 —— 控制面2-2上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
一维定常流连续方程：在一维定常流中，通过同一流管任 意截面上的流体质量流量、重量流量保持不变。
例1：已知平面非定常流中的流速分量为：ux=x+t, uy= -y+t, 求：流线方程和迹线方程。 解：流线微分方程：
其中t为常数 积分后：
最后得：
迹线微分方程：
其中t为变量
结论：非定常流中迹线与流线不同
—— 迹线方程 ——流线方程
例2：已知平面定常流中的流速分量为：ux=x, uy= -y, 求：流线方程和迹线方程。 解：由流线微分方程：
体系动量对时间变化率：
控制体 = t时体系 环境对控制体内流体作用力 = 环境对t时体系内流体作用力
牛顿第二定律： 某瞬时作用在体系上全部外力合力 =该瞬时体系动量对时间的变化率
分量形式：
作用在控制体内流体上的外力： 1)表面力：控制体外流体或固体壁面作用在控制面上力
作用在进口截面上切向力：0 作用在出口截面上切向力：0
流体力学_第三章_伯努利方程及动量方程
4根线具有能量 意义： 总水头线 测压管水头线 水流轴线 基准面线
23
第三节 恒定总流的伯努利方程
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与
管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流及其性质
渐变流
(u )u 0
渐变流的过流断面近于平 面，面上各点的速度方向 近于平行。 渐变流过流断面上的动压 强与静压强的分布规律相 同，即：
p z c g
1
第三节 恒定总流的伯努利方程
大小的变化 流速的变化 方向的变化
出现直线惯性力 压强沿流向变化
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldA cos p2 dA l cos Z1 Z 2 p1 (Z1 Z 2 ) p2
Z1 p1 Z2 p2
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1 p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
40
2
,
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
( a )( z2 z1 ) ( a )( z2 z1 ) ( a )
单位体积气体所受有效浮力
v1 2 gh d1 1 d 2
4
4
2 1
2 1
30
第三节 恒定总流的伯努利方程
Q v1
4
d
2 1
4
d
2 1
2 gh d1 d 1 2
23
第三节 恒定总流的伯努利方程
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与
管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流及其性质
渐变流
(u )u 0
渐变流的过流断面近于平 面，面上各点的速度方向 近于平行。 渐变流过流断面上的动压 强与静压强的分布规律相 同，即：
p z c g
1
第三节 恒定总流的伯努利方程
大小的变化 流速的变化 方向的变化
出现直线惯性力 压强沿流向变化
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldA cos p2 dA l cos Z1 Z 2 p1 (Z1 Z 2 ) p2
Z1 p1 Z2 p2
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1 p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
40
2
,
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
( a )( z2 z1 ) ( a )( z2 z1 ) ( a )
单位体积气体所受有效浮力
v1 2 gh d1 1 d 2
4
4
2 1
2 1
30
第三节 恒定总流的伯努利方程
Q v1
4
d
2 1
4
d
2 1
2 gh d1 d 1 2
流体力学第三章
ｖｘ ＝（ａ＋１）ｅｔ－１＝ｘ＋ｔ
ｖｙ ＝（ｂ＋１）ｅｔ－１＝ｙ＋ｔ
可进一步求得欧拉变数下的加速度为：
