流体力学3-5动量方程.
流体力学第3章(第二版)知识点总结经典例题讲解
dx u u( t ) dt
流体质点加速度：
dy v v(t ) dt
dz w w( t ) dt
d2x d2y d 2z ax 2 ， y 2 ， z 2 a a dt dt dt
x(t ) a t y( t ) b t z(t ) 0
y
迹线方程:
流线的性质
（1）流线彼此不能相交(除了源和汇)
交点
v1 v2
s1
（2）流线是一条光滑的曲线， 不可能出现折点(除了激波问题)
（3）定常流动时流线形状不变， 非定常流动时流线形状发生变化
s2
v1 v 折点 2
s
[例1] 由速度分布求质点轨迹
已知: 求： 解： 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为
(2)
由于在欧拉法中速度只和当地坐标以及时间有关,所以必须消 去初始座标,观察(1)式和(2)式可得:
u( x , y , z , t ) y v ( x , y , z , t ) x w( x, y, z, t ) 0
讨论：本例说明虽然给出的是流体质点在不同时刻经历的空间位置，即 运动轨迹,即可由此求出空间各点速度分布式（欧拉法），即各 空间点上速度分量随时间的变化规律。 此例中空间流场分布与时间无关,属于定常流场.
[例3] 由速度分布求加速度
已知: 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为 求各空间位置上流体质点的加速度 解： 对某时刻 t 位于坐标点上(x, y)的质点
dx xt dt dy v yt dt u
u xt v yt
(a )
求解一阶常微分方程（a）可得
x( t ) ae y( t ) be
工程流体力学第三章
物理量
比起流体质点本身， 比起流体质点本身，工程上我们更关心某一 时刻流体质点上所携带的一些特征参量，比如： 时刻流体质点上所携带的一些特征参量，比如： 速度、压强、温度、电流等。 速度、压强、温度、电流等。 我们把这些流体具有的特征参量统称为物理 我们把这些流体具有的特征参量统称为物理 流体具有的特征参量 流动参数。 也成为流动参数 量，也成为流动参数。 流体的流动是由流体具有的物理量来表征的， 流体的流动是由流体具有的物理量来表征的， 因此，描述流体的运动也就是表达流动参数在不 因此，描述流体的运动也就是表达流动参数在不 同空间位置上随时间的变化规律。 同空间位置上随时间的变化规律。
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
L M’ M
V (M , t ) V ( M ' , t + ∆t )
3.1.3随体导数 随体导数
这里用 D 表示这种导数不同于牛顿定律 Dt 对速度的简单导数
L M’ M
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
速度的变化有两方面的原因:
一方面的原因, 质点由M 点运动至M 点时,
'
时间过去了∆t,由于场的时间非定常性引 起速度的变化
另一方面, 质点由M 点运动至M '点时, 位置 发生了变化,由于场的空间不均匀性引起 速度的变化
3.1.3随体导数 随体导数
按照时间和空间引起速度变化,把极限分为两部分
DV V ( M ', t + ∆t ) − V ( M , t ) = lim Dt ∆t →0 ∆t
《流体力学》流体力学基本方程
2.2 描述流体运动的一些基本概念
2.2.1定常流与非定常流
流场中所有的运动 要素不随时间变化
u u(x, y, z)
(x, y, z)
p p(x, y, z)
u 0 t p 0 t
0
t
流场中有运动 要素随时间变化
u u(x, y, z,t)
(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t) (x, y, z,t)
x, y, z ,t--欧拉变量，其中x，y，z与时间t有关。
欧拉法是常用的方法。
5
16 October 2021
欧拉法中的加速度 -- 质点速度矢量对时间的变化率。
a
u t
ux
u x
uy
u y
uz
u z
三个分量：
ax
ux t
ux
ux x
拉格朗日法 从流体质点的运动着手，描述每一个流体质点自始至 终的运动过程。如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流 体的运动规律也就清楚了。是质点--时间描述法。
质点运动的轨迹
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
a, b, c --- t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日变量，用来指定质点。
ln x t ln y t ln c
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
y x
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2. 求迹线
将已知速度分布代入式(2.2.1)可得
dx x t, dy ( y t), dz 0
《流体力学》典型例题
《例题力学》典型例题例题1：如图所示，质量为m ＝5 kg 、底面积为S ＝40 cm ×60 cm 的矩形平板，以U ＝1 m/s 的速度沿着与水平面成倾角θ＝30的斜面作等速下滑运动。
已知平板与斜面之间的油层厚度δ＝1 mm ，假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。
求油的动力粘性系数。
解：由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力du Udy τμμδ=＝ 又因等速运动，惯性力为零。
根据牛顿第二定律：0m ==∑F a ，即：gsin 0m S θτ-⋅=()324gsin 59.8sin 301100.1021N s m 1406010m U S θδμ--⋅⨯⨯⨯⨯==≈⋅⋅⨯⨯⨯ 例题2：如图所示，转轴的直径d ＝0.36 m 、轴承的长度l ＝1 m ，轴与轴承的缝隙宽度δ＝0.23 mm ，缝隙中充满动力粘性系数0.73Pa s μ=⋅的油，若轴的转速200rpm n =。
求克服油的粘性阻力所消耗的功率。
解：由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力()60d d n d uy πτμμδ=＝粘性阻力（摩擦力）：F S dl ττπ=⋅= 克服油的粘性阻力所消耗的功率：()()3223223230230603.140.360.732001600.231050938.83(W)d d n d n n lP M F dl πππμωτπδ-==⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=例题3：如图所示，直径为d 的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为μ，若下盘固定不动，上盘以恒定角速度ω旋转，此时所需力矩为T ，求间隙厚度δ的表达式。
解：根据牛顿黏性定律 d d 2d r r F A r r ωωμμπδδ== 2d d 2d r T F r r r ωμπδ=⋅=42420d d 232dd d T T r r πμωπμωδδ===⎰432d Tπμωδ=例题4：如图所示的双U 型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知液体的密度ρ（取管中水的密度ρ水＝1000 kg/m 3）。
流体动力学基本方程
Chapter 3 流体动力学基本方程例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组）决定。
本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。
I 质量连续性方程（质量守恒方程） I-1方程的导出物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。
质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。
在此假设下，对物质体τ有0dd dtτρτ=⎰。
根据输运定理，设t 时刻该系统所占控制体为CV ，对应控制面CS ，则有0CVCSd v ds tρτρ∂+⋅=∂⎰⎰⎰——质量守恒方程积分形式。
上式亦表明，CV 内单位时间内的质量减少=CS 上的质量通量。
由奥高公式得()CSCVv ds v d ρρτ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，于是有()0CV v d t ρρτ∂⎡⎤+∇⋅=⎢⎥∂⎣⎦⎰。
考虑到τ的任意性，故有()0v t ρρ∂+∇⋅=∂，即 0d v dtρρ+∇⋅= ——质量守恒方程微分形式 I-2各项意义分析： 1）dt d ρ——流体微团密度随时间的变化率；定常流动0=∂∂t ρ；不可压缩流动0=dt d ρ；均质流体的不可压缩流动.const ρ=。
2）由0=dtmd δ（m δ为微团的质量）知11d d dt dt ρδτρδτ=-（δτ为该微团t 时刻体积），从而知v ∇⋅=流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。
3）不可压缩流体0d dtρ=，故有 0v ∇⋅=。
由奥高公式有CVCSv ds vd τ⋅=∇⋅⎰⎰⎰，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有0CSv ds ⋅=⎰⎰。
不可压缩流动满足的0v ∇⋅=或0CSv ds ⋅=⎰⎰是对速度场的一个约束。
例1、1）定常流场中取一段流管，则由0CSv ds ⋅=⎰⎰易知：222111S V S V ρρ=；如为均质不可压缩流动，则1122V S V S =。
工程流体力学：第二章 流体力学基本方程
y x
ln x t ln y t ln c
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
2020年12月7日 20
三、流管与流束 1.流管——在流场中任取一个有流体
从中通过的封闭曲线，在曲线上的每一个 质点都可以引出一条流线，这些流线簇围 成的管状曲面称为流管。
第二章 流体力学基本方程
1. 流体运动的基本概念-流体运动的特征 2. 4个重要方程：
连续性方程 － 根据质量守恒定律导出 运动方程－ 根据牛顿第二运动定律导出 伯努利方程－ 根据能量守恒定律导出 动量积分方程和动量矩积分方程－ 根据动量定理 和动量矩定理导出. 这些方程是分析研究和解决流体力学问题的基础.
合；
对于定常流动，流线与迹线重合。
❖ 流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。
❖ 流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分 布。
❖ 迹线和流线的区别： ❖ 迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange
观点对应； ❖ 流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与
Euler观点对应。
的速度向量
相切v。x, y, z, t
❖ 流线微分方程：
v2 v1
v3
v4
dr v 0
dx dy dz u(x, y, z,t) v(x, y, z,t) w(x, y, z,t)
2020年12月7日 16
迹线与流线的区别
❖ 流线的性质：
❖ 对于非定常流动，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重