ａｘ ＝ｖｔｘ ＋ｖｘｖｘｘ ＋ｖｙｖｙｘ ＋ｖｚｖｚｘ ＝ｘ＋ｔ＋１
ａｙ ＝ｖｔｙ ＋ｖｘｖｘｙ ＋ｖｙｖｙｙ ＋ｖｚｖｚｙ ＝ｙ＋ｔ＋１
（４）有效断面、流量和平局流速等
流管
流管———在流场中作一条不与流线重合的任意封闭曲线，则通过此曲线上任一点的所有流线将 — 5—
如上图，一条迹线表示一个流体质点在一段时间内描述的路径。 特点：迹线上各点的切线方向表示的是同一流体质点在不同时刻的速度方向。 （２）流线 流线：流线是用来描述流场中各点流动方向的曲线，即矢量场的矢量线。在某一时刻该曲线上任 意处质点的速度矢量与此曲线相切。 注：矢量线———线上任一点的切线方向与该点的矢量方向重合，称为矢量线。
— 3—
２）二元流动：流体的运动参数只有两个坐标的函数。平面流动是二元流动。实际流体由于具有 黏性，故其流动至少是二元的，例如实际流体在圆管内的流动。由于水的黏性影响，靠近管壁的流速 低于中部的流速，即管道中的流速随管道的半径和流动方向的位移而变化，所以是二元流动。
３）三元流动：流体在空间流动一般说都是三元流动，运动参数是空间三坐标的函数。 考点四 流体运动学的基本概念和相关计算 （１）迹线 迹线：流体质点在不同时刻的运动轨迹。
构成一个管状曲面，这个管状曲面称为流管。
流束———充满在流管内部的流体。微小流束：断面无穷小的流束。 总流———管道内流动的流体的集合。 流管特点： ①流管表面不可能有流体穿过；②稳定流动时流管的形状和位置都不随时间变化，就像固体管道 的管壁；非稳定流动时，流管的形状及位置有可能随时间变化；③流管不可能在流场内部中断。 有效断面 有效断面———流束或总流上垂直于流线的断面。（有效断面可能是平面，也可能是曲面）
流体力学第3章(第二版)知识点总结经典例题讲解
dx u u( t ) dt
流体质点加速度：
dy v v(t ) dt
dz w w( t ) dt
d2x d2y d 2z ax 2 ， y 2 ， z 2 a a dt dt dt
x(t ) a t y( t ) b t z(t ) 0
y
迹线方程:
流线的性质
（1）流线彼此不能相交(除了源和汇)
交点
v1 v2
s1
（2）流线是一条光滑的曲线， 不可能出现折点(除了激波问题)
（3）定常流动时流线形状不变， 非定常流动时流线形状发生变化
s2
v1 v 折点 2
s
[例1] 由速度分布求质点轨迹
已知: 求： 解： 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为
(2)
由于在欧拉法中速度只和当地坐标以及时间有关,所以必须消 去初始座标,观察(1)式和(2)式可得:
u( x , y , z , t ) y v ( x , y , z , t ) x w( x, y, z, t ) 0
讨论：本例说明虽然给出的是流体质点在不同时刻经历的空间位置，即 运动轨迹,即可由此求出空间各点速度分布式（欧拉法），即各 空间点上速度分量随时间的变化规律。 此例中空间流场分布与时间无关,属于定常流场.
[例3] 由速度分布求加速度
已知: 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为 求各空间位置上流体质点的加速度 解： 对某时刻 t 位于坐标点上(x, y)的质点
dx xt dt dy v yt dt u
u xt v yt
(a )
求解一阶常微分方程（a）可得
x( t ) ae y( t ) be
流体力学 第三章
无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇到 的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流 流动分为三类：
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
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渐缩管 喉管 渐扩管
0 p1 v12 0 p2 v22
2g
2g
28
第三节 恒定总流的伯努利方程
p1 p2 v22 v12 h
2g 2g
连续性方程
v1
4
d12
v2
4
d
2 2
v2 v1
d1 d2
Z1
dQ
p1
Z1
dQ
p1
Z1
Q
9
第三节 恒定总流的伯努利方程
同理：
p2 Z2 dQ
p2
Z2
dQ
p2
Z2
dQ
p2
Z2
Q
10
第三节 恒定总流的伯努利方程