u u u u
ax
t
u
x
v
y
流体力学伯努利方程及动量方程
p1 gh1 p2 gh2 ghp
p1
g
h1
p2
g
h2
hp
( p1
g
h1)
( p2
g
h2 )
hp
而 h1 h2 Z1 Z2 hp
( p1
g
Z1 )
(
p2
g
Z2)
hp
hp
hp
注意：
水(ρ)-水银(ρ’) 气(ρ)-液(ρ’)
' h hp
h
'
hp
34
第三节 恒定总流的伯努利方程
2
第三节 恒定总流的伯努利方程
微小圆柱体的力平衡
p1dA ldAcos p2dA l cos Z1 Z2
p1 (Z1 Z2 ) p2
Z1
p1
Z2
p2
3
第三节 恒定总流的伯努利方程
Z1
p1
Z2
p2
均匀流过流断面上压强 分布服从水静力学规 律
Z p c
4
第三节 恒定总流的伯努利方程
第三节 恒定总流的伯努利方程
二、动能积分 u2 dQ u3 dA u3dA
Q 2g
A 2g
2g A
表单位时间通过断面的流体动 能
v
Q
udA
A
AA
u3dA u3dA
v3dA
v3 A
——动能修正系数
10
第三节 恒定总流的伯努利方程
2g
u13dA
A1
2g
1v13dA
A1
1v12
管道弯头、接头、闸 阀、水表
1、恒定流； 2、不可压缩流体； 3、质量力只有重力； 3、所取过流断面为渐变流断面； 4、两断面间无分流和汇流。
流体力学 第三章
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
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dt 2v2 A2 v 2 dt 1v1 A1 v1 dtQ( 2 v 2 1 v1 )
2
动量修正系数β
修正以断面平均速度计算的动量与实际动量的差异而引入
3 u A dA
A
3
2 u A dA
A
2
β值取决于过流断面上的速度分布， 速度分布较均匀的流动β =1.02~1.05， 通常取β=1.0
恒定流动，dt 前后 K 1'2 无变化，则
d K K 22' K11' 2u2dtdA2 u2 1u1dtdA1u1
1
取过流断面为渐变流断面，各点的流速平行， i 令 ——为单位向量
u ui
d K K 22' K11' 2u2dtdA2 u2 1u1dtdA1u1
该质点系上的外力的冲量
质点系动量定理: 质点系动量的增量等于作用于
Fdt dtQ( v v ) F Q( v v )
2 2 1 1
2 2 1 1
3
恒定总流动量方程
F Q( v v ) F Q ( v v F Q ( v v F Q ( v v
1 4
3、由连续性方程
v1
d
Q = v1A1= v2A2
2 1
3.185m/s
4Q v2 5.66m/s 8 2 d2
v v p2 p1 7.043kPa 2g 2 d2 P2 p2 0.124kN 4 4、将各量代入总流动量方程，解得 Rx ' 0.538kN
2 2 1 1 x 2 2x y 2 2y z 2 2z
1 1x 1 1y
) ) )
1 1z
物理意义：作用于控制体内流体上的外力，等
于单位时间控制体流出动量与流入动量之差
4
应用条件：
恒定流 过流断面为渐变流断面 不可压缩流体
F 合外力：
作用在该控制体内所有流体质点的质量力；
作用在该控制体面上的所有表面力
d K 2 u 2 dtdA2 u 2 i 2 1u1 dtdA1u1 i 1 A2 A1
对于不可压缩流体ρ1=ρ2=ρ，并引入修正系数β ，以断 面平均流速v 代替点流速u 积分，总流的动量差为
2 2 d K dt 2v2 A2 i 2 dt 1v1 A1 i1
2 1 2 2
Ry ' 0.597kN
水流对弯管的作用力与弯管对水流的作用力，大小相等方 向相反 R 0.538kN 方向沿Ox方向
x
R y 0.597kN
方向沿Oy方向
9
第五节 动量方程
总流的动量方程是动量定理的流体力学表达式 . 设恒定总流，过流断面Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ(渐变流断面) 流体经dt 时间由Ⅰ-Ⅱ运动到Ⅰ‘- Ⅱ’位置 任取元流l – 2 dt 时间内元流动量增量
1 1 2
u1
1 1
dA2
2 2
2
u2
dA1
d K K1'2' K12 (K1'2 K 22' )t dt (K11' K1'2 )t
重力G在xOy面无分量；
弯管对水流的作用力R‘ 列总流动量方程的投影式
Fx Q( 2v2 x 1v1x ) F Q ( v v ) y 2 2 y 1 1 y
7
P 1P 2 cos 60 Rx ' Q( 2 v2 cos 60 1v1 ) o o P sin 60 R ' Q ( v sin 60 ) 2 y 2 2
四周边界对水流的总作用力
5
动量方程的解题步骤
1. 选控制体 根据问题的要求，将所研究的两个渐
变流断面之间的水体取为控制体； 2. 选坐标系 选定坐标轴 的方向，确定各作用力及 流速的投影的大小和方向； 3. 作计算简图 分析控制体受力情况，并在控制体 上标出全部作用力的方向； 4. 列动量方程解题 将各作用力及流速在坐标轴 上的投影代入动量方程求解。计算压力时，压强 采用相对压强计算。 注意与能量方程及连续性方程的联合使用。
6ห้องสมุดไป่ตู้
例: 水平设置的输水弯管(转角θ = 60°)，直径由d1=200mm 变为d2=150mm，已知转弯前断面p1=18kPa（相对压强）， 输水流量Q=0.1m3/s，不计水头损失; 试求水流对弯管的作 用力。
解：取过流断面l-1、2-2及控制体，选直角坐标系
1、分析受力：过流断面上的动压力P1、P2；
o o
2 其中 P p A 18 0.2 0.565kN 1 1 1
2、列1-1、2-2断面的伯诺里方程，忽略水头损失，有
2 2 p1 α 1v1 p2 α 2v 2 z1 z2 hl ρg 2g ρg 2g 2 2 p1 v1 p2 v2 0 0 0 g 2g g 2 g 4Q