二、动能积分 u2 dQ u3 dA u3dA
Q 2g
A 2g
2g A
表单位时间通过断面的流体动 能
v
Q
udA
A
AA
u3dA u3dA
18
第三节 恒定总流的伯努利方程
19
第三节 恒定总流的伯努利方程
20
第三节 恒定总流的伯努利方程
总水头线和测压管水头线
总水头=位置水头+压强水2g
H1 H2 hw 或 H2 H1 hw
v2 H H p 2g
水力坡度: J dH dhw dl dl
p1 (Z1 Z2 ) p2
Z1
p1
Z2
p2
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1
p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
Z p c
5
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流：非严格均匀流，接近于均匀流 渐变流： 1）流线近似于平行直线。 2）惯性力忽略不计。 3）过流断面近似于平面。 4）过流断面上，压强分布可认为服从流体静力学规律。
p2
g
u22 2g
gdQ
Q
hw gdQ
A1
p1
Z1
u12 2g
dQ
A2
p2
Z2
u22 2g
dQ Q
hw dQ
分三种类型积分
8
第三节 恒定总流的伯努利方程
一、势能积分
p
Z
dQ
p
Z
dQ
表单位时间通过断面的流体势
能
渐变流过流断面上： Z p C
p1 Z1dQ
p1
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流及其性质
渐变流
(u)u 0
渐变流的过流断面近于平 面，面上各点的速度方向 近于平行。
渐变流过流断面上的动压 强与静压强的分布规律相 同，即：
z p c
g
1
第三节 恒定总流的伯努利方程
流速的变化 流速是向量
大小的变化 方向的变化
出现直线惯性力 压强沿流向变化
出现离心惯性力 压强沿断面变化
渐变流近似于均匀流
6
第三节 恒定总流的伯努利方程
元流的伯努利方程:
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw
1-1断面 2-2断面
渐变流段面
7
第三节 恒定总流的伯努利方程
两边同乘以ρgdQ= ρgu1dA1= ρgu2dA2 ，积分
Z1 A1
p1
g
u12 2g
gdQ
Z2 A2
总水头线 H
测压管水头线
2
0
20
24
第三节 恒定总流的伯努利方程
例：定性作水头线
总水头线
总水头线 测压管水头线
p
测压管水头线
p
25
第三节 恒定总流的伯努利方程
总水头线 测压管水头线
p
26
第三节 恒定总流的伯努利方程
p 总水头线 测压管水头线
27
第三节 恒定总流的伯努利方程
能量方程式的应用
文丘里流量计
v3dA
v3 A
——动能修正系数
11
第三节 恒定总流的伯努利方程
2g
u13dA
A1
2g
1v13dA
A1
1v12
2g
Q
2g
u23dA
A2
2g
2v23dA
A1 2
2v22
2g
Q
流速分布越不均匀, 之值越大。 流速分布均匀 1 实际工程计算， 常取 1
层流α=2 紊流α=1.05~1.1≈1
水头损失
沿程水头损失：沿管长均匀发生 的均匀流损失
局部水头损失：局部障碍引起的 急变流损失。
适用范围：
管道弯头、接头、闸 阀、水表
1、恒定流； 2、不可压缩流体； 3、质量力只有重力； 3、所取过流断面为渐变流断面； 4、两断面间无分流和汇流。
17
第三节 恒定总流的伯努利方程
断面上的压强 p 和 位置高度 z 必须去取同一点的值！！！
15
第三节 恒定总流的伯努利方程
z1, z2
选定的1、2渐变流断面上任一点相对于 选定基准面的高程。
p1, p2
v1, v2
1,2
hw
相应断面同一选定点的压强，同时用相对压强 或同时用绝对压强。 相应断面的平均流速
相应断面的动能修正系数
1、2两断面间的平均单位水头损失。
16
第三节 恒定总流的伯努利方程
12
第三节 恒定总流的伯努利方程
三、能量损失积分
hw dQ
Q
表单位时间通过断面的流体克服 1-2段阻力做功所损失的能量
hw dQ hw Q
hw
Q
平均单位重量流体的能量损失
13
第三节 恒定总流的伯努利方程
总结：
( z1
p1
1v12 )
2g
Q
(z2
p2
g
2v22
2g
)
Q hw
Q
——总流总能量方程
单位时间流入上游断面的能量，等于单位时间 流出下游断面的能量，加上流段所损失的能 量。
14
第三节 恒定总流的伯努利方程
( z1
p1
1v12
2g
)
Q
(z2
p2
g
2v22
2g
)
Q hw
Q
——总流总能量方程
单位重量流体的能 量方程
z1
p1
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hw
恒定总流能量方程式，恒定总流伯努利方程
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与 管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
H
0
0
v22 2g
hw
1
1
v2 2gH hw 4.43m / s
Q v2 A2 0.35m3 / s 作水头线
对于总流，流速的变化包括上述两部分
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
均匀流中，不存在惯性力，在均 匀流空间，是重力、压力和粘性 力的平衡。
粘性力对垂直于流速方向的过流 断面上的压强变化不起作用。过 流断面上仅仅考虑重力和压力的 平衡。
3
第三节 恒定总流的伯努利方程
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldAcos p2dA l cos Z1 Z2
21
第三节 恒定总流的伯努利方程
测压管水头:
v2 H p H 2g
测压管水头坡度:
Jp
dH p dl
测压管水头下降 时Jp为正
22
第三节 恒定总流的伯努利方程
沿程水头损失与局部水头损失画法不同
4根线具有能量 意义： 总水头线 测压管水头线 水流轴线 基准面线
23
第三节 恒定总流的伯努利方程
0 p1 v12 0 p2 v22
2g
2g
28
第三节 恒定总流的伯努利方程
p1 p2 v22 v12 h
2g 2g
连续性方程
v1
4
d12
v2
4
d
2 2
v2 v1
d1 d2
Z1
dQ
p1
Z1
dQ
p1
Z1
Q
9
第三节 恒定总流的伯努利方程
同理：
p2 Z2 dQ
p2
Z2
dQ
p2
Z2
dQ
p2
Z2
Q
10
第三节 恒定总流的伯努利方程
二、动能积分 u2 dQ u3 dA u3dA
Q 2g
A 2g
2g A
表单位时间通过断面的流体动 能
v
Q
udA
A
AA
u3dA u3dA
18
第三节 恒定总流的伯努利方程
19
第三节 恒定总流的伯努利方程
20
第三节 恒定总流的伯努利方程
总水头线和测压管水头线
总水头=位置水头+压强水2g
H1 H2 hw 或 H2 H1 hw
v2 H H p 2g
水力坡度: J dH dhw dl dl
p1 (Z1 Z2 ) p2
Z1
p1
Z2
p2
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1
p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
Z p c
5
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流：非严格均匀流，接近于均匀流 渐变流： 1）流线近似于平行直线。 2）惯性力忽略不计。 3）过流断面近似于平面。 4）过流断面上，压强分布可认为服从流体静力学规律。
p2
g
u22 2g
gdQ
Q
hw gdQ
A1
p1
Z1
u12 2g
dQ
A2
p2
Z2
u22 2g
dQ Q
hw dQ
分三种类型积分
8
第三节 恒定总流的伯努利方程
一、势能积分
p
Z
dQ
p
Z
dQ
表单位时间通过断面的流体势
能
渐变流过流断面上： Z p C
p1 Z1dQ
p1
第三节 恒定总流的伯努利方程
渐变流及其性质
渐变流
(u)u 0
渐变流的过流断面近于平 面，面上各点的速度方向 近于平行。
渐变流过流断面上的动压 强与静压强的分布规律相 同，即：
z p c
g
1
第三节 恒定总流的伯努利方程
流速的变化 流速是向量
大小的变化 方向的变化
出现直线惯性力 压强沿流向变化
出现离心惯性力 压强沿断面变化
渐变流近似于均匀流
6
第三节 恒定总流的伯努利方程
元流的伯努利方程:
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw
1-1断面 2-2断面
渐变流段面
7
第三节 恒定总流的伯努利方程
两边同乘以ρgdQ= ρgu1dA1= ρgu2dA2 ，积分
Z1 A1
p1
g
u12 2g
gdQ
Z2 A2
总水头线 H
测压管水头线
2
0
20
24
第三节 恒定总流的伯努利方程
例：定性作水头线
总水头线
总水头线 测压管水头线
p
测压管水头线
p
25
第三节 恒定总流的伯努利方程
总水头线 测压管水头线
p
26
第三节 恒定总流的伯努利方程
p 总水头线 测压管水头线
27
第三节 恒定总流的伯努利方程
能量方程式的应用
文丘里流量计
v3dA
v3 A
——动能修正系数
11
第三节 恒定总流的伯努利方程
2g
u13dA
A1
2g
1v13dA
A1
1v12
2g
Q
2g
u23dA
A2
2g
2v23dA
A1 2
2v22
2g
Q
流速分布越不均匀, 之值越大。 流速分布均匀 1 实际工程计算， 常取 1
层流α=2 紊流α=1.05~1.1≈1
水头损失
沿程水头损失：沿管长均匀发生 的均匀流损失
局部水头损失：局部障碍引起的 急变流损失。
适用范围：
管道弯头、接头、闸 阀、水表
1、恒定流； 2、不可压缩流体； 3、质量力只有重力； 3、所取过流断面为渐变流断面； 4、两断面间无分流和汇流。
17
第三节 恒定总流的伯努利方程
断面上的压强 p 和 位置高度 z 必须去取同一点的值！！！
15
第三节 恒定总流的伯努利方程
z1, z2
选定的1、2渐变流断面上任一点相对于 选定基准面的高程。
p1, p2
v1, v2
1,2
hw
相应断面同一选定点的压强，同时用相对压强 或同时用绝对压强。 相应断面的平均流速
相应断面的动能修正系数
1、2两断面间的平均单位水头损失。
16
第三节 恒定总流的伯努利方程
12
第三节 恒定总流的伯努利方程
三、能量损失积分
hw dQ
Q
表单位时间通过断面的流体克服 1-2段阻力做功所损失的能量
hw dQ hw Q
hw
Q
平均单位重量流体的能量损失
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第三节 恒定总流的伯努利方程
总结：
( z1
p1
1v12 )
2g
Q
(z2
p2
g
2v22
2g
)
Q hw
Q
——总流总能量方程
单位时间流入上游断面的能量，等于单位时间 流出下游断面的能量，加上流段所损失的能 量。
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第三节 恒定总流的伯努利方程
( z1
p1
1v12
2g
)
Q
(z2
p2
g
2v22
2g
)
Q hw
Q
——总流总能量方程
单位重量流体的能 量方程
z1
p1
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hw
恒定总流能量方程式，恒定总流伯努利方程
例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与 管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
H
0
0
v22 2g
hw
1
1
v2 2gH hw 4.43m / s
Q v2 A2 0.35m3 / s 作水头线
对于总流，流速的变化包括上述两部分
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第三节 恒定总流的伯努利方程
均匀流中，不存在惯性力，在均 匀流空间，是重力、压力和粘性 力的平衡。
粘性力对垂直于流速方向的过流 断面上的压强变化不起作用。过 流断面上仅仅考虑重力和压力的 平衡。
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第三节 恒定总流的伯努利方程
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldAcos p2dA l cos Z1 Z2
21
第三节 恒定总流的伯努利方程
测压管水头:
v2 H p H 2g
测压管水头坡度:
Jp
dH p dl
测压管水头下降 时Jp为正
22
第三节 恒定总流的伯努利方程
沿程水头损失与局部水头损失画法不同
4根线具有能量 意义： 总水头线 测压管水头线 水流轴线 基准面线
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第三节 恒定总流的伯努利方程